第二章 导热基本定律

（2-12） （2-25）
积分一次：
dt r c1 dr 再积一次：
dt c1 dr r
t c1 ln r c2
（i ）
3、定解条件
t t1
r r1
r r2 t t2
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
（2-9）
稳态、有内热源：
t 0
（2-10）
稳态、无内热源：
0
t 0
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
（2-11）
一、通过平壁的导热 （无内热源、稳态）
1 2 3 1 2 3
（2-22）
（2-23）
n层： q
t1 tn 1
1
2
3
i i 1 i
n
图2-7
q
1
1
2
2
3
3
t3 b)求界面温度 t 2 ，
1 t2 t1 q t1 qRA1 （2-24） 又 q 1 1 1
１ 、温度梯度 如图，等温面（t t ，t ， t t ） 梯度指向量变化最剧烈方向，法向方向， 则温度梯度为
gradt = t t t t n lim n i j n 0 n n x y
在空间坐标，则
t t t gradt i j k x y z
（℃）， i 1, 2, , n
若题意 定值，则以上分析结论可直接用！
（三）变导热系数 (t ) 的处理方法 dt A( x) (t ) dx 分离变量，积分：
dx A( x) (t )dt
=
x2
t2

x1
t2
t1
t1
(t )dt
t2 t1
式（a）（b）（d）（e）代入（c）并整理
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) c x y z c
式中，定义 a c
m2 / s
热扩散率（导温系数）
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) x y z c
2 、等温面、等温线
物体内同温点联成的面为等温面 平面上等温点联成的线为等温线
2-2 导热微分方程式
一、一维导热
dt q dx
积分
q t A t
，
二、多维导热
t t t 存在 ， ， ， x y z
t 在x，y，z，方向均有变化 且随时间变化， 即 t f ( x, y, z, t ) 如图：在物体内取一微元平行六面体，
（一）单层平壁的导热（ 为常数） 如图，显见：
q f (t1, t2 , , )
1、求温度分布 t t ( x)
为常数
无内热源、稳态时，式（2-8）成为（一维）
d t 0 2 x
积分两次，设 t c1 x c2 这是式（2-14）的通解，通解条件
2
（2-14）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（c） 边界条件 （b）
tw1
0
tw 2
x
t w 2 t 'w 2 试问：如图 t w1 t 'w1 ，
式（1-2）可用吗?（多维） 不能！ 因为t同时在x、y方向变化， t / x 变化（在y方向上）
y
温度场、等温线概念
t f ( x, y, z, ) （2-1） t f ( x, y, z ) （2-2）
第二章 导热基本定律 及稳态导热
§2-1 导热基本定律 §2-2 导热微分方程式及定解条件 §2-3 通过平壁和圆筒壁的导热 §2-4 通过肋片的导热
2-1 导热基本定律
一、具有一般意义的傅里叶定律
第一章中
q dt dx
2 W / m ，
（1-2）
的适用条件为一维均匀导热问题，如图
t
q
设物体各向同性。 为常数
在x、y、z方向上， 流入热流量：
t x dydz x t y dxdz y
t z dxdy z
（a）
流出热流量：
x dx t x dx x ( dydz )dx x x x
练习：§2-1， § 2-2看两遍！
（2）
2-3 通过平壁和圆筒壁的导热
复习
导热微分方程式
一般形式：
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) x y z c
（2-8）
非稳态、无内热源：
0
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) x y z
t1 t2 dt t dx
∴
t1 t2 q t ，
W / m2
（2-18） （2-19）
A t ,
W
3、导热热阻
t U q t I R
定义面积热阻：

（2-21） t1 A R ——热阻 A
例：枕木，垂直木纹方向 平行木纹方向
四、温度场
1、温度场 Temperature field
物体中任一点温度 t f ( x, y, z, ) 若 t f ( x, y, z) ，则为稳态温度场 若 t f ( x, y, z, ) ，则为非稳态温度场 平行平面间的温度场 对应 稳态导热 非稳态导热 稳态一维温度场 稳态温度场 非稳态温度场
/(m K ) （2-6）
~ t 的关系 3、
（1） 常用材料的 见附录5、6
图2-3
与 t 有关！ 为某温度下的
（2）具有线性关系 0 (1 bt ) 常用保温、隔热材料的 值见附录7
0.12W /(m K )
4、 同空间方向的关系
各向同性材料（ 恒同） 各向异性材料， x y z
∵ ∴
0 ， dxdydz dv 0
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
（2-11）
导热微分方程式（适合于稳态、无内热源、 常物性导热问题） 数学上可写成
t 0
2
拉普拉斯方程
2 2 2 2 2 2 2 x y z
0
t2
t1
(t )dt
1 t (t1 t2 ) 2
t2 t1
p31：例题2-1 （单层壁）例题2-2 （单层壁） 例题2-3 （水垢）
二、通过圆筒壁的导热
1、条件：无内热源、稳态、
为常数
如图，认为一维导热 ( l r1 , r2 )
2、基本方程： 用圆柱坐标，有导热微分方程式
2、傅里叶定律的向量表达式
t q gradt n n
（2-5）
热流密度矢量
可见：（1）热流方向同温度梯度方向相反； （2）热流线（方向）垂直于等温线。 见图
三、导热系数讨论
1、导热系数实际中由专门实验测定 2、其定义式由傅里叶定律的数学式给出
q t n n
，W
拉氏算子
（2-14）
一维：
2t 0 2 x
四、特殊情况的导热微分方程式
无内热源：
0
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) x y z
（2-9）
稳态：
t 0
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
t 1 t 1 t t c r 2 r r r r z z
0,
() () () 0 0, z t d dt (r ) 0 dr dr
（2-10）
无内热源、稳态：
0
t 0
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
（2-11）
五、圆柱坐标或球坐标中的 导热微分方程式
针对式（2-8）， 圆柱坐标（对于轴对称物体）：
t 1 t 1 t t c r 2 r r r r z z
W / m3
（d ） （e ）
内热源生成热：
三、非稳态、有内热源的导热微分方程式
t f ( x, y, z, ) 热平衡关系：
流入的总热流量+内热源生成的热量 =内能增量+流出的总热流量 （c ）
2t 2t 2t t dxdydz ( 2 2 2 )dxdydz c dxdydz x y z
同理：
y dy
z dz
t y dy y ( dxdz )dy （b） y y y
t z dz z ( dxdy )dz z z z
非稳态时热力学能 （内能）增量：
t c dxdydz dxdydz
x0
t t1
（a）
x
t t2
代入式（c），得
t1 c2
t2 c1 c2
得 温度分布： t1 t2 t t1 x
c1
t1 t2

c2 t1
（d）
呈线性分布

若
t2 t1
t t1
t2 t1

x
2、求热流密度 q 根据傅里叶定律 对式（d）求导：
t
t RA q
q
t2
R A
对于研究多层平壁导热问题很有用
（二）通过多层平壁的导热（ 为常数） 1、以三层为例：
a)求导热量 q ：（ t1， t 4 ，材料，尺寸） 2 3 1 RA1 ，RA 2 ， RA3 1 3 2 则
RA
t14 t1 t4 ∴ q R A 1 2 3
（2-12）
球坐标（适用于点对称物体）：
t 1 2 t 1 t c 2 ( ) r 2 2 r r r r sin
1 t 2 sin r sin
（2-13）
注：（1）无内热源、稳态导热，
t12
2 t3 t2 q t2 qRA2 2
注意：（a）每层线性分布，t—x （b）每层线性分布之斜率不一定相同
2、对于多层平壁（设n层） t1 , n 1 t1 tn 1 n 则 q n W ， i RAi
i 1 i 1
/m
2
i
i ti 1 ti q i
（2-8）
a的物理意义：反映物体导热时使内部温度 趋向均匀的能力大小， a↑→内部温度变化得越快 式（2-8）为非稳态、有内热源的导热微分方程式
一般形式的导热微分方程式
t 0 0 令式（2-8）中：
2t 2t 2t ( 2 2 2 )dxdydz 0 x y z
t 0 ， 0 即可。 令
（2）无内热源的稳态一维、二维导热，
0 0 ） 再令 y z （或
六、导热微分方程的定解条件 给出： 初始条件
（自学）
第一类边界条件 ：tw=常量
边界条件
第二类边界条件：qw=常量 第三类边界条件：式（2-17）
0
tw1
t 'w1
tw 2
t 'w 2
x
引入温度变化率：
t t lim x x 0 x
t 傅里叶定律为 A W x ，
t q ， x
t q y
2
（2-3）
W / m （2-4）
（在x方向传导的热量，在y方向上亦类似 )
二、向量形式的傅里叶定律
(t2 t1 ) (t1 t2 )
dx A( x)

(t1 t2 )

x2
x1

t
( x2 x1 ) A
q
t

（1）若 0 (1 bt ) ，取 0 (1 bt ) 则可得到正确的结果,即
(1 bt )