高二数学上学期学科竞赛试题
首届全国中学生数理化学科能力竞赛数学学科能力解题技能初赛试题(高二)
则集 合 Ｃ的元素 个数 为 （
Ａ ２。；
Ｃ ８ ；
） 。
Ｂ ４；
Ｄ １６
［ 丢－ ３ 贝而１ ｊｌ 一 ］一 Ｉ 十丽１ ］ ２ Ｊ ［ ＋ １ ］… ［ －＋ ｔ １ 丽］ － 一
－
三 、 答 题 解
２曲 ＝ｉ（ １＋ 。（ ． 线ｙ ｓ 等＋ ） ｃ 等＋１的 轴之 ｎ ｓ ） 对称
当 ｍ ≥ ５时 ，
间距离 的 最小值 为 （
Ａ １：
Ｃ ３：
１． 本小 题满 分 ２ ３（ Ｏ分 ） 在 数 列 ｛ 中 ， 知 ａ — １， １ห้องสมุดไป่ตู้２ ｎ— １ ａ） 已 １ 口＋— ｎ ＋ ．
（Ｉ） 数 列 ｛ 的 通 项 公 式 ； 求 口｝ （Ｉ） 一 ｎ ” ， ｛ 的 前 ｎ项 和 为 Ｓ 求 Ｉ设 ａ ＋ 且 ｂ） ，
ｆ（ 口 ｔｂ ＞ ＿（ ） 厂（ ） 成 立 ， ｎ 与 一 ｂ 的 大 小 ２－ ） 厂口 ＋ － ６恒 则
首届全国中学生数理化学科能力竞赛 数学学科能力解题技能初赛试题（ 高二）
关 系 是—
—
．
１ ． 知 函 数 厂（ 同 时 满 足 以 下 ３个 条 件 ： １已 ｚ） （ ） 在 反 函 数 ｆ （ ） １存 － ； ｚ （ ） （ １ 在 函 数 ，（ 的 图 象 上 ； ２ 点 １， ） ｚ） （ ） 数 厂（ ３函 ｚ＋ １ 的 反 函 数 为 厂 一 １ ． ） （ ）
Ｂ ３ ： １；
Ｄ ４ ：１
４ 如 果 关 于 ｚ 的 方 程 ４ 一 ａ ・２ ＋ ｎ 一 ３ ０至 少 有 一 ． —
个 实 根 ， 实 数 ｎ的 取 值 范 围是 （ 则
2023-2024学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系O−xyz 中，点(1,1,2)到坐标原点O 的距离为( )A.2B.3C.6D.112.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )A. 4 B. 5C. 9D. 203.椭圆x 29+y 24=1的长轴长是( )A. 2B. 3C. 4D. 64.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则P(X =1)=( )A. C 12C 310B. C 12C 28C 310C. C 23C 18C 310D. C 12C 13C 3105.圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x−3)2+y 2=9的位置关系是( )A. 外切B. 内含C. 相交D. 外离6.已知m =(1,2,4)，n =(2,1,x)分别为直线a ，b 的一个方向向量，且a ⊥b ，则x =( )A. 1B. −1C. 2D. −27.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为( )A. 0.78B. 0.82C. 0.87D. 0.498.已知点P(3,4)，A ，B 是圆C ：x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2，M 为线段AB 的中点，则|PM|的最大值为( )A. 5−3B. 5+3C. 3D. 7二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y 与x 线性相关，其线性回归方程为y =bx +7.1，则下列说法正确的是( )A. 线性回归方程必过(3,140)B. b=44.3C. 相关系数r<0D. 6月份的服装销量一定为272.9万件10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5,0.25)，则下列结论正确的是( )A. 该正态分布的均值为3.5B. P(X>3.5)=12C. P(4<X≤4.5)≥12D. P(X>4.5)=P(X≤3)11.已知双曲线M：x24−y29=1，则下列说法正确的是( )A. M的离心率e=132B. M的渐近线方程为3x±2y=0C. M的焦距为6D. M的焦点到渐近线的距离为312.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )A. 直线FC1与直线AE平行B. 直线FC1与底面ABCD所成的角为30°C. 直线FC1与直线AE的距离为2305D. 直线FC1到平面AB1E的距离为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江杭州周边重点中学四校2024年高二10月联考数学试题(原卷版)
2024学年第一学期高二年级10月四校联考数学 学科 试题卷命题人：浦江中学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.310y −−=的倾斜角为（ ） A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2. 若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（ ） A. 4√33πB.C.π3D.3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线1l ：ax ＋2y －1＝0与直线2l ：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在四面体OABC 中，记OA a = ，OB b =，OC c = ，若点M 、N 分别为棱OA 、BC 的中点，则MN =（ ）A. 111222a b c ++B. 111222a b c −++C111222a b c −+D.111222a b c +−5. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP面积的取.值范围是（ ） A []2,6B. []4,8C.D.6. 已知圆22:20C x y x +−=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线P A 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（ ）A. 0x y +=B. 0x y −=C. 2210x y −+=D. 2210x y ++=7. 设函数()()2ln f x x ax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（ ）A. 2−B. 1−C. 2D. 18. 已知三棱锥A BCD −的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=°，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD −的侧面积的最大值为A. 254B.C. 272+D. 252二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9. 已知圆()22:24C x y ++=，直线()():1210R l m x y mm ++−+=∈，则（ ） A. 直线l 恒过定点()1,1− B. 直线l 与圆C 有两个交点C. 当1m =时，圆C 上恰有四个点到直线l 的距离等于1D. 圆C 与圆222880x y x y +−++=恰有三条公切线10. 定义在R 上偶函数()f x ，满足()()()21f x f x f +−=，则（ ） A. ()10f =B. ()()110f x f x −++=C. ()()1212f x f x +=−D.201()10i f i ==∑11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设a O 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆,b c O O 的劣弧,AC AB 的弧长分别记为,b c ，曲面ABC （阴影部分）叫做曲面三角形，a b c ==，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面ABC 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O ABC −．设.的,,BOC AOC AOB αβ∠=∠=∠=γ，则下列结论正确的是（ ）A. 若平面ABC2的等边三角形，则a b c R === B. 若222a b c +=，则222αβγ+=C. 若π3a b c R ===，则球面O ABC −的体积3V > D. 若平面ABC 为直角三角形，且π2ACB ∠=，则222a b c +=三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12 若圆()22121C x y −+=：与圆222:460C x y x y m ++++=有且仅有一条公切线，m =______ . 13. 已知函数()π2sin 0,02yx ωϕωϕ+>≤≤的图象经过点(，且在y 轴右侧的第一个零点为π4，当[]0,2πx ∈时，曲线sin y x =与()2sin y x ωϕ+的交点有__________个，14. 如图，在长方形ABCD 中，3AB =，2BC =，E 为DC 中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点.现将AFD △沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是_______.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间[]30,90内.现将100个样本数据按[)30,40，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[)70,80，[]80,90分成6组，并整理得到如下频率分布直方图..的（1）请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）； （2）学校决定表彰成绩排名前30％的学生，学生甲的成绩是76，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足PA =（1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）若直线l 过点()1,2Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程.17. 已知函数()2x xb a f x x a−=−（0a >且1a ≠b ∈R ）是定义在R 上的奇函数，且()512f =−； （1）求a ，b 的值； （2）解不等式()()21570f xf x −+−<．18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线BD 和BF 上移动，且BM 和BN 的长度保持相等，记(0BM BN a a ==<<．（1）证明：//MN 平面BCE ；（2）当a =MNA 与平面MNB 夹角的余弦值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120°时，使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°的点P 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若tan tan cos()cos tan tan 1A CA CB AC −+=−.①求B ；②若ABC P 为ABC 的费马点，求PA PC ⋅的取值范围；（2）若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，且PB 平分ABC ∠，试问是否存在常实数t ，使得2b tac =，若存在，求出常数t ；若不存在，请说明理由.。
吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期学科竞赛数学试题
长春二实验中学高二年级学科竞赛数学试卷考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第三章~第三章3.1.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2.若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.3.直线被圆所截得的弦长为（ ）B.C.5D.104.已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ）A. B.C.D.5.若椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，且，则（ ）A.B. C. D.6.已知点，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.7.已知圆和两点，若圆上存在点，使得0x y +=45 45- 60 1352242x y x y m +-+=m (),5∞--()0,∞+()5,∞-+(),0∞-30x y -+=22240x y x y ++-=l 12:2,:21l x y l x y +=-=l (3,2)v =-l 2350x y +-=2310x y -+=3250x y --=2310x y +-=22:196x y C +=12,F F P C 12PF =12F PF ∠=π6π32π35π6()()2,33,2A B -､()0,2P -l AB (),3Q m l m (]15,2,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭15,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦152,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦22:(6)(8)1C x y -+-=()()(),0,,00A m B m m ->C P，则的最大值为（ ）A.9B.10C.11D.128.若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，下列选项正确的是（ ）A.过点且垂直于直线的直线方程为B.直线过定点C.当时，D.当时，10.已知椭圆的左､右两焦点分别是，其中.过左焦点的直线与椭圆交于两点.则下列说法中正确的有（ ）A.的周长为B.若的中点为所在直线斜率为，则C.若的最小值为，则椭圆的离心率D.若，则椭圆的离心率的取值范围是11.已知动点的轨迹方程为，其中不同时为0，则（）A.该轨迹关于直线对称B.该轨迹围成的图形面积为C.若点在该轨迹上，则90APB ∠= m ()2221:(1)(2)0C x y rr ++-=>:43100l x y --=r ()3,∞+()5,∞+()3,5[]3,5()()()12:4340,:21250l x y l m x m y m m -+=+-+++=∈R ()1,2-1l 3450x y +-=2l ()3,1-1m =12l l ⊥2m =1l ∥2l ()2222:10x y C a b a b+=>>12F F ､122F F c =,A B 2ABF V 4aAB ,M AB k 22OMc k k a⋅=-AB 3c 13e =2123AF AF c ⋅= 12⎤⎥⎦E 22x y x y +=+,x y y x =π2+()00,x y 0x …D.若圆能覆盖该轨迹，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆和圆内切，则__________.13.如图，已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是__________.14.在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是__________；当取得最大值时，椭圆的焦距为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；（2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.16.（本小题满分15分）已知圆与圆相交于､两点.（1）求公共弦所在直线方程；（2）求过两圆交点，且过原点的圆的方程.17.（本小题满分15分）如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用圆形纸片按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕.()2220x y r r +=>r ()222:(3)0C x y r r -+=>22:870D x y y +-+=r =()()4,0,0,4A B ()2,0P AB OB OB P xOy ()22:144y x C m m m +=>-(2,2)A -()0,2B -P 8PA PB +=m m ()()2,1,6,3A B --AB ()3,2P 221:230C x y x +--=222:4230C x y x y +-++=A B AB A B ､O F F这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸，如图所示.（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）求经过点，且与直线夹角为的直线交椭圆于两点，求的面积.18.（本小题满分17分）如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线为切点，且有.（1）求点的轨迹方程，并说明点的轨迹是什么样的几何图形；（2）求的最小值；（3）以为圆心作圆，使它与圆有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.19.（本小题满分17分）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为.（1）求的值；（2）为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点F O FO x FO M F FO π4,C D OCD V 22:4O x y +=()6,8A O P O ,PQ Q PQ PA =P P PQ P O F ()2222:10x y C a b a b+=>>O M MF 2+OM OF =MOF V 12baA B ､P 3AP PB =M ,A B MP C，直线交于点，求的最大值.N ,AM BN T ATB长春二实验中学高二年级学科竞赛数学试卷参考答案､提示及评分细则一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DCBABDCC二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ADADABC1.D 根据直线方程可知其斜率为，设直线倾斜角为，则，可得.故选D.2.C 方程化为标准方程为，有.3.B 圆即，故圆心为，显然圆心在直线上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为B.4.A 联立，解得，即直线的交点为，又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即，故选A.5.B 由题意得，则，在中，由余弦定理可得，所以，故选B.6.D 如图所示，是直线与直线交点的横坐标，当与重合时，取最大值，当与重合时，取最小值，所以的取值范围是.0x y +=1k =-θtan 1θ=-135θ= 22(2)(1)5x y m -++=+5m >-22240x y x y ++-=22(1)(2)5x y ++-=()1,2-30x y -+=221x y x y +=⎧⎨-=⎩11x y =⎧⎨=⎩12:2,:21l x y l x y +=-=()1,1l ()3,2v =-l 23-l ()2113y x -=--2350x y +-=3,a c ==24PF =12F PF V 121cos 2F PF ∠==12π3F PF ∠=m l 3y =l BP m 154l AP m 2-m 152,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.C，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，又在圆上，所以两圆有交点，则，而，得.8.C 如图所示.设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，，解得或，圆心到直线的距离为，圆到直线的距离为，由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，即.9.AD 对于A ，垂直于直线的直线方程为，将点代入得，故所求直线方程为，A 正确；对于B ，直线化为：，由，求得直线过定点，故B 错误；90APB ∠= AB O OP m =P m P C 11m OC m -+……10OC==911m ……l l 430x y c -+=1=5c =-15c =-()11,2C -4350x y --=13d ()11,2C -43150x y --=25d 1C 4350x y --=43150x y --=12d r d <<35r <<4340x y -+=340x y m ++=()1,2-5m =-3450x y +-=2l ()()2250m x y x y -++-+=20250x y x y -+=⎧⎨-+=⎩2l ()3,1--对于C ，时有：，解得，故C 错误；对于D ，当时，，解得，故D 正确.故选AD.10.AD直线过左焦点的周长为，A 正确；设，则，点.由①-②得，故B 错误；当轴时，最小，令，解得，，整理得，即，解得或（舍去），故C 错误；，，，即，即，可得，则椭圆的离心率的取值范围是，D 正确.故选AD.11.ABC 对于A ，轨迹上任意一点满足，该点关于直线的对称点也满足，即轨迹上任意一点关于直线的对称点仍在该轨迹上，A 正确；12l l ⊥()()42310m m +++=117m =-1l ∥2l ()1225434m m m -+++=≠-2m = AB 12,F ABF ∴V 12124AF AF BF BF a +++=()()1122,,,A x y B x y 1212y y k x x -=-12121212,,22OM x x y y y y M k x x +++⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②()()()()()()2221212121212122222212121,,QM QMx x x x y y y y x x b y y b b k k abx x y y a k a a+-+-+-=-∴=-=-⋅∴⋅=--+AB x ⊥AB 2222,1c y x c a b =-+=2by a=±223b c a∴=222320c ac a +-=22320e e +-=12e =2-()111,AF c x y =--- ()211,,AF x y =--()()22222222212*********c AF AF c x c x y x y c x a c c a ∴⋅=---+=+-=+-= 22222222221120,,22c x a a c x a c a c a⎡⎤∈∴-+--⎣⎦ (2)222223a c c a c -- (2211)54c a ……12c e a ⎤=∈⎥⎦12⎤⎥⎦(),x y 22x y x y +=+y x =(),y x 22y x y x +=+(),x y y x =对于B ，点在该轨迹上，点也都在该轨迹上，则该轨迹关于轴，轴对称，当不同时为0时，该轨迹的方程为，表示以点为圆为半径的圆在直线上方的半圆（含端点），因此，该轨迹是四个顶点为，的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，所以该轨迹围成的图形面积是，B 正确；对于C ，点在该轨迹上，则，则有，即，解得，C 正确；对于D ，该轨迹上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖该轨迹，则不正确.故选ABC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.8圆，圆心，半径为，圆，圆心，半径，因为两圆内切，所以，解得.易得所在直线方程为，由于点关于直线的对称点坐标为，点关于轴的对称点坐标为，则光线所经过的路程即为与两点间的距离，于是14.； 因为点是椭圆内一点，所以，由，可得(),x y ()()(),,,,,x y x y x y ----x y 0,0,,x y x y (22)111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1x y +=()()1,0,0,1--()()1,0,0,1211224ππ222⨯⨯+⨯⨯=+()00,x y 2222000000111222x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⇔-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…0x …0x …=()2220x y r r +=>min D r =()222:(3)0C x y r r -+=>()3,0C r 22:870D x y y +-+=()0,4D 3R =3CD r ==-8r =AB 4x y +=P AB ()14,2P P y ()22,0P -()14,2P ()22,0P -12PP ==(625⎤+⎦4()2,2A -4414m m +<-44144m m m ⎧+<⎪-⎨⎪>⎩.易知为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则.又，当且仅当三点共线时等号成立，所以，所以，所以，故.当取得最大值25时，椭圆的方程为，故其焦距为4.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.解：（1）线段的中点为，故线段的垂直平分线的方程为，即.（2）①当直线过原点时，所求直线方程为，②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即，由①②知所求直线方程为或.16.解：（1）①，②①-②得即公共弦所在直线方程为.（2）设圆的方程为，即.因为圆过原点，所以，所以所求圆的方程为17.解：（1）如图，设为椭圆上一点，由题意可知且，所以分别为椭圆的左､右焦点，长轴长，所以，所以椭圆的标准方程为.6m >+()0,2B -F PA PB PA PF +=+-||||||||2PA PF AF -=…,,P A F 22PA PB -++……282-……925m ……625m +<…m 2212521y x +=AB ()1312,1,262AB C k --==--AB ()122y x -=--250x y +-=23y x =1-()23y x -=--5y x =-+23y x =5y x =-+22230x y x +--=224230x y x y +-++=2260x y --=AB 30x y --=()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=()()()2211242330x y x y λλλλλ+++-++-+=330,1λλ-+==2230x y x y +-+=P 4PF PO AO +==24FO =<,F O 24,22a c ==2222,1,3a c b a c ===-=22143x y +=（2）经过且与直线夹角为的直线的倾斜角为或，由对称性，不妨取倾斜角为，即，显然，直线.设，联立，消去得.解法1：解得上述值的互换不影响结果，不妨取，将的值分别代入，得，所以，所以.点到直线即的距离，故的面积.（也可以按此解法算得的坐标后，得，F FOπ4π43π4π41k =()1,0F -:1CD y x =+()()1122,,,C x y D x y 221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 27880x x +-=124477x x =-=-124477x x =-=-12,x x 124477x x =-=--12,x x 1y x =+123377y y =+=-4343,7777C D ⎛⎛-+- ⎝⎝247CD ==()1,0O :1CD y x =+10x y -+=d OCD V 12427OCD S =⨯=V 12y y ､12y y -=故.解法2：，且，所以.点到直线即的距离，故的面积.（也可以按此解法算得后，得，，故.18.解：（1）设点的坐标为，，由题意有，整理为：，故点的轨迹方程为，点的轨迹是斜率为，在轴上的截距为的直线.（2）由和（1），的最小值为点到直线的距离，最小值为.（3）由圆的性质可知，当直线与直线垂直时，以此时的点为圆心，且与圆相外切的圆为所求，此时的方程为，1211222OCD S FO y y =-=⨯=V 2Δ84782880=+⨯⨯=>121288,77x x x x +=-=-2247CD x =-===()1,0O :1CD y x =+10x y -+=d OCD V 12427OCD S =⨯=V 121288,77x x x x +=-=-12x x -===()()12121211y y x x x x -=+-+=-=1211222OCD S FO y y =-=⨯=V P (),x y 2222||44PA OP x y ==-=+-2222(6)(8)4x y x y -+-=+-34260x y +-=P 34260x y +-=P 34-y 132PQ PA =PQ A 34260x y +-=245=OP 34260x y +-=P O OP 43y x =联立方程解得点到直线的距离为，可得所求圆的半径为，故所求圆的标准方程为.19.解：（1）因为设椭圆的左焦点为，因为，所以.即，又，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以②，又③，由①②③，解得，所以.（2）由（1）可知椭圆的方程为，因为点满足，所以，设直线的方程为，联立，得，设，易得，则，直线的方程为，直线的方程为，4,334260,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩78,25104,25x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O 34260x y +-=2652616255-=2278104256252525x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭max ||2MF a c =+=+E 12OM OF EF ==90EMF ∠= 2222||||4ME MF EF c +==2ME MF a +=222||24ME MF ME MF a ++=2222444ME MF a c b =-=22ME MF b =212MEF S ME MF b ==V 12MOF S =V 1MEF S =V 21b =222a b c =+224,3a c ==12b a =C 2214x y +=P 3AP PB = ()1,0P MN 1x my =+22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=()()1122,,,M x y N x y Δ0>12122223,44m y y y y m m +=-=-++AM ()1122y y x x =++BN ()2222y y x x =--联立得，因为，所以，解得所以动点的轨迹方程为.由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为，因为，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，此时，所以的最大值为.()()()()12121212121122212222123y x y my my y y x x y x y my my y y -+---===+++++()121232my y y y =+()()121121221231321222339233222y y y y y x x y y y y y +-+-===++++4,x =T ()40x y =≠()4,,0T t t >,TA TB ,αβATB ∠βα=-()tan tan tan tan 1tan tan ATB βα∠βαβα-=-=+tan ,tan 62TA TB t t k k αβ====24426tan 1212126t t t ATB t t t t t∠-====++⋅+…t =(π4,,6T ATB ∠=ATB ∠π6。
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
2024-2025学年度上学期期中考试高二数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（ ）A ．250B ．200C ．180D ．1502.黑龙江省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中男生人数少于女生人数D ．样本中选择物理学科的人数较多3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的数是偶数”，事件B 为“第二次取到的数是奇数”，则（ ）A.B.C.D.4. 给出下列说法中错误的是（ ）A. 回归直线恒过样本点的中心B. 两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1C. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变D. 在回归直线方程中，当变量x 增加一个单位时，平均减少0.5个单位5. 现有4道填空题，学生张三对其中3道题有思路，1道题思路不清晰．有思路的题做对的概率为，思路不清晰的题做对的概率为，张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题的概率为（ ）,,A B C 2:2:6n C n ()P B A =52451651258ˆˆˆy bx a =+()x y ||r ˆ20.5yx =-ˆy 3414A.B.C.D.6. .随机变量X 的分布列如表所示，若E(X)=，则D （3X ﹣2）＝（ ）X ﹣101PabA ．9B ．5C ．D ．37．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（ ）A ．估计该年级学生成绩的众数约为75B ．C ．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.508．箱中有标号为1，2，3，4，5，6，7，8且大小相同的8个球，从箱中一次摸出3个球，记下号码并放回，如果三球号码之积能被10整除，则获奖.若有2人参加摸奖，则恰好有2人获奖的概率是（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题（每小题6分，共18分）9．有一散点图如图所示，在5个（x ，y ）数据中去掉D （3，10）后，下列说法中正确的是（ ）A ．相关系数r 变小 B ．残差平方和变小C ．决定系数R 2变小D ．解释变量x 与响应变量y 的相关性变强10．下列命题正确的是（ ）A ．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6B ．设随机变量，若，则的最大值为43C ．对于随机事件A ，B ，若，，，则A 与B 相互独立D ．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本581814340.05a =81784813929491849()6,X B p ~()2E X ≤()D X ()()P AB P A =∣()0P A >()0P B >平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为12011．甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有多张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A ”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件与不互斥B ．C ．D ．三、填空题（每小题5分，共15分）12．若X 服从正态分布N （10，σ2），且P （X ≤8）＝P （X ≥20﹣t ），则t 的值为 ．13．在的展开式中，的系数为14．已知袋子中有a 个红球和b 个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是 .①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n 次后，摸到红球的次数X 的方差为④从中不放回摸个球，摸到红球的个数X 的概率是四、解答题（共计77分）15．(13分)已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为．(1)求n 和a 的值；(2)求展开式中项的系数(3)求的展开式中的常数项．16. (15分)共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车,,A B C M N B M N ()()||P N MP MN =()3136P M N =()23P M N ⋃=()()()()2391111x x x x ++++++++ 3x aa b+()()()11a a a b a b -++-naa b+()n n a ≤()C C C k n ka bn a bP X k -+==21nax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1-4x -22112nx ax x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：日期（天）12345用户（人）1322455568模型①的残差值模型②的残差值(1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；(2)求出（1）中所选模型的回归方程．（参考公式：，，参考数据：，）17．(15分)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在(10,12]内的概率；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望和方差；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用P (k )表示这10名学y bx a =+y a =+x y 1.1- 2.8- 1.2- 1.9-0.40.3 5.4- 3.2- 1.6- 3.81221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑ˆˆay bx =-52155ii x==∑51752i i i x y ==∑生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率，其中k =0，1，2，…，10．当P (k )最大时，写出k 的值．（写出证明）18．(17分)如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，（i ）求平面PDM 与平面BDM 的余弦值；（ii ）在线段上是否存在点Q ，使得点Q 到平面的的值；若不存在，说明理由．19．(17分)某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是34,35，通过第二轮比赛的概率分别是45,23，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.(1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为X ，求X 的分布列；(2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是13,23，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率.P ABCD -PDC ⊥,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥11,2AB CD AD M ===PC //BM PAD 1PC PD ==PA BDM PQ。
全国中学生数理化竞赛试题
（数学部分）第一部分解题技能竞赛大纲第二部分解题技能竞赛试题样题第三部分数学建模论文示范论文首届全国中学生数理化学科能力竞赛化学学科笔试部分竞赛大纲（2013年试验稿）为了提高广大青少年走进科学、热爱科学的兴趣，培养和发现创新型人才，团中央中国青少年发展服务中心、全国“青少年走进科学世界”科普活动指导委员会办公室共同举办首届“全国中学生数理化学科能力竞赛”（以下简称“竞赛”）。
竞赛由北京师范大学《高中数理化》杂志社承办。
为保证竞赛活动公平、公正、有序地进行，现将数学学科笔试部分竞赛大纲颁布如下：1 命题指导思想和要求根据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，着重考查学生的基础知识、基本能力、科学素养和运用所学知识分析问题、解决问题力及创新能力。
命题吸收各地高考和中考的成功经验，以能力测试为主导，体现新课程标准对能力的要求，注意数学知识中蕴涵的丰富的思维素材，强调知识点间的内在联系；注重考查数学的通法通则，注重考查数学思想和方法。
激发学生学科学的兴趣，培养实事求是的科学态度和创新能力，促进新课程标准提出的“知识与技能”、“过程与方法”、“情感与价值观”三维目标的落实。
总体难度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原则。
并提出以下三个层面上的命题要求：1）从宏观上看：注意对知识点和能力点的全面考查，注意对数学基本能力（空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力）的考查，注意对数学思想和方法方面的考查，注意考查通则通法。
2）从中观上看：注意各个主要知识块的重点考查，注意对主要数学思维方法的考查。
3）从微观上看：注意每个题目的基础性（知识点）、技能性（能力点）、能力性（五大基本能力为主）和思想性（四种思想为主），注意考查大的知识块中的重点内容（如：代数中的函数的单调性、奇偶性、周期性），注意从各个知识点之间的交汇命题，注意每个题目的通则通法使用的同时也适度引进必要的特技，注意题目编拟中一些题目的结构特征对思路形成的影响。
四川省遂宁中学校高新校区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
四川省遂宁中学校高新校区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ） A ．88分B ．84分C ．85分D ．90分2．已知点1,3A （），5,7B （），则线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为（ ） A ．250x y +-= B ．80x y +-= C ．230x y ++=D ．60x y ++=3．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2GN MG =，现用向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 表示向量OG u u u r，设OG =u u u r x y OA +u u u r OB z +u u u rOC u u u r ，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．111,,333x y z ===B ．111,,336x y z ===C ．111,,366x y z ===D ．111,,633x y z ===4．已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．(][),11,-∞-+∞U B ．[]1, 1-C ．[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．设A ，B 为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A ．若A ，B 是对立事件，则()1P AB =B ．若A ，B 是互斥事件，11(),()32P A P B ==，则1()6P A B +=C ．若11(),()32P A P B ==，且1()3P AB =，则A ，B 是独立事件D ．若A ，B 是独立事件，12(),()33P A P B ==，则1()9P AB =6．已知直线1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，则“2a =”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知EF 是棱长为8的正方体的一条体对角线，点M 在正方体表面上运动，则ME MF ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．48-B ．32-C ．16-D ．08．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ⊥，结合上述）A B CD ．5二、多选题9．直线l 经过点()3,2-，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（ ） A ．320x y += B ．230x y += C ．50x y --=D ．10x y +-=10．下列命题中，正确的是（ ）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-r，()4,0,2b =-r ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-r，平面α的法向是()6,4,1m =-u r ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-r ，()3,4,2v =-r，则αβ⊥ D ．直线l 的方向向量()0,1,1d =r ，平面α的法向量()1,0,1n =r，则直线l 与平面α所成角的大小为π311．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，O 、P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则（ ）A ．OM AP ⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值三、填空题12．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为:5:3k .已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为人.13．已知()2,5M ，()2,4N -，动点P 在直线:230l x y -+=上.则PM PN +的最小值为. 14．已知15个数1x ，2x ，…，15x 的平均数为6，方差为9，现从中剔除1x ，2x ，3x ，4x ，5x 这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数6x ，7x ，…，15x 的方差．四、解答题15．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取100名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 40,50 ，第2组 50,60 ，第3组 60,70 ，第4组[)70,80，第5组 80,90 ，第6组 90,100 ，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)已知学生成绩评定等级有A 、B 两个等级，其中成绩不小于60分时为A 级，若从第1组和第3组两组学生中，按照分层抽样方法抽取6人，再从这6随机抽取2人，求所抽取的2人中两人成绩均为A 级的概率． 16．根据下列条件，求直线的一般方程： (1)过点(2,1)且与直线230x y +=平行的直线方程；(2)若()()()0,,,,1135,3A B C ，BAC ∠的角平分线所在直线方程. 17．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是111,,324，答对第二题的概率分别是112,,233.(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；(2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.18．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//EF AD BC AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求二面角F BM E --的正弦值．19．在空间直角坐标系Oxyz 中，过点()000,,P x y z 且以(),,u a b c =r为方向向量的直线方程可表示为()0000x x y y z z abc a b c---==≠，过点()000,,P x y z 且以(),,u a b c =r 为法向量的平面方程可表示为000ax by cz ax by cz ++=++． (1)若直线()11:12x l y z -==--与()21:142y z l x ---==都在平面α内，求平面α的方程； (2)在三棱柱111ABC A B C -中，点C 与坐标原点O 重合，点A 在平面Oxz 内，平面ABC 以()1,1,3m =--u r为法向量，平面11ABB A 的方程为38x y z +-=，求点A 的坐标；(3)若集合(){},,2M x y z x y z =++=中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．。
浙南名校联盟2024-2025学年高二上学期返校联考数学试卷+答案
绝密★考试结束前2024学年第一学期浙南名校联盟返校联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{}101,2A x x By y=<<=>，则A B = （ ） A ．1,12B ．1,2+∞C ．()0,+∞D ．10,22．“21x >”是“1x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若直线a 不平行于平面α，且a α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与a 是异面直线 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一一条直线与a 平行 D ．α内所有直线与a 都相交4．已知关于x 的函数()ln y x a =−在[]1,2上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．2a <C ．1a >D ．2a >5．已知点()3,1P 是角α终边上的一点，则cos2α的值为（ ） A ．35B ．45C ．35−D ．45−6．已知1,2a b a b ==+=a 在b上的投影向量为（ ）AB ．C ．34bD ．34b −7．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A ．甲：平均数为3，中位数为2B ．乙：中位数为3，众数为2C ．丙：平均数为2，方差为2.4D ．丁：中位数为3，方差为2.88．设函数()()1(0)f x x ωϕω=+−>，若对于任意实数(),f x ϕ在区间π3π,44上至少有2个零点，至多3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．8,53B ．[)4,5C ．204,3D ．820,33二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．下列选项中说法正确的是（ ） A ．必然事件和不可能事件相互独立B ．若数据12,,,n x x x 的方差20s =，则所有的()1,2,,i x i n = 都相同C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与,A B 互斥不能同时成立D ．数据12,,,n x x x 的方差是2x s ，数据12,,,n y y y 的方差是2y s ，若21n n y x =+，则2221yx s s =+ 10．已知,,a b c R ∈，且2223a b c ++=，以下说法正确的是（ ） A ．,,a b c 中至少有一个不大于1B ．3ab bc ca ++≤C ．max ()2ac bc +=D ．若0a b c ++=，则c ≤11．已知平行六面体1111ABCD A B C D −的棱长均为1，1160,,DAB A AB A AD E F ∠=∠=∠=°分别是棱11B C 和11C D 的中点，P 是1AC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．1A C =B ．若112AP PC =，则1A P ∥面EFC C ．若13AP PC =，则1AC ⊥面EFPD ．若M 是线段1A D 的中点，N 是线段EF 上的动点，则MP PN +非选择题部分三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知2(1i)1z =+−，则复数z 在复平面内对应的点位于第____________象限．13．甲乙丙三位同学之间相互踢建子．假设他们相互间传递建子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，建子仍回到甲处的概率为____________．14．已知函数()f x x =−，若对于(){}(),21,2,,i y y y f x x i n ∀∈=≥= ∣，不等式高二数学112024n in i yy −=≥∑恒成立，则正整数n 的最小值为____________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤）15．（本题满分13分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos B c b A =− （1）求角B 的大小；（2）若1cb ，求ABC △的面积．16．（本题满分15分）已知函数()()22f x x xax b =++的图像关于直线1x =对称．（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的最小值．17．（本题满分15分）今年6月我校进行了一次数学竞赛选拔考试．从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如下图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级．若从成绩在[]80,100的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率．18．（本题满分17分）如图，三棱锥,90,,,P ABC C AC BC E F −∠=°=分别是,AB BC 的中点，且4,3P ABC PEF V S −==△．（1）求点B 到平面PEF 的距离；（2）若面PEF ⊥面ABC ，求平面PAC 与平面PEF 夹角的余弦值．19．（本题满分17分）已知正实数集{}12,,,n A a a a = ，定义：{}2,iji j Aa aa a A =∈称为A 的平方集．记()n A 为集合A 中的元素个数．（1）若{}1,2,3,4A =，求集合2A 和()2n A ；（2）若()22016n A=，求min()n A ；（3）求证：()()221n An A ≥−，并指出取等条件．2024学年第一学期浙南名校联盟返校联考高二年级数学学科参考答案命题：温州第二高级中学 章筱玮审稿：永嘉中学 陈献娟一、单项选择题：1．C 2．B 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．B 二、多项选择题：9．ABC 10．ABD 11．ACD三、填空题：12．二 13．1414．3037四、解答题：15．解：（1）方法一bcos B c A =−sin sin sin cos A B C B A =− ()sin sin sin cos A B A B B A =+−sin sin cos cos sin sin cos A B B A B A B A =+−得：tan B =π6B ∴=方法二：222sin 2b c a B c b bc+−=−⋅得222sin B c a b =+−即cos B B =得：tan B =π6B ∴=（2）由余弦定理得：2132a a +−． 得：2320a a −+=1a ∴=或2a =s ∴或s =．方法二：由正弦定理：1sin30=°sin C ∴π3C ∴=或2π3C =s ∴或s = 16．解：（1）方法一：()()2f x f x =−，代入展开得()()()4324328624124328416x ax bx x a x a b x a b x a b ++=−++++−+++++， 由等式恒成立，则862401243208416a ab a b a b a b =−− ++=−−− =++ ，解得44a b =− = ．方法二：()()221(1)(1)1f x x x a x b +=+++++()()()4324353241x a x a b x a b x a b +++++++++++因为()1f x +为偶函数，则404320a a b += ++=解得44a b =−= ．方法三：()()()()0213f f f f =−=得44a b =−=（2）()()()22244[2]f x xxx x x =−+=−设()2t x x =−，则2(1)11tx =−−≥− 20y t ∴=≥∴函数()f x 取得最小值为0当且仅当0x =或2x =的时候取到． 17．（1）73（2）第5组[)80,90的人数为：500.008104××=人， 第6组[]90,100的人数为：500.006103××=人， 则从中任取2人，共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况共15种情况；∴至少1人成绩优秀的概率155217p ==． 18．（1）由44P ABC P EFB V V −−==，解得：1P EFB V −=由13P EFB B EFPEFP B V V S h −−==⋅ ，解得：1B h = 所以，点B 到平面PEF 的距离为1． （2）解法一：（几何法）由PEF ABCPEF ABC EF BC EF BC ABC⊥ = ⊥ ⊂ 面面面面面，BC ⇒⊥面PEF ．结合第1问，可得：1BF =．由,AC EF EF PEF AC AC PEF⊂⇒ ⊄∥面∥面面PEF 记面PEF 面PAC l =，由 ,,AC PEF PEF PAC l AC l EF AC l AC PAC=⇒⇒⊂ ∥面面面∥∥面 作,PM EF PN AC ⊥⊥，则,PM l PN l ⊥⊥．可知：MPN ∠是平面PAC 与平面PEF 所成的一个平面角．在RT PMN △中，解得：6,1,PM MN PN ===cos PM MPN PN ∠=． 所以，平面PAC 与平面PEF． （2）解法二：（向量法）如图，建立空间直角坐标系．()()()0,,6,1,2,0,1,0,0P a A C −−． 设面PAC 的法向量为(),,n x y z =．由00n AC n PC ⋅= ⋅=，解得：()6,0,1n =−易得，平面PEF 的法向量()1,0,0m =．由cos cos,n m θ==所以，平面PAC 与平面PEF． 19．（1）{}21,2,3,4,6,8,9,12,16A =（多写或少写扣1分）()29n A =（2）()22016n A= ，要使得()n A 最小，就得使i a 和ja 全都互质，∴当A 中所有元素互质的时候，()()()()()()()22122n A n A n A n A n A n A ⋅−+=+= 即()()220162n A n A +=解得：()63n A =就是所求的最小值． （3）当1n =时，()()221n A n A ≥−取等号当2n =时，()()221n An A ≥−取等号当3n ≥时不妨令12n a a a <<< ，则有22222112223311n n n n a a a a a a a a a a a −−<<<<<<<<其中2222222112223311,,,,,,,,n n n n a a a a a a a a a a a A A −−∈∴ 中元素的个数为()21n A −个，即()()221n An A ≥−当且仅当2221322415321,,,n n n a a a a a a a a a a a −−==== ，此时()2n A 中只有()21n A −个元素．（或指出{}na 为等比数列）。
首届全国中学生数理化学科能力竞赛数学学科模拟题(高二)
６ １ ２＿ ３ ＋ … ＋ ２ ． 十 ｝ ㈣
Ａ Ｃ ２； ６；
） ．
二 、 空 题 ：每 题 ９分 。 ５ 填 （ 共 ４分 ）
７ 对 于 函数 （ ） ． 一 ｎ ＋ ６ 存 在 一 个 正 数 ｂ 使 得 Ｔ！ ｚ， ， ｆ（ 的 定 义 域 和 值 域 相 同 ， 非 零 实 数 ｎ 的 值 为 ｚ） 则
● 特策 别划
８ 集 合 Ｘ 中 的 元 素 是 正 整 数 ， 有 性 质 ： ３∈ Ｘ ， ． 且 若 ２ 则 １ 一 ｚ∈ ｘ ， 样 的 集 合 ｘ 共 有 — ２ 这
ｃ ｏｓ（ ４ｚ ＋ ）一
— —
—
个．
９ 已 知 实 数 ｚ， 满 足 （ ｚ＋ ） ． ３ 十 十 ４ ＋ 一 ０ 则 ，
７ ａ一 一 ４ ． ． １ ． ２ １ ．
８ ６ ． ３个 ． ９ １ ． ．
１ ． 一 √２ ０ ．
＿ ６
３７ ’
１ ．２￣３． ２ ／
１ 锐 ， 至 ． 为 角 要 圭 设 一
一
√ ｓｉ ｎ ａ — ｃ ） ａ ｒ （Ｓ
， 百 ： ， 一 Ｆ
） ．
≥ ｚ ．； ≥ ） ＇
数 列 ｛ ， ６ 的 值 ． ６ ）求 ｚ
，
ｓｎ ｌ 叶 一 ｏｓ ａ ｃ
则 ．． ， 的 大 小 顺 序 为 （ ． ｒ ｙ
将 拒 谏 则 英 雄散 ， 不从 则 谋 士 叛． 一 策
黄石 公
● 特策 别划
首 届 全 国 中 学 生 数 理 化 学 科 能 力 竞 赛 数 学 学 科 模 拟 题 （ 二 ） 考 答 案 高 参
１ Ａ． ． ２． Ｄ． ３． Ａ ． ４． Ｂ． ５． Ｃ ． ６． Ｄ ．
首届全国中学生数学学科能力解题技能竞赛(高二样卷)
② 函 数 ｆ（２ ａ 与 ｆ（ ３一 ） ． ａ一 ．）的 图 象 关 于 轴 ２ ２
对称 ；
③ 函 数 厂（ ） － 与 （ ＋ １ ｚ ）的 值 域 一 定 相 等 ， 定 但
一
、
选 择 题 （ 小 题 ｓ分 ， ３ 分 ） 每 共 ０
义域 不 同 ； ④ 互 反 函 数 的 ２个 函 数 的 图 象 若 有 交 点 ， 交 则 点 不 一 定 在 直 线 —ｚ上 ； ⑤ 若 函 数 ＿（ 存 在 反 函 数 ， 在 其 定 义 域 内 一 厂 ｚ） 则 定 单 调 其 中 正 确 命 题 的题 号 是
为 （
Ａ
） ．
； Ｂ ；
（ 若Ｂ Ｑ且 ≠ｏ 证： Ａ ２ — ， ， 詈∈ ． ） 求
ｃ
；
＋～ 而
Ｄ 焦
６
６ 函 数 ｙ ＝ 甬 ． ＝ ＝ Ａ ２√５ ；
Ｃ ￣１ ； ／７
的最 小 值 是 （ Ｂ ２√ ６；
Ｄ ￣ ２ ／６
） 。
特别策划
Ｓ Ｎ－ ～ ｘ＋ ３ｌ ｚ— ｎ 有 ３个 不 相 等 的 实 数 ｚ — 根， 则
．
一
１． 知直 线 ｚ １已 的 方 向 向 量 是 口＝ （ １ ＋ ） 直 线 ＝ 一 ， ＝ ，
ｚ的 是ｍ一 －Ｉ 线ｚ 是 。 号・ 。 斜率 ｎ－， ｓ ・ ￣ 直 斜率 一ｎ ＋ 其
４ 不 等 式 ＿ 。 、 千
Ａ ｚ≥ ２；
Ｃ １＜ ｚ＜ ８；
＞ １一 ｌｇ ｚ 的 解 是 （ ｏ。
Ｂ
Ｄ
＿ １； ｚ＞
＿ ｚ＞ ２
５ 棱 长 为 ２４－ 正 四 面 体 内 切 一 球 ， 后 在 它 ４个 顶 ． ；的 然 点 的 空 隙 处 各 放 入 １个 小 球 ， 这 些 小 球 的 最 大 半 径 则
【数学竞赛】2018高二数学基础学科知识竞赛--文数答案
解析 连接 ( 由( 点 ) 为& # + ! # + & )3) ' 知 + 的中点 又1& 由' ' 为圆+ 的直径 2& (# ( ' (3槡 ( & ( 知 ( & '3 ' " 0 $ 从而 ( 2%& ( + 为等边三角形 )#& +! (分 点 在圆 所在平面上的正投影为点 1 * + ) 又( 2* )#平面 & ' ( )&平面 & ' ( 2* )# ( ) &分 又* )'& +3) 2 ( )#平面 * & '! '分 记点 ) 到平面* ! ' ( 的距离为, 由 可知 ( # )3槡 ( * )3) '3 ( # # # # # (槡 ( 分 2 -*%' $' * )3 ) ') (* )3 5 5 ( 5槡 (5 ( 3 ! + ) (3 ) ( ( % ( ! ( ! !
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2024-2025学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二(上)起点数学试卷+答案解析
2024-2025学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二（上）起点数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为()A.1：1B.3：2C.：3D.4：2.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则()A.A与B互斥B.B与C互为对立C.A与B相互独立D.A与C相互独立3.下列说法中正确的是()A.若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行B.已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面4.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示，则()A.B.C.D.5.已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为()A. B. C. D.6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则()A.，B.，C.，D.，7.在平面四边形ABCD中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为()A. B. C. D.8.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为()A.1B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
江苏南京六校2024年高二10月联合调研数学试题+答案
2024-2025学年第一学期10月六校联合调研试题高二数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()12i 34i z +=−，则z =（ ）C.3D.52.设a 为实数，已知直线()12:320,:6340l ax yl x a y +−=+−+=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A.6 B.3− C.6或3− D.6−或33.已知焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的焦距为6，则实数m 等于（ ）A.34B.214C.12D.12−4.已知cos πsin 4αα=−πtan 4α +=（ ）A.3−D.35.设直线20x ay ++=与圆22:(2)16C x y +−=相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，则a =（ ）A. B.1−6.已知M 为直线:2310l x y ++=上的动点，点P 满足()2,4MP=− ，则点P 的轨迹方程为（ ）A.3290x y −+=B.2249(2)(4)13x y −++= C.2390x y ++=D.2249(2)(4)13x y ++−= 7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，118,2AB A B ==，图1中水面高度恰好为棱台高度的12，图2中水面高度为棱台高度的23，若图1和图2中纯净水的体积分别为12,V V ，则12V V =（ ）A.23 B.65 C.287208D.387208 8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,P x y 作该椭圆的切线，切线方程为00221x x y y a b +=.”设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 且垂直于x 轴的直线与C 的一个交点为M ，过M 作椭圆的切线l ，若切线l 的斜率1k 与直线AM 的斜率2k 满足1220k k +=，则椭圆C 的离心率为（ ）A.1323 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9..赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（ ）A.0.025a =B.高一年级抽测成绩的众数为75C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分10.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A.若α∥,m β∥,n αβ⊥，则m n ⊥ B.若α∥,,m n βαβ⊂⊂，则m ∥nC.若,m n α⊥∥,m β∥n ，则αβ⊥D.若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥11.已知圆C ：22(2)4x y −+=，以下四个命题表述正确的是（ ） A.若圆221080x y x y m +−−+=与圆C 恰有3条公切线，则16m =B.圆2220x y y ++=与圆C 的公共弦所在直线为20x y +=C.直线()()2132530m x m y m +++−−=与圆C 恒有两个公共点 D.点P 为y 轴上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，且,A B 的中点为M ，若定点()5,3N ，则MN 的最大值为6三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为__________.13.已知P 为椭圆22:194x y C +=上的点，()1,0A ，则线段PA 长度的最小值为__________.14.已知()()()0,2,1,0,,0A B C t ，点D 是直线AC 上的动点，若AD 恒成立，则正整数t 的最小值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin2sin b A a B =. （1）求角A ；（2）若a ABC =，求ABC 的周长. 16.（本小题满分15分）如图，圆柱1OO 中，PA 是一条母线，AB 是底面一条直径，C 是 AB 的中点.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若24PA AB ==，求二面角A PB C −−的余弦值.17.（本小题满分15分）某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有,A B 两道题目，比赛按先A 题后B 题的答题顺序各答1次，答对A 题得2分，答对B 题得3分，答错得0分.已知学生甲答对A 题的概率为p ，答对B 题的概率为q ，其中01,01p q <<<<，学生乙答对A 题的概率为34，答对B 题的概率为23，且甲乙各自在答,A B 两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为13，得3分的概率为16. （1）求,p q 的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.18.（本小题满分17分）已知圆M 过点()3,3A ，圆心M 在直线250x y +−=上，且直线250x y −+=与圆M 相切. （1）求圆M 的方程；（2）过点()0,2D −的直线l 交圆M 于,A B 两点.若A 为线段DB 的中点，求直线l 的方程.19.（本小题满分17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为121,2A A ､分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，126A F =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P Q ､两点（P Q ､在x 轴的两侧），记直线12,A P A P ，21,A Q AQ 的斜率分别为1234,,,k k k k .（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，问直线PQ 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.2024-2025学年第一学期10月六校联合调研参考答案及评分标准高二数学一､单项选择题1.B2.A3.C4.B5.C6.C7.D8.C二.多项选择题9.ABD 10.AC 11.BCD三､填空题12.25四､解答题15.解：（1）因为sin2sin b A a B =，所以2sin cos sin b A A a B =. 根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B A A A B =， 因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 2A =. 又()0,πA ∈，所以π3A =.（2）在ABC 中，由已知1sin 62ABC S A bc bc ==∴= ，因为π,3A a ==由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即721()222b c bc bc =+−−⋅， 即27()3b c bc =+−，又0,0b c >>所以5b c +=.所以ABC 的周长周长为5+. 16.解：（1）证明：因为PA 是一条母线，所以PA ⊥平面ABC ， 而BC ⊂平面,ABC 则,PA BC ⊥因为AB 是底面一条直径，C 是 AB 的中点，所以90ACB ∠=，即AC BC ⊥，又,PA AC ⊂平面PAC 且PA AC A ∩=，所以BC ⊥平面PAC ，而BC ⊂平面PBC ，则平面PAC ⊥平面PBC . （2）设24PA AB ==，则PB =因为C 是 AB 的中点，O 为底面圆心，所以CO ⊥平面PAB ， 作OE PB ⊥，交PB 于点E 连接CE ，由,OE PB CE PB ⊥⊥可知，CEO ∠是二面角A PB C −−的平面角. 则PB OE PA BO ⋅=⋅，即OE=，在直角COE中，CE =.所以2cos 3CEO∠=. 故二面角A PB C −−的余弦值为23. 17.解：（1）由题意得()13116pq p q = −=，解得21,32p q==. （2）比赛结束后，甲､乙个人得分可能为0,2,3,5.记甲得分为i 分的事件为()0,2,3,5i C i =，乙得分为i 分的事件为()0,2,3,5i D i =，,i i C D 相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E ，则355355E C D C D C D =++，且355355,,C D C D C D 彼此互斥. 易得()31,6P C =. ()()()35532113211,,4363432P D P C P D =−×===×= ，所以()()()()()355355355355P E P C D C D C D P C D P C D P C D =++=++1111111162363236=×+×+×=所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为1136. 18.解：（1）法1：（待定系数法） 设圆M 的方程为222()()x a y b r −+−=，因为圆M 过点()3,3A ，所以222(3)(3)a b r −+−=①，又因为圆心M 在直线250x y +−=上，所以250a b +−=②，直线250x y −+=与圆M 相切，得到r由①②③解得：2,1,a b r ===M 的方程为22(2)(1) 5.x y −+−=法2：（几何性质）因为直线250x y +−=与直线250x y −+=垂直， 又因为圆心M 在直线250x y +−=上，联立方程250250x y x y +−= −+=，解得13x y == 设两直线的交点为()1,3B ，由圆的几何性质，点()1,3B 在圆上，且为直线与圆的切点，又因为圆M 过点()3,3A ，且所以圆心M 在直线2x =上，又圆心M 也在直线250x y +−=上， 联立方程2250x x y = +−=，解得21x y = = ，故圆心()2,1M ，所以半径r AM ==M 的方程为22(2)(1)5x y −+−=（2）设(),A x y ，因为A 为线段BD 的中点，所以()2,22B x y +，因为,A B 在圆M 上，所以2222(2)(1)5(22)(21)5x y x y −+−= −++=，解得00x y = = 或24131613x y ==−当()0,0A 时，直线l 的方程为0x =； 当2416,1313A−时，故直线l 的方程为5212y x =−，即512240x y −−=. 综上，直线l 的方程为0x =或512240x y −−=. 19.解：（1）由于椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，故12c a =，又126A F a c =+=，所以2224,2,12a c b a c ===−=， 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）（i ）设l 与x 轴交点为D ，由于直线l 交椭圆C 于P Q ､两点（P Q ､在x 轴的两侧），故直线l 的的斜率不为0，直线l 的方程为x my t =+， 联立2211612x my t x y =++=，则()2223463480t y mty m +++−=， 则()22Δ4812160,t m =−+> 设()()1122,,,P x y Q x y ，则21212226348,3434mt m y y y y t t −−+==++， 又()()124,0,4,0,A A −故122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===−+−−−，（ii ）由（i ）得123434QA QA k k k k ==−. 因为()142353k k k k +=+，则()()232323232333535,44343k k k k k k k k k k +−−=+−⋅=+. 又直线l 交与x 轴不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =−，即229.20PA QA k k =−所以()()121212129,2094404420y y y y ty m ty m x x ⋅=−++−+−=−−， 于是()()()221212920949(4)0,t y y t m y y m ++−++−=()()222223486920949(4)03434m mtt t m m t t −−+⋅+−⋅+−=++ 整理得2340m m −−=，解得1m =−或4m =，因为P Q ､在x 轴的两侧，所以21223480,4434m y y m t −=<−<<+， 又1m =−时，直线l 与椭圆C 有两个不同交点， 因此1m =−，直线l 恒过点()1,0D −.。
高二数学上学期学科竞赛试题
延边长第一高级中学2021-2021学年高二数学上学期学科竞赛试题时间是：120分钟 分值：150分 一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．命题:(1,),23x p x ∀∈+∞> ，那么p ⌝ 是〔 〕 A.(1,),23x x ∀∈+∞ B.(,1],23x x ∀∈-∞ C.00(1,),23x x ∃∈+∞ D.00(,1],23x x ∃∈-∞2．23:,522:≥=+q p ,那么以下判断中，错误的选项是 〔 〕A ．p 或者q 为真，非q 为假B ． p 或者q 为真，非p 为真C ．p 且q 为假，非p 为假D ． p 且q 为假，p 或者q 为真 3．“x y =〞是“||||x y =〞的〔 〕条件 A ．充要 B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要4. 过椭圆2241x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，那么A 与B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长为〔 〕A. 2B. 4C. 8D. 5．m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于以下四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m β，n βαβ⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒③αβ，m α⊂，n m n β⊂⇒ ④m α∥，n mn α⊂⇒其中，真命题的个数有〔 〕A.0个B.1个C.2个D.3个6．()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，那么动点P 的轨迹是〔 〕 A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为〔 〕A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8. 圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的间隔 最小值是〔 〕 A ． 2 B ．21+ C ．12- D ．221+9．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，假设1230F F P ∠=，那么椭圆的离心率为〔 〕 A ．22B ．13C ．12D ．3310．不管m 取任何实数，直线()0121:=++--m y x m l 恒过一定点，那么该定点的坐标 是〔 〕A ．()3,2B ．()3,2-C ．()0,2-D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1 11．中国古代数学经典?九章算术?系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，假设鳖臑P ADE -的体积为1，那么阳马P ABCD -的外接球的外表积等于〔 〕A ．17πB ．18πC ．19πD ．20π 12.椭圆C 的焦点为121,0,0F F -()，(1)，过2F 的直线与C 交于,A B 222AF F B =,1AB BF =，那么椭圆C 的方程为〔 〕A ．22143x y +=B ．22541x y +=C ．2212x y +=D ．22132x y +=二、填空题〔一共计20分〕13．求过点〔2，3〕且在x 轴和y 轴截距相等的直线的方程 ． 14. 双曲线224640x y -+=上的一点P 到它的一个焦点的间隔 等于1，那么点P 到另一个焦点的间隔 为_______15. 四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：____ ______时，SC 平面EBD .16．给出以下命题，①命题“假设5a b +≠，那么2a ≠或者3b ≠〞为真命题； ②命题“假设1x =，那么20x x -=〞的否命题为真命题； ③假设平面α上不一共线的三个点到平面β间隔 相等，那么αβ；④假设α，β是两个不重合的平面，直线l α⊂，命题:p l β，命题:q αβ，那么p是q 的必要不充分条件；⑤平面α过正方体1111D C B A ABCD -的三个顶点1,,B D A ，且α与底面1111A B C D 的交线为l ，那么l ∥11B D 。
高二数学上学期学科竞赛试题 理
卜人入州八九几市潮王学校八高中二零二零—二零二壹上学期高二年级学科竞赛语数(理)外〔总分值是：150分答题时间是：80分钟〕数学局部〔1-8题，5分/题，9题10分，一共50分〕1.假设p:1sin ,≤∈∀x R x ，那么〔〕A 、1sin ,:≥∈∀⌝x R x pB 、1sin ,:>∈∀⌝x R x pC 、1sin ,:≥∈∃⌝x R x pD 、1sin ,:>∈∃⌝x R x p2.集合A={1，a}，B={1,2,3}，那么“a=3〞是“B A ⊆〞的〔〕条件3.焦点在y 轴上的椭圆1222=+y m x 的离心率为0.5，那么m=〔〕 A.1B.23C.3D.38 1422=+y x 一共焦点且过点P 〔2,1〕的双曲线方程是〔〕 A.1422=-y x B.1222=-y x C.13322=-y x D.1222=-y x 5.向量c b a c b k a ⊥-===)32(),1,2(),4,1(),3,(，那么实数k 的值是〔〕A.-B.0C.3D.6.在长方体1111D C B A ABCD -中,AB=BC=2,1AA 1BC 与平面D D BB 11所成角的正弦值() A.23B.25C.510D.1010 1422=-y x 有一共同的渐近线，且过点〔2,2〕的双曲线的HY 方程是___________ l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A,B 两点AB 为C 的实轴长的2倍，那么C 的离心率为____________1111D C B A ABCD 中，求证：平面BD A 1//平面11B CD。
(解析版)2021年湖南省长沙市长郡中学高二基础学科知识竞赛数学试题
2021年“炎德英才杯”高二基础学科知识竞赛数学时量：120分钟满分：150分得分：__________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设复数1i z =-（i 为虚数单位），则2z z +=（ ）ABC ．10D ．22．已知集合{}(2)(2)0A x x a x a =+++-<，{}B x x a =≥，且A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞3．设非零向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b =，若()9a a b ⋅-=，则b =（ ） ABC ．2D4．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已打局数为ξ，则()5p ξ≥=（ ） A ．320729B ．64729C ．2681D ．16815．若曲线1ln y x =+的一条切线是y kx b =+，则4e bk +的最小值是（ ） A ．2B．C ．4D．6．已知x ，y ∈R ，则“22194x y +≤”是“132x y +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式1122Td d q l λλλ∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中玻璃的热传导系数31410λ-=⨯焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数42 2.510λ-=⨯焦耳/（厘米·度），T ∆为室内外温度差，q 值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是（ ）A ．A 型B ．B 型C ．C 型D ．D 型8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 上，记双曲线C 过一、三象限的渐近线的倾斜角为α，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为2α，且290OMF ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．1C 1D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ，2n ≥），以下判断正确的有（ ）A ．存在*n ∈N ，2n ≥，展开式中有常数项 B ．对任意*n ∈N ，2n ≥，展开式中没有常数项 C ．对任意*n ∈N ，2n ≥，展开式中没有x 的一次项 D ．存在*n ∈N ，2n ≥，展开式中有x 的一次项10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．侧棱）A ．正四棱锥的底面边长近似为3米BC ．正四棱锥的侧面积近似为平方米D ．正四棱锥的体积近似为 11．已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，给出下列四个结论中正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是以2π为周期的周期函数 C ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()f x 在[]0,2π上有4个零点12．已知直线2y x =-+分别交函数e xy =和ln y x =的图象于点()11,A x y ，()22,B x y ，则下列结论正确的是（ ） A ．122x x += B ．1112x << C ．12e e2e xx +>D ．1221ln ln 0x x x x +<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆O ：221x y +=经过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F ，且经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C C 的方程为________． 14．已知α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos tan 1sin αβα=+，则2αβ+=________． 15．若存在常数a ，b ，使得函数()f x 的定义域内的任意x 值，均有()()f x f a x b +-=，则称函数()f x 为“准奇函数”．请写出一个2a =，1b =的“准奇函数”（填写解析式）：________．16．如图所示，已知圆柱12O O 的轴截面ABCD 是边长为球O 在圆柱12O O 内，且与圆柱12O O 的上、下底面均相切．则球O 的表面积为________；若P 为圆柱下底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 截球O 所得截面的周长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且满足()2cos cos b a C c A -=． （1）求角C 的大小；（2）已知4c =，5a b +=，求ABC △的边AB 上的高h ． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==．（1）若数列{}n b 为等比数列，且公比0q >，且1232b b b +=，1n n n b a a +=-，()*n ∈N ，求q 与{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，其前n 项和为n S ，且513S b =，()*12n n n n a bn a b ++=∈N ， 证明：1232n a a a +++<．()*n ∈N 19．（本小题满分12分）试在①PC BD ⊥，②PC AB ⊥，③PA PC =，三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO ⊥面ABCD 成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题： 如图，在四棱锥P ABCD -中，AC BD O =，底面ABCD 是边长为2的菱形，若________，且60ABC ∠=︒，异面直线PB 与CD 所成的角为60︒，求二面角A PB C --的余弦值．20．（本小题满分12分）2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部长肖亚庆先生提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x （亿元）与科技升级直接纯收益y （亿元）的数据统计如下：当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：ˆ 4.111.8y x =+；模型②：ˆ14.4y =；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为ˆ0.7yx a =-+． （1）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R 的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型．（附：刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1ni i i nii y yR y y ==-=--∑∑ 4.1≈）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，应用（1）的结论，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数关系：ˆˆa y bx =-） （3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X 大幅提高，经实际试验得X 大致服从正态分布()20.52,0.01N ．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元．记Y 为每部芯片获得的奖励，求()E Y （精确到0.01）． （附：若随机变量()()~,?0X N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=）21．（本小题满分12分） 已知函数()()2331e 2xf x x ax =--．其中实数()0,a ∈+∞． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当12a ≥时，证明：关于x 的方程()233322f x ax x +=-有唯一实数解．22．（本小题满分12分）已知拋物线C ：22y px =，（0p >）的焦点为F ，O 为坐标原点，E 为拋物线上一点，4EF OF =且EFO S △（1）求拋物线C 的方程；（2）设直线l ：240x y -+=交y 轴于点B ，直线1l 过点()2,1A 且与直线l 平行，动直线2l 过点()2,1A 与拋物线C 相交于P ，Q 两点，直线PB ，QB 分别交直线1l 于点M ，N ，证明：AM AN =．2021年“炎德英才杯”高二基础学科知识竞赛数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．A 【解析】1i z =-，()()221i 1i 2i 1i 13i z z +=-+-=-+-=-，所以213i z z +=-==A ．另解：211i 2i z z z z +=+=--=2．A 【解析】因为{}22A x a x a =--<<-+，{}B x x a =≥，又A B ，所以2a a ≤--，解得1a ≤-．故选A ． 3．B 【解析】由已知2a b =，1cos ,2a b =． 所以()2222439a a b a a b b b b ⋅-=-⋅=-==，得3b =．故选B ．4．D 【解析】依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215339⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有()529P ξ==，()452049981P ξ==⨯=，()24166981P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()165681P P ξξ∴≥===．故选D ． 5．C 【解析】设切点为(),ln 1m m +，()0m >，()1f x x '=，()1f m m'=， 故切线方程为()()1ln 1y m x m m -+=-，即1ln y x m m=+，所以1k m =，ln b m =，44e 4bk m m +=+≥=．故选C ． 6．B 【解析】若132x y +≤，则13x ≤，12y≤，所以293x x ≤，242y y ≤． 所以2219432x y x y+≤+≤，即必要性成立；当2x =，1y =时，22212519436+=<，但2171326+=>，所以充分性不成立，所以“22194x y +≤”是“132x y+≤”的必要不充分条件，故选B ．7．D 【解析】331314241041041016222 2.510T T Tq l d l l d d d λλλ----⨯⨯∆⨯⨯∆∆===⨯+⎛⎫++ ⎪⨯⎝⎭， 固定T ∆，可知162l d +最大时，q 最小，保温效果最好， 对于A 型玻璃，16216320.448.8l d +=⨯+⨯=， 对于B 型玻璃，16216420.364.6l d +=⨯+⨯=， 对于C 型玻璃，16216320.549l d +=⨯+⨯=， 对于D 型玻璃，16216420.464.8l d +=⨯+⨯=， 经过比较可知，D 型玻璃保温效果最好．故选D ．8．C 【解析】由题意，延长2F M 交直线tan 02y x παα⎛⎫=⋅<<⎪⎝⎭于点P ，则由角平分线的性质可得M 为2PF 的中点，2OP OF c ==，易得(),P a b ，则,22a c b M +⎛⎫⎪⎝⎭，因为点M 在双曲线上，所以122MF MF a -=，将点M 的坐标代入双曲线C ：22221x y a b-=中， 则2222221a c b a b+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，解得1c e a ==．故选C ． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．AD 【解析】因为二项式()3*1n x n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 展开式的通项()3411C C n rrr r r nr nn T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，不妨令4n =，则1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误；令3n =，则1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 错误，D 正确．故选AD ．10．BD 【解析】如图，在正四棱锥S ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，则SAO ∠为侧棱与底面所成角，且tan SAO ∠=．设底面边长为2a ．所以OA =，tan 3OS OA SAO =⋅∠=．在Rt SAO △中，)2221⎫+=⎪⎪⎝⎭，所以3a =，正四棱锥的底面边长为6米，高为1642S =⨯⨯=2163V =⨯=BD ．11．ABD 【解析】因为()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 对于A ，1cos 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()[]cos 20,16f x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，A 正确；对于B ，因为()cos 2cos 2cos 222666f x x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯++=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以函数()f x 的周期为2π，B 正确； 对于C ，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()cos 2cos 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，C 错误； 对于D ，当[]0,2x π∈时，252,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得2()62x k k πππ+=+∈Z ，可得()62k x k ππ=+∈Z ，分别令0k =、1、2、3，可得6x π=、23π、76π、53π， 所以，函数()f x 在[]0,2π上有4个零点，D 正确．故选ABD ．12．ACD 【解析】函数e x y =与ln y x =互为反函数，则e xy =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1x =，1y =，由直线2y x =-+分别与函数e x y =和ln y x =的图象交于点()11,A x y ，()22,B x y ，作出函数图像：则()11,A x y ，()22,B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，将2y x =-+与e xy =联立可得2e xx -+=，即e 20xx +-=． 设()e 2xf x x =+-，且函数为单调递增函数，因为()010210f =+-=-<，1122113e 2e 0222f ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，故B 错误； 对于C，12e e 2e xx+≥===，因为12x x ≠，即等号不成立，所以12e e 2e xx +>，故C 正确；由122x x +=，1102x <<，则212x <<，1221122122211ln ln ln ln ln ln x x x x x x x x x x x x +=-<-()122ln 0x x x =-<，故D 正确；故选ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2212x y += 【解析】因为圆O ：221x y +=经过椭圆C 的右焦点2F ，所以1c =，则221a b =+，且过点2F 作圆O 的切线被椭圆C ⎛ ⎝⎭在椭圆上，即2211112b b +=+，所以21b =，22a =，故椭圆C 的方程为2212x y +=． 14．2π 【解析】由题意cos sin tan 1sin cos αββαβ==+，所以cos cos sin sin sin αββαβ=+， ()sin cos cos sin sin cos βαβαβαβ=-=+，因为α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，所以()cos 0αβ+>，所以0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()2πβαβ++=，即22παβ+=．15．()12(1)x f x x +=-；()()1sin 12f x x =+-（答案不唯一） 【解析】由()()f x f a x b +-=，知“准奇函数”()f x 的图象关于点,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭对称，若2a =，1b =，即()f x 图像关于点11,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，如1y x =向右平移1个单位，向上平移12个单位，得到()()1112121x f x x x +=+=--，故其图象就关于点11,2⎛⎫⎪⎝⎭对称．16．8π；5【解析】如图，设球的半径为r ，则2AB BC r ===r =所以球O 的表面积为248S r ππ==；作2OH O P ⊥于H ，因为12OO ⊥圆柱的底面，所以12OOAB ⊥，因为P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，所以AP BP =，又2O 为AB 中点，所以2O P AB ⊥，又1222OO PO O ⋂=，所以AB ⊥平面12O O P ，所以AB OH ⊥，又2OH O P ⊥且22AB PO O ⋂=，所以OH ⊥平面ABP ，因为122OO r ==1O P 121OO O P ⊥，所以2O P ===1122sin 5O P O O P O P ∠===，所以212sin 55OH OO O O P =⨯∠==． 平面PAB 与球O的交线为一个圆，其半径2r ===圆周长为222l r ππ===． 四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．【解析】（1）因为()2cos cos b a C c A -=， 由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B A C C A -=， 即()2sin cos sin sin B C A C B =+=， 因为()0,B π∈，所以1sin 0cos 2B C ≠⇒=， 又()0,A π∈，所以3C π=． （2）由已知4c =，5a b +=，由余弦定理得()22222cos 316c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以()21633a b ab ab +-=⇒=．于是得ABC △的面积11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab Ch c===. 18．【解析】（1）依题意11b =，2b q =，23b q =，而1232b b b +=，即22q q +=， 由于0q >，所以解得2q =，所以12n n b -=.所以()1*12n n n n a a b n -+-==∈N ． 所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1211121221212n n n a ----=++++=+=-．（2）依题意设数列{}n b 公差为d ，因为513S b =得11545122b d b d ⨯+=+，又11b =求得2d =， 所以()1121n b b n d n =+-=-． 由12n n n n a b a b ++=，所以111n n n n a ba b --+=（2n ≥，*n ∈N ）， 故131232211122114113n n n n n n n n n n n a a a b b b a b b a a a a a a a b b b b b ------+-=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ 12113112n n n n b b b b b b ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 所以1212231131111113131222n n n n a a a b b b b b b b ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 即1232n a a a +++<，*n ∈N . 19．【解析】若选②：由PO ⊥平面ABCD ，又PC AB ⊥，所以AB ⊥面PAC ，所以AB AC ⊥，所以90BAC ∠=︒，BC BA >， 这与底面ABCD 为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③． 下面证明：PO ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．因为PC BD ⊥，PC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面APC ． 又因为PO ⊂平面APC ，所以BD PO ⊥． 因为PA PC =，O 为AC 中点，所以PO AC ⊥． 又AC BD O ⋂=，所以PO ⊥平面ABCD ．因为PO ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OP 的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系O xyz -，因为AB CD ，所以PBA ∠为异面直线PB 与CD 所成的角，所以60PBA ∠=︒．在菱形ABCD 中，2AB =，因为60ABC ∠=︒，所以1OA =，OB = 设PO a =，则PAPB =在PBA △中，由余弦定理得：2222cos PA BA BP BA BP PBA =+-⋅⋅∠，所以22114322a a +=++-⨯，解得a = 所以()0,1,0A -，)B，()0,1,0C，(P ．设()1111,,n x y z =为平面ABP 的法向量，()3,1,0AB =，(AP =， 由110,0n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得11110,0,y y +=+=⎪⎩令11z =得()12,n =．设()2222,,n x y z =为平面CBP 的法向量，()3,1,0CB =-，(0,CP =-，由220,0n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：22220,0,y y -==⎪⎩令21z =得：()22,n =．设二面角A PB C --的平面角为θ， 所以12121cos 3n n n n θ⋅==，所以二面角A PB C --的余弦值为13．20．【解析】（1）由表格中的数据，182.479.2>，所以()()772211182.479.2iii i y y y y ==>--∑∑，所以()()772211182.479.211iit t y y y y ==-<---∑∑．可见模型①的相关指数21R小于模型②的相关指数22R ．所以回归模型②的拟合效果更好．（2）由（1）回归模型②的拟合效果更好，其回归方程为ˆ14.4y=， 所以当17x =亿元时，科技升级直接收益的预测值为ˆ21.314.4y=≈21.3 4.114.472.93⨯-=（亿元）． 当17x >时，由已知可得2122232425235x ++++==．68.56867.5666667.25y ++++==．所以0.767.20.72383.3a y x =+=+⨯=．所以当17x >时，y 与x 满足的线性回归方程为ˆ0.783.3yx =-+． 当20x =时，科技升级直接收益的预测值为ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=亿元． 当20x =亿元时，实际收益的预测值为69.3574.3+=亿元72.93>亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大． （3）因为20.50μσ-=，0.53μσ+=，所以()()0.500.532P X P X μσμσ<≤=-<≤+()()2P X P X μσμσμσμσ=-<≤-+-<≤+0.95450.68270.68270.81862-=+=；()()10.68270.532P X P X μσ->=>+=．所以()10.6827020.81864 2.2718 2.272E Y -=+⨯+⨯=≈（元）． 21．【解析】（1）依题意，()()3e 33e x xf x x ax x a '=-=-，当1a =时，当x ∈R ，()0f x '≥，函数()f x 单调递增．当01a <<时，ln 0a <时，当(,ln )x a ∈-∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()ln ,0x a ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减()0,x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 当1a >时，ln 0a >时，当(),0x ∈-∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增．（2）依题意，()32331e 302xx x ax -+-+=，即()32111e 032x x x ax -+-+=， 令()()32111e 32xg x x x ax =-+-+，则()()2e 2e 2x x g x x x ax x x a '=+-=+-； 当12a =时，()()2e e 1x xg x x x x x x '=+-=+-， 当0x ≥时，e 1110x x x +-≥+-≥，所以()()e 10xg x x x '=+-≥，当0x <时，所以0e 1x <<，e 10x -<，e 10x x +-<，即()()e 10xg x x x '=+->， 综上()()e 10xg x x x '=+-≥，故函数()g x 在R 上单调递增；因为()10102g =-+<，()1103g =>，故12a =时，()f x 恰有1个零点； 当12a >时，令()e 2xh x x a =+-，则()h x 在R 上单调递增， 因为()0120h a =-<，()e ah a a =-，令()e 10ah a '=->，得12a >时，()h a 单调递增， 所以()102h a h ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以()e 0ah a a =->，故存在唯一实数()10,x a ∈，使得()10h x =，即()10g x '=，故()g x 在(),0-∞上单调递增， 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增，因为()()110102g x g <=-+<， ()()()()()3233111331e 3331e 0322a a g a a a a a a =-+⋅-⋅+=-+>，故当12a >时，函数()g x 恰有1个零点；综上所述，当12a ≥时，关于x 的方程()233322f x ax x +=-有唯一实数解．22．【解析】（1）拋物线C 的方程为22y px =，（0p >），设()00,E x y ，因为42EF OF p ==，由拋物线定义022p x p +=，即032x p =．所以0y =，又由EFO S =△122p⨯=2p =（2p =-舍去）， 所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）证明：直线l ：240x y -+=，令0x =，得4y =，所以点()0,4B ．因为直线1l 平行于直线l ：240x y -+=且过点()2,1A ，所以直线1l ：230x y --=． 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，直线2l ：()21x t y -=-， 联立()2214x t y y x⎧-=-⎨=⎩消去x 得24480y ty t -+-=，则()21620t t ∆=-+>．由根与系数关系得124y y t +=，1248y y t ⋅=-，易得直线PB ：1144y y x x -=+，直线QB ：2244y y x x -=+．联立1144,230,y y x x x y -⎧=+⎪⎨⎪--=⎩解得()()11111727242182M ty t x x x y t y t +-==-+-+-， 同理可得()()22722182N ty t x t y t+-=-+-，所以()()()()12127272 21822182M N ty t ty t x x t y t t y t +-+-+=+-+--+- ()()()()()()()()()()()()1212221212221822122282721218282t t y y t t t t y y t t t y y t t y y t -⋅+-+--++--⎡⎤⎣⎦=⨯-⋅+--++-2244842t t t t -+==-+．． 因为2A x =，所以2M N A x x x +=，即A 是MN 的中点，所以AM AN =．。
湖南省炎德英才杯2024_2025学年高二数学下学期基础学科知识竞赛试题
湖南省炎德英才杯2024-2025学年高二数学下学期基础学科学问竞赛试题时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知命题p ：∀x>0，ln(x ＋1)>0，则命题p 的否定是 A.∀x>0，ln(x ＋1)≤0 B.∀x ≤0，ln(x ＋1)>>0 C.∃x 0>0，ln(x 0＋1)>0 D.∃x 0>0，ln(x 0＋1)≤02.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{t ∈Z|t ＝2x ＋1，x ∈A}，则A ∩B ＝ A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}3.已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 2a 6＝4a 52，则公比q ＝ A.12B.22C.2D.24.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，c ＝λa ＋µb ，若a ⊥c ，则下列结论正确的是Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝0 5.(2x 2＋1x)5的绽开式中，x 4的系数是 A160 B.80 C.50 D.10 6.已知cos(α－4π)sin(34π－α)＝33，α∈(3,24ππ)，则sin2α＝A.2313- B.2313- C.313- D.313+ 7.唐朝闻名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为A.(0，＋∞) 8.巳知实数a ，b 满意ab>0，则2a aa b a b-++的最大值为A.2B.2C.3－D.3＋二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
2019-2020学年吉林省长白山第一高级中学高二上学期学科竞赛数学试卷
2019-2020学年吉林省长白山第一高级中学高二上学期学科竞赛数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每题5分，共60分）1．命题:(1,),23xp x ∀∈+∞> ，则p ⌝ 是（ ）A.(1,),23xx ∀∈+∞… B.(,1],23xx ∀∈-∞… C.00(1,),23xx ∃∈+∞… D.00(,1],23xx ∃∈-∞…2．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ）A ．p 或q 为真，非q 为假B ． p 或q 为真，非p 为真C ．p 且q 为假，非p 为假D ． p 且q 为假，p 或q 为真 3．“x y =”是“||||x y =”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要4. 过椭圆2241x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m β，n βαβ⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒③αβ，m α⊂，n m n β⊂⇒ ④m α∥，n mn α⊂⇒其中，真命题的个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个6．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8. 圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最小值是（ ） A ． 2 B ．21+ C ．12- D ．221+9．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．13C ．12D ．310．不论m 取任何实数，直线()0121:=++--m y x m l 恒过一定点，则该定点的坐标 是（ ）A ．()3,2B ．()3,2-C ．()0,2-D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1 11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的体积为1，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（ ）A ．17πB ．18πC ．19πD ．20π12.已知椭圆C 的焦点为121,0,0F F -()，(1)，过2F 的直线与C 交于,A B 两点.若222AF F B =,1AB BF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22541x y +=C ．2212x y +=D ．22132x y +=二、填空题（共计20分）13．求过点（2，3）且在x 轴和y 轴截距相等的直线的方程 ． 14. 双曲线224640x y -+=上的一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离为_______15. 四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：____ ______时，SC 平面EBD .16．给出以下命题，①命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”为真命题； ②命题“若1x =，则20x x -=”的否命题为真命题； ③若平面α上不共线的三个点到平面β距离相等，则αβ；④若α，β是两个不重合的平面，直线l α⊂，命题:p l β，命题:q αβ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤平面α过正方体1111D C B A ABCD -的三个顶点1,,B D A ，且α与底面1111A B C D 的交线为l ，则l ∥11B D 。
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高二数学上学期学科竞赛试题
时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每题5分,共60分）
1．命题:(1,),23x
p x ∀∈+∞> ,则p ⌝ 是（ ）
A.(1,),2
3x
x ∀∈+∞ B.(,1],2
3x
x ∀∈-∞ C.0
0(1,),2
3x x ∃∈+∞
D.0
0(,1],2
3x x ∃∈-∞
2．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中,错误的是 （ ）
A ．p 或q 为真,非q 为假
B ． p 或q 为真,非p 为真
C ．p 且q 为假,非p 为假
D ． p 且q 为假,p 或q 为真 3．“x y =”是“||||x y =”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要
C ．必要不充分
D ．既不充分也不必要
4. 过椭圆2
2
41x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点,则A 与B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 22
5．已知m ,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,对于下列四个命题： ①m α⊂,n ⊂α,m β,n βα
β⇒ ②n m ∥,n m αα⊂⇒
③α
β,m α⊂,n m n β⊂⇒ ④m α∥,n m
n α⊂⇒
其中,真命题的个数有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
6．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=,则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线
B ．双曲线右支
C ．双曲线
D ．双曲线左支
7．在正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为（ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
8. 圆：01222
2
=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最小值是（ ） A ． 2 B ．21+ C ．12- D ．221+
9．过椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为其右焦点,若
1230F F P ∠=,则椭圆的离心率为（ ）
A ．
2
2
B ．13
C ．12
D ．
3
3
10．不论m 取任何实数,直线()0121:=++--m y x m l 恒过一定点,则该定点的坐标 是（ ）
A ．()3,2
B ．()3,2-
C ．()0,2-
D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
21,1 11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知PA ⊥平面ABCE ,四边形ABCD 为正方形,2AD =,1ED =,若鳖臑P ADE -的体积为1,则阳马P ABCD -的外接球的表面
积等于（ ）
A ．17π
B ．18π
C ．19π
D ．20π
12.已知椭圆C 的焦点为121,0,0F F -()，(1),过2F 的直线与C 交于,A B 两点.若
222AF F B =,1AB BF =,则椭圆C 的方程为（ ）
A ．22143x y +=
B ．2254
1x y +=
C ．2
212x y +=
D ．22132
x y +=
二、填空题（共计20分）
13．求过点（2,3）且在x 轴和y 轴截距相等的直线的方程 ．
14. 双曲线2
2
4640x y -+=上的一点P 到它的一个焦点的距离等于1,那么点P 到另一个焦点的距离为_______
15. 四棱锥S ABCD -中, 底面ABCD 为平行四边形,E 是SA 上一点,当点E 满足条件：____ ______时,SC
平面EBD .
16．给出以下命题,
①命题“若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”为真命题； ②命题“若1x =,则20x x -=”的否命题为真命题； ③若平面α上不共线的三个点到平面β距离相等,则αβ； ④若α,β是两个不重合的平面,直线l α⊂,命题:p l β,命题:q α
β,则p 是q 的必要
不充分条件；
⑤平面α过正方体1111D C B A ABCD -的三个顶点1,,B D A ,且α与底面1111A B C D 的交线为
l ,
则l ∥11B D .
其中,真命题的序号是 三、解答题（共70分）
17．（共10分）求下列双曲线的实轴和虚轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标渐进线方程.
（1）2
2
416x y -= （2）2
2
981y x -=
18．（共12分）已知
1:123
x p --≤,()22:2100q x x m m -+-≤>,若p ⌝是q ⌝的充分而
不必要条件,求实数m 的取值范围．
19．（共12分）如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,,,,E F G H 分别是1111,,C ,BC CC D A A 的中点.求证：
（1）求证：EG ∥平面11BB D D ；
（2）求异面直线BF 与1HB 所成角的余弦值.
20. （共12分）已知双曲线C 和椭圆22
141
x y +=有公共的焦点,且离心率为3. （1）求双曲线C 的方程.
（2）经过点()2,1M 作直线l 交双曲线C 于A , B 两点,且M 为AB 的中点,求直线l 的方程.
21．（共12分）如图, ABCD 是正方形,O 是正方形的中心, PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.2,2PO AB ==
求证：
（1）PA ∥平面BDE ； （2）平面PAC ⊥平面BDE ； （3）求二面角E BD A --的大小.
22. （共12分） 已知在平面直角坐标系xOy 中,动点P 与两定点
(2,0),(2,0)A B -连线的斜率之积为1
2-
,记点P 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）若过点(1,0)-的直线l 与曲线C 交于,M N 两点,曲线C 上是否存在点E 使得四边形
OMEN 为平行四边形？若存在,求直线l 的方程,若不存在,说明理由.
高二数学答案
1.C
2.C
3.B
4.B
5.A
6.A
7.C
8.C
9.D 10.B 11.A 12.D 13.
3
50
2
y x x y =+-=或 14. 17 15.E 为中点 16.①④⑤ 17.
3
(1)831
2
x
±±±实轴长，虚轴长4，离心率，焦点坐标（2，0），
顶点坐标（4，0），渐近线方程y=
22
(2)8623
3x
±±±实轴长1，虚轴长6，离心率，焦点坐标（0，），
顶点坐标（0，9），渐近线方程y=
18．3m ≤
19.（1）取BD 的中点O,连接EO 、D 1O,则OE ∥1D C ,OE ＝
112
D C ．又D 1G ∥DC,D 1G ＝1
2DC,∴OE
∥D 1G,OE ＝D 1G,∴四边形OEGD 1是平行四边形,∴GE ∥D 1O ．又D 1O ⊂平面BB 1D 1D,∴EG ∥平面BB 1D 1D ． （2）
20.(1)
2
2
1
2
y x -= (2)47y x =-
21.(1),(2)证明略（3）34
π
22. 解：（1）设P （x ,y ）,有PA k ·PB k =-12得2y x +·2y
x -=-12得2242
x y +
=1（x ≠±2）∴C 的方程为22
42
x y +
=1（x ≠±2） （2）假设存在符合条件的点E （00x y ，）由题意知直线l 的斜率不为零设直线l 的方程为
x =my 2点M 坐标为（11x y ，）、点N 坐标为（22x y ，）由22
1
24
x my x y =-⎧⎨+=⎩得：（2m +2）
2y -2my -3=0,△>0∴1y +2222
m y m =
+则121(x x m y +=+2
)2y -=-24
2m +由四边形OMEN 为平行四边形,得OE OM ON =+∴E （-224222m
m m -++，）
点E 坐标代入C 方程得：4220m m +==0,解得20m =∴此时直线l 的方程为1x =-,但
2x ≠±,所以不存在.。