正比例函数与反比例函数

正比例函数和反比例函数

综合解说

客观世界是不断运动和变化着的，在这些变化着的事物中，存在各种各样的变量。在同一变化过程中，一些变量之间相互依存，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化。函数是体现运动变化的基本数学概念，它从数量角度刻画事物变化的过程，表达变量之间确定的依赖关系。

本章引入了函数的概念，重点讨论正比例函数和反比例函数，并借助与图像的直观，得到它们的一些基本性质，进而应用这些概念和性质，解决一些简单的实际问题。

1 正比例函数

【知识结构框图表】

【本节解读】

人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征，量是用“数”来表明大小的。数与度量单位结合在一起，就是数量。经常涉及的量有长度、面积、体积、质量、温度、时间、速度等。

【基础知识与要点拨】

1.变量和常量

在变化过程中，可以去不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量。

比如：圆的周长C与直径D的关系为C＝πD。C、D是变量，π是常量。

2.函数和自变量

在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许围，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。“y是x的函数”用记号y＝f(x)表示，括号的字母表示自变量，括号外的字母f表示y随着x的变化而变化的规律。f(a)表示当x＝a时的函数值。

3.定义域和值域

函数的自变量允许取值的围，叫做这个函数的定义域。对应于自变量的函数值的取值围，叫做值域。

4.正比例

如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正

比例。用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是y

k

x

=或者y kx

=，其中，k是不为

零的常数。

反比例函数

正比例函数

定义域和值域

函数解析式函数

5. 正比例函数

定义域是一切实数的函数y kx =（k 是不为零的常数）叫做正比例函数。其中常数k 叫做比例系数。确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数。

6. 函数解析式

表示两个变量之间依赖关系的数学式子叫做函数解析式。

7. 正比例函数的图像和性质

正比例函数y kx =（k 是不为零的常数）的图像是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线。当0k >时，直线经过第一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大；当0k <时，直线经过第二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小。

8. 几点注意：

A 、 函数的定义域不但要使代数式有意义，而且要符合实际要求。

B 、 正比例函数y kx =中，k 不能为零，但定义域是一切实数，两者不能混淆。

C 、 在实际问题中，正比例函数的图像往往是一段线段，一定要根据定义域来确定线段

的所在围。 D 、 正比例函数与正比例是有区别的，比如：2(1)y x =+就不是正比例函数，但是y

与(1)x +成正比例。

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反比例函数

【知识结构框图表】

【本节解读】

本节主要讨论反比例函数的定义、反比例函数的解析式及定义域、函数的图像和性质以及反比例函数的实际应用。

【基础知识与要点拨】

反比例函数应用

反比例函数图像、性质反比例函数定义域

反比例函数解析式反比例函数

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么这两个变量就成反比例。例如某段路程长100km ，汽车速度为每小时v km ，汽车行驶的时间为t 小时，则v 与t 就满足：100vt =。所以v 与t 成反比例。

2. 反比例函数

定义域是不等于零的一切实数的函数(0)k

y x x

=≠叫做反比例函数，其中常数k 叫做比例系数。

3. 反比例函数的图像和性质

有描点法可知，反比例函数k

y x

=

的图像是双曲线，有两支，每支都向两方无限延伸，与坐标轴越来越靠近，但永不相交。

当0k >时，直线经过第一、三象限，在图像所在的每一个象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小；

当0k <时，直线经过第二、四象限，在图像所在的每一个象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大。

4. 几点注意：

A 、 反比例函数解析式有三种表示方法：1

y kx -=，k

y x

=

，xy k =（0k ≠） B 、 反比例函数的图像是双曲线，有两支，分别在第一、三象限或第二、四象限 C 、 在图像所在的每一象限中，图像是连续的，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值逐渐

减小（或增大），但是在整个定义域中函数图像是不连续的。当x 的值逐渐变化时，y 的值有相反方向的变化。 D 、 常见问题中的已知条件为0x >，只是限定在图像所在的一个象限讨论x 、y 的值的

变化情况，不要与0k >混淆。

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函数的表示法

【知识结构框图表】

【本节解读】

函数的表示方法，常用的有解析法、列表法、图像法三种。不同的表示方法各具特点，各有局限，把几种方法结合起来，有助于对函数进行分析和研究，尤其是用待定系数法确定函数解析式的数学思想方法值得重视。

【基础知识与要点拨】

反比例函数

正比例函数定义域和值域

函数解析式函数的表示法

用数学式子来表示两个变量之间的函数关系，叫做解析法。这种数学式子也叫做函数解析式，如2,3y x y x =+=-等，解析式既概括又明了。

2. 列表法

把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法。比如平方表和平方根表以及三角函数表。

3. 图象法

把两个变量之间的依赖关系用图像来表达，这种表示函数的方法叫做图像法。图象法的特点是非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况。如气象中的每一天的气温与时间的关系。

4. 函数解析式的确定

函数解析式的确定一般都是由已知条件寻找两个变量之间的数学关系式来确定，但有时已知了两个变量之间的确定关系如正比例函数和反比例函数，则可以用待定系数法求解析式。

5. 关于解析式的几点注意

A 、 解析式一般用()y f x =表示，能简化的要简化。

B 、 从实际问题得到的解析式往往既不是正比例函数，也不是反比例函数。

C 、 定义域一定要根据题意，符合实际意义。