柯西不等式在高中数学中的应用及推广毕业论文

柯西不等式在高中数学中的应用及推广

[摘要]本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用.同时对其在

其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.

[关键词]柯西（Cauchy ）不等式；应用函数最值；三角函数证明；不等式教学

1 引言

中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子.在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重.而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用.

2 柯西不等式的证明

本文所说的柯西不等式是指

()n i b a b a n

i i n i i n

i i i →=≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑∑∑===2,112

122

1 (1)

当且仅当

122

n i

n

a a a

b b

b

===

L 时，等号成立.

2.1 构造二次函数证明

首先 当1

2

0n a a

a ====L 或120n

b b b ====L 时，不等式显然成立.

令

22

1

1

1

,,n

n

n

i i i i i i i A B C a a b b ======∑∑∑

当

1,

2,

n

a a

a

L

中至少有一个不为零时，可知0>A ,构造二次函数()2

2

2,

f x Ax Bx C =++展开得

()()()

2

22

21120n

n

i

i i i

i

i

i i f x a x a b x b

a x

b ===++=+≥∑∑

故()f x 的判别式2

440B AC ∆=-≤,移项得2

AC B ≥,得证. 2.2 向量法证明

令

()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b αβ==u r u r

L L

则对向量αβu r u r ，有()

1,cos ≤=⋅⋅⋅βαβ

αβ

αβαρρρρρρρρ

22

2

211221

1

,,n n n n i i i i a b a b a b a b αβαβ==⋅=++==∑∑u r u r u r u r L

得

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 12122

1

当且仅当()

cos ,1αβ=u r u r ，即,αβu u r u r

平行式等号成立.

2.3 数学归纳法证明

a) 当n=1时 有()2

22

1111a b a b =，不等式成立.

b) 当n=2时

()()()2

2222112211221122

2222222222221

2

1

2

11

221221

2a b a b a b a b a b a b a

a

b

b

a b

a b a b a b

+=++++=+++

因为2222

122111222a b a b a b a b +≥，故有

()

()()2

22

2211221212a b a b a a b b +≤++

当且仅当1221a b a b =，即

12

12

a a

b b =时等号成立. c) 假设n=k 时等式不成立，即

()()()2

222

22211221212k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++L

L L

当且仅当

12

12k k

a a a

b b b ===L 时等号成立. d) 那么当n=k+1时

()112211++++++k k k k b a b a b a b a Λ

()()2

1212211112

22112++++++++++++=k k k k k k k k b a b a b a b a b a b a b a b a ΛΛ

()()()(

)()

()()

21

222

1

21

222

1

21

2123

2221

2212121

2122111122

221222212++++++++++⋅+++=++++⋅+++≤++++++++⋅+++≤k k k k

k k k k k k k k b b b

a a a

b

a b b b a a a b a b a b a b a b a b b b a a a ΛΛΛΛΛΛΛ