重力异常正反演问题

当台阶面向台阶内侧倾 斜时：
△g(0) < πG△σ△h
二、不规则三度体的正演问题
1、线元法
➢用一组垂直于y轴的平面
和一组垂直于X轴的平面分 别切割地质体，则任意两 个平面的交线包合在地质 体之内的部分形成一个线 元。
➢用解析式计算每一个线
元在计算点产生的重力异 常作用值。
➢对所有钱元的作用值依
次进行X方向和Y方向的数 值积分，便得到整个地质 体在计算点所产生的重力 异常值。
2．面元法
➢用一组垂直于z轴的平面
或者垂直于X轴、y轴的平 面切割地质体，地质体与平 面相交形成一系列的裁面。
➢近似地用一个多边形代
替每一个截面，用解析表达 式计算出计算点的重力作用 值。
➢将所有面的作用值用数
值积分求得整个地质体产生 的重力异常值。
3．长方体元法
➢用一组垂直于X轴的平面、一
组垂直于y轴的平面和一组垂直于 Z轴的平面切割地质体，于是地 质体被划分成许多小长方体。
的
正 由公式可见：
2πG△σ△h
、 当X→∞时，
反
△g =2πG△σ△h
πG△σ△h
o
P(x,0)
●x
h2
演 当X→ －∞时，
问
△g =0
1
h 1 △σ △h
题 当X=0 时，
2
△σ △h
△g = πG△σ△h
3、垂直台阶
规 则
平面异常特征：
形
体
的
正
、
反
演
问 题 等值线为一系列平行台阶走向的直线，在断面附
演
问 题
g Gh0
dy
(x2 y2 h02 )3/ 2
G
2h0
x2 h02
2、水平圆柱体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
讨论：
3、垂直台阶
规
断层或不同岩层的接触带都可作为台阶处理
则
形 体
g
G
(h
x ln
x2 x2
h12 h22
2h1tg 1
x h1
2h2tg 1
x h2
)
重力异常的正反演
• 1. 重力异常的正演问题、反演问题； • 2. 均匀密度球体、水平圆柱体、台阶的重
力异常正演方法，异常特征，反演方法；
• 3. 密度界面的剩余密度的确定方法； • 4. 单一密度界面异常的特征及反演解释方
法（近似解法、矩阵法）；
• 5. 解复杂密度体正演问题的基本思想； • 6. 最优化选择法的基本思想；
形
体
的
正
、
反
演
问
题 球体参数：半径30m，中心埋深20m，剩余密度
2.0g/cm3，重力异常单位mGal
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
1、球体
x 10-3 4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-50
-40
-30
-20
h -10
0
0
σ0 σ
P(x,0,0)
10
20
30
40
50
ΔE Δg
讨论：
对L个点元有：
设： 所以：
（D.1）
按式（D.1）的形式累加起来，最后只需要求一次反正切函 数，这样处理后，计算速度提高一倍以上。
1.2.2 直立“线元”法 某工区物探、勘探工作布置示意图
1.2.2 直立“线元”法
线元剖分方案
1.2.3 “面元”法
假设截面为垂直于X轴的YOZ平面， 并设三重积分V0、V1、V2、V3、V4、V5、V6 沿Y和Z方向的二重积分为：
➢用解析公式计算出每个小长方
体在计算点所产生的重力异常值。
➢最后，将所有长方体的重力异
常值累加，以求得整个地质体在 计算点的异常值。
点元法 “点元”法所取的各个点元的体积可以相同，也可不同。各
个点元的物性可以相同，也可不同。通常是将勘探剖面之间的 地质体用适当的长方体或立方体来近似，确定出各个点元的角 点坐标，即可计算出该点元的三重积分值。
lim g 0;
x
m gmax GLeabharlann Baiduh02 ;
x1/2 0.766h0;
m gmax gh02 G
2、水2平、圆水平柱圆体柱体（线质量）
规 则
小柱体元在P(x,0,0)点产生的重力异常为
形 体 的
g G
h0dy
(x2 y2 h02 )3/ 2
正 、 反
整个水平圆柱体在P点产生的重力异常为无 穷多个柱体在该点产生的重力异常之和，即：
（3）由观测面上重力异常分布。在给定特殊约束（如设物体密 度均匀、形态规则)条件下，求解物体密度参数和几何参数。
给定的函数和特殊约束称为反演问题的定解条件。
一、重力正、反问题的解法
任意形体重力异常计算公式：
g G
V
( z) d dd ( x)2 ( y)2 ( z)2 3/2
式中：G为万有引力常数，(x, y, z)为观测点P的坐 标，V为地质体体积，Δσ为剩余密度， (ξ,η,ζ)为剩
余质量元 m ddd 的坐标
什么是正问题与反问题？
反问题：m=G-1d
观测数据 d
地质模型 m
正问题：d=Gm
（一）规则形体的正、反演问题
为了简化，假设地质形体孤立存在，密度均匀，地 面水平，所取剖面为中心剖面
规则形体：球体、水平圆柱体、垂直台阶、脉状体……
1、球体
规 则
近似于等轴状地质体，如盐丘、矿巢、溶洞等
正演问题的定义： 根据巳知的、具有剩余质量的地质体的形状、产状和剩余密度 分布，通过理沦计算，研究它们所引起的异常及其各阶导数异 常的数值大小、空间分布和变化规律。
反演问题的定义：
（1）由观测上重力异常的分布，在给定物体边界位置函数的条 件下，求解物体的密度分布函数；（物性反演）
（2）由观测面上重力异常分布，在给定物体密度函数的条件下， 求解物体的边界位置的数值；（几何反演）
近等值线最密，称为“重力梯级带”，且异常向
台阶延伸方向单调增大。
当台阶倾斜时：
2πG△σ△h πG△σ△h
o
△σ
由图可见：无论台阶产 状如何，异常的形态相 似，仅原点处的异常值 不同。
当台阶直立时：
P(x,0)
●x
△g(0)= πG△σ△h
当台阶面向台阶外侧倾
△h
斜时：
△g(0) > πG△σ△h
对于一个点元而言，其计算公式如下：
式中：
对所有点元求和：
L
Fi fij
k 1
i 1,2, M
1、对计算ln项的简化
从式(1.2.1)式的V0，V2，V3．V5的表达式可以看出，需 要计算一系列带ln的项,然后求和，由于大量调用ln标准子 程序会花费很多计算时间并影响计算精度，所以有必要作 适当的简化。 利用：
同样可以求出多边形其他各边与y轴围成的梯形面积的积分值， 然后求它们的代数 和，我们规定多边形角点的编号方向是沿顺时针方向增加的， 有：
同样可以计算出其他各边的三角形域二重积分值，将它们取代 数和即为多边形截面KLMN……K的二重积分值：