从《简单的对数方程》一课谈支架式教学
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时讲解对数方程的概念： 在对数符号后面含有未 知数 的方程 叫做对数方程． 【 分析点评】 由于学生很难凭空想象对数在 实际生活中的具体应用， 因此本节课从现实生活 中的例子 出发引出对数方程的概念， 这样 的开场 白既避免了教师直接给出概念的唐突， 也让学生 感受到数学来源于实际生活． （） ２ 提供学 习体验平 台， 充分调动学生思维 （ 让学生回忆指数方程三种基本类型及其相
应 解法 ） ．
《 简单 的对 数方程》 上海教材高 一第二学 （
期） ．
２ 教学 目标 ． ① 在利用对数性质求解对数方程的过程 中，
渗透等价转化 的思想， 培养学生严密科学的逻辑
思维习惯， 促进数学 品质的 良好发展； ② 在学生 自己编写问题相互求解 的过程 中， 培养他们的创新能力；
（ 学生在独立 完成求解过程后 自己小结这种
音 能量．能量小于 １－６ ／ｍ 时， ０ １ｗ ｃ 人听不见声
音； 强度大于 ６ 分贝属于噪音．其 中７ 分 贝开 ０ ０ 始损 害听力神经； ０ 贝以上就会使听力受损， ９分
类型的一般形式及相应解法） ．
归纳类型Ｉｌ 。 （）＝ ｂ ：ｏ ｆｘ ｇ
（ 将对数式转化为指数式） ．
ｆｘ ＝ ａ （） 。
而人呆在 ［ ０ １０分 贝的空间内一分钟， １ ， ２１ ０ 就会
２ １年第 ９ ０１ 期
数学数学
９５ －
【 分析点评】 学生在归纳指数方程类型的过 程 中， 已积 累了一定经验， 对于对数方程这部分 知识点的学 习会相对 比较容易， 以问题 １ 所 很快 得以解决， 从而顺利进入教学 问题情境．
中的幂化成 同底数幂） ； ⑧ ｆ， ） ＋Ｂｆ ， ＋Ｃ ＝ ０： Ａｔ ＋ ｎ（ ） ０（ ） ２
难 点： 方程求解 中的等价变 形； 学建模与 数 转化求解 的过程．
Ｂ ＋Ｃ ＝０ ＞０． （ ） （ 将指数方程转化为关于辅助量 的一元二次
有 理方 程 ） ．
９４ －
数 学教 学
２１年第 ９ ０１ 期
从《 简单的对数方程 一课谈支架式教学
２ ０ 上海市宜川中学 邹秀琴 范静怡 ０６ ０５
百度一下摘录到： “ 支架策略的涵义是： 为学 习者建构 自己对知识的理解提供 的一种概念框 架．这 种框架 中的概念是为发展学 习者对 问题 暂 时性失聪．问：当能量开始达到多少时， 人会 暂 时性失聪？ 解： 由题意得
⑧ 通过建立对数方程解决实际问题的过程，
增强数形结合与数学建模的能力．
① ｎ（ ＝ｂ ，
转化为对数形式） ；
ｆｘ （）＝ｌｇ ｂ指数形式 ｏ。 （ ｆｘ ＝９ｚ （ （） （）将方程
３ 教学重点与难点 ．
重 点 ： 单对 数 方 程 的解 法 与 应 用； 简
② ０（ ＝ａ（ ， ｇ）
问题 ２ 解 下 列 方 程 ：
己能在知识框架中继续攀升， 完成对所学知识建 构 的最高境界．实际情况也的确如此， 问题 ３ 在
的解决过 程中， 绝大多数学生都注意到了等价变 形 的情况， 结论 归纳得也 比较完整， 达到 了预期 目标．由此可见， 了思考 的方 向， 生学起来 有 学
④ 解题 中出现 了增根现 象， 么会不会 出 那 现失根现象？ ⑤ 类型 Ｉ 是否需要验根？为什么？ 归纳类型Ⅱ ：
ｆ ）９） ＝（ ＝ ＝ ｌ ｆ） ｌ ａ） 《 （＞ ｏ （：ｏ （ ｇ ｘ ｇ ｘ 【ｘ ０ 。 。 ｆ）
９ ＞０ （）
（ 运用对数性质求解对数方 程） ． 【 分析点评】“ 问题支架” 是学习过程 中最为 常见的一种支架． 有经验的教师会在学生的学 习 过程 中 自然地、适时地提供此类支架．同时， 在 特 定主题 的学 习中， 支 架问题” “ 往往 比“ 框架 问 题” 更具结构性， 更加关 注细节与可操作性．当 教师可以预期学生可能遇到的困难时， 对支架 问 题进行 适当 的设计是 必要的．本 例 中学生 同样 很快地求 出结果， 但却容易忽略化简过程中的等 价性， 以在问题 ２ 所 的解决过程中将重 点放到 了
① ｌ（ ＋Ｘ＋１ ＝ｌ（ｘ ｇｘ ） ｇ２ 一３ ＋４； ） ②ｌ（ 一Ｘ ＋ｌ（ 一Ｘ ＝ｌ１． ｇ２ ） ｇ３ ） ｇ ２
教师设问： ① 第 ２ 中产生增根 的原 因是什么？ 题
② 第 ２ 中检验 了根， １ 题 第 题需要吗？ ⑧ 在验根 中是否只要看真数大于 ０ 即可？
就 轻松多 了．一个很好 的范例 可以避 免拖沓冗 长或含糊不清的解释， 能帮助学生较为便捷地 并 达到学 习目标． 问题 ４ 让 学生 自己编 写此种类型 的问题， 再 相互交流 求解； 教师 也给 出编 写的问题一起 交流： ① 解方程 ２ｏ ５ ｌｇ５ ｌｇ ２ —３ｏ ２ Ｘ＝ ｌ ； ② 解方 程 Ｘｇ ＋ ｘ ２： １０ ． ００ 【 分析点评】“ 问题支架” 的设计还可 以从不
的进 一步理解所需要的， 为此， 事先把复杂 的学
习任务加 以分解， 以便于把学习者的理解逐步 引 向深入．由此 可知， 支架的作用就是引导学 习者 在未知的知识空间逐步攀升… … ” 经过一番学 习后， 似乎对 “ 问题支架” 了一点点感悟， 有 下面 就以笔者上的 《 简单 的对数方程》 一节公开课为
Biblioteka Baidu
Ｄ １ｇ南 ） ０ ＝０ （ １ １ ０ ｌ南 ） ０ ｇ （ １
＝
１ 加 ０
： １～ ０
，
’
． ．
当能量开始达到１－ｗ ｃ 时， ０ ６ ／ｍ 人会暂
时性 失 聪 ．
例， 谈谈 自己在这方面 的理解．
【 案例 】 １课 题 名 称 ．
在 生 到 程 ：０ （ ）＝０ 学 得 方 Ｄ １ｇ而 ＝０ ｌ ＝ １
４ 教学过程 ．
（） １创设生活背景 问题， 引出教学新概念
（ 研究对数方程 的解法） ．
问题 １ 解下列方程：
引例
声音强度 Ｄ（ 贝） 分 由公式
Ｄ＝１ｇ ０（ ｌ
） 出其 ｘ ／ 声 给 ， 中 （￣ ） ｗｍ 为
①ｌｇ 一８ ） ； ｌ ２ｏ ３ ｏ３ ｘ ｘ ＝２ ② ｏ ｇ ｇ ｌ Ｘ＝２ ．
应 解法 ） ．
《 简单 的对 数方程》 上海教材高 一第二学 （
期） ．
２ 教学 目标 ． ① 在利用对数性质求解对数方程的过程 中，
渗透等价转化 的思想， 培养学生严密科学的逻辑
思维习惯， 促进数学 品质的 良好发展； ② 在学生 自己编写问题相互求解 的过程 中， 培养他们的创新能力；
（ 学生在独立 完成求解过程后 自己小结这种
音 能量．能量小于 １－６ ／ｍ 时， ０ １ｗ ｃ 人听不见声
音； 强度大于 ６ 分贝属于噪音．其 中７ 分 贝开 ０ ０ 始损 害听力神经； ０ 贝以上就会使听力受损， ９分
类型的一般形式及相应解法） ．
归纳类型Ｉｌ 。 （）＝ ｂ ：ｏ ｆｘ ｇ
（ 将对数式转化为指数式） ．
ｆｘ ＝ ａ （） 。
而人呆在 ［ ０ １０分 贝的空间内一分钟， １ ， ２１ ０ 就会
２ １年第 ９ ０１ 期
数学数学
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【 分析点评】 学生在归纳指数方程类型的过 程 中， 已积 累了一定经验， 对于对数方程这部分 知识点的学 习会相对 比较容易， 以问题 １ 所 很快 得以解决， 从而顺利进入教学 问题情境．
中的幂化成 同底数幂） ； ⑧ ｆ， ） ＋Ｂｆ ， ＋Ｃ ＝ ０： Ａｔ ＋ ｎ（ ） ０（ ） ２
难 点： 方程求解 中的等价变 形； 学建模与 数 转化求解 的过程．
Ｂ ＋Ｃ ＝０ ＞０． （ ） （ 将指数方程转化为关于辅助量 的一元二次
有 理方 程 ） ．
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数 学教 学
２１年第 ９ ０１ 期
从《 简单的对数方程 一课谈支架式教学
２ ０ 上海市宜川中学 邹秀琴 范静怡 ０６ ０５
百度一下摘录到： “ 支架策略的涵义是： 为学 习者建构 自己对知识的理解提供 的一种概念框 架．这 种框架 中的概念是为发展学 习者对 问题 暂 时性失聪．问：当能量开始达到多少时， 人会 暂 时性失聪？ 解： 由题意得
⑧ 通过建立对数方程解决实际问题的过程，
增强数形结合与数学建模的能力．
① ｎ（ ＝ｂ ，
转化为对数形式） ；
ｆｘ （）＝ｌｇ ｂ指数形式 ｏ。 （ ｆｘ ＝９ｚ （ （） （）将方程
３ 教学重点与难点 ．
重 点 ： 单对 数 方 程 的解 法 与 应 用； 简
② ０（ ＝ａ（ ， ｇ）
问题 ２ 解 下 列 方 程 ：
己能在知识框架中继续攀升， 完成对所学知识建 构 的最高境界．实际情况也的确如此， 问题 ３ 在
的解决过 程中， 绝大多数学生都注意到了等价变 形 的情况， 结论 归纳得也 比较完整， 达到 了预期 目标．由此可见， 了思考 的方 向， 生学起来 有 学
④ 解题 中出现 了增根现 象， 么会不会 出 那 现失根现象？ ⑤ 类型 Ｉ 是否需要验根？为什么？ 归纳类型Ⅱ ：
ｆ ）９） ＝（ ＝ ＝ ｌ ｆ） ｌ ａ） 《 （＞ ｏ （：ｏ （ ｇ ｘ ｇ ｘ 【ｘ ０ 。 。 ｆ）
９ ＞０ （）
（ 运用对数性质求解对数方 程） ． 【 分析点评】“ 问题支架” 是学习过程 中最为 常见的一种支架． 有经验的教师会在学生的学 习 过程 中 自然地、适时地提供此类支架．同时， 在 特 定主题 的学 习中， 支 架问题” “ 往往 比“ 框架 问 题” 更具结构性， 更加关 注细节与可操作性．当 教师可以预期学生可能遇到的困难时， 对支架 问 题进行 适当 的设计是 必要的．本 例 中学生 同样 很快地求 出结果， 但却容易忽略化简过程中的等 价性， 以在问题 ２ 所 的解决过程中将重 点放到 了
① ｌ（ ＋Ｘ＋１ ＝ｌ（ｘ ｇｘ ） ｇ２ 一３ ＋４； ） ②ｌ（ 一Ｘ ＋ｌ（ 一Ｘ ＝ｌ１． ｇ２ ） ｇ３ ） ｇ ２
教师设问： ① 第 ２ 中产生增根 的原 因是什么？ 题
② 第 ２ 中检验 了根， １ 题 第 题需要吗？ ⑧ 在验根 中是否只要看真数大于 ０ 即可？
就 轻松多 了．一个很好 的范例 可以避 免拖沓冗 长或含糊不清的解释， 能帮助学生较为便捷地 并 达到学 习目标． 问题 ４ 让 学生 自己编 写此种类型 的问题， 再 相互交流 求解； 教师 也给 出编 写的问题一起 交流： ① 解方程 ２ｏ ５ ｌｇ５ ｌｇ ２ —３ｏ ２ Ｘ＝ ｌ ； ② 解方 程 Ｘｇ ＋ ｘ ２： １０ ． ００ 【 分析点评】“ 问题支架” 的设计还可 以从不
的进 一步理解所需要的， 为此， 事先把复杂 的学
习任务加 以分解， 以便于把学习者的理解逐步 引 向深入．由此 可知， 支架的作用就是引导学 习者 在未知的知识空间逐步攀升… … ” 经过一番学 习后， 似乎对 “ 问题支架” 了一点点感悟， 有 下面 就以笔者上的 《 简单 的对数方程》 一节公开课为
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Ｄ １ｇ南 ） ０ ＝０ （ １ １ ０ ｌ南 ） ０ ｇ （ １
＝
１ 加 ０
： １～ ０
，
’
． ．
当能量开始达到１－ｗ ｃ 时， ０ ６ ／ｍ 人会暂
时性 失 聪 ．
例， 谈谈 自己在这方面 的理解．
【 案例 】 １课 题 名 称 ．
在 生 到 程 ：０ （ ）＝０ 学 得 方 Ｄ １ｇ而 ＝０ ｌ ＝ １
４ 教学过程 ．
（） １创设生活背景 问题， 引出教学新概念
（ 研究对数方程 的解法） ．
问题 １ 解下列方程：
引例
声音强度 Ｄ（ 贝） 分 由公式
Ｄ＝１ｇ ０（ ｌ
） 出其 ｘ ／ 声 给 ， 中 （￣ ） ｗｍ 为
①ｌｇ 一８ ） ； ｌ ２ｏ ３ ｏ３ ｘ ｘ ＝２ ② ｏ ｇ ｇ ｌ Ｘ＝２ ．