高等代数第一章ppt课件
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高等代数课件ppt1.2
仍为数域 P上的多项式．
f ( x) g( x) 0
2) f ( x ), g ( x ) P [ x ]
① ( f ( x ) g ( x )) m ax( ( f ( x )), g ( x ))) ② 若 f ( x ) 0, g ( x ) 0, 则 f ( x ) g ( x ) 0, 且
个非负整数，形式表达式
a n x a n1 x
n n1
a1 x a 0
其中 a 0 , a 1 , a n
P,
称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 等表示．
§1.2 一元多项式
注： 多项式
①
ai x
i
f ( x ) a n x a n1 x
加法： 若 n m , 在 g ( x ) 中令
bn bn 1 bm 1 0
则
f ( x) g( x)
n
( a i bi ) x i . bi ) x i
减法： f ( x ) g ( x )
§1.2 一元多项式
i0 n
(a
i0
i
乘法：
f ( x ) g ( x ) a n bm x
n m
( a n bm 1 a n 1bm ) x
n m 1
( a 1 b 0 a o b1 ) x a 0 b) x
i
s1 i j s
注:
f ( x)g( x)
( f ( x ) g ( x )) ( f ( x )) ( g ( x ))
高等代数第一讲代数系统PPT课件
带余除法; 带余除法;
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
高等代数课件
a21 a31 a22 a32 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
★三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系
a11 xb1 当三元一次方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 的系数行列式 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
0 c d 0 根据行列式的定义计算: 例1 根据行列式的定义计算 0 e f 0 g 0 0 h
1 + a1 2 + a1 3 + a1 计算行列式: 例2 计算行列式 1 + a2 2 + a2 3 + a2 1 + a3 2 + a3 3 + a3
0 1 1L1 1 0 1L1 计算n阶行列式 阶行列式: 例3 计算 阶行列式 1 1 0 L 1 LLLLL 1 1 1L0
1.2 排列
一. 基本概念
排列: 个数码 个数码1,2,…,n的一个排列是指由这 个数码 的一个排列是指由这n个数码 1. 排列 n个数码 的一个排列是指由这 组成的一个有序组. 个数码的不同排列共有 个数码的不同排列共有n!个 组成的一个有序组 n个数码的不同排列共有 个. 反序数: 在一个排列里, 2. 反序数 在一个排列里 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序 反序. 小的数的前面 则称这两数构成一个反序 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列213的反 反序数. 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列 的反 序数是1, 而排列231的反序数是 的反序数是2. 序数是 而排列 的反序数是 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶 数 3. 奇排列, 偶排列 如果一排列的反序数是奇 偶)数, 则 称这个排列为奇 偶 排列 例如213是奇排列 231是偶排 排列. 是奇排列, 称这个排列为奇(偶)排列 例如 是奇排列 是偶排 列. 对换: 把一个排列中的数码i和 的位置互换 的位置互换, 4. 对换 把一个排列中的数码 和j的位置互换 而其它数 码的位置保持不变则得到一个新的排列. 码的位置保持不变则得到一个新的排列 对排列进行的这 对换, 符号(i, 表示 表示. 样一种变换称为一个对换 样一种变换称为一个对换 并用符号 j)表示
★三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系
a11 xb1 当三元一次方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 的系数行列式 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
0 c d 0 根据行列式的定义计算: 例1 根据行列式的定义计算 0 e f 0 g 0 0 h
1 + a1 2 + a1 3 + a1 计算行列式: 例2 计算行列式 1 + a2 2 + a2 3 + a2 1 + a3 2 + a3 3 + a3
0 1 1L1 1 0 1L1 计算n阶行列式 阶行列式: 例3 计算 阶行列式 1 1 0 L 1 LLLLL 1 1 1L0
1.2 排列
一. 基本概念
排列: 个数码 个数码1,2,…,n的一个排列是指由这 个数码 的一个排列是指由这n个数码 1. 排列 n个数码 的一个排列是指由这 组成的一个有序组. 个数码的不同排列共有 个数码的不同排列共有n!个 组成的一个有序组 n个数码的不同排列共有 个. 反序数: 在一个排列里, 2. 反序数 在一个排列里 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序 反序. 小的数的前面 则称这两数构成一个反序 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列213的反 反序数. 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列 的反 序数是1, 而排列231的反序数是 的反序数是2. 序数是 而排列 的反序数是 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶 数 3. 奇排列, 偶排列 如果一排列的反序数是奇 偶)数, 则 称这个排列为奇 偶 排列 例如213是奇排列 231是偶排 排列. 是奇排列, 称这个排列为奇(偶)排列 例如 是奇排列 是偶排 列. 对换: 把一个排列中的数码i和 的位置互换 的位置互换, 4. 对换 把一个排列中的数码 和j的位置互换 而其它数 码的位置保持不变则得到一个新的排列. 码的位置保持不变则得到一个新的排列 对排列进行的这 对换, 符号(i, 表示 表示. 样一种变换称为一个对换 样一种变换称为一个对换 并用符号 j)表示
第一章 高等代数多项式ppt课件
定义3：若P是一个，且b≠0，有a/b ∈P，则称数集P是一个 数域。
例如：有理数集Q、实数集ppt精R选、版 复数集C都是数域。
9
多项式
§1 数环和数域
例 4 证明 Q (2 ) { a b2|a ,b Q }是一个数域。
例 5 设 P 1{ ab2|a,b Q }P 2 { ab3|a,b Q } P { a b 2 c3 d 6 |a ,b ,c ,d Q }
零多项式：系数全为0的多项式，即f (x)=0。对零多项式不
定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f (x)≠0。
首一多项式：首项系数为pp1t精的选版多项式。
13
多项式
二、多项式的运算
§2 一元多项式的定义和运算
定义4：设
f(x)anxnan1xn1 a1xa0,
g(x)bmxmbm 1xm 1 b1xb0,
34多项式因式分解定理不可约多项式的性质性质1若px是不可约多项式则只有c性质2若px是不可约多项式则对任意的多项式f性质3若px是不可约多项式且对任意两个多项式f推论1若px是不可约多项式且px35多项式设px为数域p上的次数大于零的多项式
高等代数
高等代数
Higher Algebra
湖南大学数学与计量经济学院
性质2 对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且g(x) | f (x) 那么f (x) = cg(x)和g(x) = df (x)，其中c，d为非零常数。
性质3 对任意的f (x)，g(x)，h(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且 g(x) | h(x)，那么f (x) | h(x) 。(整除的传递性)
x2 2在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域
高等代数课件PPT之第1章多项式
2.多项式的运算 设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令
f ( x ) ai x i , g( x ) b j x j
n m i 0 j 0
加法： f (x)g(x) (ai bi ) x i , 当n m 乘法：f (x)g(x) anbm x n m (anbm1 an1bm ) x n m1 a0b0
其中r(x)=0或 (r(x))< ( g(x) ).
余式
称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x) 除f (x)的余式.
（带余除法）定理证明
存在性 若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x))=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法. 当n<m时,取q(x)=0, r(x) = f (x)， 有 f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.
例1
a b 2 (a、b是有理数)的数 所有形如 Q( 2 ) . 构成一个数域
(ii)对四则运算封闭.事实上
解 (i) 0,1 Q( 2 );
, Q( 2 ),设 a b 2 , c d 2 , 有 (a c) (b d ) 2 Q( 2 ) (ac 2bd) (ad bc) 2 Q( 2 ) 设 a b 2 0，则a b 2 0且 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q( 2) 2 2 a 2b a 2b
i 0
n m s0
高等代数课件 第一章
定理1.4.2 任意 n(n 2)个整数 a1, a2 ,, an 都有最
大公因数。如果d是a1, a2 ,, an 的一个最大公因数，那 么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,, an 的两个最大公因
数至多只相差一个符号。
证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断 是明显的。
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f (A) B
② f (x1) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
而 r1 d 。这与d是 I 中的最小数的事实矛盾。这样，
必须所有 ri 0 ，即 d | ai ,1 i n 。
另一方面，如果 c Z, c | ai ,1 i n 。那么 c | (t1a1 tnan ),即c | d 。这就证明了d 是 a1, a2 ,, an的
一个最大公因数。
那么存在一对整数q和r，使得
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。
证 令 S {b ax | x Z,b ax 0。因为 a 0，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在q Z ，使得 r=b-aq 是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 r 0 。如果 r | a |，
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
11
如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
1高等代数绪论ppt课件
即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方
程的解法，我们可以解出参数a。这样原方程两边都
是完全平方式，开方后就是一个关于x的一元二次方
程，于是就可以解出原方程的根x。
很自然的,数学家们继续努力寻求五次及五次以上 的高次方程的解法。从十六世纪中叶到十九世纪初，这 个问题耗费了许多数学家的时间和精力，当时一些最杰 出的数学家（例如Euler和Lagrange）曾做过一些尝试， 但一直都没有被解决。Lagrange所做的大大地超过了其 他所谓的五次方程的解答者，他给出了三次和四次方程 存在根式解的原因，是这些方程的求解能简化为解较低 次的“预解”方程。另一方面，他发现同样的方法应用 于五次方程却导致一个六次的预解式。这就有可能有力 的暗示次数高于四次的方程一般不能用公式求解。
大学数学系的主要基础课：
数学分析、高等代数、解析几何（老三基） 泛函分析、近世代数、一般拓扑学（新三基）
大学数学系 的主要基础课
数学分析
高等代数
解析几何
泛函分析
近世代数
一般拓扑学
数学大厦的基石--
公理化方法
康托儿(1845-1918) 出生于俄国的德国
数学家.创立了现代 集合论,作为实数理 论和微积分理论体
高等代数
任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
辅导答疑：星期五（双周5,6）
北大精品课件高等代数(上)
第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。
如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。
例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。
命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。
证明 设K 为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。
于是K aaK a a ∈=∈-=10，。
进而∈∀m Z 0>,K m ∈+⋯⋯++=111。
最后，∈∀n m ,Z 0>，K n m ∈，K nmn m ∈-=-0。
这就证明了Q ⊆K 。
证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ⋂；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ⋃；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。
定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。
如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f →如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。
数学高等代数课件1-1
正整数集 N∗ 的任意一个非空子集 S 必含有一个最小数, 也就是
.这样一个数 a ∈ S, 对于任意 c ∈ S 都有 a ≤ c.
刘贵贤
2018 年 9 月 17 日
.
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天津城建大学数学系
7 / 15
预备知识
.
数 . 学归纳法原理
设有一个与正整数 n 有关的命题. 如果 (1) 当 n = 1 时, 命题成立; (2) 假设 n = k 时命题成立, 则 n = k + 1 时命题也成立; 那. 么这个命题对于一切正整数 n 都成立. .
20 世纪 30 年代, 范德瓦登写的《近世代数》, 给出了这门
课的一个基本框架. 代数主要研究代数系统 (带运算的集
合)—群、环、域.
刘贵贤
2018 年 9 月 17 日
.
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.
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天津城建大学数学系
3 / 15
预备知识
.
重 . 要性
需要学习两个学期, 数学三大基础课之一 — 数学分析、高等代 数. 、解析几何, 考研必考课. .
.
i=1
1. ∑n ai = ∑n ak = ∑ ai, 其中 S = {1, 2, · · · , n}
i=1
k=1
i∈S
2. ∑n ai + ∑n bi = ∑n (ai + bi),
i=1
i=1
i=1
刘贵贤
2018 年 9 月 17 日
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天津城建大学数学系
5 / 15
预备知识
.
求 . 和号
刘贵贤
.这样一个数 a ∈ S, 对于任意 c ∈ S 都有 a ≤ c.
刘贵贤
2018 年 9 月 17 日
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预备知识
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数 . 学归纳法原理
设有一个与正整数 n 有关的命题. 如果 (1) 当 n = 1 时, 命题成立; (2) 假设 n = k 时命题成立, 则 n = k + 1 时命题也成立; 那. 么这个命题对于一切正整数 n 都成立. .
20 世纪 30 年代, 范德瓦登写的《近世代数》, 给出了这门
课的一个基本框架. 代数主要研究代数系统 (带运算的集
合)—群、环、域.
刘贵贤
2018 年 9 月 17 日
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重 . 要性
需要学习两个学期, 数学三大基础课之一 — 数学分析、高等代 数. 、解析几何, 考研必考课. .
.
i=1
1. ∑n ai = ∑n ak = ∑ ai, 其中 S = {1, 2, · · · , n}
i=1
k=1
i∈S
2. ∑n ai + ∑n bi = ∑n (ai + bi),
i=1
i=1
i=1
刘贵贤
2018 年 9 月 17 日
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预备知识
.
求 . 和号
刘贵贤
数学高等代数第五版精品PPT课件
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
高等代数【北大版】17PPT课件
h (i) 0 ,i 1 ,2 ,, n 1 ,
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P
高等代数课件
1 2 C C ( x) x 6 x 100 9
内容小结
总成本函数
C C ( x) C0 C1 ( x)
x
平均成本函数 C C ( x) C ( x) 销售收入函数
作业
P50 17；18
R R(q) pq
销售利润函数 L L(q) R(q) C (q) 供需均衡函数 Q S
V0
V0 h 2 r
所以圆柱形封闭罐头盒表面积为：
S S V0 2 2r r
2
(r 0)
二、经济方面函数关系式
（1）在生产过程中，产品的总成本 C为产量 q的单调 增加函数，记作
C C (q) C1 C2 (q)
求该商品的均衡价格p0。 解： 由供需均衡条件Q=S，可得
2 1 20.3 p 2.7 p 3 3
因此可得均衡价格为p0=23。
例5 某产品总成本C万元为年产量 qt 的函数，
C C (q) a bq
2
其中a，b为代定常数.已知固定成本为400万元，且当 年产量 q 100t 时，总成本C=1000万元.试将平均单 位成本 C 万元/t表示为年产量 qt 的函数. 解： C (0) a
2 108 x 2 2 x V V ( x) x h 4x 1 3 3 27 x x (m ) 4 2 108 x 因 h0 即 0 得 0 x6 3
4x
例3 欲做一个容积为 V0 的圆柱形封闭罐头盒，试将 圆柱形封闭罐头盒表面积 S 表示为底半径 r 的函数. 解： r 2 h
产品销售价格p元/kg，它与日产量 xkg 的关系为 1 p p( x) 46 x 3 试将每日产品全部销售后获得的总利润L表示为日产 量 xkg 的函数. 解：总收益 R R( x) xp( x) x(46 1 x) 1 x 2 46 x 3 3 1 2 总成本 C C ( x) x 6 x 100 9 1 2 1 2 总利润 L L( x) R( x) C ( x) ( x 46 x) ( x 6 x 100) 3 9 4 2 x 40 x 100(元) 9 因 x 0, p 0 0 x 138
高等代数 北大三版 第一章ppt课件
解、方程的根的情况 2 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。
多
x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就
项 有根。等等。
式
高 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 等 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 代 这样的限制。 数 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减
形式表达式。
1
后来又把多项式定义为R上的函数：
fxa 0a 1 x L a nxn
多
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中
当 d0 2cQ，也矛盾）。于是
d
多 项 式
c a d b2 2c a d b2 2c c d d2 2a 1b 1 2,a 1,b 1 Q
高 问题：8、一个数域必包含哪两个元素？
等
9、最小的数域是什么？
代 定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。
数 证明：设F是一个数域，则 aF,a0.
数 环，这是最小的数环，称为零环。
问题：3、一个数环是否一定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的
1
数环？
例2：证明 Z ia b ia ,b Z ,i2 1是一个数环。
多 问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环
项
有没有其他简单的方法？
式
高
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充
则称S是一个数环。
例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 1 C都是数环。
问题：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？
多
2、有没有最小的数环？
项
例1：设a是一个确定的整数。令 SnanZ
式
高 则S是一个数环。 等 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。
高等代数ppt课件北大版第一章多项式.ppt
q1( x) c1 p1( x), c1 0 (1)两边消去 q1( x), 即得
p2( x) ps ( x) c11q2( x) qt ( x)
由归纳假设有 s 1 t 1, s t.
§1.5 2024/9/27 因式分解定理
数学与计算科学学院
2. 标准分解式： 对 f ( x) P[x], f ( x) 1,
实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项 式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项 式的可约性的判定都是非常复杂的．
§1.5 2024/9/27 因式分解定理
数学与计算科学学院
2 设对次数低于n的多项式结论成立．
下证 f ( x) n 的情形.
若 f ( x)是不可约多项式. 结论显然成立．
若 f ( x)不是不可约多项式，则存在 f1( x), f2( x),
且 ( fi ( x)) n, i 1,2 使 f ( x) f1( x) f2( x)
由归纳假设 f1( x), f2( x)皆可分解成不可约多项式的积.
例如，若 f ( x), g( x)的标准分解式分别为
f
(
x
)
ap1r1
(
x)
p r2 2
(
x
)
g(
x
)
bp1l1
(
x)
p l2 2
(
x)
psrs ( x), ri 0 psls ( x), li 0
则有
f ( x), g( x) p11 ( x) p22 ( x) pss ( x),
i min ri ,li , i 1,2, , s
f ( x) 总可表成
f
(
x)
cp1r1
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有 a c . 其中 NM*c表示{x全体Z |正x 整 c数} N * {1,2,3, } 的集合.
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成 立. 也就是说，M c 的任意 一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
.
二、数学归纳法原理
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
.
一、 最小数原理
.
数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的 一个最基本的性质）.
注意 最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是*的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有 一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S都
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
gf
A
C
f
g
.
B
.
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
.
设A是非空集合, jA : A A，x x, 称为A上的 恒
等映射。
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯 一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就
象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.
.
二、映射的相等及像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于 每一 x，都f有fg(x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的. 记 作 f g
例 令 f : R R, x | x |, g : R R, x x 2 那么 f g .
的一个映射. 那么对于每一个 x A ，g( f (x)是) C中的
一个元素. 因此，对于每一 x ，A 就有C 中唯一的确定
的元素
g( f与(x它)) 对应，这样就得到A到C 的一个映射，
这映射是由
f :和A B g : B所决C定的，称为 f 与
g 的合成（乘积），记作 . 于g 是f 有
g f : A C; (g f )(x) g( f (x))
设 f : A B 是一个映射. 对于x A，x的象 f (x) B. 一切这样的象作成B的一个子集，用 f (A) 表示： f (a) { f (x) | x Af}( A) { f (x) x A} ， 叫做A在f 之下的象，或者叫做映射f 的象.
.
三、 映射的合成
设 f : A B 是A到B 的一个映射，g : B C是B 到C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
作业：P7 3--7.
.
1.2 映 射
一、映射的概念及例
定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个 映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A 中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y
与它对应.
用字母f，g，…表示映射. 用记号 f : A B 表示f 是A到B的一个映射.
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
.
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满足
下面两个条件: ① f ( A) B
② f (x1 ) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
数n 有关的命题. 如果 ①当n=1 时. 命题成立； ②假设当n=k 时命题成立，当n=k+1 时命题也
成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.
证 设命题不对一切正整数都成立. 令S 表示使命 题不成立的正整数所成的集合. 那么S Ø . 于是，由最 小数原理，S 中有最小数h .因为命题对于n=1 成立，所 以h 1,从而h-1 是一个正整数. 因为h是S中最小的数，所 以 h 1 S . 这就是说当n=h-1 时，命题成立. 于是由②， 当n=h时命题也成立. 因此 h S. 这就导致矛盾.
如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，
那么就写作 f : x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) . .
.
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
.
.
.
定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n 有关的命题. 如果
① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则 命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.
.
作业：P17 1，2，3.
.
1.4 整数的一些整除性质
一、内容分布 整除与带余除法 最大公因数 互素 素数的简单性质
设A，B是两个非空集合，用 jA 和 jB 表示A和B的恒 等映射. 设 f : A B 是A到B的一个映射. 显然有：
f jA f ，jB f f .
.
四 单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f ( A) B ,那 么说称f 是A到B上的一个映射，这时也称f 是一个满映
二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。
定理1.2.1 令 f : A B是集合A 到B 的一个映射. 那
么以下两个条件是等价的：
① f 是一个双射； ② 存在B到A的一个时，映. 射g是由f 唯一确 定的.
.
.
.
.
.
作业：P14 3，4，9，10.
.
1.3 数学归纳法
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成 立. 也就是说，M c 的任意 一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
.
二、数学归纳法原理
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
.
一、 最小数原理
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数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的 一个最基本的性质）.
注意 最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是*的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有 一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S都
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
gf
A
C
f
g
.
B
.
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
.
设A是非空集合, jA : A A，x x, 称为A上的 恒
等映射。
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯 一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就
象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.
.
二、映射的相等及像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于 每一 x，都f有fg(x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的. 记 作 f g
例 令 f : R R, x | x |, g : R R, x x 2 那么 f g .
的一个映射. 那么对于每一个 x A ，g( f (x)是) C中的
一个元素. 因此，对于每一 x ，A 就有C 中唯一的确定
的元素
g( f与(x它)) 对应，这样就得到A到C 的一个映射，
这映射是由
f :和A B g : B所决C定的，称为 f 与
g 的合成（乘积），记作 . 于g 是f 有
g f : A C; (g f )(x) g( f (x))
设 f : A B 是一个映射. 对于x A，x的象 f (x) B. 一切这样的象作成B的一个子集，用 f (A) 表示： f (a) { f (x) | x Af}( A) { f (x) x A} ， 叫做A在f 之下的象，或者叫做映射f 的象.
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三、 映射的合成
设 f : A B 是A到B 的一个映射，g : B C是B 到C
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作业：P7 3--7.
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1.2 映 射
一、映射的概念及例
定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个 映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A 中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y
与它对应.
用字母f，g，…表示映射. 用记号 f : A B 表示f 是A到B的一个映射.
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
.
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满足
下面两个条件: ① f ( A) B
② f (x1 ) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
数n 有关的命题. 如果 ①当n=1 时. 命题成立； ②假设当n=k 时命题成立，当n=k+1 时命题也
成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.
证 设命题不对一切正整数都成立. 令S 表示使命 题不成立的正整数所成的集合. 那么S Ø . 于是，由最 小数原理，S 中有最小数h .因为命题对于n=1 成立，所 以h 1,从而h-1 是一个正整数. 因为h是S中最小的数，所 以 h 1 S . 这就是说当n=h-1 时，命题成立. 于是由②， 当n=h时命题也成立. 因此 h S. 这就导致矛盾.
如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，
那么就写作 f : x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) . .
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注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
.
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定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n 有关的命题. 如果
① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则 命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.
.
作业：P17 1，2，3.
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1.4 整数的一些整除性质
一、内容分布 整除与带余除法 最大公因数 互素 素数的简单性质
设A，B是两个非空集合，用 jA 和 jB 表示A和B的恒 等映射. 设 f : A B 是A到B的一个映射. 显然有：
f jA f ，jB f f .
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四 单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f ( A) B ,那 么说称f 是A到B上的一个映射，这时也称f 是一个满映
二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。
定理1.2.1 令 f : A B是集合A 到B 的一个映射. 那
么以下两个条件是等价的：
① f 是一个双射； ② 存在B到A的一个时，映. 射g是由f 唯一确 定的.
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作业：P14 3，4，9，10.
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1.3 数学归纳法