福建省长泰一中高考数学一轮复习《排列组合》综合题

福建省长泰一中高考数学一轮复习《排列组合》综合题
例1. 五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
（1）甲必须在排头；
（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；
（3）甲、乙必须在两端；
（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；
（5）甲、乙不在两端；
（6）甲在乙前；
（7）甲在乙前，并且乙在丙前；
（8）甲、乙相邻；
（9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻；
（10）甲、乙、丙不全相邻
所以甲、乙不在两端排法种数为A23×A33=36种
（6）因为甲、乙共有2！种顺序，所以甲在乙前排法种数为：A55÷2！=60种典型例题
基础过关
（7）因为甲、乙、丙共有3！种顺序，
所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：
A 55÷3！=20种 （8）把甲、乙看成一个人来排有
A 44种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法
种数为A 44×A 22=48种 （9）首先排甲、乙、丙外的两个有
A 22，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有
A 23，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为A 23×A 2
3×A 2
2=24种 （10）因为甲、乙、丙相邻有A 33×A 3
3， 所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为A 55－A 33×A 3
3=84种
（2）分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有4833231222121322=+A C C C C C C 种
变式训练2：某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是 （ ）
A ．504
B ．210
C ．336
D ．120
解：A 39＝504 故选A
例3. 已知直线ax+by+c=0中的系数a ，b ，c 是从集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？
解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a ，b ，c ”的情况讨论。

设直线的倾斜角为α，并且α为锐角。

则tan α=－a
b ＞0,不妨设a ＞b,那么b ＜0 当
c ≠0时,则a 有3种取法,b 有3种取法,c 有4种取法,并且其中任意两条直线不重合,所
以这样的直线有3×3×4=36条
当c=0时, a 有3种取法,b 有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有3×3-2=7条
故符合条件的直线有7+36=43条
变式训练3：将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种.
解：35C 1503322241522=⨯⨯⨯+⨯⨯C C C A
例4. 从集合{1，2，3，……20}中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
解：a ，b ，c *∈N a ，b ，c 成等差数列b c a 2=+⇔ c a ,∴要么同为奇数，要么同为偶数，故满足题设的等差数列共有A 210＋A 210＝180(个)
变式训练4：某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球 队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？ 解：设该队胜负平的情况是：胜x 场，负y 场，则平15－(x ＋y)场，依题意有：⎩⎨⎧≤+=+1533
3y x y x ⇒x 9，0，6；10，2，3；11，4，0．
1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.
2．排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.
3．对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.
小结归纳。