第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件
合集下载
信号与系统课件 022第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 引言
X
系统数学模型的时域表示
第 2
页
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系 统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物 理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础 。
输入输出描述: 一元 N 阶微分方程 状态变量描述: N 元一阶微分方程 本章中我们主要讨论输入、输出描述法。
页
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应 为 t 0时的方程的解，初始条件
r(0 ) ,
d r(0 ) ,
dt
d2 r(0 ) dt2 ,
,
dn1 r(0 ) d t n1
初始条件的确定是此课程要解决的问题。
XX
第二章 连续时间系统的时域分析
2.3 起始点的跳变---从0—到0+ 状态的转换
X
本章主要内容
第 4
页
•线性系统完全响应的求解； •冲激响应h(t)的求解； •卷积的图解说明； •卷积的性质；
•零状态响应： yzs t f 。t h t
XX
第二章 连续时间系统的时域分析
2.2 微分方程式的 建立与求解
X
主要内容
第 6
页
复习求解系统微分方程的经典法
物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
X
第
例2-2-求1 并联电路的端电压v
t
与激励is
t
间的关系。
9 页
电阻 电感 电容
iR t
1 R
vt
iLt
1 L
t v d
2.1 引言
X
系统数学模型的时域表示
第 2
页
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系 统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物 理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础 。
输入输出描述: 一元 N 阶微分方程 状态变量描述: N 元一阶微分方程 本章中我们主要讨论输入、输出描述法。
页
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应 为 t 0时的方程的解，初始条件
r(0 ) ,
d r(0 ) ,
dt
d2 r(0 ) dt2 ,
,
dn1 r(0 ) d t n1
初始条件的确定是此课程要解决的问题。
XX
第二章 连续时间系统的时域分析
2.3 起始点的跳变---从0—到0+ 状态的转换
X
本章主要内容
第 4
页
•线性系统完全响应的求解； •冲激响应h(t)的求解； •卷积的图解说明； •卷积的性质；
•零状态响应： yzs t f 。t h t
XX
第二章 连续时间系统的时域分析
2.2 微分方程式的 建立与求解
X
主要内容
第 6
页
复习求解系统微分方程的经典法
物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
X
第
例2-2-求1 并联电路的端电压v
t
与激励is
t
间的关系。
9 页
电阻 电感 电容
iR t
1 R
vt
iLt
1 L
t v d
信号与系统第二章连续时间系统的时域分析ppt
▲ ■ 第 15 页
全解
全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。
▲
■
第 18 页
0-和0+初始值举例
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t) （ 1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于 y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 第 19 页 ■ 故 y(0+) = y(0-) = 2
全解
全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。
▲
■
第 18 页
0-和0+初始值举例
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t) （ 1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于 y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 第 19 页 ■ 故 y(0+) = y(0-) = 2
信号与系统课件第二章连续时间系统的时域分析
2015/10/15
信号与系统
7
2、卷积法
•卷积法：用卷积积分只能求到系统的零状态响应。零输入响 应仍要用经典法求得。 •卷积法：物理概念明确，运算过程方便，是系统分析的基本 方法。是近代计算分析系统的强有力工具。
•卷积法也是时域与变换域分析线性系统的一条纽带，通过它 把变换域分析赋清晰的物理概念。
即特征方程为 C0 n C1 n1 Cn 0
解得此方程的n个根： 1 , 2 ,, n 称为微分方程的特征根。
2015/10/15 信号与系统 16
（2）特征根的情况分析 （１）特征根各不相同（无重根）的情况下，微分方程的齐次解为
rh (t ) A1e
i 1
n
式中 Ai 为待定系数，是由响应区间内t=0+时刻的一组状态确定的。 •初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组 成的一组状态： n 1
k
k
( )
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2 t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
2015/10/15
信号与系统
17
例2-3
求如下所示的微分方程的齐次解。
d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r ( t ) 12r ( t ) e( t ) 3 dt dt dt
例子2-4
给定微分方程式 d2 d de (t ) r (t ) 2 r (t ) 3r (t ) e (t ) 2 dt dt dt 2 t (1) e ( t ) t ; (2) e ( t ) e ; 如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。 解:(1)将
信号系统第二章 连续时间系统的时域分析
这里，u(t) 表示从0－到0＋相对单位跳变函数。即
u (0 ) u (0 )1
现在方程的左端又多了一个 27u(t) 项，因此还需重新
假设 r ( t) 3 ( t) 9( t) 2 u 7 ( t)
则左端为： 3 (t)0 0 2 u 7(t)d t3 (t)
特解：通过观察自由项来试选特解形式，然后代入 方程后求得特解的待定系数。
2019/11/10
10
例2-4 给定微分方程式，
d2r(t) d(tr)
d(te )
d2t2dt3r(t)dte(t)
如果已知：（1） e(t) t2（2） e(t) et
分别求两种情况下此方程的特解。
解：
1 iR (t) R v(t)
1
iL (t) L
t
v ( )d
iR (t)iL (t)iC (t)is(t)
d iC ( t ) C dt v ( t )
整理后得：
2019/11/10
C d d2 2v t(t)R 1d dv( tt)L 1v(t)d dist(t)5
i(0)iL(0)R1 2R2 5 4A
d dt
i(0
)
0
e(t)4v
42 6 vC(0)535v
换路后：
2sR11
1 i(t)
i ic(t )
C1F
L
R
e(t)2v
i(0 )R 1 1e (0 ) v C (0 )1 1(46 5)1 5A 4
2sR11
解：1）列写微分方程：
1 i(t)
ic(t )
iL (t)
1
C1F
L H 4
u (0 ) u (0 )1
现在方程的左端又多了一个 27u(t) 项，因此还需重新
假设 r ( t) 3 ( t) 9( t) 2 u 7 ( t)
则左端为： 3 (t)0 0 2 u 7(t)d t3 (t)
特解：通过观察自由项来试选特解形式，然后代入 方程后求得特解的待定系数。
2019/11/10
10
例2-4 给定微分方程式，
d2r(t) d(tr)
d(te )
d2t2dt3r(t)dte(t)
如果已知：（1） e(t) t2（2） e(t) et
分别求两种情况下此方程的特解。
解：
1 iR (t) R v(t)
1
iL (t) L
t
v ( )d
iR (t)iL (t)iC (t)is(t)
d iC ( t ) C dt v ( t )
整理后得：
2019/11/10
C d d2 2v t(t)R 1d dv( tt)L 1v(t)d dist(t)5
i(0)iL(0)R1 2R2 5 4A
d dt
i(0
)
0
e(t)4v
42 6 vC(0)535v
换路后：
2sR11
1 i(t)
i ic(t )
C1F
L
R
e(t)2v
i(0 )R 1 1e (0 ) v C (0 )1 1(46 5)1 5A 4
2sR11
解：1）列写微分方程：
1 i(t)
ic(t )
iL (t)
1
C1F
L H 4
信号与系统第二章连续时间系统的时域分析.ppt
对不是冲激函数项，不必考虑匹配
例： 2
d 2r(t) dt 2
3
dr (t ) dt
4r (t )
d dt
e(t )
r(0 ) 1, r ' (0 ) 1, e(t) u(t), 求r(0 ), r ' (0 )
解： e(t) u(t)
从最高 项开始
2r''(t) 3r'(t) 4r(t) (t)
ic (0 )
4
C
dvo (0 ) dt
Vo' (0 )
4
2.t>0时,电路方程为:
1
2
v0 (t)
1 l
t
v0 (
)d
c
dv0 (t) dt
10
v0 (t) 2
d
2v0 (t) dt 2
dv0 (t) dt
v0
(t)
0
2 1 0
1
1 2
§2.4起始点的跳变
一.系统的状态
*起始状态(0-状态):系统在激励信号加入之前的瞬间状态
r(k) (0 ) [r(0 ),r(0 ),r(0 ),...,r(n1) (0 )]
*初始状态(0+状态):系统在激励信号加入之后t=0+时刻的状态
r(k) (0 ) [r(0 ),r(0 ),r(0 ),...,r(n1) (0 )]
数微分方程。
微分方程建立的两类约束
来自连接方式的约束:kvl和kil,与元件的性质无关.
来自元件伏安关系的约束:与元件的连接方式无关.
例： 2
d 2r(t) dt 2
3
dr (t ) dt
4r (t )
d dt
e(t )
r(0 ) 1, r ' (0 ) 1, e(t) u(t), 求r(0 ), r ' (0 )
解： e(t) u(t)
从最高 项开始
2r''(t) 3r'(t) 4r(t) (t)
ic (0 )
4
C
dvo (0 ) dt
Vo' (0 )
4
2.t>0时,电路方程为:
1
2
v0 (t)
1 l
t
v0 (
)d
c
dv0 (t) dt
10
v0 (t) 2
d
2v0 (t) dt 2
dv0 (t) dt
v0
(t)
0
2 1 0
1
1 2
§2.4起始点的跳变
一.系统的状态
*起始状态(0-状态):系统在激励信号加入之前的瞬间状态
r(k) (0 ) [r(0 ),r(0 ),r(0 ),...,r(n1) (0 )]
*初始状态(0+状态):系统在激励信号加入之后t=0+时刻的状态
r(k) (0 ) [r(0 ),r(0 ),r(0 ),...,r(n1) (0 )]
数微分方程。
微分方程建立的两类约束
来自连接方式的约束:kvl和kil,与元件的性质无关.
来自元件伏安关系的约束:与元件的连接方式无关.
信号与系统PPT课件(共9章)第2章连续时间信号的时域分析可修改全文
17
2.3 奇异信号
在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续 点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇 异函数或奇异信号。
1. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t)
t 0
t0 t0
(2.2 1)
R(t)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
0 cos
e jt cos t j sin t -1 12
2.2 常用连续时间信号
3. Sa(t)函数（抽样函数）
所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号
Sa(t)表示 Sa(t) sin t t
波形如图：
(2.2 5)
13
2.2 常用连续时间信号
Sat 的性质：
（1） Sat Sa(t) 偶信号
6
2.2 常用连续时间信号
1. 实指数信号 2. 正弦信号 3. 抽样函数 4. 复指数信号 重点：典型确定性信号的描述 难点：复指数信号，抽样信号
7
2.2 常用连续时间信号
下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。
1. 指数信号 指数信号的表达式为
f (t) Aet
(2.2 1)
f (t) Aet ( 0)
34
2.4 信号的运算
1. 信号的加减 2. 信号的乘法和数乘 3. 信号的反褶、时移、尺度变换 4. 信号的微分与积分运算 5. 信号的卷积
重点：信号的尺度变换，信号的卷积积分 难点：信号时移、反褶、尺度变换同时都有的情况
35
2.4 信号的运算
1. 信号的加减
两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意 时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即
2.3 奇异信号
在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续 点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇 异函数或奇异信号。
1. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t)
t 0
t0 t0
(2.2 1)
R(t)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
0 cos
e jt cos t j sin t -1 12
2.2 常用连续时间信号
3. Sa(t)函数（抽样函数）
所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号
Sa(t)表示 Sa(t) sin t t
波形如图：
(2.2 5)
13
2.2 常用连续时间信号
Sat 的性质：
（1） Sat Sa(t) 偶信号
6
2.2 常用连续时间信号
1. 实指数信号 2. 正弦信号 3. 抽样函数 4. 复指数信号 重点：典型确定性信号的描述 难点：复指数信号，抽样信号
7
2.2 常用连续时间信号
下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。
1. 指数信号 指数信号的表达式为
f (t) Aet
(2.2 1)
f (t) Aet ( 0)
34
2.4 信号的运算
1. 信号的加减 2. 信号的乘法和数乘 3. 信号的反褶、时移、尺度变换 4. 信号的微分与积分运算 5. 信号的卷积
重点：信号的尺度变换，信号的卷积积分 难点：信号时移、反褶、尺度变换同时都有的情况
35
2.4 信号的运算
1. 信号的加减
两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意 时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即
信号与系统课件--2.连续系统时域分析
2）无源电路外加电源
①外加电压源
②外加电流源
例1：如下电路的自然频率
2 1 p 1 p
f1
1
0
p2 3 p 2 f1 2 2p 5p 4
1 p2 3 p 2 H ( p) 2 p2 5 p 2 2
5 7 p1 , 2 j 4 4
例2：
已知： 图示电路，
1）i1(0-) =2A，i1’(0+)=1A/s； 2） i1(0-) =1A，i2(0-)=2A；
求 i1(t) 、i2(t)
解:
i1(t)
i2(t)
例3: 图示电路，t<0，K闭合，电路稳定； t=0，K断开; 求电流iL(t) 。
t=0 8V
+ -
4
iL(t)
二、统微分方程的求解
根据微分方程理论，方程（2-1）的解，由两部分组成：一部分 是方程（2-1）对应的齐次微分方程的解y0(t); 另一部分是方程 （2-1）的一个特解yd(t)，即
y(t ) y0 (t ) yd (t )
1、微分方程的齐次解
方程（2-1）对应的齐次微分方程为
d y (t ) d y (t ) dy (t ) an 1 a1 a0 y (t ) 0 n n 1 dt dt dt
t
代入元件参数，并利用消取法得到 d3 d2 d 2 3 i1 (t ) 3 2 i1 (t ) 4 i1 (t ) 2i1 (t ) dt dt dt
d2 d 2 2 f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) dt dt
一般地，对于一个n阶系统，设其响应为y(t)，激励为f(t)，描 述该系统的微分方程为
第二章-连续时间系统的时域分析PPT课件
2．阶跃响应与冲激响应的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
u(t) t (t)dt
t
g(t) h(t)dt
阶 跃 响 应 是 冲 激积 响分 应， 的注 意 积 分 限 ：
t ,对 因 果 系t统 ：
－
0
-
29
三．齐次解法求冲激响应（补充）
令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时，冲激响应为hˆ t
dt
设
drtatbtc ut
dt
则
r t a t b u t
代入方程 a t b t c u t 3 a t 3 b u t 3 t
得出
a 3
b
3a
0
c 3 b 0
a 3
即
b
9
c 9
所以得 r 0 r 0 b 9-即 r0 r0 9
iL(t)L 1 tvL()d
iL(t) L
iL(0)iL(0)L 100 vL()d
vL(t)
如果 vL(t)为有限值，
00vL()d 0，此 iL (时 0)iL (0)
冲激电压或阶
跃电流作用于 电感时：
如v果 L(t)为 (t)，
iL(0)iL(0)
L 10 0 v L ()dL 1, 此 iL 0 时 iL 0
-
21
3. 同时由于零输入分量的存在，使响应的变化不可能 只发生在激励变化之后，因而系统也是非因果的。 这样可以说用常系数线性微分方程描述的系统只有 在起始状态为零的条件下，系统才是线性时不变的， 而且是因果的。
4.把起始状态等效成系统的激励，如电压源vc (0 ) 和
电流源iL ( 0 ) ，则对零输入响应而言也满足叠加性
第2章连续系统的时域分析ppt课件
n
yh (t)
cit iejt
i 1
(2―12)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
(3)特征根有一对单复根。即λ1, 2=a±jb，则微分 方程的齐次解
yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt
(2―13)
(4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的 复根，则微分方程的齐次解
yh (t) c1 cos dt c2teat cos dt cmt e m1 at cos dt d1eat sin bt d2teat sin bt dmt e m1 at sin dt (2―14)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
例2―3 求微分方程y″(t)+3y′(t)+2 y(t)=f(t)的齐次解。
(2―10)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根)，则微分方程的齐次解
n
yh (t) cieit
i 1
(2―11)
(2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即
有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都 是单根，则微分方程的齐次解
n
n
n
y(t) cieit y p (t) cxieit c fieit y p (t) (2―20)
i 1
i 1
i 1
式中
n
n
n
cieit
cxieit
c fieit
i 1
i 1
i 1
(2―21)
信号与系统课件-2.连续系统时域分析
02
确定状态变量和输出变量，并写出状态方程和输出方程。
03
根据系统的物理特性和参数，确定状态变量的初始值。
状态方程的求解
01 利用数值方法求解状态方程，如欧拉法、龙格-库 塔法等。
02 求解过程中要考虑数值稳定性，避免计算误差的 积累。
03 根据需要选择合适的步长和时间区间，以获得精 确的解。
状态空间分析的应用
02
信号的调制与解调
在通信系统中，通过调制将低频 信息信号加载到高频载波信号上， 再
在控制系统中，频域分析用于分 析系统的稳定性、性能和鲁棒性， 指导控制器的设计和优化。
05 连续系统的状态空间分析
状态空间模型的建立
01
根据系统动态方程和初始条件，建立系统的状态空间模型。
时域分析的基本概念
输入输出描述
时域分析通过输入输出描述来研究系统的动态行为，即根据系统的输 入信号和初始状态，求解系统的输出信号。
微分方程
连续系统的动态行为通常由微分方程描述，如线性时不变系统的常系 数微分方程。
初始条件
在时域分析中，需要考虑系统的初始状态，即系统在初始时刻的输出 信号或状态变量的值。
连续系统的状态变量可以取实数域上 的任意值，系统的响应和传递函数具 有连续的频率特性。
时域分析的重要性
实际应用需求
在工程实际中，许多系统都是连续系统，如电路、控制系统、机械系统等。对 这些系统进行时域分析可以帮助我们更好地理解系统的动态行为和性能。
系统建模基础
时域分析是连续系统建模的基础，通过时域分析可以确定系统的传递函数、微 分方程等数学模型，进而进行频域分析和复频域分析。
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据是一种通过计算系统的极点和零点来判定系统稳定性 的方法。
确定状态变量和输出变量，并写出状态方程和输出方程。
03
根据系统的物理特性和参数，确定状态变量的初始值。
状态方程的求解
01 利用数值方法求解状态方程，如欧拉法、龙格-库 塔法等。
02 求解过程中要考虑数值稳定性，避免计算误差的 积累。
03 根据需要选择合适的步长和时间区间，以获得精 确的解。
状态空间分析的应用
02
信号的调制与解调
在通信系统中，通过调制将低频 信息信号加载到高频载波信号上， 再
在控制系统中，频域分析用于分 析系统的稳定性、性能和鲁棒性， 指导控制器的设计和优化。
05 连续系统的状态空间分析
状态空间模型的建立
01
根据系统动态方程和初始条件，建立系统的状态空间模型。
时域分析的基本概念
输入输出描述
时域分析通过输入输出描述来研究系统的动态行为，即根据系统的输 入信号和初始状态，求解系统的输出信号。
微分方程
连续系统的动态行为通常由微分方程描述，如线性时不变系统的常系 数微分方程。
初始条件
在时域分析中，需要考虑系统的初始状态，即系统在初始时刻的输出 信号或状态变量的值。
连续系统的状态变量可以取实数域上 的任意值，系统的响应和传递函数具 有连续的频率特性。
时域分析的重要性
实际应用需求
在工程实际中，许多系统都是连续系统，如电路、控制系统、机械系统等。对 这些系统进行时域分析可以帮助我们更好地理解系统的动态行为和性能。
系统建模基础
时域分析是连续系统建模的基础，通过时域分析可以确定系统的传递函数、微 分方程等数学模型，进而进行频域分析和复频域分析。
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据是一种通过计算系统的极点和零点来判定系统稳定性 的方法。
第2章连续系统的时域分析-PPT精品文档70页
2019/9/22
12
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
微分方程的经典解
例：求如下所示的微分方程的齐次解
y ''( t ) 5 y '( t ) 6 y ( t ) f( t ) ,f( t ) 1 0 c o s ( t ) , t 0
解：系统的特征方程为
上式对所有的t≥0成立 ，故有：
5 P 5 Q 1 0 ， - 5 P 5 Q 0
解得P=Q=1，所以特解为：
2019/9/22
yp(t)costsint12 5 cos(t-4)
第二章 连续系统的时域分析
2.1.LTI连续系统的响应
微分方程的经典解
例：求给定微分方程的全解
2019/9/22
2
第二章 连续系统的时域分析 本章的主要内容
难点：
单位冲激响应的求解；
利用卷积积分的性质求系统的零状态响应。
2019/9/22
3
第二章 连续系统的时域分析 引言
系统分析的任务： 对给定的系统模型和输入信号，求系统的输出响应
连续时间信号输入
连续时间信号输出
LTI连续时间系统
2019/9/22
18
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
微分方程的经典解
若初始条件不变，输入信号发生变化， 方程的特解是否变化 ？ 齐次解是否变化？
2019/9/22
19
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
响应区间
关于0-与0+值
确定激励信号f(t)加入后系统的状态变化区间。 用0-时刻表示0时刻之前瞬间的时刻，
信号与系统--连续时间信号和系统的时域分析课件65页PPT
i1
i2
(p25p2 3)i2(t)0.5p(ft)
d d2 2it2(t)5d di2 t(t)2 3i2(t)0 .5d dft(t)
温州大学瓯江学院
信号与系统
例6、由模拟框图H(p)
x 2
t
x1d
1 p
x1
x 3
t
x2d
1 p
x2
1 p2
x1
23
x1f(t)2x33x2 f(t)p2 x1px1
Dprz it0
r0,r0,rn10
例、 d d2 2it2(t)5d di2 t(t)2 3i2(t)0 .5d dft(t)
温州大学瓯江学院
KCL: C 2dd (rtt)r(R t)i(t).......2 (.)...
温州大学瓯江学院
信号与系统
将（2）式两边微分，得
C 2d2 d r(2tt)R 1dd (rtt)dd (it)t.....(.3.)...
将（3）代入（1）
Ld(it)r(t)e(t).......1(.)... dt
温州大学建立系统数学模型
类似电路分析中向量法：
L j L, C 1 ,
j C
L pL , C 1 ,
pC
仅适用于正弦稳 态电路中
温州大学瓯江学院
信号与系统
例4、用算子法求系统微分方程，输出为2欧姆电阻的电流。
i1
i2
(p25p2 3)i2(t)0.5p(ft)
ddnnrt an1ddnnt1r1 ....a1ddrta0r bmddmm tebm1ddmm t1e1 ... b1ddetb0e
n阶常系数微分方程
e(t)
r(t)
第二章-连续时间信号与系统的时域分析1PPT课件
T
A
R(t) A T
(t n T)
n1
-
20
F 例2.任意函数表示为冲激函数的积分. F动画演示
f (t)
fa (t)
fa (t) f (0)
0 t (k1)t kt t
0 t
kt t
t
lt 0 if m ( t) f( t) 0f()( t ) d f( t)( t)
-
21
F 例3.任意函数表示为阶跃函数的积分 F动画演示
f (t)
A 0T
2T 3T
f(t)0,t0
t
-
19
f1(t)f2(t)
A
T 2T
0
f1(t)
A
t
0T
f1(t)
f 2 (t )
A T
R(t)
A (t
T)
f2(t) A(tT)
A
t 0
A
T
t
A(tT)
故 f (t) A R(t) A (t T) A (t 2T) .........
-
f(t)
A
0
0
t
2
二．复指数信号
函数表示式为:
f(t)Ae(j0)t
由欧拉公式，可得 f(t) A e t[c o s(0 t) jsin (0 t)]
f(t)
0
A
f(t)
0
A
f(t)
A
0
0
t
-A
0
t
-A
0
t
-A
图2.2 复指数信号实-部和虚部的波形
3
f(t)Ae(j0)t
根据 、 0 的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：
A
R(t) A T
(t n T)
n1
-
20
F 例2.任意函数表示为冲激函数的积分. F动画演示
f (t)
fa (t)
fa (t) f (0)
0 t (k1)t kt t
0 t
kt t
t
lt 0 if m ( t) f( t) 0f()( t ) d f( t)( t)
-
21
F 例3.任意函数表示为阶跃函数的积分 F动画演示
f (t)
A 0T
2T 3T
f(t)0,t0
t
-
19
f1(t)f2(t)
A
T 2T
0
f1(t)
A
t
0T
f1(t)
f 2 (t )
A T
R(t)
A (t
T)
f2(t) A(tT)
A
t 0
A
T
t
A(tT)
故 f (t) A R(t) A (t T) A (t 2T) .........
-
f(t)
A
0
0
t
2
二．复指数信号
函数表示式为:
f(t)Ae(j0)t
由欧拉公式，可得 f(t) A e t[c o s(0 t) jsin (0 t)]
f(t)
0
A
f(t)
0
A
f(t)
A
0
0
t
-A
0
t
-A
0
t
-A
图2.2 复指数信号实-部和虚部的波形
3
f(t)Ae(j0)t
根据 、 0 的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：
信号与系统--连续时间信号和系统的时域分析课件
得：
LC 2
d
2r( t dt 2
)
L R
dr( t dt
)
r(
t
)
e(
t
)
二阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
信号与系统
三、 用算子符号表示微分方程
1、定义：算子作用于某一时间函数时，此时间函数将进行 算子所表示的特定运算。
•微分算子（Differential operator）：
p d ; dt
p dt
3. 1 Px p
t
[
dx dt
]t
d
x( t ) x( )
若x( ) 0, 则 1 Px＝x p
4.Px Py , 其中P不能消去 dx ＝ dy 两边积分得 x y C
dt dt
温州大学瓯江学院
信号与系统
引入算子后，可以简化系统模型的表示，如：
列方程的基本方法： 节点分析法和网孔电流法。
温州大学瓯江学院
信号与系统
例1：已知电路，求输出电容电压。 一阶系统：
电源：
us (t)
电容电压： uc (t)
VCR
Ri 电阻电压：
RC duc (t) dt
KVL
RC
duc (t) dt
uc
(t)
us
(t)
一阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
(
p2
5
p
3 2
)i2
(t)
0.5
pf
(t)
d2 dt 2
i2
(t
)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(t) 0 t 0
(t)dt 1
两者关系：
(t)d(t),(t)t (t)dt
dt
2021/3/9
授课：析
图示
A(t) A
B B(t-t0)
0
t
0 t0
t
(t)+2(t-1)-4(t-2)
3 2 1
012 t -1
A(t) (A)
B(t-t0) (B)
y(0)B(0)
0
2
sin t ( t ) dt
t
e 2 t [ ( t ) ( t )] dt
(1
)d
t
2
2021/3/9
授课：XXX
8
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第二节 LTI连续系统的时域响应
一、微分方程的经典解 完全解=齐次解+特解
(1)齐次解
解齐次方程
d n y (t) d n 1 y (t)
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
示，其定义为
(t)
(t)=
1 (t>0) 0 (t<0)
该函数在t=0处发生跃变，幅度为1。
在跳变点t=0函数值未定义(或者规定为1/2)。
2021/3/9
授课：XXX
2
第二章连续时间信号与系统的时域分析
几点说明
①单位阶跃函数的物理背景是，在t=0时刻对 某一电路接入单位电源，并无限持续下去；
(t)的微分将出现正,负极性的一对强度无限大
的冲激,称为冲激偶信号。
4.单位冲激函数的尺度变换
(at)
1 (t) a
2021/3/9
授课：XXX
7
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例3：计算下列积分
3 e t sin( t ) ( t 4 ) dt
5
2 (1
2 t2
sin
t ) (1 t )dt
2021/3/9
授课：XXX
9
第二章连续时间信号与系统的时域分析
齐次解形式 (1)当特征根是不等实根s1,s2,…,sn时：
y h (t) K 1 e s 1 t K 2 e s 2 t ...... K n e s n t
(2)当特征根是重根s1=s2=…=sn=s时：
y h ( t) K 1 e s t K 2 te s t ...... K n tn 1 e s t
0
2t
(-1)
(-1)
2021/3/9
授课：XXX
6
第二章连续时间信号与系统的时域分析
二、单位冲激函数的性质
1.筛选性质(抽样性质)
(t)f(t)d t (t)f(0 )d tf(0 )
2.偶函数性质 (t)(t)
3.单位冲激函数的导数
(t)f(t)dt f(0)
(n)(t)f(t)dt1 nf(n)(0)
d y (t)
d tn a n 1 d tn 1 ...... a 1d t a 0 y (t) 0
其基本形式为Kest，带入得到：
K s n e s t K a n 1 s n 1 e s t . . . . . . K a 1 s e s t K a 0 e s t 0
特征方程：sn a n 1 sn 1 ...... a 1 s a 0 0
Ateat+Beat
Ksin(t)或Kcos(t) Asin(t)+Bcos(t)
Keatsin(t)/cos(t) [A1tp+A2tp-1+…+Ap+1]eatsin(t)
2021/3/9
+[授B课1：tXpX+XB2tp-1+…+Bp+1]eatcos(11 t)
第二章连续时间信号与系统的时域分析
②延迟的阶跃函数可表示为： (t)=
1 (t>t0) 0 (t<t0)
③利用阶跃函数可以表示许多信号，如方波
(矩形)信号：f(t)=(t)-(t-t0)；
④阶跃信号鲜明地表现出信号的单边特性，
利用这一特性，可以方便地以数学表达式描
述各种信号的接入特性，如t=0时接入正弦信
号，可表达为： f(t)=sin(t)*(t)，在负时间域
全为零。
2021/3/9
授课：XXX
3
第二章连续时间信号与系统的时域分析
单位冲激函数(unit impulse function)
1930年英国物理学家狄拉克在研究量子力学中首先 提出的。
冲激函数是对强度甚大而作用时间甚短的物理量的 理想模型。例如力学中瞬时作用的冲击力，瞬时电 源以无穷大电流给电容充电。狄拉克定义方式：
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
2021/3/9
授课：XXX
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
方程特解的函数形式与激励信号形式有关，将激励信号 代入方程式的右端，代入后右端的函数式称为“自由 项”。通常由观察自由项试选特解函数式，代入方程后 求得特解函数式中的特定系数，即可给出特解。
典型激励信号对应的特解形式
K
B
ktp Keat(特征根sa)
B1tp+B2tp-1+…+Bp+1 Beat
Keat(特征根s=a)
(3)特征根时成对共轭复根s1=1j1，…， sl=ljl时：
yh(t)e1tK 1sin(1t)K 2cos(1t)...... eltK n 1sin(lt)K ncos(lt)
2021其/3/9 中各式中Ki为待定授课系：X数XX ，由初始条件确定。10
第二章连续时间信号与系统的时域分析
(2)特解
(3)系数的确定
设激励在t=0时刻加入，对于n阶方程，用n个初始
条件(或称边界条件)：
d(0 y)d2y(0) dn 1y(0)
y(0), ,
,......,
dt d2t
dn t1
可确定全部n个待定系数。
在无重根的情况下，方程的完全解为： y ( t ) K 1 e s 1 t K 2 e s 2 t . . . . . . K n e s n t B ( t )
(t)-2(t-1)+3(t-3)
(3)
0
2021/3/9
t
0 t0
t
(1) 1 0
3t
授课：XXX
(-2)
5
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例1：如图所示信号f(t)，求f’(t)并绘制波形。
f(t) 4
2
-1 0 1 2 3 t
例2：如图所示信号f(t)，绘制其积分曲线。
f(t) 2
-1
1
-2