函数综合复习及函数动点问题-教师版
专题1函数-重难点题型(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题5.1 函数-重难点题型【浙教版】y(2)函始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【变式1-1】．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数y ＝（用含n的代数式表示），其中变量是．【变式1-2】按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．（1）题中有几个变量？（2）你能写出两个变量之间的关系吗？【变式1-3】在烧开水时，水温达到100△就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ （3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？ （4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？ （5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？ （6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？【题型2 判断函数关系】【例2】（2021春•海淀区期末）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h 、水面的面积S 及注水量V 是三个变量．下列有四种说法：△S 是V 的函数；△V 是S 的函数；△h 是S 的函数，△S 是h 的函数． 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△【变式2-1】（2021春•开福区校级月考）下列式子中，y 不是x 的函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝|x |C ．y ＝2x +1D ．y =±√x （x ≥0）【变式2-2】（2021春•邯郸期末）下列不能表示y 是x 的函数的是（ ） A ． B ． x 0 5 10 15 y33.544.5C ．D ．【变式2-3】（2021春•贵港期末）下列各曲线中能表示y 不是x 的函数的是（ ）x 1 3 5 7 y2﹣140.2A ．B ．C ．D ．【题型3 函数的关系式】【例3】（2020春•兰州期末）如图所示，在一个边长为12cm 的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果小正方形的边长为xcm ，图中阴影部分的面积为ycm 2，请写出y 与x 的关系式； （3）当小正方形的边长由1cm 变化到5cm 时，阴影部分的面积是怎样变化的？【变式3-1】（2021春•宁津县期末）如图，△ABC 的边BC 长12cm ，乐乐观察到当顶点A 沿着BC 边上的高AD 所在直线上运动时，三角形的面积发生变化．在这个变化过程中，如果三角形的高为x （cm ），那么△ABC 的面积y （cm 2）与x （cm ）的关系式是 ．【变式3-2】（2021春•垦利区期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y （升），行驶路程为x （千米），则y 随x 的变化而变化 （1）在上述变化过程中，自变量是 ；因变量是 ．（2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程x （千米） 100 200 300 400油箱内剩油量y （升）40 24（3）试写出y 与x 的关系式 ．（4）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？【变式3-3】如图，自行车每节链条的长度为2.5cm ，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm ． （1）观察图形填写下表： 链条节数（节） 2 3 4 链条长度（cm ）（2）如果x 节链条的总长度是y ，求y 与x 之间的关系式；（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成链接（安装到自行车上）后，总长度是多少cm ？【题型4 求函数的值】【例4】（2020春•万州区期末）若定义f （x ）＝3x ﹣2，如f （﹣2）＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8．下列说法中：△当f （x ）＝1时，x ＝1；△对于正数x ，f （x ）＞f （﹣x ）均成立；△f （x ﹣1）+f （1﹣x ）＝0；△当且仅当a ＝2时，f （a ﹣x ）＝a ﹣f （x ）．其中正确的是 ．（填序号）【变式4-1】（2021•碑林区校级模拟）变量x ，y 的一些对应值如下表：x … ﹣2﹣1 0 1 23… y…14111419…根据表格中的数据规律，当x ＝﹣5时，y 的值是（ ） A ．15B ．125C ．−15D ．−125【变式4-2】（2021•达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x 的值为3，则输出y 值为 ．【变式4-3】（2008•防城港）已知x 为实数．y 、z 与x 的关系如表格所示：根据上述表格中的数字变化规律，解答下列问题：（1）当x 为何值时，y ＝430？（2）当x 为何值时，y ＝z ？x y z … … … 3 30×3+70 2×1×8 4 30×4+70 2×2×9 5 30×5+70 2×3×10 6 30×6+70 2×4×11 ………【例5】（2021•三元区校级开学）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：△火车的长度为120米；△火车的速度为30米/秒；△火车整体都在隧道内的时间为25秒；△隧道长度为750米．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-1】（2021春•番禺区校级期中）小新骑车去学校，骑了一会后车子出了故障，修了一会，然后继续骑车去学校．如果用横坐标表示时间t，纵坐标表示路程s，下列各图能较好地反映s与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【变式5-2】（2021春•任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（）A．小明家和学校距离1200米B．小华乘公共汽车的速度是240米/分C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇D．小明从家到学校的平均速度为80米/分【变式5-3】（2021•沙坪坝区校级开学）夏季是雷雨高发季节，为缓解暴雨带来的洪灾问题，某村在道路内侧新建了一个排水渠排水（横截面如图），某天突发暴雨，排水渠开始积水，水位上涨，暴雨停歇后，排水渠继续排水至积水全部排出，假设排水速度为5v，进水速度为7v，下列图象中，能反映以上过程排水渠中水位高度h与时间t的关系的大致图象是（）A B C．D．【题型6 动点问题的函数图象】【例6】（2021春•济南期中）如图1，在长方形ABCD中，点P从B点出发沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m个单位匀速运动．在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图2所示，则m、a、b的值分别是（）A．m＝1，a＝5，b＝11B．m＝1，a＝4，b＝12C．m＝1.5，a＝5，b＝12D．m＝1，a＝4，b＝11【变式6-1】（2021春•怀安县期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，△DCB＝30°，动点E从B点出发，沿B﹣C﹣D﹣A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数图象用图象表示正确的是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2021春•平顶山期末）如图△，四边形ABCD是长方形，动点E从B出发，以1厘米/秒的速度沿着B→C→D→A运动至点A停止．记点E的运动时间为t（秒），△ABE的面积为S（平方厘米），其中S与t的函数关系如图△所示，那么下列说法错误的是（）A．AB＝3厘米B．长方形ABCD的周长为10厘米C．当t＝3秒时，S＝3平方厘米D．当S＝1.5平方厘米时，t＝6秒【变式6-3】（2021春•南海区期末）如图，在正方形ABMF中剪去一个小正方形CDEM，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→E→F的路线绕多边形的边匀速运动到点F时停止，则△APF的面积S随着时间t变化的图象大致是（）A．B．C．D．。
一次函数之动点问题(一)(北师版)(含答案)
一次函数之动点问题(一)(北师版)(含答案)学生做题前请先回答以下问题：问题1：动点问题的特征是什么？主要考察运动的什么？问题2：一次函数背景下研究动点问题的思考方向是什么？①将函数信息转化为背景图形的信息；②分析运动过程，分段，找到起点和终点；③分析几何特征，表达，设计方案求解。
问题3：分析运动过程时，需要注意哪几个要素？一次函数之动点问题（一）（北师版）1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x 轴交于点C，与直线交于点P。
动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AP—PC向点C匀速运动（点M不与点A，C重合），设△OMC的面积为S，运动时间为t秒，则S与t之间的函数关系式为()。
答案：B解题思路：本题考察一次函数之动点问题。
根据题目，我们可以将函数信息转化为背景图形的信息，分析运动过程，找到起点和终点，分析几何特征，表达，设计方案求解。
具体来说，我们可以通过计算△___的面积来得到S与t之间的函数关系式，即S=1/2*t*(8-t)。
2.已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点。
动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿折线OA—AB运动。
设运动的时间为t秒，△OPD的面积为S，则S与t的函数关系式为()。
答案：C解题思路：本题同样考察一次函数之动点问题。
根据题目，我们可以将函数信息转化为背景图形的信息，分析运动过程，找到起点和终点，分析几何特征，表达，设计方案求解。
具体来说，我们可以通过计算△OPD的面积来得到S与t之间的函数关系式，即S=2t*(4-t)。
3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，D是AB的中点。
动点P从点A出发沿折线AD-DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点Q从点D出发沿折线DO-OB以相同的速度运动。
九年级中考 专题01 动点与分段函数解析式题型讲义(教师版)
动点与分段函数解析式一、典例解析例1.【2020·辽宁本溪】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A. 【解析】解：当点P 在AD 上运动时，0≤x ≤2时，y=PE ·CE=2x ·（2x ）=2x －12x 2， 当点P 在DC 上运动时，2<x ≤4时，S= PE ·4-x ）（4-x ）=12（x -4）2，结合函数解析式判断选项A 符合要求. 故答案为：A.例2. 【2020·山东淄博】如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（ ）A．12B．24C．36D．48【答案】D.【解析】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC=√BC2−BP2=√102−82=6，△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12＝48，故答案为：D．例3. 【2020·辽阳】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，CD⊥AB于点D．点P从点A 出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P 运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CD⊥AB于点D，∴AD＝BD＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE•CE=√22x（2√2−√22x）=−12（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故答案为：A．例4. 【2020·上海】小明从家步行到学校需走的路程为1800米，图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，当小明从家出发去学校步行15 分钟时，到学校还需步行 米.【答案】350.【解析】解：由题意知：线段AB 的解析式为：S=70t+400（8≤t≤20）当t=15时，S=1450，还需要步行1800-1450=350米.故答案为：350.例5. 【2020·重庆A 卷】A ，B 两地相距240 km ，甲货车从A 地以40km/h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止，两车之间的路程y （km ）与甲货车出发时间x （h ）之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示.其中点C 的坐标是()0240，，点D 的坐标是()2.40，，则点E 的坐标是 ．【答案】（4,160）.【解析】解： 由题意知，乙车的速度为：240÷2.4-40=60 km/h ，乙车从B 到A 需要的时间为：240÷60= 4 h ，当乙车到达A 地时，甲车行驶的路程为：40×4=160 km ，点E 坐标为（4,160）故答案为（4,160）.例6.【2020·北京】有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【答案】B.【解析】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：h＝0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故答案为：B．二、刻意练习1.【2020·湖北恩施州】甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．甲车的平均速度为60km/h B．乙车的平均速度为100km/hC．乙车比甲车先到B城D．乙车比甲车先出发1h【答案】D.【解析】解：由图象知：A．甲车的平均速度为30010−5=60km/h，故A选项不合题意；B．乙车的平均速度为3009−6=100km/h，故B选项不合题意；C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故答案为：D ．2.【2020·湖北武汉】一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min 内只进水不出水，从第4min 到第24min 内既进水又出水，从第24min 开始只出水不进水，容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示，则图中a 的值是（ ）A ．32B ．34C ．36D ．38【答案】C. 【解析】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L /min ），出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L /min ），第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L ），a ＝24+45÷3.75＝36．故答案为：C ．3.【2020·江苏连云港】快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④快车先到达目的地． 其中正确的是A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【答案】B.【解析】解：根据题意可知，两车的速度和为：，()y km ()x h 0.5h 20/km h 340a =()3602180(/)km h ÷=相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车距离为，故①结论错误；慢车的速度为：，则快车的速度为，所以快车速度比慢车速度多；故②结论正确；，所以图中，故③结论正确；，，所以慢车先到达目的地，故④结论错误．所以正确的是②③．故答案为：B ．4.【2020·重庆B 】周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往B 地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y （单位：米）与乙骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚 分钟到达B 地．【答案】12.【解析】解：由题意乙的速度为1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为x 米/分．则有：7500﹣20x ＝2500，解得x ＝250，25分钟后甲的速度为250×85=400（米/分）．由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米），86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），∴29400−25800300=12（分钟）．故答案为：12．0.5h 1.6h 88km 88(3.6 2.5)80(/)km h ÷-=100/km h 20/km h 88180(5 3.6)340()km +⨯-=340a =(360280)80 2.5()h -⨯÷=5 2.5 2.5()h -=5.【2020·浙江台州】如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（m/s）与运动时间t（s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（m）与运动时间t 之间的函数图象大致是（）图1 图2A B C D【答案】C.【解析】解：由图2知，小球的是先匀加速再匀减速运动，选项C符合题意.6.【2020·贵州铜仁】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：由题意，当0≤x ≤4时，y =12×AD ×AB =12×3×4＝6，当4＜x ＜7时，y =12×PD ×AD =12×（7﹣x ）×4＝14﹣2x ．故答案为：D ．7.【2020·安徽】如图，△ABC 和△DEF 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合，现将△ABC 沿着直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动. 在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（ ）【答案】A.【解析】解：当0≤x ≤2时，重叠部分为边长为x 的等边三角形，y=2 当2<x ≤4时，重叠部分为边长为（4-x ）的等边三角形，y=)24x - 故答案为：A.8.【2020·甘肃金昌】如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（）A．4√2B．4C．3√3D．2√2【答案】A.【解析】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2√5，∴x2+（2x）2＝（2√5）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4√2，故答案为：A．9.【2020·黑龙江大兴安岭】李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】解：因为登山过程可知：先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．所以在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是B．故答案为：B．10.【2020·湖北黄冈】2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：根据题意：时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故答案为：D．11.【2020·湖北随州】小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出发时间（t）之间的对应关系的是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】解：①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；②停留一段时间时，离家的距离不变，③乘车返回时，离家的距离减小至零，纵观各选项，只有B选项符合．故答案为：B．12.【2020·湖北孝感】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：①当点P在AB上运动时，y=12AH×PH=12×AP sin A×AP cos A=12×x2×√34=√38x2，图象为二次函数；②当点P在BC上运动时，如下图，由①知，BH′＝AB sin A＝4×12=2，同理AH′＝2√3，则y=12×AH×PH=12（2√3+x﹣4）×2＝2√3−4+x，为一次函数；③当点P在CD上运动时，同理可得：y=12×（2√3+6）×（4+6+2﹣x）＝（3+√3）（12﹣x），为一次函数；故答案为：D．13.【2020·湖南衡阳】如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么四边形ABCD的面积为（）A．3B．3√2C．6D．6√2【答案】B.【解析】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，AE ＝6﹣4＝2，DE ＝7﹣6＝1，BE ＝2，∴AB ＝2+1＝3，∵直线BE 平行直线y ＝x ，∴BM ＝EM =√2， ∴平行四边形ABCD 的面积是：AD •BM ＝3×√2=3√2．故答案为：B ．14.【2020·内蒙古通辽】如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 ．【答案】7.【解析】解：将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ，则四边形ABA ′C 为菱形，菱形的对角线交于点O ，由图②知，当点P 与点B 重合时，y ＝P A +PE ＝AB +BE ＝AB +12AB ＝3√3，解得：AB ＝2√3，即：菱形的边长为2√3，则该菱形的高为√32AB ＝3， 点A 关于BC 的对称点为点A ′，连接A ′E 交BC 于点P ，此时y 最小，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，则∠BAA ′＝60°，故AA ′B 为等边三角形，∵E 是AB 的中点，故A ′E ⊥AB ，而AB ∥A ′C ，故∠P A ′C 为直角，A ′C ＝AB ＝2√3，则PC =A′C cos∠BCA′=√3√32=4， 此时b ＝PC ，a ＝A ′E ＝3（菱形的高），则a +b ＝3+4＝7．故答案为7．15.【2020·青海】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h （cm ）与注水时间t （min ）的函数图象大致为图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B. 【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误；用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化． 故答案为：B ．16.【2020·四川攀枝花】甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）()s km ()t hA ．两人出发1小时后相遇B ．赵明阳跑步的速度为C ．王浩月到达目的地时两人相距D ．王浩月比赵明阳提前到目的地 【答案】C.【解析】解：由图象可知，两人出发1小时后相遇，故答案为项A 正确；赵明阳跑步的速度为，故答案为项B 正确； 王皓月的速度为：，王皓月从开始到到达目的地用的时间为：，故王浩月到达目的地时两人相距，故答案为项C 错误； 王浩月比赵明阳提前到目的地，故答案为项D 正确； 故答案为：C ．8/km h 10km 1.5h 2438(/)km h ÷=241816(/)km h ÷-=2416 1.5()h ÷=8 1.512()km ⨯=3 1.5 1.5h -=。
人教版中考数学二轮复习专题练习：函数与相似全等中的动点问题(含答案)
②
当 e B 与 e C 内切时，点 F 在 CA 延长线上，且 CF BE BC ∴ 1 t 2 6t t 12 ，解得 t 4 或 t 6
2
综上所述，当 e B 与 e C 相切时， t 的值为 2 或 4 或 6 (3)①若 EF CF ，则 C CEF ∵ C B ，∴ VFEC∽VABC
∵ EQ∥ AC
∴ VEDQ∽VADC
EQ DQ
∴
,
AC DC
4 x 1.25x 2
即
，解得 x 2.5
4
3
解得 x 2.5
②当 QED 90 时，
∵ CDA EDQ ， QED C 90
∴ VEDQ∽VCDA
ED DQ
∴
CD AD
5
即
5 x
4
1.25x
2
3
5
解得： x 3.1 综上所述，当 x 为 2.5 秒或 3.1 秒时， VEDQ 为直角三角形 .
FC
∴
AC
EC
，∴
BC
1 t 2 6t 2
10
12 t 12
5 解得 t 或 (t 12 舍去 )
3 ②若 EF EC ，则 C EFC ∵ C B ，∴ VEFC∽VABC
EC
∴
FC ，∴ 12 t
AC BC
10
1 t 2 6t 2
12
12
解得 t
或 t 12 (舍去 )
5
③若 CF CE ，则 1 t2 6t 12 t 2
解得 t 1
当 t 1时， S
8 1 4 12 5 12 16 1 16
4
(平方厘米 )
5
②当 PC BC 时，有 t 2 (4 2t ) 2 2
中考复习函数专题06 一次函数中的动点问题(老师版)
专题06 一次函数中的动点问题知识对接考点一、怎样解一次函数图象的平移问题 1、直线的平移规律（1）直线)0(≠+=k b kx y 可由直线)0(≠=k kx y 向上或向下平移得到，当b>0时，将直线kx y =沿y 轴向上平移b 个单位长度得到直线b kx y +=；当b<0时，将直线kx y =沿y 轴向下平移b 个单位长度得到直线b kx y +=.简而言之，“上加下减”（2）直线)(m x k y +=可由直线kx y =向左或向右平移得到，当m<0时，将直线kx y =沿x 轴向右平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=；当>0时，将直线kx y =沿x 轴向左平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=，简而言之，“左加右减”（3）一次函数的图象平移，不会改变图象的形状与大小，平移后的图象与原来的图象平行，直线平移后的解析式中，k 的值不变，只有b 的值发生变化.专项训练一、单选题1．一次函数y ＝kx +b 的图象是由函数y ＝2x 的图象向左平移3个单位长度后得到的，则该一次函数的解析式为（ ） A ．y ＝2x +6 B ．y ＝﹣2x +6C ．y ＝2x ﹣6D ．y ＝﹣2x ﹣6【答案】A 【分析】利用一次函数平移规律，左加右减得出答案． 【详解】解：由题意可得：y ＝2（x +3）＝2x +6． 故选：A ． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意平移不影响k 的值是关键．2．若一次函数的y ＝kx +b （k ＜0）图象上有两点A （﹣2，y 1）、B （1，y 2），则下列y 大小关系正确的是（ ） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1≤y 2D ．y 1≥y 2【答案】B首先观察一次函数的x 项的系数，当x 项的系数大于0，则一次函数随着x 的增大而增大，当x 小于0，则一次函数随着x 的减小而增大．因此只需要比较A 、B 点的横坐标即可． 【详解】解：根据一次函数的解析式y ＝kx +b （k <0） 可得此一次函数随着x 的增大而减小 因为A （﹣2，y 1）、B （1，y 2）， 根据-2<1，可得12y y > 故选B ． 【点睛】本题主要考查一次函数的一次项系数的含义，这是必考点，必须熟练掌握．一次函数的x 项的系数，当x 项的系数大于0，则一次函数随着x 的增大而增大，当x 小于0，则一次函数随着x 的增大而减小．3．已知一次函数的图象过点(2,0)和点(1,1)-，则这个函数的解析式为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2y x =-- D ．2y x =--【答案】A 【分析】利用待定系数法即可求得函数的解析式． 【详解】设所求一次函数的解析式为：y =kx +b ，其中k ≠0 ∵直线y =kx +b 的图象过点(2,0)和点(1,1)-∵201k b k b +=⎧⎨+=-⎩ 解得：12k b =⎧⎨=-⎩ ∵y =x －2 故选：A ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，其一般步骤是：设函数解析式y =kx +b ；根据条件得出关于k ，b 的方程组；解方程组；写出函数解析式，可简记为：设，代，解，答． 4．将一次函数1y x =-+的图象向上平移3个单位，则新的一次函数的解析式为（ ） A ．21y x =+ B ．4y x =--C ．4y x =-+D ．41y x =-+【答案】C直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将一次函数1y x =-+的图象向上平移3个单位， 所得的直线解析式为：13y x =-++， 即：4y x =-+， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知函数图像的平移法则是解答此题的关键． 5．定义：对于给定的一次函数y ax b =+（a 、b 为常数，且0a ≠，把形如()()00ax b x y ax b x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩的函数称为一次函数y ax b =+的“相依函数”，已知一次函数1y x =+，若点()2,P m -在这个一次函数的“相依函数”图象上，则m 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【分析】找出一次函数1y x =+的“相依函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m 的值． 【详解】解：一次函数1y x =+的“相依函数”为()()1010x x y x x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩，∵点P （−2，m ）在一次函数的“相依函数”图象上， ∵m ＝−1×（−2）−1＝1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“相依函数”的定义，找出一次函数1y x =+的“相依函数”是解题的关键．6．若把一次函数y ＝kx +b 的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A (4，0)和点B (0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ） A ．y ＝﹣12x ﹣1 B ．y ＝﹣12x +1C ．y ＝12x +1D ．y ＝12x ﹣1【答案】C 【分析】设直线AB 的解析式为y =kx +b ，根据题意，得402k b b +=⎧⎨=-⎩，得到直线解析式为y ＝12x -2，将其向左平移2个单位，得到y ＝12x -1，绕着原点旋转180°，得解． 【详解】设直线AB 的解析式为y =kx +b ，根据题意，得402k b b +=⎧⎨=-⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∵直线解析式为y ＝12x -2，将其向左平移2个单位，得y ＝12（x +2）-2， 即y ＝12x -1，∵与y 轴的交点为（0，-1），与x 轴的交点为（2,0）， ∵绕着原点旋转180°，∵新直线与与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（-2,0）， ∵设直线的解析式为y =mx +1， ∵-2m +1=0， 解得m =12， ∵y ＝12x +1， 故选C ． 【点睛】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键．7．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点(3,2)A ，(1,6)B --，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：∵该函数表达式为24y x =-；∵该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；∵点(2,44)P a a -该函数图象上；∵直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】已知一次函数过两个点A （3，2），B （-1，-6），可以用待定系数法求出关系式；根据关系式可以判定一个点（已知坐标）是否在函数的图象上；根据一次函数的增减性，可以判定函数值随自变量的变化情况，当k ＞0，y 随x 的增大而增大；根据关系式可以求出函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标，进而可以求出直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积，最后综合做出结论． 【详解】解：设一次函数表达式为y =kx +b ，将A （3，2），B （-1，-6）代入得：326k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：k =2，b =-4，∵关系式为y =2x -4，故∵正确；由于k =2＞0，y 随x 的增大而增大，故∵正确； 点P （2a ，4a -4），代入，得：2×2a -4=4a -4，∵其坐标满足y =2x -4，因此该点在此函数图象上；故∵正确； 令x =0，则y =-4，令y =0，则x =2，∵直线AB 与x 轴，y 轴的交点分别（2，0），（0，-4），因此与坐标轴围成的三角形的面积为：124482⨯⨯=≠，故∵错误；因此，∵∵∵均正确，∵不正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数关系式，一次函数的性质，一次函数图象的点的坐标特征，以及依据关系式求出函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形的面积等知识点，在解题中渗透选择题的排除法，验证法．8．下列函数关系式：（1）y x =-；（2）1y x =-；（3）1y x=；（4）2y x ，其中一次函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可知：（1）y x =-；（2）1y x =-；是一次函数，（3）1y x=，是反比例函数；（4）2yx ，是二次函数；故一次函数的个数有2个． 故选B ．。
八年级上册综合复习(十一)动点问题(北师版)(含答案)
八年级上册综合复习（十一）动点问题（北师版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，直线：与x，y轴分别交于A，B两点，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P．动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AP—PC 向点C匀速运动（点M不与点A，C重合），设△OMC的面积为S，运动时间为t秒，则S 与t之间的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数动点问题2.如图，在△AOB中，以点O为原点建立平面直角坐标系，A(16，0)，B(8，6).动点P从点A出发以每秒3个单位的速度沿AO向终点O运动，同时点Q从点O出发以每秒2个单位的速度沿OB—BA向终点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒，则△OPQ的面积S与t之间的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之动点问题3.如图，过A(8，0)，B两点的直线与直线交于点C，平行于y轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC，OC于点D，E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S （平方单位），直线的运动时间为t（秒）．（1）C点坐标是( )，根据S表达的不同，t的分段是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数动点问题4.（上接第3题）（2）S与t的函数关系式是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数动点问题5.如图，直线y=-x+18分别与x轴、y轴交于A，B两点；直线y=2x分别与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB，OD于点P，Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t （秒）．当0<t<12时，则S与t之间的函数关系式为（）<12时，则s与t之间的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数动点问题6.如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数的图象交于点A，且与x轴交于点B．过点A作AC⊥y轴于点C．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿OC-CA的路线向点A运动；同时动点R从点B出发，以相同速度向左平移．当点P到达点A时，点P 和点R都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒，△APR的面积为S，则S 关于t的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数动点问题7.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4），∠DAB=45°．动点P从点A出发以每秒2个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿折线BC-CD的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线AD-DC相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．则点Q与点M相遇前S与t之间的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数动点问题。
第五讲一次函数动点问题(教案)
4.关注学生的个体差异，因材施教，提高教学效果。
（2）学会运用数形结合的方法分析一次函数动点问题，并能解决实际问题；
（3）培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
举例解释：
（1）在教学过程中，重点讲解一次函数图像上任意一点的坐标表示方法，以及动点在直线上的移动规律；
（2）通过实例分析，强调动点问题中数形结合的重要性，让学生掌握解题关键；
（3）设计相关练习题，让学生在实际操作中体会空间想象力和逻辑思维能力的培养。
2.教学难点
（1）一次函数动点问题的分类与解题方法；
（2）在解决实际问题时，如何将问题转化为一次函数动点问题；
（3）运用数形结合的方法，突破动点问题的空间想象力限制。
举例解释：
（1）对于动点问题的分类，教师需要详细讲解不同类型动点问题的解题方法，如动点在直线上的移动、动点与直线的距离等，并举例说明；
2.一次函数动点问题的分类与解题思路；
3.举例说明一次函数动点问题的应用，如动点在直线上的移动、动点与直线的距离等；
4.练习题：针对本讲内容，设计具有代表性的练习题，巩固所学知识。
二、核心素养目标
本讲一次函数动点问题的教学，旨在培养学生的以下学科核心素养：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学应用意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数动点问题的基本概念。一次函数动点问题是指在一次函数图像上，点的坐标随时间或其他变量的变化而发生改变的情况。它是研究函数图像动态变化的重要部分，有助于我们理解函数与实际问题的联系。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了动点在一次函数图像上的移动规律，以及如何利用这一规律解决实际问题。
（完整版）学生初中数学函数专题复习北师大版知识精讲
初三数学函数专题复习北师大版（一）一次函数 1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。
2.图象及其性质（1）形状：直线（）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限200ky x ky x （）若直线：：3111222l yk xb l y k xb 当时，；当时，与交于，点。
k k l l b b b l l b 121212120//()（4）当b>0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。
（5）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。
（6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。
3.应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。
【例题分析】例1. 已知一次函数y ＝kx ＋2的图象过第一、二、三象限且与x 、y 轴分别交于A 、B两点，O 为原点，若ΔAOB 的面积为2，求此一次函数的表达式。
例2. 小明用的练习本可以在甲商店买，也可以在乙店买，已知两店的标价都是每本1元，但甲店的优惠条件是：购买10本以上从第11本开始按标价的70%卖，乙店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖。
（1）小明买练习本若干本（多于10）设购买x 本，在甲店买付款数为y 1元，在乙店买付款数为y 2元，请分别写出在两家店购练习本的付款数与练习本数之间的函数关系式；（2）小明买20本到哪个商店购买更合算？（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？（二）反比例函数 1.定义：应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”ykxk x 1021 2.图象及其性质：（1）形状：双曲线（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()yx yx（）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300ky x ky x （4）过图象上任一点作x 轴与y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。
初中数学知识点复习专题讲练：函数中的动点问题(含答案)
函数中的动点问题考点分析1.点在线段上运动：2.根据线段长或图形面积求函数关系.如：如图所示，点P在线段BC,CD,DA上运动，△ABP 的面积变化情况的图象是什么样的？解析：看清横轴和纵轴表示的量.答案：2. 双动点变化：两动点同时运动，分析图形面积变化图象.如图1，在矩形ABCD中，点E是对角线AC 的三等分点（靠近点A），动点F从点C出发沿C→A→B运动，当点F与点B重合时停止运动.设点F运动的路程为x，△BEF的面积为y，那么图2能表示y与x函数关系的大致图象吗？图1 图2解析：动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况.答案：能.3. 图形运动变化所形成的函数问题：图形整体运动时，形成的函数问题；如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，阴影部分面积为S，那么S与t的函数图象大致是什么？解析：图形运动变化所形成的函数问题．关键是理解图形运动过程中的几个分界点.答案：4. 实际问题中的运动变化图象如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）解析：解决实际问题中的运动变化图象，要根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义选出正确的图象.答案：总结：研究在不同位置时点的运动变化所产生的线段、面积的变化关系是重点.解题技巧例题 如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，由A ⇒B ⇒C ⇒D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成面积为y ，点P 运动的路程为x ，则表示y 与x 的函数关系的图象为（ ）A .B .C .D .解析：分别求出P 在AB 段、BC 段、CD 段的函数解析式或判断函数的类型，即可判断.答案：解：点P 在AB 段时，函数解析式是：y ＝21AP •AM ＝21×2x ＝x ，是正比例函数y x =；点P 在BC 段时，函数解析式是：1()242y AM BP AB x =+⋅=-，是一次函数24y x =-；则2,1BC AB k k ==，BC AB k k ∴>.在单位时间内点P 在BC 段上的面积增长要大于点P 在AB 上的面积增长，因此函数图象会更靠近y 轴，也就是图象会比较“陡”，故A 、B 选项错误.点P 在CD 段时，面积是△ABC 的面积加上△ACP 的面积，△ABC 的面积不变，而△ACP 中CP 边上的高一定，因而面积是CP 长的一次函数，因而此段的面积是x 的一次函数，应是线段.故C 错误，正确的是D .故选D .点拨：主要考查了函数的性质，注意分段讨论是解决本题的关键.总结提升利用动点形成的函数图象求解析式例题 （翔安模拟）如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ,CD ,DA 运动至点A 停止.设点P 运动的路程为x cm ，△ABP 的面积为 y cm 2，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则y 关于x 的函数关系式为 .解析：根据图2判断出矩形的AB 、BC 的长度，然后分点P 在BC 、CD 、AD 时，分别求出点P 到AB 的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y 关于x 的函数关系式.答案：解：由图2可知，x 从4到9的过程中，三角形的面积不变，所以，矩形的边AB ＝9－4＝5 cm ，边BC ＝4 cm ，则点P 运动的总路程为9＋4＝13 cm ，分情况讨论：①点P 在BC 上时，0≤x ≤4，点P 到AB 的距离为PB 的长度x cm ，y ＝21AB •PB ＝21×5x ＝25x ；②点P 在CD 上时，4<x <9，点P 到AB 的距离为BC 的长度4 cm ，y ＝21AB •BC ＝21×5×4＝10；③点P 在AD 上时，9≤x ≤13时，点P 到AB 的距离为P A 的长度（13－x ） cm ，y ＝21AB •P A ＝21×5（13－x ）＝25（13－x ）；综上，y 关于x 的函数关系式为504210495139132x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<<⎨⎪⎪≤≤⎩（）（）（－）（）. 故答案为：504210495139132x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<<⎨⎪⎪≤≤⎩（）（）（－）（）.动点综合型问题例题 （苏州中考）如图①，在平行四边形ABCD 中，AD ＝9 cm ，动点P 从A 点出发，以1 cm/s 的速度沿着A →B →C →A 的方向移动，直到点P 到达点A 后才停止.已知△P AD 的面积y （单位：cm 2）与点P 移动的时间x （单位：s ）之间的函数关系如图②所示，试解答下列问题：（1）求出平行四边形ABCD 的周长；（2）请你利用图①解释一下图②中线段M N 表示的实际意义； （3）求出图②中a 和b 的值.解析：（1）由图②知点P 在AB 上运动的时间为10 s ，根据路程＝速度×时间列式，求出AB ＝10 cm ，又AD ＝9 cm ，根据平行四边形的周长公式即可求解；（2）由线段M N ∥x 轴，可知此时点P 虽然在运动，但是△P AD 的面积y 不变，结合图①，可知此时点P 在BC 边上运动；（3）由AD ＝9可知点P 在边BC 上的运动时间为9 s ，a 为点P 由A →B →C 的时间；分别过B 点、C 点作BE ⊥AD ,CF ⊥AD ，易证△BAE ≌△CDF ，由此得到AE ＝DF ＝6 cm ，AF ＝15 cm ，从而可求得CA ＝17 cm ，则点P 在CA 边上从C 点运动到A 点的时间为17 s ，所以b ＝19＋17＝36.答案：解：（1）由图②可知点P 从A 点运动到B 点的时间为10 s ，又因为P 点运动的速度为1 cm/s ，所以AB ＝10×1＝10（cm ），而AD ＝9 cm ，则平行四边形ABCD 的周长为：2·（AB ＋AD ）＝2×（10＋9）＝38（cm ）；（2）线段M N 表示的实际意义是：点P 在BC 边上从B 点运动到C 点；（3）由AD ＝9可知点P 在边BC 上的运动时间为9 s ，所以a ＝10＋9＝19；分别过B ,C 两点作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F .由图②知S △ABD ＝36 cm 2，则21×9×BE ＝36 cm 2，解得BE ＝8 cm ，在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE ＝22BE AB -＝6 cm.易证△BAE ≌△CDF ，则BE ＝CF ＝8 cm ，AE ＝DF ＝6 cm ，AF ＝AD ＋DF ＝9＋6＝15 cm.在Rt △ACF 中，由勾股定理，得CA 22AF CF +17 cm ，则点P 在CA 边上从C 点运动到A 点的时间为17 s ，所以b ＝19＋17＝36.巩固训练（答题时间：45分钟）一、选择题1. （静海中考）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.2. （营口中考）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点E应运动到（）A. 点C处B. 点D处C. 点B处D. 点A处3. （绥化中考）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.*4. （荆门中考）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A. B.C. D.**5.（河池中考）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AD＝6，M是CD的中点，点P在直角梯形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x 之间的函数关系用图象表示是（）A. B.C. D.二、填空题：*6. 如图，是一辆汽车的速度随时间变化的图象，请你根据图象提供的信息填空：（1）汽车在整个行驶过程中，最高速度是km/h（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是；（3）汽车出发后，8 min到10 min之间的运动情况如何？.*7. 如图，在正方形ABCD中，边长为2，某一点E从B－C－D－A－B运动，且速度是1，试求：（1）△BEC的面积S和时间t的关系.**8. （随州中考）在四边形ABCD中，AB边的长为4，设动点P沿折线B⇒C⇒D⇒A由点B向点A运动，设点P运动的距离为x，△P AB的面积为y，y与x的函数图象如图所示.给出下列四个结论：①四边形ABCD的周长为14；②四边形ABCD是等腰梯形；③四边形ABCD是矩形；④当△P AB面积为4时，点P移动的距离是 2.你认为其中正确的结论是.（只填所有正确结论的序号例如①）**9. 已知动点P以每秒2 cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙，若AB＝6 cm，试回答下列问题：（1）图甲中BC的长度是.（2）图乙中a所表示的数是.（3）图甲中的图形面积是.（4）图乙中b所表示的数是.图甲图乙三、解答题：10. （潜江）如图，有一边长为5的正方形ABCD与等腰三角形CEF，其中底边CF＝8，腰长EF＝5，若等腰△CEF以每秒1个单位沿CB方向平移，B,C,F在直线L上，请画出0＜t＜6时，两图形重叠部分的不同状态图（重叠部分用阴影标示），并写出对应t的范围.**11. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝30 cm，BC＝60 cm.点P从点A出发，沿A→B→C→D 路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线向点A 匀速运动，到达点A后停止.若点P,Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1 s，图②是P,Q两点在折线AB－BC－CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象.（1）请解释图中点H的实际意义；（2）求P,Q两点的运动速度；（3）将图②补充完整；（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值.参考答案1. B 解析：①当P 在AB 上运动时，所求三角形底为AP ，高为M 到AB 的距离也就是AD 长度因此S △APM ＝21AD •AP ＝x ，函数关系为：y ＝x （0＜x ≤1）；②当P 在BC 上运动时，S △APM ＝S 梯形ABCM －S △ABP －S △PCM ，S △ABP ＝21AB •BP ，BP ＝x －1，则S △ABP ＝21x －21，S △PCM ＝21PC •CM ，CM ＝12AB ＝21，PC ＝3－x ，S △PCM ＝43x -，S 梯形ABCM ＝21（AB ＋CM ）•BC ＝23，因此S △APM ＝23－21-x －43x -＝－4x ＋45（1＜x ≤3）；③当P 在CM 上运动时，S △APM ＝21CM •AD ，CM ＝27－x ，S △APM ＝21（27－x ）×2＝－x ＋27（3＜x ＜7/2）.故该图象分三段.故选B.2. B 解析：当E 在AB 上运动时，△BCE 的面积不断增大；当E 在AD 上运动时，BC 一定，高为AB 不变，此时面积不变；当E 在DC 上运动时，△BCE 的面积不断减小.∴当x ＝7时，点E 应运动到高不再变化时，即点D 处.故选B .3. D 解析：∵长、宽分别为2和1的矩形ABCD 的边上有一动点P ，沿A →B →C →D →A 运动一周，则点P 的纵坐标y 随点P 走过的路程s 之间的函数关系图象可以分为4部分，∴P 点在AB 上，此时纵坐标越来越小，最小值是1，P 点在BC 上，此时纵坐标为定值1.当P 点在CD 上，此时纵坐标越来越大，最大值是2，P 点在AD 上，此时纵坐标为定值2.故选D.4. A 解析：①当直线l 经过BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l 经过AD 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l 经过DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A 选项的图象符合.故选A.5. D 解析：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，过点M 作MF ⊥AB 于点F ，易得CE ＝2，MF ＝5，当点P 与点B 重合，即x ＝2时，y ＝21AP ·MF ＝21×2×5＝5；当点P 与点C 重合，即x ＝6时，y ＝1122AD CE ⨯⋅＝21×21×6×2＝3；结合函数图象可判断选项D 正确.故选D.6. 100 km ，22 min －24 min ，8 min 到10 min 之间停止 解析：（1）依题意得：最高速度是100 km/h ；（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是22 min －24v ；（3）汽车出发后，8v 到10 min 之间是停止的.7. 0(02)2(24)2(46)8(68)t t t S t t t ≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨<≤⎪⎪-<≤⎩ 解析：（1）∵在正方形ABCD 中，边长为2，某一点E 从B －C －D －A －B 运动，且速度是1，∴当E 在BC 上时，B ，E ，C 无法构成三角形，此时0≤t ≤2，∴S ＝0，（0≤t ≤2）；当E 在CD 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×CE ＝21×2×（t －2）＝t －2，（2＜t ≤4）；当E 在AD 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×CD ＝21×2×2＝2，（4＜t ≤6）；当E 在AB 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×BE ＝21×2×[2－（t －6）]＝8－t ，（6＜t ≤8）. 8. ①③ 解析：∵AB 边的长为4，设动点P 沿折线B ⇒C ⇒D ⇒A 由点B 向点A 运动，点P 运动的距离为10，∴四边形ABCD 的周长为10＋4＝14，①成立.当点P 在BC 上运动时，面积在不断增加，当移动的距离是3，面积为6时，面积不再变化，说明CD ∥AB ，此时BC ＝3，△ABP 面积＝21×4×高＝6，那么高＝3，说明BC ⊥AB .当点P 运动7时，面积停止变化，此时CD ＝7－3＝4，那么CD ＝AB .根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD 是平行四边形.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到四边形ABCD 是矩形，③对.由图中可以看出，面积为4的点可在图中找到两处，那么就有相应的两个距离值，④不对.故答案选①③.9. 8 cm ；24；60 cm 2；17 解析：（1）动点P 在BC 上运动时，对应的时间为0到4 s ，易得：BC ＝2 cm/s×4s ＝8 cm.故题图甲中BC 的长度是8 cm ；（2）由（1）可得，BC ＝8 cm ，则：题图乙中a 所表示的数是：21×BC ×AB ＝21×8×6＝24（cm 2）.故题图乙中a 所表示的数是24；（3）由题图可得：CD ＝2×2＝4 cm ，DE ＝2×3＝6 cm ，则AF ＝BC ＋DE ＝14 cm ，又由AB ＝6 cm ，则甲中的梯形面积为AB ×AF －CD ×DE ＝6×14－4×6＝60（cm 2）.故题图甲中的图形面积为60 cm 2；（4）根据题意，动点P 共运动了BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋F A ＝（BC ＋DE ）＋（CD ＋EF ）＋F A ＝14＋6＋14＝34（cm ），其速度是2 cm/s ，34÷2＝17（s ）.故题图乙中b 所表示的数是17.故答案为8 cm ；24；60 cm 2；17.10. 解：∵等腰三角形CEF ，其中底边CF ＝8，腰长EF ＝5，∴等腰三角形底边上的高线平分底边，即分为两部分都是4，当0＜t ≤4时，如图1所示；当4＜t ≤5时，如图2所示；当5＜t ＜6时，如图3所示.11. 解答：（1）图中点H 的实际意义：P 、Q 两点相遇；（2）由函数图象得出，当两点在F 点到G 点两点路程随时间变化减慢得出此时Q 点停留1秒，只有P 点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，故P 点运动速度为：30cm/s ，再根据E 点到F 点S 的值由120变为75，根据P 点速度，得出Q 点速度为120－75－30＝15（cm/s ），即P 点速度为30cm/s ，Q 点速度为15cm/s ；（3）如图所示：根据4秒后，P 点到达D 点，只有Q 点运动，根据运动速度为15cm/s ，还需要运动120－45＝75（cm ），则运动时间为：75÷15＝5（s ），画出图象即可；（4）如图1所示，当Q P ＝PC ，此时21Q C ＝BP ，即30－30t ＝21（30－15t ），解得：t ＝32，故当时间t ＝32s 时，△PC Q 为等腰三角形，如图2所示，当D 、P 重合，Q D ＝Q C 时，Q 为AB 中点，则运动时间为：（15＋60＋30）÷15＋1＝8（s ），故当时间t ＝8s 时，△PC Q 为等腰三角形.若PC ＝C Q 故90－30t ＝30－15t 解得：t ＝4则4＋1＝5（S ）综上所述：t ＝32或t ＝5或t ＝8秒时，△PC Q 为等腰三角形.。
专题14 二次函数中动点问题求取值范围(老师版)
专题14二次函数中动点问题求取值范围知识归纳学会用函数的观点去看问题和用数形结合的思想去解决问题是本专题主要研究的知识点。
本专题主要对二次函数中动点问题求取值范围题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
二次函数动点问题解法⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需4102转化为一元二次1653方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；常考题型专练一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，联立解方程：22222y x mx my x⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x-+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．2．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝12x＋12上，若抛物线y＝ax 2﹣x＋1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是____．【答案】1≤a＜98或a≤−2【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax 2−x＋1（a≠0）与线段AB 有两个不同的交点，∴令12x＋12＝ax 2−x＋1，则2ax 2−3x＋1＝0，∴△＝9−8a＞0，∴a＜98，①a＜0时，此时函数的对称轴在y 轴左侧，当抛物线过点A 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：a＋1＋1＝0，解得a＝−2，故a≤−2②当a＞0时，此时函数的对称轴在y 轴右侧，当抛物线过点B 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：a −1＋1＝1，解得a＝1，即：a≥1∴1≤a＜98综上所述：1≤a＜98或a≤−2．故答案是：1≤a＜98或a≤−2．【总结】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是_________.【答案】74【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，把x=12代入代数式即可求得．【详解】∵抛物线y=ax 2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴4222m n a a +=-=-，顶点为（-2,1）∴由题意可知a>0,∵线段AB 的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥12∴a 2+a+1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．【总结】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，将抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m 的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D 点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D 之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，联立解方程：22222y x mx m y x ⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x -+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D 之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于A、C 两点，与x 轴交于点(3,0)C ，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,1)-，连接PC +的最小值是______．【答案】4【分析】过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，求出DP PJ +的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC，过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于H．∵二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点(3,0)C ，∴b＝2，∴二次函数的解析式为223y x x =-++，令y＝0，-x 2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设DH x =，则BH x =,∵222DH BH BD +=，∴2224x x +=，∴x =∴DH ＝∵PJ⊥CB，∴90PJC ∠︒＝，∴2PJ PC ＝，)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，∵DP PJ DH +≥，∴DP PJ +≥∴DP+PJ 的最小值为PC +的最小值为4．故答案是4．【总结】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，2PJ PC ＝是解题的关键．二、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x x =-．（1）写这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．试求抛物线24y x x =-的“不动点”的坐标．【答案】（1）抛物线开口向上，顶点坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【分析】（1）由a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，−1），即可分析出变化情况；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，即可求解；【详解】解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的横坐标为4222b a --=-=，则顶点A 的纵坐标为2242y =-⨯=−4；故顶点A 的坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，解得：t＝0或5，故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【总结】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．2．已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t．（1）当a=1，b=4时，t=________；（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t 的取值范围是________；（3）已知点C(0，a)，D(2，3a -2b)，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）-2；（2）t＞3；（3）t≤18【分析】（1）利用对称轴公式，即可求解；（2）根据二次函数的图像开口向下，点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，可得点B 离对称轴更近，进而即可求解；（3）分两种情况①当a＞0时，得到22232y a b a b =⨯+≥-，②当a＜0时，得到22232y a b a b =⨯+≤-，进而即可求解．【详解】解：（1）∵当a=1，b=4时，二次函数24y x x =+，∴对称轴为直线x=-2，即：t=-2，故答案是：-2；（2）∵当a<0时，二次函数2(0)y ax bx a =+≠的图像开口向下，又∵点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，∴点B 离对称轴更近，即：|5-t|＜|t-1|，∴t＞3，故答案是：t＞3；（3）①当a＞0时，∵C(0，a)在y 轴的正半轴，2(0)y ax bx a =+≠的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，∴只要22232y a b a b =⨯+≥-即可，即：4a+2b≥3a-2b，解得：a≥-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，②当a＜0时，同理可得：只要22232y a b a b =⨯+≤-，即：4a+2b≤3a-2b，解得：a≤-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，综上所述：t≤18．【总结】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键．3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A（1，0），B（3，0），交y 轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值【答案】（1）y=x 2-4x+3；（2）278【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式y=ax 2+bx+3，求出a、b，即可求解；（2）求出直线BC 解析式；设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，表示出PE 长，得到△BCP 面积与t 函数关系式，根据函数性质即可求解．【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC 的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得300k m m +⎧⎨⎩＝＝，解得13k m -⎧⎨⎩＝＝，∴直线BC 的解析是为y=-x+3，设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，交直线BC 于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t，∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278．【总结】本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键．4.已知抛物线228y ax ax =--()0a ≠经过点()2,0-．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点()4,A m -，(),7B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围，【答案】（1）228y x x =--，顶点坐标为()1,9-；（2）4p x -<<5，916p y -≤<【分析】（1）把()2,0-代入可求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；（2）把()4,A m -，(),7B n 代入可求出m，n，求出点P 横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围【详解】解：（1）把()2,0-代入228y ax ax =--，得4480a a +-=，解得1a =，∴抛物线的函数表达式为228y x x =--，配方得()219y x =--，∴顶点坐标为()1,9-．（2）当4x =-时，16m =．当7y =时，2287n n --=，解得15n =，23n =-．n 为正数，∴5n =．点P 在抛物线上且在直线l 的下方（不与点A ，B 重合），∴4p x -<<5．∵1a =＞0∴开口向上，当x=1时函数取得最小值=-9∴当41x -<≤时，y 随x 的增大而减小；当15x <<时，y 随x 的增大而增大，当x=-4时，y=16，当x=5时y=7，∴916p y -≤<【总结】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质．5.已知她物线2y x bx c =++的图象开口向上，且经过点(0,3)A 、19,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式：（2）用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴，（3）若点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M 向下平移()0t t >个单位长度时与直线BC 只有一个交点，求t 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-+（2）顶点坐标（1，2），对称轴x=1（3）1＜t≤7【分析】（1）把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到2(1)2y x =-+，求出抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=12x+2，再利用平移的性质得到图象M 向下平移1个单位时，点A 在直线BC 上；图象M 向下平移7个单位时，点D 在直线BC 上，由于图象M 向下平移t (t >0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，即可得答案．【小问1详解】解：把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得=3{1193424c b ++=，解得=3{2c b =-，∴抛物线的解析式为223y x x =-+；【小问2详解】∵2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标（1，2），对称轴x=1；【小问3详解】点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，所以C 点坐标为(2，3)，抛物线如下图，设直线BC 的解析式为y=mx +n，把B 1924()，，C(2，3)代入得，19+={2423m n m n +=，解得：1{22m n ==，∴直线BC 的解析式为y=12x+2，∵抛物线223y x x =-+，当x =4时，223y x x =-+=16-2×4+3=11，∴点D 的坐标为（4，11），∵直线y=12x+2，当x=0时，y=12x+2=2，当x=4时，y=12x+2=4，∴如下图，点E 的坐标（0，2），点F 的坐标（4，4），设点A 平移后的对应点为点A '，点D 平移后的对应点为点D ¢，当图象M 向下平移至点A '与点E 重合时，点D ¢在直线BC 上方，此时t=1，当图象M 向下平移至点D ¢与点F 重合时，点A '在直线BC 下方，此时t=11-4=7，结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1<t≤7．【总结】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换，解题的关键是利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．6.已知抛物线y＝ax 2+bx+c 的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），且OB＝3OA，求m 的值；②若P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2）是新抛物线上的两点，当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，求n 的取值范围．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①94或6；②23n-≤≤【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【详解】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：12（x+3x）＝1，解得x＝12，故点A的坐标为（12，0），将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝14﹣1+3﹣m，解得m＝9 4若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：12（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m＝94或m＝6；②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，∴结合图象，得214n n ≥-⎧⎨+≤⎩，∴﹣2≤n≤3．【总结】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，求点C 的坐标；（3）点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图像G，若图像G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）2122y x x =-+（2）()2,2（3）13t <≤【分析】（1）把点A、B 的坐标代入212y x bx c =++得到关于b、c 的方程组，然后解方程组求得b、c 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）利用配方法可得()213122y x =-+，则抛物线的对称轴为直线1x =，然后根据点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，即可求得点C 的坐标；（3）画出图象，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为112y x =+，再利用平移的性质得到图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上；图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上；然后根据图像G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点即可求得答案.【小问1详解】解：把点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入212y x bx c =++得：21322c b c ì=ïí++=ïî，解得：12b c =-⎧⎨=⎩，所以抛物线解析式为2122y x x =-+；【小问2详解】解：∵()2211321222y x x x =-+=-+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，∴C 点坐标为()2,2；【小问3详解】解：如图，设直线BC 的解析式为y mx m =+，把31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,2C 代入y mx m =+，得：3222m n m n ì+=ïíï+=î，解得：121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为112y x =+，当0x =时，1112y x =+=，∴图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上，当4x =时，1132y x =+=，∵4x =时，21262y x x =-+=，∴图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上，∴当13t <≤时，图象G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点．【总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.解题的关键是利用数形结合思想，把抽象问题直观化.8.如图，抛物线y＝x 2+bx 与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．（1）求b 和k 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x 2+bx 的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN 与抛物线有公共点，请直接写出点M 的横坐标m 的取值范围．【答案】（1）b=2，k=1（2）2<<1x -（3）21m -≤≤-或01m ≤≤【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)首先求出点B 的坐标，再观察函数图象即可求解；(3)画出图，根据图进而求解即可．【小问1详解】解：把点A（﹣2，0）代入y＝x 2+bx得0=4-2b，解得b=2把点A（﹣2，0）代入y＝kx+2得0=-2k+2，解得k=1故b=2，k=1【小问2详解】解：由(1)知抛物线与直线的解析式分别为：y＝x 2+2x，y＝x+2由222y x x y x ⎧=+⎨=+⎩解得13x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩(舍去)故点B 的坐标为(1,3)故由图象可知：不等式kx+2＞x 2+bx 的解集为2<<1x -【小问3详解】解：如图：设直线与y 轴的交点为点E，抛物线的顶点为点C，对称轴所在直线与直线的交点为点D当点M 在点A 的左侧或点B 的右侧时，线段MN 与抛物线没有公共点在y＝x+2中，令x=0，则y=2，则点E(0,2)，OE=2y＝x 2+2x=(x+1)2-1，故点C(-1,-1)当x=-1时，y＝x+2=-1+2=1则DC=1+1=2故当点M 在点D、E 之间时，将点向下平移2个单位长度得到点N，线段MN 与抛物线没有公共点故当21m -≤≤-或01m ≤≤时，线段MN 与抛物线有公共点【总结】本题考查了利用选定系数法求二次函数及一次函数的解析、利用图象求不等式的解集，坐标与图形，画出图形确定点M 的位置是解题的关键．9．如图，二次函数y＝﹣x 2＋bx＋c 与x 轴交于点B 和点A（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，4），与一次函数y ＝x＋a 交于点A 和点D．（1）求出a、b、c 的值；（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E，可使得△EAD 面积最大，求点E 的坐标；（3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d，求d 的最小值及此时点F 的坐标．【答案】（1）1a =，3b =，4c =；（2）点E 的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d 最小值为5，此时F 点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A、C 两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b、c 的值，将点A（－1，0）代入一次函数中，即可求得a 的值；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D 的坐标，再根据∆∆∆=+AED AEH HED S S S ，得出含m 的函数，根据函数图象，可知，当1m =时，面积取得最大值，从而可得出E 的坐标；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，根据角平分线的性质可得：FM FN =，即有11d FE FM FE FN =+-=+-，可知当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，d 取得最小值，即可得出点F 的坐标．【详解】解：（1）∵点C（0，4），A（-1，0）在函数的图象上，∴410=⎧⎨--+=⎩c b c 解得：34b c =⎧⎨=⎩，二次函数解析式为：234y x x =-++，∵点A（－1，0）在一次一次函数y x a =+上，∴01a =-+,∴1a =，一次函数解析式为：1y x =+；所以1a =，3b =，4c =；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，将1y x =+与2y 34x x =-++联立组成方程组，解得点D 的坐标为（3，4），所以1122AED AEH HED S S S EH AG EH DT ∆∆∆=+=⨯+⨯()12EH AG DT =+()2134132m m m =-++--⨯()23162m =--+∵函数图象开口向下，存在最大值，∴AED S ∆有最大值，当1m =时，最大值为6，此时点E 的坐标为（1，6）；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，如图所示：∵点D 的坐标为（3，4），点A 坐标为（-1，0）∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN =，∴11d FE FM FE FN =+-=+-显然，当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，最小值为615d =-=，此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得：F 点的坐标为（1，2）．【总结】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键．。
一次函数动点问题(整理好的)
龙文教育学科教师辅导讲义学生： 科目： 数学 第 阶段第 次课 教师：课 题一次函数的应用——动点问题教学目标1．学会结合几何图形的性质，在平面直角坐标系中列函数关系式。
2．通过对几何图形的探究活动和对例题的分析，感悟探究动点问题列函数关系式的方法，提高解决问题的能力。
重点、难点理解在平面直角坐标系中，动点问题列函数关系式的方法。
教学内容例题1：已知：在平面直角坐标系中，点Q 的坐标为（4，0），点P 是直线y=-21x+3上在第一象限内的一动点，设△OPQ 的面积为s 。
（1）设点P 的坐标为（x ，y ），问s 是y 的什么函数，并求这个函数的定义域。
（2）设点P 的坐标为（x ，y ），问s 是x 的什么函数，并求这个函数的定义域。
（3）当点P 的坐标为何值时，△OPQ 的面积等于直线y=-21x+3与坐标轴围成三角形面积的一半。
练习：已知：在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（6，0），另有一动点B 的坐标为（x ，y ），点B 在第一象限，且点B 的横纵坐标之和为8，设△OAB 的面积为s ，求：（1）s 与点B 的横纵坐标x 之间的函数关系式，并写出定义域。
（2）当△OAB 的面积为20时，求B 点的坐标。
例题2：在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动, 当点P 运动到点B 时，点Q 也随之停止。
如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设△PAD 的面积为s ，运动时间为t ，求s 与t 的函数关系式？运动到何时△PBQ 为等腰三角形？例题3：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题4： 如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止.① 点A 坐标为_____________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________________;② 当t =2时，S =△OPQ ____________;当t =3时，OPQ S =△____________;③ 设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式;例题5如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，由A B C D →→→匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为y ，点P 运动的路程为x ，请解答下列问题：（1）当1x =时，求y 的值；（2）就下列各种情况，求y 与x 之间的函数关系式；①04x ≤≤；②48x <≤；③812x <≤；（3）在给出的直角坐标系中，画出（2）中函数的图象．例题6如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，但是点P 不与点0、点A 重合．连结CP ， D 点是线段AB 上一点，连PD.(1)求点B 的坐标；(2)当点P 运动到什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；x yO A B x y O AB x yO A B25.（14分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰PRQ 中，∠QPR=120︒,底边QR=6cm,点B 、C 、Q 、R 在同一直线L 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰PQR 以1cm/s的速度沿直线L 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰PQR重合部分的面积记为S 平方厘米（1）当t=4时，求S 的值（2）当4≤t ≤10,求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值。
初中数学专题复习(动点问题)
初中数学专题复习（动点问题）一．一次函数动点问题1．（2020•南宁）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；（2）s关于t的函数解析式为s＝，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，连接AG，当t＝2时，A（﹣2，2），设B（x，x+1），在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴G（0，1），∵AB⊥l1，∴∠ABG＝90°，∴AB2+BG2＝AG2，即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，∴B（﹣，）；（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，把（7，4）代入s＝中得：+7b﹣＝4，解得：b＝﹣1，如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（﹣，），∵C（0，3），设AC的解析式为：y＝kx+n，则，解得，∴AC的解析式为：y＝x+3，∴H（﹣，），∴BH＝﹣＝，∴s＝＝＝，把（2，）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）＝，解得：a＝﹣；（3）存在，设B（x，x+1），分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，∵AB⊥l1，∴AC∥l1，∵l1：y＝x+1，C（0，3），∴AC：y＝x+3，∴A（﹣2，1），∵D（﹣2，﹣1），在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），∴B（﹣1，0），即B在x轴上，∴AB＝＝，AC＝＝2，∴S△ABC＝＝＝2；②当∠ACB＝90°时，如图5，∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，（x+1﹣t）2＝（x+2）2，x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，解得：x＝0或3，当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，∴A（﹣2，9），B（3，4），∴AC＝＝2，BC＝＝，∴S△ABC＝＝＝10；当x＝0时，如图6，此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，∴S△ABC＝＝＝2．2．（2020•中山区二模）在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点B、A，动点C以每秒2个单位长度的速度从点B向终点O运动，过点C作∠BCD＝∠ABO，交直线AB于点D．设∠BDC＝α°，将CD 绕点C顺时针旋转α°得到线段CE，连接DE．设四边形BCED与△ABO的重叠部分面积为S（平方单位），S ＞0，点C的运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）求证：四边形BCED是平行四边形；（3）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量取值范围．解：（1）∵直线与x轴、y轴分．别交于点B、A，∴A（0，3），B（﹣6，0）．∴OA＝3，OB＝6．∴．（2）证明：∵∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC．由旋转知CD＝CE，∠BDC＝∠DCE．∴BD∥CE，BD＝CE．∴四边形ABCD是平行四边形．（3）∵直线与x轴、y轴分别交于点B、A，∴A（0，3），B（﹣6，0）．∴．如图1，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD＝CD，∴．∴．∴当0＜t≤2时，；如图2，当2＜t≤3时，∵，∴．∵DE∥OB，∴∠ADE＝∠ABC．∴．∴．∴DM＝6﹣t．∴EM＝2t﹣（6﹣t）＝3t﹣6．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠E．∴．∴．∴．∴．综上所述，．3．（2020•铁西区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B （0，3），点C是直线y2＝﹣x+5上的一个动点，连接BC，过点C作CD⊥AB于点D．（1）求直线y1＝kx+b的函数表达式；（2）当BC∥x轴时，求BD的长；（3）点E在线段OA上，OE＝OA，当点D在第一象限，且△BCD中有一个角等于∠OEB时，请直接写出点C的横坐标．解：（1）把A（4，0），B（0，3）代入y1＝kx+b，得到，解得：，∴y1＝﹣x+3．（2）∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为3，当y＝3时，3＝﹣x+5，解得x＝，∴C（，3），∵CD⊥AB，∴直线CD的解析式为y＝x+，由，解得，∴D（，），∴BD＝＝．（3）如图，当∠BCD＝∠BEO时，过点A作AM⊥AB交BC的延长线于M，点M作MN⊥x轴于N．∵OB＝3，OE＝OA＝，∴tan∠BEO＝＝2，∵CD⊥AB，AM⊥AB，∴CD∥AM，∴∠AMB＝∠BCD＝∠BEO，∴tan∠AMB＝＝2，∵AB＝＝＝5，∴AM＝AB＝，∵∠AOB＝∠ANM＝∠BAM＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠MAN＝90°，∴∠MAN＝∠ABO，∴△ABO∽△MAN，∴＝＝，∴＝＝，∴AN＝，MN＝2，∴M（，2），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3，由，解得x＝，∴点C的横坐标为，当∠CBD＝∠BEO时，同法可得点C的横坐标为．4．（2020•大东区二模）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，边OB在y轴上，A的坐标为（6，0），B的坐标为（0，3），在第一象限有一点C的坐标为（3，4）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）P是x轴上一动点，点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PBO＝∠BOC？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上从点（﹣6，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．请直接写出当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线AB上存在点Q．使得以OC 为一边，O，C，M，Q为顶点的四边形为菱形．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵点A（6，0），B（0，3）在直线AB上，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图1，当点P在x轴负半轴上时，∵点C（3，4），∴直线OC的解析式为y＝x，∵∠PBO＝∠BOC，∴BP∥CO，∵B（0，3），∴直线BP的解析式为y＝x+3，令y＝0，则x+3＝0，∴x＝﹣，∴P（﹣，0），当点P在x轴正半轴上时，由对称性知，P'（，0），即点P的坐标为（﹣，0）或（，0）；（3）如图3，由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+3，∵C（3，4），∴OC＝5，设Q（m，﹣m+3），①以OC与CQ为邻边时，CQ＝OC＝5，∴CQ＝＝5，∴m＝﹣2或m＝6，∴Q1（﹣2，4），Q3（6，0），∵点C（3，4）向左平移3﹣（﹣2）＝5个单位到点Q，∵（﹣2，4），∴点O也向左平移5个单位得到点M1（﹣5，0），∴t＝﹣5﹣（﹣6）＝1，∵点C（3，4）向右平移6﹣3＝3个单位，再向下平移4﹣0＝4个单位到点Q3，∴点O也向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到点M3（3，﹣4），∴t＝3﹣（﹣6）＝9，②以OC与OQ为邻边时，OQ＝OC＝5，∴＝5，∴m＝或m＝，∴Q2（，），Q4（，），∵点O向左平移个单位，再向上平移个单位到点Q2（，），∴点C（3，4）也向左平移个单位，再向上平移个单位到点M2（，），∴t＝﹣（﹣6）＝，∵点O向右平移个单位，再向上个单位到Q4，∴点C（3，4）也向右平移个单位，再向上平移个单位到点M4（，），∴t＝﹣（﹣6）＝，即t的值为1或9或或．5．（2020•沈河区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B（2，3），点C（3，）．（1）求直线AB的解析式；（2）点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作直线PM∥y轴，交直线AB于点M，交直线BC于点N（P，M，N三点中任意两点都不重合），当MN＝MP时，求点M的坐标；（3）如图2，取点D（4，0），动点E在射线BC上，连接DE，另一动点P从点D出发，沿线段DE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段EB以每秒个单位的速度运动到终点B，当点E的坐标是多少时，点P 在整个运动过程中用时最少？请直接写出此时点E的坐标．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵点A的坐标是（﹣1，0），点B（2，3），∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）∵点B（2，3），点C（3，），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵点P（m，0），PM∥y轴，交直线AB于点M，交直线BC于点N，∴M（m，m+1），N（m，﹣m+4），∵MN＝MP，∴m+1＝（﹣m+4）﹣（m+1），解得：m＝，∴M（，）；（3）如图2中，作BT∥AD，过点E作EK⊥BT于K．设直线BC交x轴于J．∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∴tan∠BJO＝，∵BT∥OJ，∴∠BJO＝∠TBJ，∴tan∠TBJ＝tan∠BJO＝，∴＝，设EK＝m，BK＝2m，则BE＝m，∴EK＝BE，∵点P在整个运动过程中的运动时间t＝+＝DE+BE＝DE+EK，∴当D，E，K共线，DE+EK的值最小，此时DE＝DJ＝2，EK＝BK＝1，∴点P在整个运动过程中的运动时间的最小值为2+1＝3秒，此时E（4，2）．二．反比例函数动点问题6．（2020•五华县模拟）如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为y＝﹣（x＜0）．解：连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，设A点坐标为（a，），∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y＝的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE＝90°，∵∠DOC+∠DCO＝90°，∴∠DCO＝∠AOE，∵在△COD和△OAE中∴△COD≌△OAE（AAS），∴OD＝AE＝，CD＝OE＝a，∴C点坐标为（﹣，a），∵﹣•a＝﹣4，∴点C在反比例函数y＝﹣图象上．故答案为y＝﹣（x＜0）．7．（2020•金华二模）如图，反比例函数y＝（x＞0），点A（a，0）是x轴上的动点．B（0，4），以AB为边在AB右侧作正方形ABCD．（1）当a＝4时，判断点D是否在反比例函数图象上？请说明理由；（2）当点D落在反比例函数y＝（x＞0）图象上时，求a的值；（3）在（2）的条件下，沿水平方向平移正方形，使正方形的一个顶点落在反比例函数图象上时，求点A的平移距离．解：（1）如图1，过点D作DE⊥x轴于E，∴∠AED＝90°＝∠BOA，∵a＝4，∴A（4，0），∴OA＝4，∵B（0，4），∴OB＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠OAB+∠DAE＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OBA＝EAD，∴△AOB≌△DEA（AAS），∴DE＝OA＝a＝4，AE＝OB＝4，∴OE＝OA+AE＝8，∴D（8，4），当x＝8时，y＝≠4，∴点D不在反比例函数y＝（x＞0）的图象上；（2）由（1）知，△AOB≌△DEA（AAS），∴DE＝OA＝a，AE＝OB＝4，∴OE＝OA+AE＝a+4，∴D（a+4，a），∵点D落在反比例函数y＝（x＞0）图象上，∴a（a+4）＝5，∴a＝﹣5或a＝1，∵点D在双曲线上，∴a＞0，即a＝1；（3）∵点B（0，4），当y＝4时，x＝，∴正方形ABCD向右平移个单位，∴点A向右平移个单位，即点A的平移距离为．同（2）的方法得，C（4，5），当y＝5时，x＝＝1，而4﹣1＝3，∴正方形ABCD向左平移3个单位，∴点A向左平移3个单位，即点A的平移距离为3．即点A的平移距离为3或．8．（2020•历下区三模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，点A的坐标为（1，2），点C为反比例函数图象第一象限上的一动点，连接OC、AC、BC．（1）求正比例函数与反比例函数的表达式；（2）作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，且OA＝OC时，求直线BC的函数表达式；（3）当△AOC是以OA为直角边的直角三角形时，求点C的坐标．解：（1）将点A的坐标分别代入y＝kx和y＝并解得：k＝2，m＝2，故正比例函数与反比例函数的表达式分别为：y＝2x，y＝①；（2）∵反比例函数的图象关于原点成中心对称，故点B（﹣1，﹣2），∵反比例函数的图象关于直线y＝x对称且OA＝OC，∴点A、C关于直线y＝x对称，过点C（2，1），设直线BC的表达式为：y＝tx+s，则，解得，故直线BC的表达式为：y＝x﹣1；（3）如下图，延长AC交x、y轴于点M、N，直线AB的表达式为：y＝2x，则tan∠AOC＝2，当△AOC是以OA为直角边的直角三角形时，即∠OAC＝90°，则tan∠ANO＝，故设直线AC的表达式为：y＝﹣x+r，将点A的坐标代入上式并解得：r＝，故直线AC的表达式为：y＝﹣x+②，联立①②并解得：x＝1（舍去）或4，故点C（4，）．9．（2021•禹州市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（1，0），顶点C的坐标为（4，2），对角线AC∥x轴，边AB所在直线y1＝ax+b与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A，E 两点．（1）求y1和y2的函数解析式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；（3）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请直接写出点P的坐标．解：（1）连接BD，∵四边形ABCD为菱形，AC∥x轴，由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，则点A的坐标为（﹣2，2），将点A、B的坐标代入直线的表达式得，解得，故y1＝﹣x+①；将点A的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝﹣4，则y2＝﹣②；（2）联立①②得：﹣x+＝﹣，解得x＝﹣2（舍去）或3，则点E（3，），观察函数图象知，当y1＞y2时，则x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜3；（3）设点P的坐标为（x，0），由点P、A、C的坐标得：AC2＝（4+2）2＝36，PA2＝（x+2）2+4，PC2＝（x﹣4）2+4，由题意得：AC2＝PA2+PC2，即36＝（x+2）2+4+（x﹣4）2+4，解得x＝1±，故点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）．10．（2020•岳麓区校级模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．解：（1）由消去x得到，x2﹣2ax+k＝0，由题意△＝0，∴4a2﹣4k＝0，∴k＝a2，解方程组得到，，∴B（a，a）．（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO＝∠QPA，设Q（m，），∵B（1，1），B′（1，﹣1），∴PB+PQ＝PB′+PQ＝B′Q＝＝＝＝，∵1＞0，∴当m﹣＝1时，PB+PQ的值最小，最小值为．②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．由题意，B（a，a），A（2a，0），∴OH＝BH＝AH＝2a，∵OM⊥PB，BH⊥OA，∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，∵∠OJH＝∠BJK，∴∠HOJ＝∠HBP，∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，∴△OHJ≌△BHP（ASA），∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，AP＝BJ，∵∠AHB＝90°，HB＝HA，∴∠PAM＝∠JBM＝45°，∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，∴∠BJM＝∠APM，∴△BJM≌△APM（ASA），∴JM＝PM，∴OM﹣PB＝OJ+JM﹣BP＝JM＝PM，∴＝1．三．二次函数动点问题11．（2020•广西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，∴0＝x2﹣2x﹣3，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴点A（﹣1，0），∴AB＝4，设点P（p，p2﹣2p﹣3），∵△PAB的面积为8，∴×4×|p2﹣2p﹣3|＝8，∴p2﹣2p﹣3＝4或p2﹣2p﹣3＝﹣4，∴p1＝2+1，p2＝﹣2+1，p3＝1，∴点P坐标为（2+1，4）或（﹣2+1，4）或（1，﹣4）；（3）如图1，过点P作PE⊥x轴，交BC于E，∵点B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设点P（a，a2﹣2a﹣3），则点E（a，a﹣3），∴PE＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴S△BCP＝×（﹣a2+3a）×3＝﹣（a﹣）2+，∴当a＝时，S△BCP有最大值，即点P到直线BC的距离最大，此时点P（，﹣），设点N（1，n），点Q（m，m2﹣2m﹣3），若CP为边，CN为边时，则CQ与NP互相平分，∴，∴m＝，∴点Q（，﹣），若CP为边，CQ为边时，则CN与PQ互相平分，∴＝，∴m＝﹣，∴点Q（﹣，﹣），若CP为对角线，则CP与NQ互相平分，∴，∴m＝，∴点Q（，﹣），综上所述：点Q坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．12．（2020•兰州）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）判断△ABD的形状，并说明理由；（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），点C（0，﹣4），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4．（2）△ABD是直角三角形，理由：∵B（﹣2，m）在y＝x2﹣x﹣4，∴B（﹣2，﹣1），∴直线OB的解析式为y＝x，由，解得（即点B）或，∴D（8，4），∵A（4，﹣4），∴AB＝＝3，AD＝＝4，BD＝＝5，∴BD2＝AB2+AD2，∴∠BAD＝90°，∴△ABD是直角三角形．（3）结论AG＝BD．理由：如图1中，连接AG，交EF于H．∵四边形AEGF是矩形，∴AH＝HG，EH＝FH，∵EF∥BD，∴＝＝1，∴AE＝BE，∴E（1，﹣），∵＝＝，EH＝FH，∴BG＝GD，∵∠BAD＝90°，∴AG＝BD．（4）如图2中，设EF的中点为K，P（x，y），连接PK．∵E（1，﹣），F（6，0），∴K（，﹣），EF＝＝，∵∠EPF＝90°，∴点P在以EF为直径的⊙K上运动，∵△PQH是等腰直角三角形，∠PQH＝90°，∴∠QHP＝45°，∵抛物线的顶点H（2，﹣5），∴直线PH的解析式为y＝x﹣7，∵PK＝EF，∴（x﹣）2+（y+）2＝（）2，（y+7﹣）2+（y+）2＝（）2，解得y＝﹣4或﹣，∴Q（2，﹣4）或（2，﹣）．13．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．14．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．（1）求抛物线的解析式；（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，∴B（4，0），A（0，﹣4），把B（4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）如图1中，当点M在线段DF的上方时，由题意得，D（t，t﹣4），则M（t，﹣t2+t+4），∴DM＝﹣t2+8，在Rt△MEF中，tan∠EMF＝＝＝，∴MF＝3，∵DF＝EF＝4，∴DM＝7，∴﹣t2+8＝7，∴t＝或﹣（舍弃）．当点F在点M上方时，可得DM＝1，即﹣t2+8＝1，∴t＝或﹣（舍弃），综上所述，t的值为或．（3）如图2中，过点N作NT∥y轴于T．由题意得D（t，t﹣4），则M（t，﹣t2+t+4），N（t，﹣t2+t+4），T（t，﹣t2+t+2），F（t，t）∵NT∥FM，∴∠PNT＝∠PFM，∵∠NPT＝∠MPF，PN＝PF，∴△NPT≌△FPM（ASA），∴NT＝MF，∴﹣t2+t+4﹣（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4﹣t，解得t＝或﹣（舍弃），∴t的值为．15．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解：（1）如图1，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∵△ABC的面积为2，即，∴，∴OC＝1，∴C（0，1），将C（0，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a＝1，∴a＝﹣，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+1；（2）分两种情况：①当PQ在x轴的上方时，如图2，设点P的纵坐标为m，当y＝m时，﹣x2+x+1＝m，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），∵矩形PGHQ为正方形，∴1+﹣（1﹣）＝m，解得：m1＝﹣6﹣2（舍），m2＝﹣6+2；②当PQ在x轴的下方时，m＜0，同理可得m＝﹣6﹣2；∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，∵A（﹣1，0），设AD的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴AD的解析式为：y＝（﹣）x﹣，当x＝2时，y＝﹣n+2﹣n+1＝﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN＝3﹣n，同理得直线BD的解析式为：y＝（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK＝n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK＝3EN，∴3EN+FN＝OK+FN＝n+1+3﹣n＝4，∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．。
人教版初二上册第一学期数学期末复习《一次函数的应用—动点问题》(附练习及答案)【精编版】
1用函数知识求解动点问题，需要将问题给合几何图形的性质,建立函数模型求解，解要符合题意，要注意数与形结合。
2.以一次函数为背景的问题，要充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来研究解决，注意自变量的取值范围例题1：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？当堂巩固：如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
2、直线与y=x-1与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）.A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标．（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标．5、如图：直线3+=kx y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，43=OA OB ，点C(x ,y)是直线y ＝kx ＋3上与A 、B 不重合的动点。
动点问题的函数图象-初中数学习题集含答案
动点问题的函数图象（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，5AB =，O 是AB 的中点，P 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的一个动点（点P 与点A ，B 可以重合），连接PA ，过P 作PM AB ⊥于点M ．设AP x =，AP AM y -=，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．（2019秋•房山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以(3,0)为圆心作P ，P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点(0,2)C ，Q 为P 上不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作PE QA ⊥于E ，PF QB ⊥于F ．设点Q 的横坐标为x ，22PE PF y +=．当Q 点在P 上顺时针从点A 运动到点B 的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分图象是( )A ．B ．C．D．3．（2019•顺义区一模）如图，点A、C、E、F在直线l上，且2EF=，四边形ABCD，EFGH，EFNMAC=，1均为正方形，将正方形ABCD沿直线l向右平移，若起始位置为点C与点E重合，终止位置为点A与点F重合．设点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于矩形MNGH内部的长度为y，则y与x的函数图象大致为()A．B．C．D．二．填空题（共3小题）4．（2019秋•海淀区校级月考）如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，小宇操作机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出的线段路径上运行，他将机器人运行的时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到的函数图象如图2．通过观察函数图象，可以得到下列推断：①机器人一定经过点D ； ②机器人一定经过点E ；③当3t =时，机器人一定位于点O ；④存在符合图2的运行路线，使机器人能够恰好经过六边形的全部6个顶点； 其中正确的是 （填序号）．5．（2016秋•西城区校级期中）小阳在如图1所示的扇形舞台上沿O M N --匀速行走，他从点O 出发，沿箭头所示的方向经过点M 再走到点N ，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t （单位：秒），他与摄像机的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，则这个固定位置可能是图1中的点 （在点P 、N 、Q 、M 、O 中选取）．6．（2016春•西城区期末）如图，在ABC ∆中，点P 从点A 出发向点C 运动，在运动过程中，设x 表示线段AP 的长，y 表示线段BP 的长，y 与x 之间的关系如图2所示，则线段AB 的长为 ，线段BC 的长为 ．三．解答题（共9小题）7．（2020春•海淀区校级月考）如图1，在ABC ∆中，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DE ，连接BE ．若已知8BC cm =，设B ，D 两点间的距离为xcm ，A ，D 两点间的距离为1y cm ，B ，E 两点距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随x 的变化而变化的规律进行了探究，请补充完整．下面是小明的探究过程的几组对应值．（1）按照下表中自变量x 的值进行取点画图，测量分别得到了与x 的几组对应值如下表：（说明补全表格时相关数值保留一位小数） /x cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1/y cm 7.036.20 5.44 4.76 4.21 3.85 3.73 3.87 4.26 2/y cma5.664.32b1.971.592.273.434.73（2）在同一平面直角坐标系xoy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象（如图2)，解决问题： ①当E 在线段BC 上时，BD 的长约为 cm ； ②当BDE ∆为等腰三角形时，BD 的长x 约为 cm ．8．（2019秋•通州区期末）如图1，在钝角ABC ∆中，点P 为BC 上的一个动点，连接PA ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转60︒，交线段AB 于点D ．已知30C ∠=︒，23CA cm =，7BC cm =，设B ，P 两点间的距离为xcm ，A ，D 两点间的距离ycm ．小牧根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小牧探究的过程，请补充完整：（1）根据图形．可以判断此函数自变量x 的取值范围是 ；（2）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： /x cm⋯ 0.51 1.02 1.91 3.47 34.16 4.47 ⋯ /y cm⋯3.973.222.421.66a2.022.50⋯通过测量．可以得到a 的值为 ；（3）在图2平面直角坐标系xOy 中．描出表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题：当 3.5AD cm =时，BP 的长度约为 cm ．9．（2019秋•朝阳区期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是BA 延长线上的定点，M 为BC 边上的一个动点，连接ME ，将射线ME 绕点M 顺时针旋转76︒，交射线CD 于点F ，连接MD ．小东根据学习函数的经验，对线段BM ，DF ，DM 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M 在BC 上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM ，DF ，DM 的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 /BM cm 0.00 0.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 /DF cm 0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.14 0.00 1.00 /DM cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在BM ，DF ，DM 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当2DF cm =时，DM 的长度约为 cm ．10．（2020•西城区校级模拟）如图1，P 是矩形ABCD 内部的一定点，M 是AB 边上一动点，连接MP 并延长与矩形ABCD 的一边交于点N ，连接AN ．已知6AB cm =，设A ，M 两点间的距离为xcm ，M ，N 两点间的距离为1y cm ，A ，N 两点间的距离为2y cm ．小欣根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小欣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；/x cm 0 1 2 3 4 5 6 1/y cm 6.30 5.40 4.22 3.13 3.25 4.52 2/y cm6.306.346.436.695.754.813.98（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点1(,)x y ，并画出函数1y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AMN ∆为等腰三角形时，AM 的长度约为 cm ．11．（2019秋•房山区期末）如图，在正方形ABCD 中，5AB cm =，点E 在正方形边上沿B C D →→运动（含端点），连接AE ，以AE 为边，在线段右侧作正方形AEFG ，连接DF 、DG ．小颖根据学习函数的经验，在点E 运动过程中，对线段AE 、DF 、DG 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小颖的探究过程，请补充完整：（1）对于点E 在BC 、CD 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段AE 、DF 、DG 的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 /AE cm 5.00 5.50 6.00 7.07 5.99 5.50 5.00 /DF cm5.00 3.55 3.72 5.00 3.71 3.55 5.00 /DG cm0.002.303.315.005.285.697.07在AE 、DF 和DG 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数． （2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象：（3）结合函数图象，解决问题：当GDF ∆为等腰三角形时，AE 的长约为 ．12．（2019春•西城区期末）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，4AC cm =，2BD cm =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP xcm =，1PE y cm =，2PF y cm =．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数1y 的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了1y 与x 的几组对应值：/x cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1/y cm1.120.50.711.121.582.062.553.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数1y 的图象； （2）画函数2y 的图象，在同一坐标系中，画出函数2y 的图象； （3）根据画出的函数1y 的图象、函数2y 的图象，解决问题 ①函数1y 的最小值是 ；②函数1y 的图象与函数2y 的图象的交点表示的含义是 ； ③若PE PC =，AP 的长约为 cm13．（2019•怀柔区模拟）如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从B 点出发，沿B C D A →→→匀速运动，设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，图象如图2所示． （1）在这个变化中，自变量、因变量分别是 、 ； （2）当点P 运动的路程4x =时，ABP ∆的面积为y = ； （3）求AB 的长和梯形ABCD 的面积．14．（2019•朝阳区校级一模）如图，半圆O 的直径5AB cm =，点M 在AB 上且1AM cm =，点P 是半圆O 上的动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q ．设PM xcm =，BQ ycm =．（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： /x cm1 1.52 2.53 3.54 /y cm3.73.83.32.5（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PBM∆的面积为1时，PM的长度约为cm．15．（2019春•海淀区校级期末）如图，40∠的角平分线PD交AOB∠=︒，点C在OA上，点P为OB上一动点，CPB射线OA于D．设OCP∠的度数为y︒．∠的度数为x︒，CDP小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整；（1）x的取值范围是；（2）按照表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；x︒5060708090y︒5（3）在平面直角坐标系xOy中，①描出表中各组数值所对应的点(,)x y；②描出当120x=︒时，y的值；（4）若AOBα∠=︒，题目中的其它条件不变，用含α、x的代数式表示y为．动点问题的函数图象（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，5AB =，O 是AB 的中点，P 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的一个动点（点P 与点A ，B 可以重合），连接PA ，过P 作PM AB ⊥于点M ．设AP x =，AP AM y -=，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】连接BP ，根据圆周角定理得到90APB ∠=︒，证明AMP APB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到215AM x =，得到215y x x =-，根据二次函数的图象判断．【解答】解：连接BP ，AB 为圆的直径，90APB ∴∠=︒，PM AB ⊥，90AMP ∴∠=︒，APB AMP ∴∠=∠，又A A ∠=∠， AMP APB ∴∆∆∽，∴AM AP AP AB =，即5AM xx =，解得，215AM x =，21(05)5y x x x ∴=-，故选：A ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒．2．（2019秋•房山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以(3,0)为圆心作P ，P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点(0,2)C ，Q 为P 上不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作PE QA ⊥于E ，PF QB ⊥于F ．设点Q 的横坐标为x ，22PE PF y +=．当Q 点在P 上顺时针从点A 运动到点B 的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】连接PC ．根据勾股定理求得213PC =，即圆的半径的平方13=；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF ，则PE QF =，根据垂径定理，得QF BF =，则22222PE PF BF PF PC y +=+==，从而判断函数的图象． 【解答】解：连接PC ．C，P，(0,2)(3,0)213PC∴=．AC是直径，∴∠=︒．Q90又PE QA⊥于F，⊥于E，PF QB∴四边形PEQF是矩形．∴=．PE QF⊥于F，PF QB∴=．QF BF∴=．AE BF2222213∴=+=+==．y PE PF BF PF PC故选：A．【点评】此题综合运用矩形的判定和性质、垂径定理求得y的值，常数函数是平行于坐标轴的一条直线．3．（2019•顺义区一模）如图，点A、C、E、F在直线l上，且2EF=，四边形ABCD，EFGH，EFNMAC=，1均为正方形，将正方形ABCD沿直线l向右平移，若起始位置为点C与点E重合，终止位置为点A与点F重合．设点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于矩形MNGH内部的长度为y，则y与x的函数图象大致为()A．B．C ．D ．【分析】根据题意可以分析出各段的函数图象，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得，点C 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而增大，函数解析式为222sin 45xy x =⨯=︒，函数图象是一条线段， 当点D 从点H 运动到点G 的过程中，y 随x 的增大不会发生变化，此过程函数图象是一条线段， 当点A 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而减小，函数图象是一条线段， 故选：A ．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二．填空题（共3小题）4．（2019秋•海淀区校级月考）如图1，点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，小宇操作机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出的线段路径上运行，他将机器人运行的时间设为t 秒，机器人到点A 的距离设为y ，得到的函数图象如图2．通过观察函数图象，可以得到下列推断： ①机器人一定经过点D ； ②机器人一定经过点E ；③当3t =时，机器人一定位于点O ；④存在符合图2的运行路线，使机器人能够恰好经过六边形的全部6个顶点； 其中正确的是 ①③ （填序号）．【分析】①所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，即可求解；②因为机器人可能在F 点或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，即可求解． ③当3t =时，机器人距离点A 距离为1个单位长度，机器人一定位于点O ，即可求解； ④由②知，机器人不经过点E ，即可求解．【解答】解：由图象可知，机器人距离点1A 个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1； ①所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故①正确；②因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故②错误．③观察图象t在34t=时，机器人距离点A距离为-之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，则当31个单位长度，机器人一定位于点O，故③正确；④由②知，机器人不经过点E，故④错误；故答案为：①③．【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．5．（2016秋•西城区校级期中）小阳在如图1所示的扇形舞台上沿O M N--匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2，则这个固定位置可能是图1中的点P（在点P、N、Q、M、O中选取）．【分析】根据图1和图2，分别就点P、N、Q、M、O讨论，找哪一个点与图2符合即可作出判断．【解答】解：①如果固定位置在点O，开始应该是在原点，而图2开始是y轴的正半轴，所以不可能是O；②如果固定位置在点M或N，那么是运动过程中，一定有一处是0y=，而图2中没有这样的点，所以不可能是M 或N；③如果固定位置在点Q，则从O到M，是先y随t的增大而减小，再是y随t的增大而增大，而图2中，前面都是y随t的增大而减小，所以不可能是Q；④如果固定位置在点P，则从O到M是：y随t的增大而减小，且从M到N的圆弧的中点时，y随t的增大而减小，最后由中点到N是y随t的增大而增大，所以点P符合，则这个固定位置可能是图1中的点P；故答案为：P．【点评】本题主要考查了函数的图象，根据排查法和函数图象的基本特点解决此题．6．（2016春•西城区期末）如图，在ABC∆中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则线段AB的长为2，线段BC的长为．【分析】如图1中，作BE AC ⊥于E ，由图2可知，2AB =，1AE =，4AC =，3EC =，在Rt ABE ∆，Rt BEC ∆中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图1中，作BE AC ⊥于E ．由图2可知，2AB =，1AE =，4AC =，3EC =， 在Rt ABE ∆中，90AEB ∠=︒，2222213BE AB AE ∴=-=-，在Rt BEC ∆中，2222(3)323BC EB EC ++=． 故答案分别为2，3【点评】本题考查动点问题的函数图象、勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共9小题）7．（2020春•海淀区校级月考）如图1，在ABC ∆中，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DE ，连接BE ．若已知8BC cm =，设B ，D 两点间的距离为xcm ，A ，D 两点间的距离为1y cm ，B ，E 两点距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随x 的变化而变化的规律进行了探究，请补充完整．下面是小明的探究过程的几组对应值．（1）按照下表中自变量x 的值进行取点画图，测量分别得到了与x 的几组对应值如下表：（说明补全表格时相关数值保留一位小数） /x cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1/y cm 7.036.20 5.44 4.76 4.21 3.85 3.73 3.87 4.26 2/y cma5.664.32b1.971.592.273.434.73（2）在同一平面直角坐标系xoy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象（如图2)，解决问题： ①当E 在线段BC 上时，BD 的长约为 6 cm ； ②当BDE ∆为等腰三角形时，BD 的长x 约为 cm ． 【分析】（1）当0x =时，7.037.0a AD ==≈，即可求解； （2）描点即可；（3）①当E 在线段BC 上时，即：12x y y =+；②分BE DE =、BE BD =、DE BE =三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）当0x =时，7.037.0a AD ==≈， 3.0b =； （2）描绘后表格如下图：（3）①当E 在线段BC 上时，即：12x y y =+， 从图象可以看出，当6x =时，126y y +=， 故答案为6；②当BE DE =时，即：12y y =，此时7.5x =或0， 故7.5x =；当BE BD =时，即：2y x =，在图上画出直线y x =，此时3x ≈；当DE BE =时，即：1y x =， 从上图可以看出 4.1x ≈； 故答案为：3或4.1或7.5．【点评】本题考查的是动点函数图象，此类题目通常在补全表格后，画出函数图象，依据图象求解相关问题，通常从图上上查阅的数值为近视值．8．（2019秋•通州区期末）如图1，在钝角ABC ∆中，点P 为BC 上的一个动点，连接PA ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转60︒，交线段AB 于点D ．已知30C ∠=︒，23CA cm =，7BC cm =，设B ，P 两点间的距离为xcm ，A ，D 两点间的距离ycm ．小牧根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小牧探究的过程，请补充完整：（1）根据图形．可以判断此函数自变量x 的取值范围是 05x ； （2）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： /x cm⋯ 0.51 1.02 1.91 3.47 34.16 4.47 ⋯ /y cm⋯3.973.222.421.66a2.022.50⋯通过测量．可以得到a 的值为 ；（3）在图2平面直角坐标系xOy 中．描出表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题：当 3.5AD cm =时，BP 的长度约为 cm ．【分析】（1）可以作AH BC ⊥于点H ，由30C ∠=︒，23CA =，易得3AH =，3CH =，当射线PA 绕点P 逆时针旋转60︒，交线段AB 于点D ，点D 与点B 重合时，60AP B ∠'=︒，进而可得x 的取值范围； （2）通过测量即可得结果；（3）根据表格数据在平面直角坐标系中即可画出图象；（4）结合画出的函数图象，当 3.5AD cm =时，即可得BP 的长度． 【解答】解：（1）根据题意，如图，作AH BC ⊥于点H ，30C ∠=︒，23CA =， 3AH ∴=，3CH =，当射线PA 绕点P 逆时针旋转60︒，交线段AB 于点D ， 点D 与点B 重合时， 60AP B ∠'=︒，3tan30313P H AH ∴'=︒=⨯=， 2CP CH P H ∴'=-'=， 30C ∠=︒， 30CAP ∴∠'=︒， 2P C P A ∴'='=， 725P B ∴'=-=，05x ∴；故答案为：05x ； （2）通过测量可得： 1.74a =．故答案为1.74；（3）如图所示：即为所求作的函数图象；（4）观察图象可知：当 3.5AD cm =时，BP 的长度约为0.78或者4.81． 故答案为：0.78或者4.81．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据表格数据准确画出图象．9．（2019秋•朝阳区期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是BA 延长线上的定点，M 为BC 边上的一个动点，连接ME ，将射线ME 绕点M 顺时针旋转76︒，交射线CD 于点F ，连接MD ．小东根据学习函数的经验，对线段BM ，DF ，DM 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9BM cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00/DF cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00/DM cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00/在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当2=时，DM的长度约为cm．DF cm【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解．【解答】解：（1）由函数的定义可得：BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示．（3）由图象得到：当2=时，DM的长度约为2.98cm和1.35cm．DF cm【点评】本题考查的动点问题的函数图象，函数的作图，主要通过描点的方法作图，再根据题意测量出相应的长度．10．（2020•西城区校级模拟）如图1，P是矩形ABCD内部的一定点，M是AB边上一动点，连接MP并延长与矩形ABCD 的一边交于点N ，连接AN ．已知6AB cm =，设A ，M 两点间的距离为xcm ，M ，N 两点间的距离为1y cm ，A ，N 两点间的距离为2y cm ．小欣根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小欣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值； /x cm 0 1 2 3 4 5 6 1/y cm 6.30 5.40 4.22 3.13 3.25 4.52 2/y cm6.306.346.436.695.754.813.98（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点1(,)x y ，并画出函数1y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AMN ∆为等腰三角形时，AM 的长度约为 3.3或4.8或5.7 cm ． 【分析】（1）利用图象法解决问题即可． （2）利用描点法画出函数图象即可解决问题．（3）通过图象求出直线y x =与两个函数图象的交点坐标以及函数1y 与2y 的交点坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）观察图象可知(2,4.80)D ， 故答案为4.80．（2）两个函数图象如图所示：（3）两个函数与直线y x =的交点为A ，B ，函数1y 与2y 的交点为C ， 观察图象可知：(3.3,3.3)A ，(4.8,4.8)B ，(5.7,4)C ． AMN ∴∆为等腰三角形时，AM 的值约为3.3或4.8或5.7．故答案为3.3或4.8或5.7．【点评】本题考查动点问题的函数图象，函数图象等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．11．（2019秋•房山区期末）如图，在正方形ABCD 中，5AB cm =，点E 在正方形边上沿B C D →→运动（含端点），连接AE ，以AE 为边，在线段右侧作正方形AEFG ，连接DF 、DG ．小颖根据学习函数的经验，在点E 运动过程中，对线段AE 、DF 、DG 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小颖的探究过程，请补充完整：（1）对于点E 在BC 、CD 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段AE 、DF 、DG 的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 /AE cm 5.00 5.50 6.00 7.07 5.99 5.50 5.00 /DF cm 5.00 3.55 3.72 5.00 3.71 3.55 5.00 /DG cm0.002.303.315.005.285.697.07在AE 、DF 和DG 的长度这三个量中，确定 DG 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数．（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象：（3）结合函数图象，解决问题：当GDF∆为等腰三角形时，AE的长约为．【分析】（1）根据已知条件结合观察表格数据即可得结论；（2）根据表格数据即可画出函数图象；（3）两个函数图象的交点即为当GDF∆为等腰三角形时，AE的长．【解答】解：（1）根据已知条件，观察表格数据可知：确定DG的长度是自变量，AE的长度和DF的长度都是这个自变量的函数．故答案为：DG、AE、DF；（2）如图即为函数图象；（3）观察图象可知：两个函数图象的交点或5.65即为当GDF ∆为等腰三角形时，AE 的长． 故答案为7.07或5.00或5.65．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据表格数据准确画出图象．12．（2019春•西城区期末）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，4AC cm =，2BD cm =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP xcm =，1PE y cm =，2PF y cm =．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数1y 的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了1y 与x 的几组对应值： /x cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1/y cm1.120.50.711.121.582.062.553.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数1y 的图象； （2）画函数2y 的图象，在同一坐标系中，画出函数2y 的图象；（3）根据画出的函数1y 的图象、函数2y 的图象，解决问题 ①函数1y 的最小值是 0.5 ；②函数1y 的图象与函数2y 的图象的交点表示的含义是 ； ③若PE PC =，AP 的长约为 cm 【分析】（1）①由函数的对称性即可求解； ②补全表格后即可绘出函数图象；（2）1y 、2y 关于2x =对称，即可描点得到2y 的图象； （3）①从图象可以看出1y 的最小值；②函数1y 的图象与函数2y 的图象的交点点P 到达点O 处； ③画出4y x =-，与1y 的交点，即可求解．【解答】解：（1）①由函数的对称性知，当0.5x =时，10.71y =； ②补全表格后描绘得到以下图象：（2）1y 、2y 关于2x =对称，故描点得到2y 的图象，如下：（3）①从图象可以看出函数1y 的最小值为：0.5， 故答案为0.5；②函数1y 的图象与函数2y 的图象的交点点P 到达点O 处， 故答案为：点P 到达点O 处；③PE PC =，即：14y PC AC x x ==-=-， 在图上画出直线:4l y x =-，直线l 与1y 的交点坐标为： 2.5x =， 1.58y =， 故答案为2.5．【点评】本题考查的是动点函数图象，此类题目通常通过补齐表格点的数值，画出函数图象，从函数图象上查看相应数据，题目灵活性大，对应变力有很高的要求．13．（2019•怀柔区模拟）如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从B 点出发，沿B C D A →→→匀速运动，设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，图象如图2所示． （1）在这个变化中，自变量、因变量分别是 x 、 ； （2）当点P 运动的路程4x =时，ABP ∆的面积为y = ； （3）求AB 的长和梯形ABCD 的面积．【分析】（1）依据点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，即可得到自变量和因变量； （2）依据函数图象，即可得到点P 运动的路程4x =时，ABP ∆的面积；（3）根据图象得出BC 的长，以及此时三角形ABP 面积，利用三角形面积公式求出AB 的长即可；由函数图象得出DC 的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD 面积即可． 【解答】解：（1）点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，∴自变量为x ，因变量为y ，故答案为：x ，y ；（2）由图可得，当点P 运动的路程4x =时，ABP ∆的面积为16y =， 故答案为：16；（3）根据图象得：4BC =，此时ABP ∆为16，∴1162AB BC =，即14162AB ⨯⨯=， 解得：8AB =；由图象得：945DC =-=，则()()114582622ABCD S BC DC AB =⨯⨯+=⨯⨯+=梯形．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键．14．（2019•朝阳区校级一模）如图，半圆O 的直径5AB cm =，点M 在AB 上且1AM cm =，点P 是半圆O 上的动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q ．设PM xcm =，BQ ycm =．（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： /x cm1 1.52 2.53 3.54 /y cm3.743.83.32.5（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PBM ∆的面积为1时，PM 的长度约为 cm ．【分析】（1）当2x =时，PM AB ⊥，此时Q 与M 重合，4BQ BM ==，当4x =时，点P 与B 重合，此时0BQ =； （2）利用描点法画出函数图象即可；（3）根据直角三角形30度角的性质，求出2y =，观察图象写出对应的x 的值即可． 【解答】解：（1）当2x =时，PM AB ⊥，此时Q 与M 重合，4BQ BM ==，。
二次函数综合题-北京习题集-教师版
二次函数综合题（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2017•北市区一模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1/cm 秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，BPQ ∆的面积为2ycm ．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①5AD BE ==；②3cos 5ABE ∠=；③当05t <时，225y t =；④当294t =秒时，ABE QBP ∆∆∽；其中正确的结论是( )A ．①②③B ．②③C ．①③④D ．②④2．（2013•海淀区校级模拟）下列图形中，阴影部分面积为1的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2011秋•顺义区期末）如图，将抛物线212y x =-平移后经过原点O 和点(6,0)A ，平移后的抛物线的顶点为点B ，对称轴与抛物线212y x =-相交于点C ，则图中直线BC 与两条抛物线围成的阴影部分的面积为( )A ．212B ．12C ．272D ．154．（2011秋•海淀区校级月考）如图，O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，3C 是函数3y x =的图象，则阴影部分的面积是( )A ．2πB ．53πC ．113π D ．43π5．（2010•东城区二模）用{min a ，b ，}c 表示a ，b ，c 三个数中的最小值，若2{y min x =，2x +，10}(0)x x -，则y 的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7二．填空题（共4小题）6．（2015秋•北京校级期中）二次函数223y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，⋯，2011A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，⋯，2011B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△011A B A ，△122A B A ，△233A B A ，⋯，△201020112011A B A 都为等边三角形，则△011A B A 的边长= ，△201020112011A B A 的边长= ．7．（2013秋•平谷区期末）如图，P 是抛物线243y x x =-+上的一点，以点P 为圆心、1个单位长度为半径作P ，当P 与直线2y =相切时，点P 的坐标为 ．8．（2013•丰台区二模）如图，把OAB ∆放置于平面直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，32,2OA AB ==，把OAB ∆沿x 轴的负方向平移2OA 的长度后得到DCE ∆．（1）若过原点的抛物线2y ax bx c =++经过点B 、E ，求此抛物线的解析式；（2）若点P 在该抛物线上移动，当点P 在第一象限内时，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连结OP ．若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似，直接写出点P 的坐标；（3）若点(4,)M n -在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M 的对应点为M '，点B 的对应点为B '．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M B CD ''的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．9．（2012秋•石景山区期末）已知，在x 轴上有两点(,0)A a ，(,0)B b （其中0)b a <<，分别过点A ，点B 作x 轴的垂线，交抛物线23y x =于点C ，点D ．直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ．若将点E ，点F 的纵坐标分别记为E y ，F y ，则E y F y （用“>”、“ <”或“=”连接）． 三．解答题（共6小题）10．（2020•朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：将一个函数的图象在y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，两部分组成的函数图象，称为这个函数的变换图象． （1）点(1,4)A -在函数y x m =+的变换函象上，求m 的值； （2）点(,2)B n 在函数24y x x =-+的变换图象上，求n 的值；（3）将点1(2C -，1)向右平移5个单位长度得到点D ．当线段CD 与函数24y x x t =-++的变换图象有两个公共点，直接写出t 的取值范围．11．（2020春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax ax c =-+的图象经过点(0,4)A -． （1）请直接写出抛物线的对称轴的表达式 ．（2）已知点(1,4)B a -，点C 在直线AB 上，且点C 的横坐标为4，请直接写出点C 的纵坐标（用含a 的式子表示） ． （3）在（2）的条件下，抛物线的图象与线段BC 恰有一个公共点，请直接写出a 的取值范围 ．12．（2020•东城区校级模拟）对于平面中给定的一个图形及一点P ，若图形上存在两个点A 、B ，使得PAB ∆是边长为2的等边三角形，则称点P 是该图形的一个“美好点”．（1）若将x 轴记作直线l ，下列函数的图象上存在直线l 的“美好点”的是 （只填选项）．A ．正比例函数y x =B ．反比例函数1y x=C ．二次函数22y x =+（2）在平面直角坐标系xOy 中，若点(3M n ，0)，N (0,)n ，其中0n >，O 的半径为r ．①若23r =，O 上恰好存在2个直线MN 的“美好点”，求n 的取值范围； ②若4n =，线段MN 上存在O 的“美好点”，直接写出r 的取值范围．13．（2020•朝阳区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ．直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A 与点D 关于x 轴对称， ①求点B 的坐标；②若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．14．（2020•海淀区校级模拟）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，P 是CB 边上一动点，连接AP ，作PQ AP ⊥交AB 于Q ．已知3AC cm =，6BC cm =，设PC 的长度为xcm ，BQ 的长度为ycm ．小青同学根据学习函数的经验对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 的几组对应值； /x cm0 0.5 1.0 1.5 2.02.5 33.5 44.5 5 6 /y cm1.562.242.51m2.452.241.961.631.260.86（说明：补全表格时，相关数据保留一位小数）m 的值约为 cm ；（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表格中各组数值所对应的点(,)x y ，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题： ①当2y >时，对应的x 的取值范围约是 ；②若点P 不与B ，C 两点重合，是否存在点P ，使得BQ BP =？ （填“存在”或“不存在” )15．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为1(x ，1)y ，点Q 的坐标为2(x ，2)y ，且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直．则称该矩形为点P ，Q 的相关矩形“．如图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图． （1）已知点A 的坐标为(1,0)．①若点B 的坐标为(2,5)，求点A ，B 的“相关矩形”的周长；②点C 在直线3x =上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，已知抛物线2y x mx n =++经过点A 和点C ，求抛物线2y x mx n =++与y 轴的交点D 的坐标；（2）O 的半径为4，点E 是直线3y =上的从左向右的一个动点．若在O 上存在一点F ，使得点E ，F 的“相关矩形”为正方形，直接写出动点E 的横坐标的取值范围．二次函数综合题（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2017•北市区一模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1/cm 秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，BPQ ∆的面积为2ycm ．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①5AD BE ==；②3cos 5ABE ∠=；③当05t <时，225y t =；④当294t =秒时，ABE QBP ∆∆∽；其中正确的结论是( )A ．①②③B ．②③C ．①③④D ．②④【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，从而得到BC 、BE 的长度，再根据M 、N 是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE 的长度，根据勾股定理求出AB 的长度，然后针对各小题分析解答即可．【解答】解：根据图（2）可得，当点P 到达点E 时点Q 到达点C ， 点P 、Q 的运动的速度都是1/cm 秒， 5BC BE ∴==，5AD BE ∴==，故①小题正确；又从M 到N 的变化是2，2ED ∴=，523AE AD ED ∴=-=-=，在Rt ABE ∆中，2222534AB BE AE =--=， 4cos 5AB ABE BE ∴∠==，故②小题错误； 过点P 作PF BC ⊥于点F ， //AD BC ，AEB PBF ∴∠=∠，4sin sin5ABPBF AEBBE∴∠=∠==，4sin5PF PB PBF t∴=∠=，∴当05t<时，211422255y BQ PF t t t===，故③小题正确；当294t=秒时，点P在CD上，此时，2929152444PD BE ED=--=--=，115444PQ CD PD=-=-=，43ABAE=，541534BQPQ==，∴AB BQAE PQ=，又90A Q∠=∠=︒，ABE QBP∴∆∆∽，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．2．（2013•海淀区校级模拟）下列图形中，阴影部分面积为1的是()A．B．C ．D ．【分析】首先根据图形的函数解析式求出函数与x 轴交点坐标及顶点坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，得出答案．【解答】解：A 、该抛物线与坐标轴交于：(1,0)-，(1,0)，(0,1)-，故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积12112S =⨯⨯=；B 、该抛物线与坐标轴交于：(0,0)，(1,0)，顶点坐标为1(2-，1)，故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积111122S =⨯⨯=；C 、该抛物线与坐标轴交于：(0,0)，(2,0)，顶点坐标为(0,2)-，故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积12222S =⨯⨯=；D 、该抛物线与坐标轴交于：(2-，0)，(2，0)，(0,2)，故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积1222222S =⨯⨯=；故选：A ．【点评】此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，是基础题，熟练掌握二次函数的图象特点是解决问题的关键．3．（2011秋•顺义区期末）如图，将抛物线212y x =-平移后经过原点O 和点(6,0)A ，平移后的抛物线的顶点为点B ，对称轴与抛物线212y x =-相交于点C ，则图中直线BC 与两条抛物线围成的阴影部分的面积为( )A ．212B ．12C ．272D ．15【分析】根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点C 的坐标，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形CDOE 的面积，然后求解即可．【解答】解：抛物线平移后经过原点O 和点(6,0)A ，∴平移后的抛物线对称轴为3x =，当3x =时，219322y =-⨯=-，∴点C 的坐标是9(3,)2-，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形CDOE 的面积， 9273||22S ∴=⨯-=． 故选：C ．【点评】本题综合考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．4．（2011秋•海淀区校级月考）如图，O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，3C 是函数3y x =的图象，则阴影部分的面积是( )A ．2πB ．53πC ．113π D ．43π【分析】根据抛物线和圆的性质可以知道，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，3C 是函数3y x=的图象，得出阴影部分面积即可． 【解答】解：抛物线212y x =与抛物线212y x =-的图形关于x 轴对称，直线3y x =与x 轴的正半轴的夹角为60︒，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150︒，半径为2， 所以：2150253603S ππ⋅⋅==阴影．故选：B ．【点评】本题考查的是二次函数的综合题，题目中的两条抛物线关于x 轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为150︒，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积． 5．（2010•东城区二模）用{min a ，b ，}c 表示a ，b ，c 三个数中的最小值，若2{y min x =，2x +，10}(0)x x -，则y 的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】本题首先从x 的值代入来求，由0x ，则0x =，1，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6． 【解答】解：用特殊值法： 这种问题从定义域0开始枚举代入： 0x =，{0y min =，2，10}0=； 1x =，{1y min =，3，9}1=； 2x =，{4y min =，4，8}4=； 3x =，{9y min =，5，7}5=； 4x =，{16y min =，6，6}6=； 5x =，{25y min =，7，5}5=，⋯故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，题目可以考查最大值．也可以考查最小值．代入而解得． 二．填空题（共4小题）6．（2015秋•北京校级期中）二次函数223y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，⋯，2011A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，⋯，2011B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△011A B A ，△122A B A ，△233A B A ，⋯，△201020112011A B A 都为等边三角形，则△011A B A 的边长= 1 ，△201020112011A B A 的边长= ．【分析】先计算出△011A B A ；△122A B A ；△232A B A 的边长，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，依据规律得到△201020112011A B A 的边长．【解答】解：作1B A y ⊥轴于A ，2B B y ⊥轴于B ，3B C y ⊥轴于C ． 设等边△011A B A 、△122A B A 、△233A B A 中，1AA a =，2BA b =，2CA c =． ①等边△011A B A 中，0A A a =，所以1tan 603B A a a =︒=，代入解析式得22(3)3a a ⨯=，解得0a =（舍去）或12a =，于是等边△011A B A 的边长为1212⨯=； ②等边△122A B A 中，1A B b =，所以2tan 603BB b b =︒=，2B 点坐标为(3b ，1)b +代入解析式得22(3)13b b ⨯=+，解得12b =-（舍去）或1b =，于是等边△122A B A 的边长为122⨯=； ③等边△233A B A 中，2A C c =，所以3tan 603CB b c =︒=，3B 点坐标为(3,3)c c +代入解析式得22(3)33c c ⨯=+，解得1c =-（舍去）或32c =， 于是等边△233A B A 的边长为3232⨯=．于是△201020112011A B A 的边长为2011．【点评】本题考查的是二次函数综合题，此题将二次函数和等边三角形的性质结合在一起，是一道开放题，有利于培养同学们的探索发现意识．7．（2013秋•平谷区期末）如图，P 是抛物线243y x x =-+上的一点，以点P 为圆心、1个单位长度为半径作P ，当P 与直线2y =相切时，点P 的坐标为 (22+，1)，(22-，1)，(0,3)，(4,3) ．【分析】根据已知直线2y =以及P 的半径得出P 点的纵坐标，进而得出其横坐标，即可得出答案． 【解答】解：当半径为1的P 与直线2y =相切时， 此时P 点纵坐标为1或3，∴当1y =时，2143x x =-+，解得：122x =222x =-∴此时P 点坐标为：(22+1)，(221)，当3y =时，2343x x =-+， 解得：10x =，24x =，∴此时P 点坐标为：(0,3)，(4,3)，综上所述：P 点坐标为：(22+1)，(22-，1)，(0,3)，(4,3)． 故答案为：(22+1)，(221)，(0,3)，(4,3)．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及切线的性质，根据已知得出P 点纵坐标是解题关键． 8．（2013•丰台区二模）如图，把OAB ∆放置于平面直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，32,2OA AB ==，把OAB ∆沿x 轴的负方向平移2OA 的长度后得到DCE ∆．（1）若过原点的抛物线2y ax bx c =++经过点B 、E ，求此抛物线的解析式；（2）若点P 在该抛物线上移动，当点P 在第一象限内时，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连结OP ．若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似，直接写出点P 的坐标；（3）若点(4,)M n -在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M 的对应点为M '，点B 的对应点为B '．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M B CD ''的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求得B ，E 的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）点P 的坐标可设为23(,)8x x ．因为90BEC OQP ∠=∠=︒，所以以O 、P 、Q 为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似时，Q 与E 一定对应，然后分两种情况进行讨论：()i OQP BEC ∆∆∽；()ii PQO BEC ∆∆∽；根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求解即可；（3）左右平移时，使M D CB ''+最短即可，那么作出点M '关于x 轴对称点的坐标为M ''，得到直线B M ''''的解析式，令0y =，求得相应的点的坐标；进而得到抛物线顶点平移的规律，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可．【解答】解：（1）依题意得：3(2,)2B ．2OC =，32CE =，∴3(2,)2E -． 抛物线经过原点和点B 、E ，∴设抛物线的解析式为2(0)y ax a =≠． 抛物线经过点3(2,)2B ，∴342a =．解得：38a =．∴抛物线的解析式为238y x =；（2）点P 在抛物线上，∴设点P 的坐标为23(,)8x x ．分两种情况：()i 当OQP BEC ∆∆∽时，则PQ OQ CE BE=，即238342xx =，解得：1x =， ∴点P 的坐标为3(1,)8；()ii 当PQO BEC ∆∆∽时，则PQ OQ BE EC =，即238342xx =，解得：649x =， ∴点P 的坐标为64(9，512)27． 综上所述，符合条件的点P 的坐标是3(1,)8P 或64512(,)927P ；（3）存在．因为线段M B ''和CD 的长是定值，所以要使四边形M B CD ''的周长最短，只要使M D CB ''+最短．如果将抛物线向右平移，显然有M D CB MD CB '+'>+，因此不存在某个位置，使四边形M B CD ''的周长最短，显然应该将抛物线238y x =向左平移． 由题知(4,6)M -．设抛物线向左平移了n 个单位，则点M '和B '的坐标分别为(4,6)M n '--和3(2,)2B n '-．因为2CD =，因此将点B '向左平移2个单位得3(,)2B n ''-．要使M D CB ''+最短，只要使M D DB '+''最短． 点M '关于x 轴对称点的坐标为(4,6)M n ''---．设直线M B ''''的解析式(0)y kx b k =+≠，点D 应在直线M B ''''上，∴直线M B ''''的解析式为624y x n n=+将3(,)2B n ''-代入，求得165n =．故将抛物线向左平移165个单位时，四边形M B CD ''的周长最短，此时抛物线的解析式为2316()85y x =+．【点评】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，矩形、平移的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键． 9．（2012秋•石景山区期末）已知，在x 轴上有两点(,0)A a ，(,0)B b （其中0)b a <<，分别过点A ，点B 作x 轴的垂线，交抛物线23y x =于点C ，点D ．直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ．若将点E ，点F 的纵坐标分别记为E y ，F y ，则E y = F y （用“>”、“ <”或“=”连接）．【分析】已知A 、B 的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C 、D 的坐标，进而能求出直线OC 、OD 的解析式，也就能得出E 、F 两点的坐标，再进行比较即可． 【解答】解：E F y y =，理由为： 根据题意画出相应的图形，如图所示，(,0)A a ，(,0)B b （其中0)b a <<，抛物线23y x =，2(,3)C a a ∴，2(,3)D b b ，E 横坐标为b ，F 横坐标为a ，设直线OC 解析式为y kx =，将C 坐标代入得：23a ak =，即3k a =，∴直线OC 解析式为3y ax =，将x b =代入3y ax =得：3y ab =，即3E y ab =，设直线OD 解析式为y mx =，将D 坐标代入得：23b bm =，即3m b =，∴直线OD 解析式为3y bx =，将x a =代入3y bx =得：3y ab =，即3F y ab =， 则3E F y y ab ==． 故答案为：=【点评】本题主要考查的是函数解析式的确定，综合性较强，由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度，对于基础知识的掌握是解题的关键． 三．解答题（共6小题）10．（2020•朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：将一个函数的图象在y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，两部分组成的函数图象，称为这个函数的变换图象． （1）点(1,4)A -在函数y x m =+的变换函象上，求m 的值； （2）点(,2)B n 在函数24y x x =-+的变换图象上，求n 的值；（3）将点1(2C -，1)向右平移5个单位长度得到点D ．当线段CD 与函数24y x x t =-++的变换图象有两个公共点，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）将点A 坐标代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，点B 代入解析式可求解； （3）分三种情况讨论，列出不等式或不等式组，可求解． 【解答】解：（1）点(1,4)A -在函数y x m =+的变换函象上， 4(1)m ∴=--+， 3m ∴=，（2）根据题意， 当0n <时，242n n -=，解得：26n =26n =（舍去） 当0n 时，242n n -+=， 解得：22n =±综上所述：26n =22n =（3）将点1(2C -，1)向右平移5个单位长度得到点D ，∴点9(2D ，1)当1t >时，由题意可得：8111841124t t ⎧-++⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩54t∴， 514t∴< 当11t -<时，线段CD 与函数24y x x t =-++的变换图象有三个公共点，（不合题意舍去）， 当1t -时，线段CD 与y 轴左侧图象没有交点，与y 轴右侧图象有两个交点，可得：41t +<， 3t ∴>-，31t ∴-<-，综上所述：t 的取值范围为31t -<-或514t<． 【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，抛物线与直线的交点情况的关系，理解变换图象的定义，并能运用是本题的关键．11．（2020春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax ax c =-+的图象经过点(0,4)A -． （1）请直接写出抛物线的对称轴的表达式 2x = ．（2）已知点(1,4)B a -，点C 在直线AB 上，且点C 的横坐标为4，请直接写出点C 的纵坐标（用含a 的式子表示） ． （3）在（2）的条件下，抛物线的图象与线段BC 恰有一个公共点，请直接写出a 的取值范围 ．【分析】（1）由对称轴为直线2bx a=-，可求解； （2）用待定系数法可求AB 解析式，即可求解；（3）分情况讨论，利用抛物线的图象与线段BC 恰有一个公共点，列出不等式可求解． 【解答】解：（1）抛物线解析式为：24y ax ax c =-+∴对称轴为：直线422ax a-=-=， 故答案为：2x =；（2）设直线AB 解析式为：y kx b =+， ∴44b a k b =-⎧⎨-=+⎩∴444k a b =-⎧⎨=-⎩∴直线AB 解析式为：(44)4y a x =--，当4x =时，(44)441216y a a =-⨯-=-， 故答案为：1216a -；（3）抛物线24y ax ax c =-+的图象经过点(0,4)A -． 4c ∴=-，∴抛物线解析式为：244y ax ax =--，当0a <时，则440a ->，抛物线的图象与线段BC 恰有一个公共点，434a a ∴---，12164a ->- 4a ∴，1a <，∴无解，当01a <<时，则440a ->，抛物线的图象与线段BC 恰有一个公共点，434a a ∴---，12164a ->- 4a ∴，1a <，∴无解，当1a =时，则直线AB 解析式为：4y =-，∴抛物线与直线AB 只有一个交点为点(4,4)C -，当1a >时，则440a -<，抛物线的图象与线段BC 恰有一个公共点，434a a ∴---，12164a -<- 4a ∴，1a >， 14a ∴<综上所述：14a ，故答案为：14a ．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．12．（2020•东城区校级模拟）对于平面中给定的一个图形及一点P ，若图形上存在两个点A 、B ，使得PAB ∆是边长为2的等边三角形，则称点P 是该图形的一个“美好点”．（1）若将x 轴记作直线l ，下列函数的图象上存在直线l 的“美好点”的是 A 、B （只填选项）．A ．正比例函数y x =B ．反比例函数1y x=C ．二次函数22y x =+（2）在平面直角坐标系xOy 中，若点M ，0)，N (0,)n ，其中0n >，O 的半径为r ．①若r =O 上恰好存在2个直线MN 的“美好点”，求n 的取值范围； ②若4n =，线段MN 上存在O 的“美好点”，直接写出r 的取值范围．【分析】（1）由已知可知P 点纵坐标为，分别判断每一个函数中档y =x 值即可；（2）①过C 点与MN 平行的直线为y c =+，与圆O 相切时，求出n 的最大值；过D 点与MN 平行的直线为y d =与圆O 相切时，4d =，此时n 再由最小值，结合图形可知，则可求26n <<；②结合图象，当MN 与D 点所在圆相切时，2r =，当OC OM =时，r =，这两种情况时线段MN 上存在O 的“美好点”，可求2219r ．【解答】解：（1）x 轴是图形l ，PAB ∆是边长为2的等边三角形，P ∴点纵坐标为y x =上存在点或(，是x 轴的“美好点”，1y x=上存在点或(，是x 轴的“美好点”22y x =+中y 的最小是2，22y x ∴=+上不存在x 轴的“美好点”， 故选A 、B ；（2）①(3M n ，0)，(0,)N n ，0n >， 设直线MN 的解析式为y kx b =+，则有0b n b=⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得b n k =⎧⎪⎨=⎪⎩，y n ∴=+， 如图1:(3M n ，0)，N (0,)n ，其中0n >， 60MNO ∴∠=︒，ABD ∆与ACB ∆是边长为2的等边三角形，60BAD ∴∠=︒，////AD BC y ∴轴，设过点C 与MN平行的直线为y x c =+，过点D 与MN平行的直线为y d =+，当直线y c =+与O 相切时，4c =， 426n ∴=+=，此时O 上恰好存在1个直线MN 的“美好点”， 如图2：当直线y d =+与O 相切时，4d =， 422n ∴=-=，此时当直线y x c =+经过原点O ，则0c =， ∴此时O 上恰好存在3个直线MN 的“美好点”， 26n ∴<<时，O 上恰好存在2个直线MN 的“美好点”； ②如图3:4n =，M ∴0)，(0,4)N ，60OMN ∴∠=︒，设2AB =在圆O 上，C 与D 是MN 上的点， 则ABC ∆与ABD ∆是边长为2的等边三角形， 当MN 与D点所在圆相切时，OD =2r ∴=，此时线段MN 上存在O 的“美好点”， 如图4：当OC OM =时，OC =AH=，3∴=，1MH∴=，OA219此时线段MN上存在O的“美好点”，∴，线段MN上存在O的“美好点”．2219r【点评】本题考查二次函数的综合应用；正确理解“美好点”的定义，并熟悉圆与直线的位置关系是解答的关键． 13．（2020•朝阳区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ．直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A 与点D 关于x 轴对称， ①求点B 的坐标；②若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 【分析】（1）24(2)24y ax ax c a x a c =-+=--+，则抛物线的对称轴是直线2x =；（2）①直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C 、D ，点C 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(0,3)-，即可求解；②分0a >、0a <两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）224(2)4y ax ax c a x a c =-+=--+，∴抛物线的对称轴是直线2x =；（2）①直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C 、D ，∴点C 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(0,3)-．抛物线与y 轴的交点A 与点D 关于x 轴对称，∴点A 的坐标为(0,3)．将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴点B 的坐标为(2,3)．②抛物线顶点为(2,34)P a -． （ⅰ）当0a >时，如图1．令5x =，得25203530y a a a =-+=+>， 即点(5,0)C 总在抛物线上的点(5,53)E a +的下方． P B y y <，∴点(2,3)B 总在抛物线顶点P 的上方，结合函数图象，可知当0a >时，抛物线与线段CB 恰有一个公共点．（ⅱ）当0a <时，如图2． 当抛物线过点(5,0)C 时， 252030a a -+=，解得35a =-．结合函数图象，可得35a -． 综上所述，a 的取值范围是：35a -或0a >． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等、面积的计算等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．14．（2020•海淀区校级模拟）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，P 是CB 边上一动点，连接AP ，作PQ AP ⊥交AB 于Q ．已知3AC cm =，6BC cm =，设PC 的长度为xcm ，BQ 的长度为ycm ．小青同学根据学习函数的经验对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 的几组对应值； /x cm0 0.5 1.0 1.5 2.02.5 33.5 44.5 5 6 /y cm1.562.242.51m2.452.241.961.631.260.86（说明：补全表格时，相关数据保留一位小数）m 的值约为 2.6 cm ；（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表格中各组数值所对应的点(,)x y，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当2y>时，对应的x的取值范围约是；②若点P不与B，C两点重合，是否存在点P，使得BQ BP=？（填“存在”或“不存在”)【分析】（1）按题意，认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）①由根据函数图象可得；②根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得不存在点P，使得BQ BP=．【解答】解：（1）根据题意量取数据m为2.6，故答案为：2.6（2）根据已知数据描点连线得（3）①由图象可得，当0.8 3.5y>．x<<时，2故答案为：0.8 3.5<<x②不存在，理由如下：若BQ BP = BPQ BQP ∴∠=∠90BQP APQ PAQ ∠=∠+∠>︒180BPQ BQP QBP ∴∠+∠+∠>︒与三角形内角和为180︒相矛盾．∴不存在点P ，使得BQ BP =．故答案为不存在．【点评】本题为二次函数综合题，也是动点问题的函数图象探究题，考查了画函数图象以及数形结合的数学思想． 15．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为1(x ，1)y ，点Q 的坐标为2(x ，2)y ，且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直．则称该矩形为点P ，Q 的相关矩形“．如图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图． （1）已知点A 的坐标为(1,0)．①若点B 的坐标为(2,5)，求点A ，B 的“相关矩形”的周长；②点C 在直线3x =上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，已知抛物线2y x mx n =++经过点A 和点C ，求抛物线2y x mx n =++与y 轴的交点D 的坐标；（2）O 的半径为4，点E 是直线3y =上的从左向右的一个动点．若在O 上存在一点F ，使得点E ，F 的“相关矩形”为正方形，直接写出动点E 的横坐标的取值范围．【分析】（1）①根据矩形的性质求出点C 的坐标，进而得出BC ，AC 即可得出结论； ②先确定出点C 的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）当点F 在y 轴右侧，且在x 轴下方时，点E 的横坐标大，进而得出点E 的横坐标为23163OG ME OG MF OG MG FG OG FG m m +=+=++=++=-，进而确定出点E 的横坐标的最大值，同理：得出点E 的横坐标的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）①如图1，矩形ACBD 是点A ，B 的“相关矩形”， //AD CB ∴，点(1,0)A ，(2,5)B ，∴点(2,0)C ，5BC =，211AC ∴=-=，∴点A ，B 的“相关矩形”的周长为2()2(15)12AC BC +=⨯+=；②如图2，点C 在直线3x =上，∴点C 的横坐标为3，点(1,0)A ，C 的“相关矩形”为正方形， //BC AD ∴，AB BC =，∴点B 的坐标为(3,0)，312BC AB ∴==-=∴点C 的纵坐标为(3,2)，抛物线2y x mx n =++经过点A 和点C ， ∴10932m n m n ++=⎧⎨++=⎩，∴32m n =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为232y x x =-+，令0x =，则0y =，∴点D 的坐标为(0,2)；（2）如图3，当点F 在y 轴的右侧时，点E 在点M 的右侧时，点E 的横坐标大，连接OM ，OF ， 设OG m =，点E ，F 的“相关矩形”为正方形，FM ME ∴=，点E 在直线3y =上， 3MG ∴=，在Rt OGF ∆中，FG ==∴点E 的横坐标为3OG ME OG MF OG MG FG OG FG +=+=++=++2163m m =+-+22222()16)2162163m m m m m m =+---+-+ 222(16)2163m m m m =--+-+22163m m -+（当且仅当216m m =-时，取等号）， 即22m =时，点E 的横坐标为2()(16)3423OG ME m m +=+-+=+最大最大，∴点E 的横坐标最大是423+，由圆的对称性得，点E 的横坐标的最小值为(423)-+，即点E 的横坐标的范围是大于等于(423)-+而小于等于(423)+．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，待定系数法，矩形的性质，正方形的性质，完全平方公式，圆的对称性，找出点E 的横坐标的分界点是解本题的关键．。
B9-数学11-函数综合复习及函数动点问题-教师-
D.不能确定
（B）
O
x
5. 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图像如图，则 a、b、c 满足（ C ）
y A．a < 0，b < 0，c > 0 ； B．a < 0，b < 0，c < 0 ；
C．a < 0，b > 0，c > 0 ； D．a > 0，b < 0，c > 0 ；
O
c 4 ∴抛物线解析式为 y= 1 x2 x 4
2
（2）∵点 M 的横坐标为 m，
∴点 M 的纵坐标为 1 m2 m 4 2
又∵A（-4，0），∴AO=0-（-4）=4，
∴S= 1 4 1 m2 m 4 =-（m2+2m-8）=-m2-2m+8， 22
∵S=-（m2+2m-8）=-（m+1）2+9，点 M 为第三象限内抛物线上一动点， ∴当 m=-1 时，S 有最大值，最大值为 S=9； 故答案为：S 关于 m 的函数关系式为 S=-m2-2m+8，当 m=-1 时，S 有最大值 9 （3）∵点 Q 是直线 y=-x 上的动点， ∴设点 Q 的坐标为（a，-a）， ∵点 P 在抛物线上，且 PQ∥y 轴，
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例题 2、已知二次函数的图象经过 A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x＝4， 设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点 B．
（1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；
（2）如图 1，在直线 y＝2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出 点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；
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函数综合复习及函数动点问题热身练习1.二次函数y ＝3x 2－6x －3图象的对称轴是 （ A ） A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝－1 C ．直线x ＝2D ．直线x ＝－22.二次函数y ＝x 2－2x －3图象的顶点坐标是 （ B ） A ．(1，4) B ．(1，－4) C ．(－1，4) D ．(－1，－4)3.抛物线()232y x =+-的顶点在 （ C ） A ．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限4.如果以y 轴为对称轴的抛物线2y axbx c =++的图象，如图，则代数式b c a +-与0的关系（ B ） A.0bca +-= B.0bc a +-> C.0b c a +-< D.不能确定5. 已知二次函数2y ax bx c =++ ()0a ≠的图像如图，则a A ．a < 0，b < 0，c > 0 ； B ．a < 0，b < 0，c < 0 ； C ．a < 0，b > 0，c > 0 ； D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；6.函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y（ B ）（A ） （B ） （C ） （D ）7. 在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为 （ D ）类型一：动点产生的平行四边形yxOA方法要领：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点P 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC //例题1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ， ∵抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0），∴16a 4b c 04a 2b c 04c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩∴抛物线解析式为y=2142x x +- （2）∵点M 的横坐标为m ， ∴点M 的纵坐标为2142m m +- 又∵A （-4，0），∴AO=0-（-4）=4， ∴S=2114422m m ⨯⨯+-=-（m 2+2m-8）=-m 2-2m+8， ∵S=-（m 2+2m-8）=-（m+1）2+9，点M 为第三象限内抛物线上一动点， ∴当m=-1时，S 有最大值，最大值为S=9；故答案为：S 关于m 的函数关系式为S=-m 2-2m+8，当m=-1时，S 有最大值9 （3）∵点Q 是直线y=-x 上的动点， ∴设点Q 的坐标为（a ，-a ），∵点P 在抛物线上，且PQ ∥y 轴， ∴点P 的坐标为21(,4)2a a a +-∴PQ=21(4)2a a a --+-= 21242a a --+， 又∵OB=0-（-4）=4， 以点P ，Q ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形， ∴|PQ|=OB ，即212442a a --+= ①212442a a --+=整理得，a 2+4a=0， 解得a=0（舍去）或a=-4，所以点Q 坐标为（-4，4）， ②212442a a --+=-时，整理得，24160a a +-= 解得225a =-±，所以Q 点坐标为(225,225)-+-，(225,225)--+ 综上所述，Q 点坐标为（-4，4）或(225,225)-+-或(225,225)--+练习：如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．，类型二：动点产生的梯形问题 方法要领：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC //例题2、已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．参考:(1)2812y x x =-+，顶点P （4，-4）（2）直线BP ：y = 2x -12，则直线BP ∥直线y = 2x ，要使四边形OPBD 为等腰梯形，，只需满足OP =BD ，设D （m ，2m ） 列等量关系求得：m =2(舍)，或m =25； ∴D （25，45） （3）设对折后P 恰好落在x 轴时，M （2，-2），MP = 22设M （4 - t ，t - 4）则N （42t+，t – 4） ①当02t ≤≤时，MN=32t ，2133224MNP S S t t t ==⨯⨯=V ②当24t <≤时，由x 轴∥MN ， 得24AB t MN t -=即2432AB t t t -= ∴AB =3t - 6∴13(36)(4)22S t t t =-+⨯- ∴2912124S t t =-+-类型三：直角三角形方法要领：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况（1）当A ∠为直角时，AB AC ⊥ （2）当B ∠为直角时，BA BC ⊥ （3）当C ∠为直角时，CB CA ⊥例题3、如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．解：∵(x+b/2)²+c -b²/4 与y 轴交于点C （0，－3） ∴c= -3∵对称轴是直线x=1，则：1+b/2=0 b= -2 抛物线的函数表达式：y=x²-2x-3（2）0=x²-2x-3 A （-1,0） B （3,0） AB=4 BC 的函数表达式:y=x-3 故D （1，-2） (3)①PQ=0.75AB 时，PQ=3 3/2+1=2.5故PQF 三点纵坐标：y=2.5²-2*2.5-3= -1.75 E 点纵坐标：3-2*1.75= -0.5 即：E （0，-0.5） tan∠CED =1/[-0.5-(-2)]=2/3②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形(∠CED 为直角） 时，点P 的坐标(0,-2.5) 练习：如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．解答：（1）证明：因为443y x =-+∵当x=0时，y=4；当y=0时，x=3， ∴B （3，0），C （0，4），∵A （-2，0），由勾股定理得： BC=5∴AB = BC =5 ∴△ABC 是等腰三角形 （2）①∵C （0，4），B （3，0），BC=5 ∴4sin 5B ∠=∵12MON S OM NH =⨯⨯V ， ∴14225S t t =-⨯∴0.42S t t =- ②点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形．理由如下： ∵C （0，4），B （3，0），BC=5，∴4sin 5B ∠=根据题意得：∵S=4， ∴|t-2|×0.4t=4， ∵点M 在线段OB 上运动，OA=2， ∴t-2＞0，即（t-2）×0.4t=4， 即2t -2t -10=0， 解得111t =111t =∴点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形，此时对应的t 值是111t =+S 的情形 ③由题意3cos 5B ∠=，分为三种情况： 1°、当∠NOM=90°时，N 在y 轴上，即此时t=5；2°、当∠NMO=90°时，M 、N 的横坐标相等，即t-2=3-0.6t ，解得：t=3.125，3°、∠MNO 不可能是90°，即在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，t 的值是5秒或3.125秒．类型四：动点产生的等腰三角形问题方法要领：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况（1）当A ∠为顶角时，AB AC = （2）当B ∠为顶角时，BA BC = （3）当C ∠为顶角时，CB CA =例题4、已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．∴E （0,1）（2）EF＝2GO成立∴F（0,3），EF=2∴Q（2，2）∴Q（1，73）∴Q（125，75）练习：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．(1)求该抛物线的解析式．(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．A BCOPQDyx (3)在(2)的结论下，直线x ＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．解:∴M（1，-3）类型五：动点产生的相似三角形问题方法要领：寻找比例关系以及特殊角；一般分类角对应相等例题5、如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。