福建省南安一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文) Word版含答案

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福建省南安一中高二数学上学期期中试题文【会员独享】

福建省南安一中高二数学上学期期中试题文【会员独享】一.选择题（每题5分，共60分）1.数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（）A ．n2B ．12+nC ．12-nD ．12+n2.等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是（）A ．12B ．24C ．36D ．483.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（）A ．41 B ．21 C ．81D ．14.不等式2210x x -->的解集是（） A ． 1(,1)2-B ．(1,)+∞C ． (,1)(2,)-∞⋃+∞D ． 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 5. 数列{}n a 的满足1111,(2)1n n n a a a n a --==≥+，则5a 为（）A ．13B ．14C ．15D ．166. 若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47.一元二次不等式210mx mx ++≥对一切实数x 都成立，则m 的取值范围是（） A. 04m <≤ B. 01m ≤≤ C.4m ≥ D.04m ≤≤ 8.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S =( ) A ．-11 B ．-8 C ．5 D ．119.数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（） A ．2212n n n ++B ．12212+++-nn n C ．2212nn n ++-D ． 22121nn n -+-+10.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 11.已知01x ≤≤，则函数21y x x =-的最大值是（）A ．0B ．1C ．34D ．1212.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（） A ．①和B ．⑨和⑩ C. ⑨和D ． ⑩和二、填空题（每题4分，共16分）13.已知{}n a 是递增等比数列，2432,4a a a =-=，则此数列的公比=q ．14. 若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则n a =15.已知,0,x y >21x y +=,则81x y+的最小值为 16.设()0,0A ,()4,0B ,()4,3C t +，(),3D t 。

福建省南安一中2015届高三上学期期中考试数学(文)试卷

福建省南安一中2015届高三上学期期中考试数学（文）试卷本试卷考试内容为：函数与导数、三角函数、数列、立体几何、直线与圆。

分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =,{}3,4,5B =，下图中阴影部分所表示的集合为 A ．{}3 B ．{}1,2 C ．{}4,5 D ．{}1,2,3,4,52.在复平面上，复数i1i3++=z 对应点所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()4log 2-+=x x x f 的零点所在的区间是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,1C ．()3,2D ．()4,3 4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表．面积．．等于 A ．12πcm 2B ．15πcm2C ．24πcm 2D ．30πcm 25.“1m =”是“直线20mx y ++=与直线10x my +-=相互平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β D ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β 7.设0,0a b >>3a与3b的等比中项，则11a b+的最小值为 A ．14B ．1C ．4D ．88.已知函数()log ()a f x x b =+的大致图象如右图，其中b a ,为常数，则函数b a x g x +=)(的大致图象是9.已知向量a , b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则b a 3-等于A ．3B ．2C ．13D ．710.已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是A．5-B．5 C ．45D ．45-11.设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则123n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅ 的值为 A ．11n + B ．1n n + C ．1nD ．1 12.定义运算：12122112a a ab a b b b =-，将函数sin 2()cos 2x f x x=的图象向左平移t （0t >）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为 A ．6π B ．512π C ．3πD ．56π第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13.若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 6＝．14.已知实数x y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-3102x y x y x ，则y x z 32+=的最小值是．15.已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若△ABC的面积为,4A B C D3,a =3B π=,则b = ．16.在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M ： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°=M ； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°=M ； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°=M ； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°=M ； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°=M ；请计算出M 值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式. .三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分12分）已知三棱柱ADF BCE -中，DF ⊥平面ABCD ，AD DC =，G 是DF 的中点（Ⅰ）求证：//BF 平面ACG（Ⅱ）求证：平面ACG ⊥平面BDF18.（本小题满分12分）已知直线l 与直线20x y +-=垂直，且过点(2,1) （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为求圆C 的标准方程.19.（本小题满分12分）已知(cos ,23cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==，且()f x a b =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，若2)cos cos a c B b A +=-（成立，求()f A 的取值范围.20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264,b S =33960b S =．(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)证明：1211134n S S S +++<．21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2BC PD ==，E 为PC 的中点，3CB CG =（Ⅰ）求证：;BC PC ⊥（Ⅱ）求三棱锥C DEG -的体积；（Ⅲ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG .若存在，求AM 的长；若不存在，说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数()21)ln f x ax a x b =--+（. （Ⅰ）若()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为y x =，求实数a b 、的值; （Ⅱ）当0a >时，讨论()f x 的单调性;（Ⅲ）当1a =时，()f x 在区间1(,)e e上恰有一个零点，求实数b 的取值范围.南安一中2014～2015学年度高三（上）期中考文科数学试卷答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．二、填空题：本大题每小题4分，满分16分．13.11 14.9 15 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34三、解答题：本大题满分74分．17.证明：（Ⅰ）设AC 、BD 相交于点O ，连结OG∵AD DC = ∴ABCD 为菱形 ∴O 为BD 的中点∵G 是FD 的中点∴//OG BF又∵OG ⊂平面AGC BF ⊄平面AGC∴//BF 平面ACG ……………………………6分（Ⅱ）∵ABCD 为菱形∴AC BD ⊥又∵DF ⊥平面ABCD AC ⊂平面ABCD ∴DF ⊥AC又∵BD DF D = BD DF ⊂、平面BDF∴AC ⊥平面BDF 又∵AC ⊂平面ACG∴平面ACG ⊥平面BDF ……………………………12分 18.解：（Ⅰ）∵l 与20x y +-=垂直 ∴1l k =∵l 过点(2,1) ∴l 的方程1(2)y x -=- 即1y x =- ……………………………4分（Ⅱ）设圆的标准方程为222()x a y r -+=O2222(1)2a r r ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 解得：3,2a r == …………………………8分 ∴圆的标准方程为22(3)4x y -+= …………………………12分 19.解：（Ⅰ）(cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==2()2cos cos f x x x x ∴=+1)62sin(2++=πx ……………………………3分T π∴= (4)分单调递增区间为：)222(Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴单调递增区间为：()36x k k k Z ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈-++∈，……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得：(sinA+2sinC)cosB=－sinBcosA∴ sin(A+B)= －2sinCcosB ∴ cosB=12-∵B 为三角形的内角 ∴B =23π……………………………8分 ∴()2sin(2A )16f A π=+-+1 又5023666A A ππππ<<∴<+<1s i n (2A )126π∴<+≤ ……………………………10分故(()0,1f A ⎤⎦∈2，3] ……………………………12分 20.解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则0d >，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=．依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩．解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)． ……………4分 ∴132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= ……………………………6分 (Ⅱ)∵35(21)(2)n S n n n =++++=+，∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++ 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． ……………………………10分 ∵n N *∈ ∴1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭∴12111n S S S +++34< ……………………………12分 21.(Ⅰ)证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴ 又∵ABCD 是正方形 ∴BC CD ⊥ ∵PD CD D =∴BC ⊥平面PCD ……………………………3分又∵PC ⊂面PBC ∴PC BC ⊥ ……………………………4分 (Ⅱ)解：∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G DEC -的高 ……………………………5分 ∵E 是PC 的中点1)2221(212121=⋅⋅⋅===∴∆∆∆PDC EDC EDC S S S ……………………………6分 921323131=⋅⋅=⋅==∴∆--DEC DEC G DEG C S GC V V ……………………………8分(Ⅲ)连结AC ，取AC 中点O ，连结EO GO ,，延长GO 交AD 于点M ，则PA //平面MEG ……………………………9分下面证明之∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， ∴EO //PA ， ……………………………10分又MEG PA MEG EO 平面平面⊄⊂, ∴PA //平面MEG……………………………11分在正方形ABCD 中， ∵O 是AC 的中点， OCG ∆∴≌OAM ∆,32==∴CG AM ∴所求AM 的长为.32……………………………12分22.解：（Ⅰ）21(21)'()a ax a f x ax x---=-=……………………………1分依题意，'(1)11(1)1f a f a b =-=⎧⎨=+=⎩……………………………2分解得： 01a b =⎧⎨=⎩……………………………4分（Ⅱ）()f x 的定义域为0,+∞（）21(21)'()a ax a f x a x x ---=-=(21)[]a a x a x--= ①当102a <≤时，恒有'()0f x > 故()f x 的单调递增区间为0,+∞（） ……………………5分②当12a >时, (21)[]'()a a x a f x x --=,令'()0f x =得，210a x a-=>, ………………………………6分()f x 及'()f x 的值变化情况如下表：………………………………8分故()f x 的单调递减区间为21(0,)a a-，单调递增区间为21(,)a a -+∞ ………………………9分（Ⅲ）当1a =时，()ln f x x x b =-+，由（Ⅱ）知，()f x 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，∴()f x 的最小值为(1)1f b =+. ………………………………10分11()1f b e e =++，()1f e e b =-+ 111()()1120f f e e e e e e ∴-=+-+=+-<即：1()()f f e e< ………………………………11分()f x 在区间1(,)e e 上恰有一个零点()0(1)01()0f e f f e >⎧⎪∴=⎨≤⎪⎩或即：1010110e b b b e-+>⎧⎪+=⎨++≤⎪⎩或 ………………………………13分解得：1b =-或11--1-e b e<≤ ………………………………14分。

2014-2015年福建省泉州市南安一中高二(下)期中数学试卷(文科)和解析PDF

三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12 分）已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|x＜4}，C＝{x|x ≥a}．（Ⅰ）求 A∩（∁UB）；（Ⅱ）若 A⊆C，求 a 的取值范围．
18．（12 分）已知函数 f（x）＝loga（1+x）﹣loga（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断 f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当 0＜a＜1 时，解不等式 f（x）＞0．
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2014-2015 学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）
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19．（12 分）已知奇函数 f（x）＝（Ⅰ）求 c 的值；
（c∈R）．
（Ⅱ）当 x∈[2，+∞）时，求 f（x）的最小值． 20．（12 分）已知函数 f（x）＝ x3﹣ x2+cx+d 有极值．（Ⅰ）求 c 的取值范围；（Ⅱ）若 f（x）在 x＝2 处取得极值，且当 x＜0 时，f（x）＜ d2+2d 恒成立，求 d 的取值范围． 21．（12 分）2008 年奥运会在中国举行，某商场预计 2008 年从 1 日起前 x 个月，顾客对某种奥运商品的需求总量 p（x）件与月份 x 的近似关系是且 x≤12），该商品的进价 q（x）元与月份 x 的近似关系是 q（x）＝150+2x，（x∈N*且 x≤12）．（1）写出今年第 x 月的需求量 f（x）件与月份 x 的函数关系式；（2）该商品每件的售价为 185 元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？ 22．（14 分）已知函数 f（x）＝ax2+lnx（a∈R）．（1）当 a＝时，求 f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数 g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域 D 上，满足 f1（x）＜g（x）＜ f2 （ x ），那么就称 g （ x ）为 f1 （ x ）， f2 （ x ）的“活动函数” ．已知函数 +2ax．若在区间（1，+∞）上，函数 f（x）是 f1（x），f2（x）的“活动函数” ，求 a 的取值范围．

福建省泉州市南安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

福建省泉州市南安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某同学进入2014-2015学年高二前，2014-2015学年高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的平均数是（）A．125 B．126 C．127 D．1282．（5分）样本11、12、13、14、15的方差是（）A．13 B．10 C．2D．43．（5分）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期是命题q：函数y=sinx的图象关于y轴对称，则下列判断正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为假C．P为真D．￢q为假4．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.235．（5分）“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下列命题是真命题的是（）A．∃x∈R使得sinxcosx=B．∃x∈（﹣∞，0）使得2x＞1C．∀x∈R恒有sinx＞cosx D．∀x∈（0，π）恒有x2＞x﹣17．（5分）设x，则sinx的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=19．（5分）从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（）A．5种B．6种C．7种D．8种10．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣=1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．y2=4x C．x2=﹣12y D．y2=﹣12x12．（5分）椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．B．10 C．6D．9二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中2014-2015学年高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知2014-2015学年高二年学生有300人，则该校高中生共有人．14．（4分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是．15．（4分）先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是．16．（4分）过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F 是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，当＜k时，椭圆的离心率e的取值范围是．三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：分组频数频率39.7，39.9）2040.1，40.339.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）．18．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）8.9 8.7 8.6 8.4 8.3 8.1销量y（件）70 75 80 83 84 88（Ⅰ）求回归直线方程=•x+，其中=﹣20，=﹣；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）19．（12分）已知点F（1，0），直线L：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线L的距离；（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被轨迹C截得的弦AB恰好被点N平分．若存在，求直线m的方程，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x﹣y+2=0的距离为3；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆相交于不同的两点M、N，且|MN=2|，求直线斜率k的值．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．22．（14分）已知抛物线G：x2=4y；（Ⅰ）过点P（2，1）作抛物线G的切线，求切线方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线G上异于原点的两动点，其中x1＞x2＞0，以A，B为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，延长AF，BF分别交抛物线G于C，D两点，若四边形ABCD的面积为32，求直线AC的方程．福建省泉州市南安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某同学进入2014-2015学年高二前，2014-2015学年高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的平均数是（）A．125 B．126 C．127 D．128考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由茎叶图中的数据和平均数的公式，直接求出平均数即可．解答：解：由茎叶图得，该同学数学成绩的平均数是=125，故选：A．点评：本题考查茎叶图，以及平均数的公式，属于基础题．2．（5分）样本11、12、13、14、15的方差是（）A．13 B．10 C．2D．4考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据题意先求出平均数，再代入方差公式求出方差即可．解答：解：由题意得，样本的平均数x==13，所以S2==2，故选：C．点评：本题考查了平均数和方差公式，考查了计算能力．3．（5分）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期是命题q：函数y=sinx的图象关于y轴对称，则下列判断正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为假C．P为真D．￢q为假考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：分别判断两个命题的真假，从而得到结论．解答：解：对于P：周期为：T=π，是假命题，对于q：图象关于原点对称，是假命题，故选：B．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了三角函数的性质，是一道基础题．4．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.23考点：回归分析的初步应用．分析：本题考查线性回归直线方程，可根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，选择验证法或排除法解决，具体方法就是将点（4，5）的坐标分别代入各个选项，满足的即为所求．解答：解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选C点评：本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．5．（5分）“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线垂直的等价条件，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直，则4a2+a﹣3=0，即a=﹣1或a=3，故“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．6．（5分）下列命题是真命题的是（）A．∃x∈R使得sinxcosx=B．∃x∈（﹣∞，0）使得2x＞1C．∀x∈R恒有sinx＞cosx D．∀x∈（0，π）恒有x2＞x﹣1考点：全称命题．专题：综合题．分析：A由二倍角公式，结合三角函数的有界性即可判断；B由指数函数的性质即可判断正误；C举反例说明即可；D作差比较x2与（x﹣1）的大小．解答：解：对于A，∵sinxcosx=，∴2sinxcosx=，即sin2x=＞1，∴x∈∅，A错误；对于B，当x∈（﹣∞，0）时，0＜2x＜1，∴B错误；对于C，当x∈k∈Z时，sinx≤cosx，∴C错误；对于D，∵x2﹣（x﹣1）=x2﹣x+1=+＞0，∴x2＞x﹣1恒成立，∴D正确．故选：D．点评：本题考查了三角函数的恒等变换问题，三角函数的图象与性质的应用问题，指数函数的图象与性质的应用问题，作差比较大小问题，是基础题．7．（5分）设x，则sinx的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：据题意，所有事件构成的是区间，属于几何概型，求出区间长度，利用几何概型概率公式求出概率．解答：解：x对应的所有结果构成的区间长度是，∵sinx＞∴0＜x＜∴满足sinx＜的x构成的区间长度是由几何概型概率公式得P=．故选：C．点评：本题考查判断事件是几何概型，利用几何概型的概率公式求事件的概率．8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆的标准方程为，（a＞b＞0）．由圆x2+y2﹣2x﹣3=0配方可得（x﹣1）2+y2=4，半径R=2．可得a=2．利用离心率e==，b2=a2﹣c2即可得出．解答：解：设椭圆的标准方程为，（a＞b＞0）．由圆x2+y2﹣2x﹣3=0可得（x﹣1）2+y2=4，半径R=2．∴a=2．∵离心率e==，∴c=1．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆的标准方程是．故选：A．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，属于基础题．9．（5分）从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（）A．5种B．6种C．7种D．8种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：利用列举法，即可得出结论．解答：解：取出的两张卡片的数字之和恰好的等于4为：（4，0），（0，4），（2，2），（1，3），（3，1）共5个，故选：A．点评：本题考查计数原理的应用，考查列举法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣=1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；古典概型及其概率计算公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6种结果满足条件的事件是e，得到b＞a，列举符合b＞a的情况得到满足条件的事件数，根据概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果满足条件的事件是e=＞∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；当b=2时，有a=5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为=．故选A点评：本题考查古典概型，考查双曲线的离心率，是一个综合题，解题的关键是解出满足离心率在规定范围中，椭圆的轴应该满足的条件，本题利用列举得到结果也比较典型．11．（5分）若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．y2=4x C．x2=﹣12y D．y2=﹣12x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可知双曲线﹣=1的焦点为（0，3），（0，﹣3），从而所求抛物线的焦点可知，即可求解．解答：解：∵双曲线﹣=1的焦点为（0，3），（0，﹣3），当所求的抛物线的焦点为（0，3）时，抛物线方程为x2=12y，当所求的抛物线的焦点为（0，﹣3）时，抛物线方程为x2=﹣12y，结合选项可知，选项C正确，故选C．点评：本题主要考查了双曲线的性质的应用及由焦点坐标求解抛物线的方程，属于基础试题12．（5分）椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．B．10 C．6D．9考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：椭圆：+=1中a=5，b=3，c=4，椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，AF2⊥BF2，可得AO=4，求出A的纵坐标，即可求出三角形△AF2B的面积．解答：解：椭圆：+=1中a=5，b=3，c=4，∵椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，AF2⊥BF2，∴AO=4，设A（x，y），则x2+y2=16，∵+=1，∴|y|=，∴三角形△AF2B的面积是2×=9，故选：D．点评：本题考查三角形△AF2B的面积，考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中2014-2015学年高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知2014-2015学年高二年学生有300人，则该校高中生共有900人．考点：分层抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据其中2014-2015学年高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到2014-2015学年高二年级要抽取的人数，根据该校2014-2015学年高二年级共有学生300人，算出全校共有的人数．解答：解：2014-2015学年高二抽取45﹣20﹣10=15人，由得x=900．故答案为：900．点评：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．14．（4分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是∃x∈R，x3﹣x2+1≤0．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．解答：解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃∈R，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x∈R，x3﹣x2+1≤0．点评：本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．15．（4分）先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先列出所有的基本事件，子啊列出满足条件的基本事件，代入古典概型的概率公式求出即可．解答：解：先后抛掷硬币三次出现的所有的基本事件：（正、正、正）、（反、正、正）、（正、反、正）、（正、正、反）（反、反、正）、（正、反、反）、（反、正、反）、（反、反、反）共8种情况，则有且仅有二次正面朝上的事件有：（反、正、正）、（正、反、正）、（正、正、反）所以有且仅有二次正面朝上的概率P=，故答案为：．点评：本题考查古典概型下的随机事件的概率，列基本事件注意按一定的顺序做到不重不漏，属于基础题．16．（4分）过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F 是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，当＜k时，椭圆的离心率e的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：首先利用椭圆的方程与点的位置确定B的坐标进一步确定K的值，最后利用k的范围求出离心率的范围解答：解：过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F 是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，则：B（），进一步利用：解得：k=，由于：，解得：，故答案为：．点评：本题考查的知识要点：点和曲线的位置关系，斜率的求值，离心率的范围．三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：分组频数频率39.7，39.9）2040.1，40.339.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）．考点：众数、中位数、平均数；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由已知条件能求出频率分布表和频率分布直方图．（2）利用频率分布直方图能求出这批乒乓球直径的平均值．解答：解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下：…（6分）（2）这批乒乓球直径的平均值约为：39.6×0.10+39.8×0.20+40.0×0.50+40.2×0.20=39.96≈40.00（mm）．…（12分）点评：本题考查频率分布表和频率分布直方图的作法，考查这批乒乓球直径的平均值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）8.9 8.7 8.6 8.4 8.3 8.1销量y（件）70 75 80 83 84 88（Ⅰ）求回归直线方程=•x+，其中=﹣20，=﹣；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）考点：线性回归方程．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（I）计算平均数，利用b=﹣20，求出a，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．解答：解：（I）∵=8.5，=80∴=﹣=80+20×8.5=250∴所求回归直线方程为：=﹣20x+250 …（6分）（II）设工厂获得的利润为L（x）元，则L（x）=（x﹣4）（﹣20x+250）=﹣20x2+330x﹣1000∴当x=8.25时L（x）最大361.25∴为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为8.25元…（12分）点评：本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．19．（12分）已知点F（1，0），直线L：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线L的距离；（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被轨迹C截得的弦AB恰好被点N平分．若存在，求直线m的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由抛物线的定义，即可得到所求轨迹C的方程；（Ⅱ）假设存在满足条件的直线m，设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），运用中点坐标公式，当直线m的斜率不存在时不合题意，设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣4），联立抛物线方程，消去y，得到x的方程，由韦达定理，得到k的方程，解出k，检验即可判断．解答：解：（Ⅰ）∵点P到点F的距离等于它到直线l的距离，∴点P的轨迹C是以F为焦点、直线l：x=﹣1为准线的抛物线，其方程是：y2=4x；（Ⅱ）假设存在满足条件的直线m，设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，当直线m的斜率不存在时不合题意，设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣4），联立方程组得k2x2﹣（8k2﹣4k+4）x+（2﹣4k2）=0，∴x1+x2==8，解得k=1，当k=1时，方程x2﹣8x﹣2=0满足△＞0，∴存在直线m，且所求的直线方程是x﹣y﹣2=0．点评：本题考查抛物线的定义和方程，考查联立直线方程和抛物线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x﹣y+2=0的距离为3；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆相交于不同的两点M、N，且|MN=2|，求直线斜率k的值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）首先设出椭圆的方程，利用点到直线的距离求出椭圆的方程．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，利用弦长公式求出结果．解答：解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：，右焦点F（C，0），∵右焦点F到直线x﹣y+=0的距离为3，∴，解得：C=∴所求的椭圆方程为：．（Ⅱ）由，得：（3k+1）x2+6kx=0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，x1x2=0，∵|MN|=2，∴，解得：k=．点评：本题考查的知识要点：椭圆方程的求法，点到直线的距离公式，直线和曲线的位置关系，弦长公式的应用．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．考点：互斥事件的概率加法公式；互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．解答：解：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，∴取出的球的编号之和不大于4的概率P=（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有（m，n）有4×4=16种，而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果，∴P=1﹣=．点评：本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．22．（14分）已知抛物线G：x2=4y；（Ⅰ）过点P（2，1）作抛物线G的切线，求切线方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线G上异于原点的两动点，其中x1＞x2＞0，以A，B为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，延长AF，BF分别交抛物线G于C，D两点，若四边形ABCD的面积为32，求直线AC的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出直线方程，联立直线和抛物线方程，利用判别式等于0求解斜率，则切线方程可求；（2）由题意可设直线AC的方程为y=kx+1（k≠0），得到BD的方程，分别和抛物线联立后利用弦长公式求得AC，BD的长度，代入四边形的面积公式求得直线斜率，则直线AC的方程可求．解答：解：（1）由题意可知，抛物线的切线的斜率存在，设为k（k≠0），过点P（2，1）的切线方程为y﹣1=k（x﹣2），联立，得x2﹣4kx+4（2k﹣1）=0．由△=0，即16k2﹣16（2k﹣1）=0，解得k=1．∴所求的直线方程是y=x﹣1；（2）由题意可设直线AC的方程为y=kx+1（k≠0），则直线BD的方程为y=﹣x+1．由，得x2﹣4kx﹣4=0．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．∴|AC|==4（1+k2）．同理：|BD|==．∵四边形ABCD的面积为32，∴|AC||BD|=32，即=32．解得：k=1或k=﹣1．∴直线AC的方程是：y=x+1．点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了判别式法求曲线的切线方程，考查了弦长公式的应用，涉及直线与曲线的关系问题，常采用直线与圆锥曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．。

福建省泉州市南安一中高二数学上学期期中试题文(含解

2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=( )A．45 B．54 C．90 D．1262．如图，两个变量具有相关关系的图是( )A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为( )A．11 B．12 C．13 D．144．“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件5．为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm 的株树大约中( )A．3000 B．6000 C．7000 D．80006．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是( )A．40 B．39 C．38 D．377．下列说法中正确的是( )A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件8．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为( )A．20 B．25 C．22.5 D．22.759．已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是( )A．B．C．D．10．运行如图框图输出的S是254，则①应为( )A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤811．一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A．B．C．D．12．有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为( )A．45 B．55 C．90 D．100二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________；14．设a∈R，则“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的__________条件是“a=1”．15．已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是__________．16．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．18．2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：A．45 B．54 C．90 D．126【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．【解答】解：A种型号产品所占的比例为=，18，故样本容量n=90．故选：C．【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．2．如图，两个变量具有相关关系的图是( )A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）【考点】变量间的相关关系．【专题】图表型；数形结合；数形结合法；概率与统计．【分析】根据相关关系的定义，分析四个图形中两个变量的关系，可得答案．【解答】解：（1）中两个变量之间是确定的函数关系，（2）中两个变量之间具有相关关系；（3）中两个变量之间具有相关关系；（4）中两个变量之间不具有相关关系；故两个变量具有相关关系的图是（2）（3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是变量间的相关关系，正确理解相关关系的概念是解答的关键．3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为( )A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．4．“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据二次函数的图象和性质，求出函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数的m的取值，进而根据充要条件的定义，得到答案．【解答】解：若函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3m≥3，解得：m≥1，故“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的充分不必要条件，故选：B【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5．为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm 的株树大约中( )A．3000 B．6000 C．7000 D．8000【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．【解答】解：由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）×10=0.3，则底部周长大于100cm的段的频率为1﹣0.3=0.7那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人．故选C．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．6．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是( )A．40 B．39 C．38 D．37【考点】系统抽样方法．【专题】计算题．【分析】各组被抽到的数，应是第一组的数加上间隔的正整数倍，倍数是组数减一．【解答】解：根据系统抽样的原理：应取的数是：7+16×2=39故选B【点评】本题主要考查系统抽样，系统抽样要注意两点：一是分组的组数是由样本容量决定的，二是随机性是由第一组产生的数来决定的．其他组加上间隔的正整数倍即可．7．下列说法中正确的是( )A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件【考点】互斥事件与对立事件；命题的真假判断与应用．【分析】互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件是A不发生B就一定发生的事件，他两个的概率之和是1．【解答】解：由互斥事件和对立事件的概念知互斥事件是不可能同时发生的事件对立事件是A不发生B就一定发生的事件，故选D【点评】对立事件包含于互斥事件，是对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，认识两个事件的关系，是解题的关键．8．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为( )A．20 B．25 C．22.5 D．22.75【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5．故选：C．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．9．已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是( )A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】首先求出所以事件个数就是集合元素个数5，然后求出满足使函数为增函数的元素个数为3，利用公式可得．【解答】解：从集合{﹣2，0，1，3，4}中任选一个数有5种选法，使函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的是a2﹣2＞0解得a＞或者a＜，所以满足此条件的a有﹣2，3，4共有3个，由古典概型公式得函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是；故选：B．【点评】本题考查了古典概型的概率求法；关键是明确所有事件的个数以及满足条件的事件公式，利用公式解答．10．运行如图框图输出的S是254，则①应为( )A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254，故①中应填n≤7．故选C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为．【解答】解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p=．故选C．【点评】本题考查几何概型概率的求法，解题时要认真审题，注意小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．12．有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为( )A．45 B．55 C．90 D．100【考点】归纳推理．【专题】等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案．【解答】解：假设每次分堆时都是分出1个球，第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣1个，则乘积为1×（n﹣1）=n﹣1；第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣2个，则乘积为1×（n﹣2）=n﹣2；依此类推最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；设乘积的和为T n，则T n=1+2+…+（n﹣1）=n（n﹣1）当n=10时，T10=×10×（10﹣1）=45故选：A【点评】本题主要考查等差数列的求和．属基础题．在解答选择填空题时，特殊值法是常用方法之一．解决本题的关键在于特殊值法的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是132；【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=10时，不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件i≥11，s=12，i=11满足条件i≥11，s=132，i=10不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．故答案为：132．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．14．设a∈R，则“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的充分不必要条件是“a=1”．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；数形结合法；简易逻辑．【分析】“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”⇔，解出即可判断出结论．【解答】解：“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”⇔⇔a=±1．∴“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的充分不必要条件是“a=1”．故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是1﹣．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】分别求出对应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4，则三角形ABC的面积S=，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1=12﹣=12﹣2π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为，故答案为：1﹣．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．16．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】应用题．【分析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．【点评】本题主要考查了等可能事件的概率公式的应用，解题的关键是准确求出每种情况下事件的个数．18．2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率=，计算出对应的频率，补充完整频率分布直方图，再计算观看此部电影的观众年龄平均数即可；（2）求出年龄在[25，30）和[40，45）内的频率与频数，用列举法求出对应的基本事件数，计算概率即可．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，年龄在[25，30）的频率为1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴年龄在[25，30）的小矩形的高为=0.04，补充画完整频率分布直方图如图所示，∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5；（2）年龄在[25，30）内的频率为0.2，对应的人数为20×0.2=4，记为a、b、c、d；年龄在[40，45）内的频率为0.02×5=0.1，对应的人数为20×0.1=2，记为E、F；现从这6人中随机抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种，属于同一年龄组的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF，共7种，所以，所求的概率是P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19．某地区2006年至2012年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2006年至2012年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2014年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据数据求出样本平均数以及对应的系数即可求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）根据条件进行估计预测即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意得=4，==4.3，== 0.5．=4.3﹣0.5×4=2.3即y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）∵线性回归方程为=0.5t+2.3；斜率k=0.5＞0，可知2006年至2012年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加，平均增加0.5千元，当t=9时，=0.5×9+2.3=6.8；预测该地区2014年农村家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题主要考查线性回归方程的求解以及应用，根据数据求出相应的系数是解决本题的关键．考查学生的运算能力．20．已知全集U=R，非空集合A=，B={x|（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0}（m＞0）（Ⅰ）当m=1时，求（∁U B）∩A；（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算．【专题】转化思想；数学模型法；集合；简易逻辑．【分析】（I）由，解得﹣2≤x≤10，可得A．当m=1时，B==．可得∁U B．即可得出（∁U B）∩A．（II）由m＞0，可得B=．由q是p的必要不充分条件，可得B⊊A．【解答】解：（I）由，解得﹣2≤x≤10，可得A=．当m=1时，B==．∁U B=（﹣∞，0）∪（2，+∞）．∴（∁U B）∩A=．（II）∵m＞0，∴B=．∵q是p的必要不充分条件，∴B⊊A．∴，m＞0，且等号不能同时成立．解得0＜m≤3．【点评】本题查克拉不等式的解法、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩82 87 86 80 90乙的成绩75 90 91 74 95（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）解法一：求出，答案一：从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：通过乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．）解法二：求出甲摸底考试成绩不低于90的概率，乙摸底考试成绩不低于90的概率，然后决定选谁合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．列出这5次摸底考试中任意选取2次所有情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”的情况个数然后求出概率．【解答】解：（Ⅰ）解法一：依题意有，答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．所以选乙合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．22．如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）按大小数列排列得出x值，运用平均数公式求解y，（2）判断甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，运用古典概率求解．（3）求解甲的平均数，方差，一点平均数，方差，比较方差越小者越稳定，越大，波动性越大．得出结论：甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3，（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，（3）因为甲的平均数为：=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，所以甲的方差S2甲==50.2，又乙的方差S2乙==70.3，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．【点评】本题考察了茎叶图的运用，求解方差，进行数据的分析解决实际问题，考察了计算能力，准确度．。

福建省泉州市南安一中2014_2015学年高二数学下学期期中试卷文(含解析)

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．函数的定义域是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞） D．（1，+∞）2．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1} D．R3．下列各组表示同一函数的是（）A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgxC．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．B．C．﹣D．25．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤0 6．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|7．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]8．设函数，则有（）A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数， y=b xC．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜111．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.13．不等式的解为．14．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为．15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．18．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．19．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．21．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．函数的定义域是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞） D．（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据负数没有平方根得到2x﹣1大于等于0，然后根据指数函数的增减性得到x的范围即可．【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，即2x≥1=20，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则x≥0．所以函数的定义域为[0，+∞）故选A【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．2．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】由题意可知B⊆A，然后化简四个选项中的集合，逐一核对后即可得到答案．【解答】解：由A={x|x≥0}，且A∩B=B，所以B⊆A．A、{x|x≥0}={x|x≥0}=A，故本选项正确；B、{x|x≤1，x∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；C、若B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}≠B，故本选项错误；D、给出的集合是R，不合题意，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．3．下列各组表示同一函数的是（）A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgxC．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A．y=|x|，定义域为R，y=（）2=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．B．y=lgx2，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．B．C．﹣D．2【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】运用分段函数，可得f（﹣1）=1，再求f（f（﹣1））=f（1）=2．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=（﹣1）2=1，f（f（﹣1））=f（1）=21=2．故选D．【点评】本题考查分段函数和运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．5．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤0【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选D．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．6．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|【考点】不等关系与不等式．【专题】证明题．【分析】用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．【解答】解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1， =﹣，显然A不正确．a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．a2 =1，b2=4，显然C不正确．a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．故选 B．【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．7．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]【考点】对数函数的值域与最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的解析式，分析出函数的单调性，进而分析出函数的最值，可得函数的值域．【解答】解：∵函数y=lnx在（0，+∞）上为增函数，故函数y=﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，当1≤x≤e2时，若x=1，函数取最大值0，x=e2，函数取最小值﹣2，故函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是[﹣2，0]，故选：B【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．8．设函数，则有（）A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数， y=b xC．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】先用定义判断函数的奇偶性，再求f（），找出其与f（x）的关系即可得到答案．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．而f（）===﹣=﹣f（x），故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】作图题；压轴题；数形结合；运动思想．【分析】由函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．【解答】解：∵y=f（|x|）是偶函数，∴y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．故选B．【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，函数y=f（x）的图象和函数|f（x）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．10．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】由“函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）”，则有“f′（x）≤0，x∈（，）恒成立”求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立∵1﹣3x2≥0成立∴a＞0故选A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．11．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1，符合函数y=f（x）在R上单调递减；若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）可求a的范围【解答】解：设g（x）=，h（x）=﹣x+a，则g（x），h（x）都是单调递减∵y=在（﹣∞，0]上单调递减且h（x）≥h（0）=1若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1∴，即函数y=f（x）在R上单调递减若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）∴a≤1则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的充分不必要条件故选A【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分段函数的单调性的判断，解题中要注意分段函数的端点处的函数值的处理12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.13．不等式的解为{x|x＞1或x＜0} ．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．【解答】解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出14．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为（2，2）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由log a1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．【解答】解：∵log a1=0，∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，则函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题．15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= 4 ．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f（a））是切点，该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a 时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1）+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是①②⑤．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】（Ⅰ）求出A中不等式的解集确定出A，由全集U=R，及B求出B的补集，求出A与B补集的交集即可；（Ⅱ）根据A，C，以及A为C的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U=R，B={x|x＜4}，∴∁U B={x|x≥4}，又∵A={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}，∴A∩（∁U B）={x|4≤x≤5}；（Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x≤5}，C={x|x≥a}，且A⊆C，∴a的范围为a≤﹣1．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．【考点】函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求函数的定义域，根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）奇偶性；（Ⅱ）当0＜a＜1时，根据对数函数的单调性即可解不等式f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）由，得，即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），则f（x）为奇函数．（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），则1+x＜1﹣x，解得﹣1＜x＜0，则不等式解集为：（﹣1，0）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．19．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性，得到=﹣=，比较系数求出c的值即可；（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣=，比较系数得：c=﹣c，∴c=0，∴f（x）==x+；（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2）=．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（I）由已知中函数解析式f（x）=x3﹣x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数f（x）=x3﹣x2+cx+d的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围．【解答】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4﹣2+c=0，∴c=﹣2．∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值，∵x＜0时，f（x）＜恒成立，∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，∴d＜﹣7或d＞1，即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．21．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题．【分析】（1）由题意可得，第x个月的需求量等于第x个月的需求总量减去第x﹣1个月的需求总量，故当x=1时，f（1）=p（1），当2≤x≤12时，f（x）=p（x）﹣P（x﹣1）；（2）根据月利润=该商品每件的利润×月销售量，列出关系式，再利用导数求最值求解即可．【解答】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37．（2分）当2≤x≤12时，且x≤12）（5分）验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．综上，5月份的月利润最大是3125元．（14分）【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由题意得，＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．（2）由题意得：令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，分类讨论当或时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．【解答】解：（1）当时，，；对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，∴，．（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f （x）＜f2（x）令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∵1）若，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；2）若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，所以≤a≤．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤综合可知a的范围是[，]．【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．- 21 -。

2015年福建省泉州市南安一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，图中阴影部分所表示的集合为（）A．{3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（5分）在复平面上，复数z=对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间是（）A． B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm25．（5分）“m=1”是“直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A．2 B．C．4 D．88．（5分）已知函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A． B．C．D．9．（5分）已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于（）A．3 B．2 C． D．10．（5分）已知，则的值是（）A．B．C．D．11．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为（）A．B． C． D．112．（5分）定义运算：=a1b2﹣a2b1，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．（4分）若等差数列{a n}的前5项之和S5=25，且a2=3，则a6=．14．（4分）已知实数x，y满足，则Z=2x+3y的最小值是．15．（4分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC 的面积为，则b=．16．（4分）在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M：①sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°=M；②sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=M；③sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°=M；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos 48°=M；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos 55°=M；请计算出M值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式．．三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知三棱柱ADF﹣BCE中，DF⊥平面ABCD，AD=DC，G是DF的中点（Ⅰ）求证：BF∥平面ACG；（Ⅱ）求证：平面ACG⊥平面BDF．18．（12分）已知直线l与直线x+y﹣2=0垂直，且过点（2，1）（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．19．（12分）已知，且f（x）=．（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=﹣bcosA 成立，求f（A）的取值范围．20．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG（Ⅰ）求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a﹣1）lnx+b．（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求实数a、b的值；（Ⅱ）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在区间上恰有一个零点，求实数b的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，图中阴影部分所表示的集合为（）A．{3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B 中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B）∩A，又全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，∵C U B={1，2}，∴（C U B）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选：B．2．（5分）在复平面上，复数z=对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z==2﹣i，对应的点位（2，﹣1），在第四象限．故选：D．3．（5分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间是（）A． B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵连续函数f（x）=log2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增∵f（2）=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3）故选：C．4．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2【解答】解：该几何体为圆锥，故其表面积为S=5×6×π+π×32=24π，故选：C．5．（5分）“m=1”是“直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m=1时，直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行，是充分条件，若直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行，则m=±1，不是必要条件，故选：A．6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；若l⊥α，l⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A．2 B．C．4 D．8【解答】解：∵a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴，化为3a+b=3，化为a+b=1．则+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号，∴+的最小值是4．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=log a（x+b）的图象由f（x）=log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=a x+b的大致图象是B故选：B．9．（5分）已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于（）A．3 B．2 C． D．【解答】解：∵向量，均为单位向量，且夹角是60°，∴|﹣3|====故选：D．10．（5分）已知，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α﹣）=sinαcos﹣cosαsin=﹣（cosα+sinα）=﹣．故选：D．11．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为（）A．B． C． D．1【解答】解：对y=x n+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）x n，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），不妨设y=0，则x1•x2•x3…•x n=××，故选：B．12．（5分）定义运算：=a1b2﹣a2b1，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵定义运算：=a1b2﹣a2b1，∴函数==2=2sin（2x+）．∴函数f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得函数解析式为：g（x）=2sin[2（x+t）+]．∵g（x）=2sin[2（x+t）+]为奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），∴，k∈Z．∴，k∈Z．∵t＞0，∴t的最小值为．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．（4分）若等差数列{a n}的前5项之和S5=25，且a2=3，则a6=11．【解答】解：等差数列{a n}的前5项之和S5=25，∴S5===5a3=25，∴a3=5，又∵a2=3，∴公差d=5﹣3=2，∴a6=a3+3d=5+3×2=11故答案为：1114．（4分）已知实数x，y满足，则Z=2x+3y的最小值是9．【解答】解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示：三个顶点坐标为A（3，7）、B（3，1）、C（6，4），将B（3，1）代入z=2x+3y得到最大值为9．故答案为：9．15．（4分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则b=．=acsinB，△ABC的面积为，a=3，B=，【解答】解：∵S△ABC∴×3c×=，即c=1，∴a=3，c=1，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=9+1﹣3=7，则b=．故答案为：16．（4分）在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M：①sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°=M；②sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=M；③sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°=M；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos 48°=M；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos 55°=M；请计算出M值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式．sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinα•cos（30°﹣α）=．【解答】解：由②得常数为，所以由归纳推理可得推广为一般规律的等式：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin α•cos （30°﹣α）=．故答案为：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin α•cos（30°﹣α）=．三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知三棱柱ADF﹣BCE中，DF⊥平面ABCD，AD=DC，G是DF的中点（Ⅰ）求证：BF∥平面ACG；（Ⅱ）求证：平面ACG⊥平面BDF．【解答】证明：（Ⅰ）设AC、BD相交于点O，连结OG，∵AD=DC∴ABCD为菱形，∴O为BD的中点，∵G是FD的中点，∴OG∥BF；又∵OG⊂平面AGCBF⊄平面AGC，∴BF∥平面ACG…（6分）（Ⅱ）∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵DF⊥平面ABCDAC⊂平面ABCD，∴DF⊥AC；又∵BD∩DF=DBD、DF⊂平面BDF，∴AC⊥平面BDF，又∵AC⊂平面ACG，∴平面ACG⊥平面BDF．…（12分）18．（12分）已知直线l与直线x+y﹣2=0垂直，且过点（2，1）（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）∵l与x+y﹣2=0垂直，∴斜率k l=1；∵l过点（2，1），∴l的方程y﹣1=（x﹣2），即y=x﹣1．（Ⅱ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2，由题意可得，解得：a=3，r=2，可得圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=4．19．（12分）已知，且f（x）=．（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=﹣bcosA 成立，求f（A）的取值范围．【解答】解：（I）f（x）==2cos2x+2sinxcosx=2sin（2x+）+1，故函数的周期为π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=﹣sinBcosA，即sinAcosB+2sinCcosB=﹣sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=﹣2sinCcosB，即sin（A+B）=﹣2sinCcosB，∴cosB=﹣，B=，∴f（A）=2sin（2A+）+1．由于0＜A＜，∴＜2A+＜，＜sin（2A+）≤1，2＜f（A）≤3，故f（A）的取值范围为（2，3]．20．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n ﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=8n﹣1（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴===21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG（Ⅰ）求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC又∵ABCD是正方形∴BC⊥CD∵PD∩CD=D∴BC⊥平面PCD…（3分）又∵PC⊂面PBC（Ⅱ）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高…（5分）∵E是PC的中点，∴…（6分）∴…（8分）（Ⅲ）解：连结AC，取AC中点O，连结EO，GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG…（9分）下面证明之∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA，…（10分）又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG∴PA∥平面MEG…（11分）在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，∴△OCG≌△OAM，∴，∴所求AM的长为．…（12分）22．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a﹣1）lnx+b．（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求实数a、b的值；（Ⅱ）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在区间上恰有一个零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）…（1分）依题意，…（2分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），=①当时，恒有f'（x）＞0故f（x）的单调递增区间为（0，+∞）…（5分）②当时，，令f'（x）=0得，，…（6分）f（x）及f'（x）的值变化情况如下表：…（8分）故f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为…（9分）（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣lnx+b，由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，∴f（x）的最小值为f（1）=1+b．…（10分）∵，f（e）=e﹣1+b，∴即：…（11分），∵f（x）在区间上恰有一个零点，∴即：…（13分）解得：b=﹣1或…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

福建省南安第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

第I 卷（选择题共60分）一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）： 1.i 为虚数单位，若52a i =-，则a的值为（）A ．2i +B ．2i -C ．2i --D ．2i -+ 2.以下说法，正确的个数为（）①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理． ②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A ．0B ．2C ．3D ．4 3.函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()'f x 在(),a b 内的图象如下图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极大值点（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆy＝0.7x ＋0.35，那么表中m 值为（） A ．4B ．3.15C ．4.5D ．35.若函数()221f x x =-的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x ，1+△y ），则等于（）A ．4B ．4xC ．4+2△xD ．4+2△x 26.下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5； ②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0； ③如果一组数据1，2，x ，4的中位数是3，那么x=4； ④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数．其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 7.函数()ln 2xf x x=-的图象在点(1,2)-处的切线方程为（）A ．30x y --=B ．20x y +=C ．10x y ++=D ．240x y --= 8.如图，由函数()xf x e e =-的图象，直线2x =及x 轴所围成的阴影部分面积等于（） A ．221e e --B ．221e e -+C ．22e e -D ．22e e -9.函数32y x ax a =-+在（0,1）内有极小值，则实数a 的取值范围是（） A ．30,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,3C ．()0,+∞D ．(),3-∞10.某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277； ②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；③11，41，71，101，131，161， 191，221，251，281； ④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300 关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A ．①④都可能为系统抽样B ．①③都可能为分层抽样C ．②③都不能为系统抽样D ．②④都不能为分层抽样11.已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为（）A B C D ．2 12.已知函数()32231f x ax ax =-+，，若任意给定的[]00,2x ∈总存在两个不同的()[]1,20,2i x i =∈，使得()()0i f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞-第II 卷（非选择题，共90分）二.填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上．．．．．．．．．．）： 13.函数2()32ln f x x x =-的单调增区间为．14.在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为________．15.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高为． 16.在平面几何里，已知Rt SAB ∆的两边,SA SB 互相垂直，且a SA =，b SB =则AB 边上的高h =S ABC -的三条侧棱SA SB SC 、、两两相互垂直,且,,SA a SB b SC c ===,则点S 到面ABC 的距离h '=三.解答题（共6小题，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17.(本题满分12)已知函数2()4ln f x ax bx x =++的极值点为1和2．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间(]0,3上的最大值.18.(本题满分12分)在数列{n a }中，16a =，且111n n n a a a n n---=++*(,2)n N n ∈≥，（1）求234,,a a a 的值；（2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明。

福建省南安一中2013-2014学年高二上学期期末数学文试卷

南安一中2015届高二（上）期末考试试卷数学（文科）本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟.注意事项：1.考生务必将自己的姓名、班级用签字笔写在答题卷上；2.非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用圆球笔和涂改液.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，若用系统抽样方法，则所抽取的编号可能是A . 2,4,6,8B . 2,6,10,14C . 2,7,12,17D . 5,8,9,14 2. 有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至多有1次中靶”的对立事件是A. 只有1次中靶 B . 至少有1次中靶 C . 2次都不中靶 D . 2次都中靶 3. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4. 总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为A ．01B ．02C ．07D ．085.曲线31y ax bx =+-在点(1,(1))f 处的切线方程为=+=b a x y 则,A ．3-B ．2C ．3D ．4 6. 从一堆苹果中任取20粒，称得各粒苹果的质量（单位：克）数据分布如下表所示：根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于130克的苹果数约占苹果总数的 A ．10% B ．30% C ．60% D ．80% 7.如图给出的是计算20141614121++++ 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是A ．2014<iB ．1007>iC ．1007≤iD ．2016<i8.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的14,且样本容量为200,则中间一组有频数为A ．40B ．32C ．0.2D ． 0.259.小强和小华两位同学约定下午在武荣公园篮球场见面,约定谁先到后必须等10分钟,这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是1：40分到达的,假设小华在1点到3点内到达,且小华在 1点到3点之间何时到达是等可能的,则他们会面的概率是A ．91B ．16C ． 14D ．1310.已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=.若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=,则以下结论正确的是A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '<'<ˆ,ˆ D ．a a b b '>'<ˆ,ˆ 11.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①xax g x f )()(=(0,a >1)a ≠且； ②()0g x ≠；③()()()()f x g x f x g x ''⋅>⋅．若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则a 等于 A ．21 B ．45 C ．2 D ．2或2112.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发生的概率为31,则ADAB的值为 A ．12 B ．35C ．14 D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1200人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有________学生． 14.函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如下，记()y f x =的导函数为/()y f x =，则不等式0)('≥x f 的解集为_________．15.在边长为2的正方形ABCD 内任取一点P ，则使点P 到四个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 16.设有以下两个程序：程序(1) A=-8 程序(2) x=1/4 B=2 i=1If A<0 then while i<3 A=-A x=1/(1+x) END if i=i+1 B=B^2 wend A=A+B print x C=A-2*B end A=A/C B=B*C+1Print A,B,C程序（1）的输出结果是______,________,_________. 程序（2）的输出结果是__________.三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得10180ii x==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+; (Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关并说明理由; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y bx a =+中,1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑,a y bx =-,其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为y bx a =+.18.（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60 分的人数；（Ⅲ）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10 的概率．19.（本小题满分12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率（Ⅰ）试分析估计两个班级的优秀率；（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.（本小题满分12分）设函数x ax x f ln +=.图（Ⅰ）当1-=a 时，求函数()x f y =的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）已知0<a ，若函数()x f y =的图象总在直线21-=y 的下方，求a 的取值范围；21.（本小题满分12分）某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =;(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.22.（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点，（ⅰ）求实数a 的值；（ⅱ）若对于 121,[,3]x x e ∀∈，不等式 12()()11f xg x k --≤恒成立，求实数 k 的取值范围．南安一中2015届高二年期末考试试卷数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．13．4440 14．]2,1[]31,23( --15. 4π16. （1）3、 17、 4；（2）95三、解答题：本大题满分74分． 17.18.解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.00⨯++0.025a +++=． …………………………………1分解得0.03a =． ………………………………………………………………………………2分（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=． …3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． ………………………………………5分（3）成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ． ………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．……………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．……………11分所以所求概率为()715P M =． ………………………………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50% (4)分（Ⅱ ）8分因为K 2＝－250×50×55×45＝10099≈1.010，………………………10分所以由参考数据知，没有75%的把认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助． ……………………………………12分20．解：（Ⅰ）当1-=a 时，()2ln f x x x =-+，()xx x f12/+-=，()11/-=f ，所以切线的斜率为1-.………………………………………………2分又()11-=f ，所以切点为()1,1-.故所求的切线方程为：()11--=+x y 即0=+y x .………………………4分（Ⅱ）()221212122a x ax a f x ax x x x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'=+==，0>x ，0a <.……………………6分令()0/=x f，则ax 21-=. 当⎥⎦⎤⎝⎛-∈a x 21,0时，()0/>x f ；当⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∈,21a x 时，()0/<x f .故ax 21-=为函数()x f 的唯一极大值点，所以()x f 的最大值为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a 21ln 2121.……………………………10分由题意有2121ln 2121-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a ，解得21-<a . 所以a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛-∞-21,.……………………………………………………12分21.解:(Ⅰ)变量x 是在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能. 当x 从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时,输出y 的值为1, 故211=P ;…………2分当x 从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时,输出y 的值为2,故312=P ; …………4分当x 从24,18,12,6这4个数中产生时,输出y 的值为3,故613=P . …………6分所以输出y 的值为1的概率为21,输出y 的值为2的概率为31,输出y 的值为3的概率为61. (Ⅱ)当2100n =时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率如下,比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大. …………12分22．解：（Ⅰ）22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-+=-（0x >）， ···························· 1分由()0,0f x x '>⎧⎨>⎩得，01x <<；由()0,0f x x '<⎧⎨>⎩得，1x >.∴ ()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数． ··································· 3分 ∴ 函数()f x 的最大值为(1)1f =-． ························································ 4分（Ⅱ）∵ ()a g x x x =+， ∴ 2()1ag x x'=-．（ⅰ）由（Ⅰ）知，1x =是函数()f x 的极值点，又∵ 函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴ 1x =是函数()g x 的极值点，∴ (1)10g a '=-=，解得1a =． ····························································· 7分经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意． ································ 8分（ⅱ）∵ 211()2f e e=--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+，∵ 2192ln 321e -+<--<-，即 1(3)()(1)f f f e<<， ∴ 11[,3]x e∀∈，1min 1max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-． ··················· 9分由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x '=-. 当1[,1)x e∈时，()0g x '<；当(1,3]x ∈时，()0g x '>．故()g x 在1[,1)e为减函数，在(1,3]上为增函数．∵ 11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而 11023e e <+<, 1(1)()(3),g g g e ∴<<∴ 21[,]x e e ∀∈，2min 2max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====． ··························· 10分① 当10k ->，即1k >时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴ 312k ≥-+=-，又∵ 1k >，∴ 1k >． ························································································ 12分 ② 当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+． ∵ 121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+， ∴ 342ln 33k ≤-+．又∵1k <，∴ 342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-++∞．······················ 14分。

福建省南安第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷 Word版含答案

南安一中2014～2015学年度下学期期末考高二文科数学试卷本试卷考试内容为：。

分第I卷（选择题）和第II卷，共页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。

注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题上。

2．考生作答时，请将答案答在答题上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（英语科选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）。

4．保持答题面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题交回。

1．，，，则图中阴影部分表示的集合为（） A． B． C． D． 2．若则点位于　． A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．若点在函数的图象上，则的值为A．0 B．C．1 D．已知，是单位向量，且与的夹角为60°，则等于A．1 B．2－ C．3 D．4－．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 A．B．C．D．．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其中心角的弧度数是 A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或57．在ABC中，已知，则ABC 是A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形．，是函数的导函数，则的图象大致是（） B. C. D. 9．已知、满足约束条件若的最小值为1，则=（　） A． B． C．1 D．2 ．将函数）的图向左平移个长度单位后，所得到的图关于原点对称，则的最小值是A．　B．C．　D．已知直线与函数的图象分别相交于两点，则的最大值为A．1 B．C．D．2 定义如果函数在[a,b]上存在满足，则称函数是上的“双中值函数”已知函数是上的“双中值函数”则实数的取值范围是 A．B．() C．(,1) D．(,1) 第II卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，共16分。

南安一中度上学期期中考数学科试卷南安一中高二年文科

南安一中2015～2016学年度上学期期中考高二年数学（文科）期中考卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1-6 BDBACB 7-12 DCBCCA二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分．）13. 132 14.充分不必要 15. 16.三、解答题（本大题共6小题,共70分）17.解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y．用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）…4分（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率P（A）＝＝．…………………………………7分（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}事件B由7个基本事件组成，故所求概率P（A）＝．………………………………………10分18.解：（Ⅰ）补充完成的频率分布直方图如下：………………………………………………………3分估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为⨯+⨯+⨯+⨯+⨯………………………6分0.0522.50.227.50.3532.50.337.50.142.5（Ⅱ）年龄属于和的分别有4人，2人，分别记为A1，A2，A3，A4，B1，B2则从中随机抽取两人的所有可能情况有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种，……………………………………………………………………………………………8分其中，两人属于同一年龄组的有（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 3，A 4），（B 1，B 2）共7种，…………………………………………………………………………………10分 ∴所求的概率为． ………………………………………………………………………… …12分19．解：（Ⅰ）由所给数据得，123456747x ++++++==……………………………………………………………………2分2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y ++++++==，………………………………………………4分2177712271=--=∑∑==∧i i i i ix x y x y x b …………………………………………………6分所求的回归直线方程为．…………………………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年递增，平均每年增加0．5千元．……………………………………………………………………10分将2016年的年份代换代人回归直线方程，得故预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入为6．8千元．………………………………12分20.解：即A=而B= …………………2分(1) 当时，,),2()0,(+∞⋃-∞=B C U ,…………………………………………4分]10,2()0,2[)(⋃-=⋂A B C U …………………………………………………………6分(2)又是的必要不充分条件，即……………………………………………………8分所以即实数的取值范围为。

福建省南安一中高二数学上学期期中试题理

福建省南安一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1、命题“,11a b a b >->-若则”的否命题．．．是（） A.,11a b a b >-≤-若则 B.,11a b a b >-<-若则 C.,11a b a b ≤-≤-若则 D.,11a b a b <-<-若则 2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点对称的点的坐标为（）A ．)4,1,3(--B ．)4,1,3(---C ．)4,1,3(D ．(3,1,4)-3.若椭圆经过点P （2，3），且焦点为F 1(－2,0),F 2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（）A.22 B. 13 C. 12 D.324、 “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5、在正方体1111ABCD A B C D -中，N M 、为的棱A ADB 与的中点，则异面直线N M 与1BD 所成角的余弦值是（）A．15 B ．12C ．2D ．36、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为（）(B) 7、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（）8.已知命题p ：关于x 的不等式220x ax a +->的解集是R ，命题q ：10a -<<，则p 是q 的那么（）A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件9、已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是（） A. ()()+∞-∞-,11,Y B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222,Y C. ()()+∞-∞-,,2222Y D. ()()+∞-∞-,,22Y10．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α 垂直”的（）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 11、 “22-≠≠y x 或”是“4-≠xy ”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分而不要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12、过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一条斜率不为0的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mn m n+等于（）A.12aB.14aC. 2aD.4a第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a r ∥b ρ，则=x ______14、若0>m ，点⎪⎭⎫⎝⎛25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 .15. “1x >”是“2x x >”的条件．(填充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分又非必要条件) 16．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

-数学-高二-福建省泉州南安一中2015-2016学年高二上第一次阶段考试数学(文)试题

南安一中2016～2017学年度上学期第一次阶段考高二数学（文科）试卷命题者：许彬城本试卷考试内容为：算法初步、统计及统计案例、概率、常用逻辑用语。

分第I卷和第II卷，共6页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．保持答题纸纸面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。

5．参考公式：线性回归方程系数公式1221ˆni iiniix y nx ybx nx==-⋅=-∑∑,ˆa y bx=-第I卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知样本数据3，2，1，a的平均数为2，则样本的标准差是A2B3C．12D．142．在下列命题中，真命题是A．“2x=时, 2320x x-+=”的否命题；B．“若3b=,则29b=”的逆命题;C．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题D．若ac bc>,则a b>3．一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶4．若x R ∈，则“23x -≤≤”是“||2x <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙，，则下列判断正确的是A ．x x >甲乙；甲比乙成绩稳定B ．x x >甲乙；乙比甲成绩稳定C ．x x <甲乙；甲比乙成绩稳定D ．x x <甲乙；乙比甲成绩稳定6．为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x 应该是A ．3或-3B ．-5或3C ．5或-5D ．5或-3INPUT xIF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END（第6题）（第7题图） 7．执行右上的程序框图，输出的结果是26，则①处应填入的条件是A ．2K >B ．3K >C ．4K >D ．5K >8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。

福建省南安第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．计算2(1)i i -的值等于A ．-4B ．2C ．-2iD ．4i 2．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a =A ．1B ．2C ．3D ．4 3．下列求导运算正确的是 A ．211)1(xx x +='+B ．2ln 1)(log 2x x ='C ．e xx 3log 3)3(⋅=' D ．x x x sin 2)cos (2-='4．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a =A ．5B ．1-C ．0D ．15．抛物线2y x =在点)41,21(M 处的切线的倾斜角是A.30B.45C.60D.90 6．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列 7．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第号座位上A.1B.2C.3D.4 8．已知函数)cos()(2πn n n f =，且)(n f a n =，则=+⋅⋅⋅+++100321a a a a A ．0 B ．100 C ．5050 D ．10200 9．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，若231n n S nT n =+，则n n a b =A ．23 B ．2131n n ++ C ．2131n n -- D ．2134n n -+ 10．设函数ax x x f m +=)(的导数12)('+=x x f ,则数列*},)(1{N n n f ∈的前n 项和 A.1-n n B. n n 1+ C. 1+n n D. nn 2+ 11．若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．),3(+∞ B ． ),3[+∞- C ． ),3(+∞- D ．)3,(--∞ 12．设△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA的取值范围是A. (0,)+∞B. 12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．14．过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2-4x+1在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是________． 15．已知数列{a n }中, 21,212,2n nn n m a n m+=-⎧=⎨=⎩, m 为正整数, 前n 项和为n S ，则5S =____________．16．已知方程10x ae x-=有两个不等的非零根，则a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽取20名学生，其中8名女生中有3名报考理科，男生中有2名报考文科（1）根据以上信息，写出22⨯列联表（2）用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？参考公式22()=()()()()n ad bc K a c b d a b c d -++++0.1018．(本小题满分12分)已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，)(x f 有极大值3. （1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值.20.(本小题满分12分)已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫ ⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）．（1）求函数)(x f（2）求函数)(x f 的单调区间．21．(本小题满分12分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列，其前n 项和为n S ，且335544,,S a S a S a +++成等差数列。

福建省南安一中2015届高三上学期期中考试数学(文) Wor

南安一中2014～2015学年度高三上学期期中考文科数学试卷本试卷考试内容为：函数与导数、三角函数、数列、立体几何、直线与圆。

分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =,{}3,4,5B =，下图中阴影部分所表示的集合为 A ．{}3 B ．{}1,2 C ．{}4,5 D ．{}1,2,3,4,52.在复平面上，复数i1i3++=z 对应点所在的象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()4log 2-+=x x x f 的零点所在的区间是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,1C ．()3,2D ．()4,3 4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表．面积．．等于 A ．12πcm 2B ．15πcm2C ．24πcm 2D ．30πcm 25.“1m =”是“直线20mx y ++=与直线10x my +-=相互平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β D ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β7.设0,0a b >>3a与3b的等比中项，则11a b+的最小值为 A ．14B ．1C ．4D ．88.已知函数()log ()a f x x b =+的大致图象如右图，其中b a ,为常数，则函数b a x g x +=)(的大致图象是9.已知向量a , b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则b a 3-等于A ．3B ．2C ．13D ．710.已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是A． BC ．45D ．45-11.设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则123n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅的值为 A ．11n + B ．1n n + C ．1nD ．1 12.定义运算：12122112a a a b a b b b =-，将函数sin 2()cos 2x f x x=的图象向左平移t（0t >）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为 A ．6π B ．512π C ．3πD ．56π第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13.若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 6＝．14.已知实数x y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-3102x y x y x ，则y x z 32+=的最小值是．15.已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若△ABC3,a =3B π=,则b = ．16.在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M ：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°=M ； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°=M ； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°=M ； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°=M ； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°=M ；请计算出M 值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式. .三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分12分）已知三棱柱ADF BCE -中，DF ⊥平面ABCD ，AD DC =，G 是DF 的中点（Ⅰ）求证：//BF 平面ACG（Ⅱ）求证：平面ACG ⊥平面BDF18.（本小题满分12分）已知直线l 与直线20x y +-=垂直，且过点(2,1) （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为求圆C 的标准方程.19.（本小题满分12分）已知(cos ),(2cos ,sin )a x x b x x == ，且()f x a b =⋅（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，若2)cos cos a c B b A +=-（成立，求()f A 的取值范围.20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264,b S =33960b S =．(Ⅰ)求n a 与n b ；(Ⅱ)证明：1211134n S S S +++< ．21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2BC PD ==，E 为PC 的中点，3CB CG = （Ⅰ）求证：;BC PC ⊥（Ⅱ）求三棱锥C DEG -的体积；（Ⅲ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG .若存在，求AM 的长；若不存在，说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数()21)ln f x ax a x b =--+（. （Ⅰ）若()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为y x =，求实数a b 、的值; （Ⅱ）当0a >时，讨论()f x 的单调性;（Ⅲ）当1a =时，()f x 在区间1(,)e e上恰有一个零点，求实数b 的取值范围.南安一中2014～2015学年度高三（上）期中考文科数学试卷答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．二、填空题：本大题每小题4分，满分16分．13.11 14.9 15 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34 三、解答题：本大题满分74分．17.证明：（Ⅰ）设AC 、BD 相交于点O ，连结OG∵AD DC = ∴ABCD 为菱形 ∴O 为BD 的中点 ∵G 是FD 的中点 ∴//OG BF又∵OG ⊂平面AGC BF ⊄平面AGC∴//BF 平面ACG ……………………………6分（Ⅱ）∵ABCD 为菱形∴AC BD ⊥又∵DF ⊥平面ABCD AC ⊂平面ABCD ∴DF ⊥AC又∵BD DF D = BD DF ⊂、平面BDF∴AC ⊥平面BDF 又∵AC ⊂平面ACG∴平面A ⊥平面B ……………………………12分 18.解：（Ⅰ）∵l 与20x y +-=垂直 ∴1l k =∵l过点(2, ∴l的方程1(2y x -=- 即1y x =- ……………………………4分（Ⅱ）设圆的标准方程为222()x a y r -+=2222(1)2a r r ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 解得：3,2a r == …………………………8分∴圆的标准方程为22(3)4x y -+= …………………………12分19.解：（Ⅰ）(cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==2()2cos cos f x x x x ∴=+1)62sin(2++=πx ……………………………3分T π∴= ……………………………4分单调递增区间为：)222(Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为：()36x k k k Z ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈-++∈， ……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得：(sinA+2sinC)cosB=－sinBcosA∴ sin(A+B)= －2sinCcosB ∴ cosB=12-∵B 为三角形的内角∴B =23π……………………………8分 ∴()2sin(2A )16f A π=+-+1 又5023666A A ππππ<<∴<+<1s i n (2A )126π∴<+≤ ……………………………10分故(()0,1f A ⎤⎦∈2，3] ……………………………12分20.解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则0d >，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=．依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩．解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)．……………4分∴132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= ……………………………6分(Ⅱ)∵35(21)(2)n S n n n =++++=+ ，∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯⨯+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++ 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． ……………………………10分∵n N *∈ ∴1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭∴12111n S S S +++ 34< ……………………………12分21.(Ⅰ)证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴又∵ABCD 是正方形 ∴BC CD ⊥ ∵PD CD D =∴BC ⊥平面PCD ……………………………3分又∵PC ⊂面PBC ∴PC BC ⊥ ……………………………4分 (Ⅱ)解：∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G DEC -的高 ……………………………5分 ∵E 是PC 的中点1)2221(212121=⋅⋅⋅===∴∆∆∆PDC EDC EDC S S S ……………………………6分921323131=⋅⋅=⋅==∴∆--DEC DEC G DEG C S GC V V……………………………8分(Ⅲ)连结AC ，取AC 中点O ，连结EO GO ,，延长GO 交AD 于点M ，则PA //平面MEG ……………………………9分下面证明之∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， ∴EO //PA ， ……………………………10分又MEG PA MEG EO 平面平面⊄⊂, ∴PA //平面MEG ……………………………11分在正方形ABCD 中， ∵O 是AC 的中点， OCG ∆∴≌OAM ∆,32==∴CG AM ∴所求AM 的长为.32……………………………12分22.解：（Ⅰ）21(21)'()a ax a f x a x x---=-=……………………………1分依题意，'(1)1f a f a b =-=⎧⎨=+=⎩……………………………2分解得：1a b =⎧⎨=⎩……………………………4分（Ⅱ）()f x 的定义域为0,+∞（）21(21)'()a ax a f x a x x ---=-=(21)[]a a x a x--= ①当102a <≤时，恒有'()f x > 故()f x 的单调递增区间为0,+∞（） ……………………5分②当12a >时, (21)[]'()a a x a f x x --=,令'()0f x =得，210a x a-=>, ………………………………6分 ()f x 及'()f x 的值变化情况如下表：………………………………8分故()f x 的单调递减区间为21(0,)a a-，单调递增区间为21(,)a a-+∞ ………………………9分（Ⅲ）当1a =时，()ln f x x x b =-+，由（Ⅱ）知，()f x 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，∴()f x 的最小值为(1)1f b =+. ………………………………10分11()1f b e e =++ ，()1f e e b =-+111()()1120f f e e e e e e ∴-=+-+=+-<即：1()()f f e e< ………………………………11分()f x 在区间1(,)e e 上恰有一个零点()0(1)01()0f e f f e >⎧⎪∴=⎨≤⎪⎩或即：1010110e b b b e-+>⎧⎪+=⎨++≤⎪⎩或 ………………………………13分解得：1b =-或11--1-e b e<≤ ………………………………14分。

《解析》福建省泉州市南安一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．（5分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0B．1C．2D．33．（5分）f（x）=|x﹣1|的图象是（）A．B．C．D．4．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为（）A．[0，3]B．[﹣1，0]C．[﹣1，3]D．[0，2]6．（5分）函数y=log a（x﹣3）+2的图象恒过定点（）A．（3，0）B．（3，2）C．（4，2）D．（4，0）7．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）B．f（x）=2x+2﹣xC．f（x）=﹣|x| D．f（x）=x3﹣18．（5分）设a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c9．（5分）函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．10．（5分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）函数f（x）=log a|x+1|，当x∈（﹣1，0）时，恒有f（x）＞0，有（）A．f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数B．f（x）在（﹣∞，0）上是减函数C．f（x）在（0，+∞）上是增函数D．f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数12．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在答题卡相应位置）13．（4分）函数的定义域为．14．（4分）幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（）的值为．15．（4分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集是．16．（4分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数，例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②函数是单函数；③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）（Ⅰ）lg4+lg25+4﹣（4﹣x）0；（Ⅱ）f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0且a≠1）．在[0，1]上的最大值与最小值和为a，求a的值．18．（12分）已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁R A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．19．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若a=1，求函数f（x）在上的值域．20．（12分）已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式为f（x）=﹣（b∈R）．（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．21．（12分）我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？22．（14分）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f （x1•x2）=f（x1）+f（x2）（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（3x+1）+f（2x ﹣6）≤3．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合C U A，再计算（C U A）∩B．解答：解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．点评：本题主要考查了集合间的交，补混合运算，较为简单．2．（5分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0B．1C．2D．3考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．解答：解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．3．（5分）f（x）=|x﹣1|的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：将函数解析式写成分段函数，分别作出函数在区间[1，+∞）和（﹣∞，1）上的图象．解答：解：f（x）=|x﹣1|=分别作出函数在区间[1，+∞）和（﹣∞，1）上的图象：故选B．点评：本题为分段函数图象问题，作出函数图象即可得到结果．还可以利用函数图象的平移解答，函数f（x）=|x|的图象是学生所熟悉的，将其图象向右平移一个单位，即可得到函数f（x）=|x﹣1|的图象．4．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C．D．考点：判断两个函数是否为同一函数．分析：逐一分析各个选项中的两个函数的定义域、值域、对应关系是否完全相同，只有两个函数的定义域、值域、对应关系完全相同，这两个函数才是同一个函数．解答：解：A中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．B中的两个函数定义域不同，对应关系也不同，故不是同一个函数．C中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．D中的两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，故是同一个函数．故选D．点评：本题考查构成函数的三要素，只有两个函数的定义域、值域、对应关系完全相同，这两个函数才是同一个函数．5．（5分）函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为（）A．[0，3]B．[﹣1，0]C．[﹣1，3]D．[0，2]考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：由函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]可得，当x=2时，函数取得最小值为﹣1，当x=0时，函数取得最大值3，由此求得函数的值域．解答：解：∵函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]，故当x=2时，函数取得最小值为﹣1，当x=0时，函数取得最大值3，故函数的值域为[﹣1，3]，故选C．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于中档题．6．（5分）函数y=log a（x﹣3）+2的图象恒过定点（）A．（3，0）B．（3，2）C．（4，2）D．（4，0）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：由log a1=0得x﹣3=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．解答：解：∵log a1=0，∴当x﹣3=1，即x=4时，y=2，∴点P的坐标是P（4，2）．故选C．点评：本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题．7．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）B．f（x）=2x+2﹣xC．f（x）=﹣|x| D．f（x）=x3﹣1考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先求定义域，观察是否关于原点对称，计算f（﹣x），看是否等于﹣f（x），即可判断．解答：解：对于A．定义域为（﹣1，1）关于原点对称，f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x），则为奇函数，故A满足；对于B．定义域R关于原点对称，f（﹣x）=f（x），则为偶函数，故B不满足；对于C．定义域R关于原点对称，f（﹣x）=﹣|﹣x|=f（x），则为偶函数，故C不满足；对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）=﹣x3﹣1≠f（x），且≠﹣f（x），则为非奇非偶函数，故D不满足．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查定义法解题，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）设a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=70.3＞1，0＜b=0.37＜1，c=log70.3＜0，∴c＜b＜a．故选：B．点评：本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题．9．（5分）函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．分析：根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=e x，y=的图象，由图得一个交点．解答：解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．点评：超越方程的零点所在区间的判断，往往应用零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有零点．10．（5分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．专题：常规题型；数形结合．分析：由条件ab=1化简g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案解答：解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选B点评：本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题11．（5分）函数f（x）=log a|x+1|，当x∈（﹣1，0）时，恒有f（x）＞0，有（）A．f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数B．f（x）在（﹣∞，0）上是减函数C．f（x）在（0，+∞）上是增函数D．f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据x的取值范围，结合对数函数的单调性，即可求出0＜a＜1，然后根据复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．解答：解：设t=|x+1|，则当x∈（﹣1，0）时，t=|x+1|=x+1，为增函数，且t∈（0，1），则y=log a t，∵当x∈（﹣1，0）时，恒有f（x）＞0，即在t∈（0，1），log a t＞0，∴0＜a＜1，∴此时y=log a t为减函数，∴要使函数f（x）=log a|x+1|为增函数，则根据复合函数单调性之间的关系可知t=|x+1|为减函数，∵t=|x+1|在（﹣∞，﹣1）上是减函数，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，故选：A．点评：本题主要考查复合函数单调性的判断和应用，根据条件结合对数函数的图象和性质求出a的取值范围是解决本题的关键．12．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式作出函数的图象，分析可得结果．解答：解：由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，而红线与y轴的焦点坐标为a+1，且只需0≤a+1＜1，即﹣1≤a＜0即可故选D点评：本题考查根的存在性以及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在答题卡相应位置）13．（4分）函数的定义域为[﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：直接利用分式的分母不为0，无理式大于等于0，求解即可得到函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，必须，解得x∈[﹣1，0）∪（0，+∞）．函数的定义域为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．点评：本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力．14．（4分）幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（）的值为2．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：把点代入幂函数f（x）=xα，解得α，即可得出．解答：解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点，∴，解得．∴．∴==2．故答案为：2．点评：本题考查了幂函数的定义、指数函数的运算法则，属于基础题．15．（4分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：根据奇函数的图象关于原点对称可知，x＜0时，函数的图象，由图象可得结论．解答：解：因为f（x）是奇函数，图象关于原点对称，有图可知f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）点评：本题考查解不等式，考查奇函数的图象的对称性，正确作出函数的图象是关键．16．（4分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数，例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②函数是单函数；③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是②③④．（写出所有真命题的编号）考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义．分析：由题意单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是一对一的映射，据此可逐个判断．解答：解：①函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，例如f（1）=f（﹣1），显然不会有1和﹣1相等，故为假命题；②函数是单函数，因为若，可推出x1x2﹣x2=x1x2﹣x1，即x1=x2，故为真命题；③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）为真，可用反证法证明：假设f（x1）=f（x2），则按定义应有x1=x2，与已知中的x1≠x2矛盾；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真，因为单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是，故为真．故答案为②③④．点评：本题为新定义，准确理解单函数并把它跟已知函数的性质联系起来是解决问题的关键，属基础题．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）（Ⅰ）lg4+lg25+4﹣（4﹣x）0；（Ⅱ）f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0且a≠1）．在[0，1]上的最大值与最小值和为a，求a的值．考点：对数的运算性质；对数函数的图像与性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）运用指数和对数的运算性质，即可化简求得；（Ⅱ）由于a＞1，f（x）在[0，1]上递增；0＜a＜1，f（x）在[0，1]上递减．则f（x）min+f （x）max=a0+log a1+a1+log a2=a，解出a即可．解答：解：（Ⅰ）lg4+lg25+4﹣（4﹣π）0=lg（4×25）+2﹣1﹣1=2+﹣1=；（Ⅱ）由于a＞1，f（x）在[0，1]上递增；0＜a＜1，f（x）在[0，1]上递减．则f（x）min+f（x）max=a0+log a1+a1+log a2=a，即有1+log a2=0，解得，a=．点评：本题考查指数和对数的运算，考查指数函数和对数函数的单调性及运用：求最值，属于中档题．18．（12分）已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁R A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算．专题：集合．分析：本题考查集合的交、并、补运算，对于（1）求出A的补集是关键，对于（2）利用A∩C≠φ确定参数a的取值范围解答：解：（1）∵集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，∵C R A={x|x＜4或x≥8}∴（C R A）∩B={x|8≤x＜10或2＜x＜4}（2）∵若A∩C≠φ，A={x|4≤x＜8}，C={x|x＜a}．∴a的取值范围是a＞4∴a∈（4，+∞）点评：本题考查子集、补集、交集的混合运算，并求出参数a 的范围，属于基础题19．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若a=1，求函数f（x）在上的值域．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）根据单调性的定义，进行作差变形整理，可得当a＞0时，函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数，当a＜0时，函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（2）根据（1）的单调性，算出函数在上的最大值和最小值，由此即可得到f（x）在上的值域．解答：解：（1）当a＞0时，设﹣1＜x1＜x2＜1==∵x1﹣1＜0，x2﹣1＜0，a（x2﹣x1）＞0∴＞0，得f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数；同理可得，当a＜0时，函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（2）当a=1时，由（1）得f（x）=在（﹣1，1）上是减函数∴函数f（x在上也是减函数，其最小值为f（）=﹣1，最大值为f（﹣）=由此可得，函数f（x）在上的值域为[﹣1，]．点评：本题给出分式函数，讨论了函数的单调性并求函数在闭区间上的值域，着重考查了函数单调性的判断与证明和函数的值域等知识，属于基础题．20．（12分）已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式为f（x）=﹣（b∈R）．（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．考点：函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]．利用已知条件以及函数的奇偶性即可求f（x）在[0，1]上的解析式；（Ⅱ）通过换元法化简函数f（x）利用二次函数的性质求解在[0，1]上的最大值．解答：解：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]．∴f（﹣x）=﹣=4x﹣2x．又∵f（﹣x）=﹣f（x）∴﹣f（x）=4x﹣2x．∴f（x）=2x﹣4x．所以，f（x）在[0，1]上的解析式为f（x）=2x﹣4x…（6分）（Ⅱ）当x∈[0，1]，f（x）=2x﹣4x=2x﹣（2x）2，∴设t=2x（t＞0），则f（t）=t﹣t2．∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．当t=1时，取最大值为1﹣1=0．所以，函数在[0，1]上的最大值分别为0…（12分）点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的最值的求法，奇偶性的应用，基本知识的考查．21．（12分）我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）因为甲家每张球台每小时5元，故收费为f（x）与x成正比例即得：f（x）=5x，再利用分段函数的表达式的求法即可求得g（x）的表达式．（2）欲想知道小张选择哪家比较合算，关键是看那一家收费低，故只要比较f（x）与g（x）的函数的大小即可．最后选择费用低的一家即可．解答：解：（1）f（x）=5x，（15≤x≤40）（3分）（6分）（2）由f（x）=g（x）得或即x=18或x=10（舍）当15≤x＜18时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＜0，∴f（x）＜g（x）即选甲家当x=18时，f（x）=g（x）即选甲家也可以选乙家当18＜x≤30时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．（8分）当30＜x≤40时，f（x）﹣g（x）=5x﹣（2x+30）=3x﹣30＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．（10分）综上所述：当15≤x＜18时，选甲家；当x=18时，选甲家也可以选乙家；当18＜x≤40时，选乙家．（12分）点评：解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．分段函数解题策略：分段函数模型的构造中，自变量取值的分界是关键点，只有合理的分类，正确的求解才能成功地解题．但分类时要做到不重不漏．22．（14分）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f （x1•x2）=f（x1）+f（x2）（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（3x+1）+f（2x ﹣6）≤3．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）令x1=1，得f（1）+f（x2）=f（x2），由此可得f（1）=0；（2）令x1=x2=﹣1，得f（﹣1）+f（﹣1）=f（1）=0，从而f（﹣1）=0，所以f（﹣x）=f（﹣1）+f（x）=f（x），从而得到f（x）为偶函数；（3）由f（4）=1，结合题意得f（64）=3，从而将原不等式转化为f[（3x+1）（2x﹣6）]≤f（64），再结合f（x）的单调性和奇偶性，将原不等式化为﹣64≤（3x+1）（2x﹣6）≤64，解之并结合函数的定义域，即可得到原不等式的解集．解答：解：（1）令x1=1，得f（1•x2）=f（1）+f（x2）=f（x2）∴f（1）=0；（2）令x1=x2=﹣1，得f（﹣1•（﹣1））=f（﹣1）+f（﹣1）=f（1）=0∴f（﹣1）=0因此f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x）∴f（x）为偶函数（3）∵f（4）=1，∴f（16）=f（4•4）=f（4）+f（4）=2因此，f（64）=f（16•4）=f（16）+f（4）=3∴不等式f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3即f[（3x+1）（2x﹣6）]≤f（64）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且是偶函数∴原不等式可化为﹣64≤（3x+1）（2x﹣6）≤64解之得：﹣≤x≤5∵函数定义域为{x|x≠0}∴（3x+1）（2x﹣6）≠0，得x≠﹣且x≠3综上所述，原不等式的解集为{x|：﹣≤x≤5且x≠﹣且x≠3}点评：本题给出抽象函数为偶函数且是（0，+∞）上的增函数，求函数的值并求不等式的解集，着重考查了函数的单调性与奇偶性、不等式的解法等知识，属于中档题．。

【解析】福建省泉州市南安一中2014-2015学年高二上学期国庆检测数学试卷 Word版含解析[ 高考]

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）国庆检测数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求）1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数2．动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线3．抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是( )A．B．5 C．D．104．已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为( )A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n∈N，2n＜10005．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )A．B．C．或D．以上都不对6．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．设双曲线的一个焦点为（0，﹣2），则双曲线的离心率为( )A．B．2 C．D．8．与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是( )A．B．C．D．9．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A．B．5 C．D．210．直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是( )A．5x+6y﹣28=0 B．5x﹣6y﹣28=0 C．6x+5y﹣28=0 D．6x﹣5y﹣28=011．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A．y2=12x B．y2=8x C．y2=6x D．y2=4x12．已知曲线C：y=2x2，点A（0，﹣2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A．（4，+∞）B．（﹣∞，4）C．（10，+∞）D．（﹣∞，10）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是__________．14．已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，MF1的中点A在双曲线上，则双曲线的离心率是__________．15．设抛物线y2=8x的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则AB的长为__________．16．直线l：x﹣y=0与椭圆+y2=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为__________．三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y﹣1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．18．已知椭圆C：+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有两个不同的点关于直线l对称．19．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B （x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．20．P到距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于AB（Ⅰ）求C的方程（Ⅱ）若，求k．21．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M满足．（1）求椭圆的方程；（2）若直线L：y=与椭圆恒有不同交点A、B，且（O为坐标原点），求k的范围．22．（14分）如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C：=1（a＞1）构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得•=，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）国庆检测数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求）1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与通常每天都否定关系，基本知识的考查．2．动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线【考点】轨迹方程．【专题】常规题型．【分析】根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，点P的轨迹为一条射线故选D．【点评】本题考查双曲线的定义中的条件：小于两定点间的距离时为双曲线．3．抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是( )A．B．5 C．D．10【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的标准方程，可求得p，再根据抛物线焦点到准线的距离是p，进而得到答案．【解答】解：2p=10，p=5，而焦点到准线的距离是p．故抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5故选B【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．4．已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为( )A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n∈N，2n＜1000 【考点】命题的否定．【专题】综合题．【分析】利用含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定，写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为∀n∈N，2n≤1000故选A【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定即可．5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )A．B．C．或D．以上都不对【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】设出椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，根据长轴与短轴的和为18列出关于a 与b的方程记作①，由焦距等于6求出c的值，根据椭圆的基本性质a2﹣b2=c2，把c的值代入即可得到关于a与b的另一关系式记作②，将①②联立即可求出a和b的值，然后利用a与b的值写出椭圆的方程即可．【解答】解：设椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，则2（a+b）=18，即a+b=9①，由焦距为6，得到c=3，则a2﹣b2=c2=9②，由①得到a=9﹣b③，把③代入②得：（9﹣b）2﹣b2=9，化简得：81﹣18b=9，解得b=4，把b=4代入①，解得a=5，所以椭圆的方程为：+=1或+=1．故选C．【点评】此题考查学生掌握椭圆的基本性质，会根据椭圆的长半轴与短半轴写出椭圆的标准方程，是一道综合题．学生做题时应注意焦点在x轴和y轴上两种情况．6．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当a=2 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=±2，故必要性不成立．【解答】解：当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选B．【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．7．设双曲线的一个焦点为（0，﹣2），则双曲线的离心率为( )A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得m+2=4，求得m=2，故离心率等于=．【解答】解：由题意可得m+2=4，∴m=2，故离心率等于==，故选A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出m=2，是解题的关键．8．与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是( )A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点P在双曲线上，根据定义求出a，从而求出b，则双曲线方程可得．【解答】解：由题设知：焦点为a=，c=，b=1∴与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握．9．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A．B．5 C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵焦点到渐近线的距离等于实轴长，∴b=2a，∴e2==1+=5、∴e=故选A．【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．10．直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是( )A．5x+6y﹣28=0 B．5x﹣6y﹣28=0 C．6x+5y﹣28=0 D．6x﹣5y﹣28=0【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，结合题意可得x1+x2=6，y1+y2=﹣4，可得G的坐标，再由A、B在椭圆上，可得，计算可得k，将G的坐标代入可求直线的方程．【解答】解：设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，而B（0，4），又△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点（2，0）上，故x1+x2=6，y1+y2=﹣4，则MN的中点G为（3，﹣2），又M、N在椭圆上，①﹣②，可得4（x1﹣x2）（x1+x2）+5（y1﹣y2）（y1+y2）=80，又由x1+x2=6，y1+y2=﹣4，可得k==，又由直线MN过点G（3，﹣2），则直线l的方程是6x﹣5y﹣28=0．故选D【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系、三角形的重心坐标公式、属于对基本概念及基本方法的考查．11．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A．y2=12x B．y2=8x C．y2=6x D．y2=4x【考点】抛物线的标准方程；抛物线的定义．【专题】计算题．【分析】先设出A，B的坐标，根据抛物线的定义求得x1+x2+p=8，进而根据AB中点到y 轴的距离求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线定义，x1+x2+p=8，∵AB的中点到y轴的距离是2，∴，∴p=4；∴抛物线方程为y2=8x故选B【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是利用了抛物线的定义．12．已知曲线C：y=2x2，点A（0，﹣2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A．（4，+∞）B．（﹣∞，4）C．（10，+∞）D．（﹣∞，10）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先看视线最高时为抛物线切线，而且为右上方向，设出切线的方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式等于0求得k的值，进而求得切线的方程，把x=3代入即可求得y的值，B点只要在此切线下面都满足题意，进而求得a的范围．【解答】解：视线最高时为抛物线切线，而且为右上方向设切线y=kx﹣2（k＞0）与抛物线方程联立得2x2﹣kx+2=0△=k2﹣16=0k=4（负的舍去）∴切线为y=4x﹣2取x=3得y=10B点只要在此切线下面都满足题意∴a＜10故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．考查了学生创造性思维能力和基本的分析推理能力．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是﹣6＜k＜﹣1．【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程的形式，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则有，解可得﹣6＜k＜﹣1；故答案为：﹣6＜k＜﹣1．【点评】本题考查椭圆的标准方程的形式，需要注意其方程的形式与焦点位置的关系即可．14．已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，MF1的中点A在双曲线上，则双曲线的离心率是+1．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用正三角形以及双曲线的定义，求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得e．【解答】解：由条件知，|F1F2|=2c，|MF1|=c，∴|MF2|=c，由双曲线定义知，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴c﹣c=2a，∴e===+1．故答案为：+1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线的基础知识的把握．15．设抛物线y2=8x的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则AB的长为10．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的定义可知AB的长等于A，B到准线的和，利用线段AB的中点E到y轴的距离为3及梯形中位线的性质，即可得到结论．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=2，根据抛物线的定义可知AB的长等于A，B 到准线的和∵线段AB的中点E到y轴的距离为3∴线段AB的中点E到准线的距离为3+2=5根据梯形中位线的性质，可得A，B到准线的和为10∴AB的长为10故答案为：10【点评】本题考查抛物线的定义，考查抛物线过焦点的弦长问题，解题的关键是利用抛物线的定义．16．直线l：x﹣y=0与椭圆+y2=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题．【分析】设过C点且与AB平行的直线L方程为y=x+c，L与AB距离就是C点到AB的距离，也就是三角形ABC的BC边上的高，只要L与椭圆相切，就可得L与AB最大距离，从而可得最大面积．【解答】解：直线l：x﹣y=0与椭圆+y2=1联立，消元可得，∴x=±∴不妨设A（，），B（﹣，﹣）∴|AB|=设过C点且与AB平行的直线L方程为y=x+c，L与AB距离就是C点到AB的距离，也就是三角形ABC的BC边上的高．只要L与椭圆相切，就可得L与AB最大距离，可得最大面积．y=x+c代入椭圆+y2=1，消元可得3y2﹣2cy+c2﹣2=0判别式△=4c2﹣12（c2﹣2）=0，∴c=±∴L与AB最大距离为=∴△ABC最大面积：=故答案为：【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是求出L 与AB最大距离．三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y﹣1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意设出椭圆方程，联立直线方程与椭圆方程，然后结合中点坐标公式及根与系数的关系列出OM的斜率，由此求出a2得答案．【解答】解：由题意，设椭圆方程为，联立，得（1+a）2x2﹣2a2x=0，∴，，由，解得a2=4，∴椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，训练了直线与椭圆位置关系的应用，考查了直线的斜率，是基础题．18．已知椭圆C：+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有两个不同的点关于直线l对称．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】第一步：设椭圆上关于直线l对称的两点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0）；第二步：将A，B两点坐标代入椭圆方程中，由点差法得AB的斜率k AB与中点坐标（x0，y0）的关系式，又由l⊥AB，得x0与y0的关系；第三步：将坐标（x0，y0）代入l的方程中，得x0与y0的另一个关系；第四步：由第二、三步的两个关系式，可将x0，y0用m表示；第五步：将x0，y0代入椭圆方程的左边，根据M在椭圆内部，得到关于m的不等式，解此不等式即可．【解答】解：设椭圆上关于直线l对称的两点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），则由，两式相减得，即，又由直线AB的斜率，以及中点公式，得，即，又由l⊥AB，得，∴，即y=3x．…①∵点M在直线l上，∴y0=4x0+m．…②联立①、②，得，即M（﹣m，﹣3m），根据点M在椭圆的内部，得，解得．【点评】本题考查了直线与椭圆的相交关系，点关于直线的对称性，参数范围的求解等，关键是通过消参，找到参数m与中点坐标x0，y0的关系，处理参数范围问题的一般步骤是：1、设参；2、建立等量关系，并消去多余参数；3、寻找不等关系，解不等式．19．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B （x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4，4）．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2（x﹣），与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x．（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，∴x1=1，x2=4，y1=﹣2，y2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）又[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．20．P到距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于AB（Ⅰ）求C的方程（Ⅱ）若，求k．【考点】平面向量数量积的运算；轨迹方程．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知其轨迹为椭圆；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立化为（k2+4）x2+2kx﹣3=0．由，可得x1x2+y1y2=0．把根与系数的关系代入即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故若，即x1x2+y1y2=0．而，于是，化简得﹣4k2+1=0，解得．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M满足．（1）求椭圆的方程；（2）若直线L：y=与椭圆恒有不同交点A、B，且（O为坐标原点），求k的范围．【考点】椭圆的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】（1）由题意得：c=，a=2，b=1．从而写出椭圆方程即可；（2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得k的范围，从而解决问题．【解答】解：（1）由题意得：c=，a=2，∴b=1．∴椭圆方程为（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2）则=，∴．【点评】本小题主要考查椭圆的应用、向量的数量积的应用、不等式的解法等基础知识，解答的关键在于学生的运算求解能力，数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．22．（14分）如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C：=1（a＞1）构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得•=，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【专题】综合题．【分析】（1）根据椭圆C：=1（a＞1）的离心率为，可得a2=3，从而可求椭圆C的方程；（2）假设存在直线l，使得•=，当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b，由直线l与圆O相切，可得b2=k2+1，直线l代入椭圆C的方程为，可得（1+3k2）x2+6kbx+3b2﹣3=0设A（x1，y1）、B（x2，y2），进而利用•=，即可知存在直线l．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞1）的离心率为，∴解得：a2=3，所以所求椭圆C的方程为（2）假设存在直线l，使得•=，当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b，由直线l与圆O相切，可得b2=k2+1 (1)直线ly=kx+b代入椭圆C的方程为，可得（1+3k2）x2+6kbx+3b2﹣3=0设A（x1，y1）、B（x2，y2），则，∴==…（2）由（1）（2）可得k2=1，b2=2故存在直线l，方程为，使得•=．【点评】本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，同时考查了存在性问题，合理运用向量的数量积运算是解题的关键．。

福建省南安第一中学高二数学上学期期中试题理

南安一中2015～2016学年度高二上学期期中考数学（理）科试卷本试卷考试内容为：常用逻辑用语、圆锥曲线、空间向量、算法。

分第I 卷和第II 卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1．双曲线x y 222-=8的实轴长是 ( ) A ．2 B ．C ．4D ．2．已知,522:=+p 23:≥q ,则下列判断中，错误．．的是( ) A ．p 或q 为真，非q 为假 B ．p 或q 为真，非p 为假 C ．p 且q 为假，非p 为真 D ．p 且q 为假，p 或q 为真 3．抛物线281y x -=的焦点坐标是( ) A ．()0,2- B ．()0,2 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛321,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-321,04．根据右图算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )A ．25B ．30C ．31D ．605．若椭圆13422=+x y 的两个焦点21F F ，，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6．对于常数n m 、，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率e 是( )INPUT x ；If x ≤50 Then y ＝0.5*x Elsey ＝25＋0.6*(x －50) End If PRINT y. （第4题）A ．54 B ．53 C ．52 D ．51 8．有下列四个命题：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题；④“若3x y +≠，则12x y ≠≠或”，其中真．命题有( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①③④9．若向量a )2,1,2(),2,,1(-==b λ，且a 与 b 的夹角余弦值为98，则λ等于( ) A ．2 B ．2- C ．2-或552 D ．2或552-10．双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴，离心率2=e ，C 与抛物线x y 162=的准线交于B A ,点，34=AB ，则C 的实轴长为( ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．811．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆ 的面积为( )A ．22B ．2C ．322D ．2212．执行右图的程序框图，如果输入的0.01d =，则输出的n =( )A ．5B ．6C ．7D ．8第II 卷（非选择题，共90分）（第12题）二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上．．．．．．．．．．）： 13．命题“对任意的01,2>+-∈x x R x ”的否定是 .14．已知向量(2,1,3)a =-v ，(4,2,)b x =-v ，若a v ∥b v,则x = .15．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点M(－１，３)，则该双曲线的标准方程为 .16．若二进制数100y 011和八进制数x 03相等，则=+y x . 三．解答题（本大题共6小题，共74分):17．（本小题12分）已知双曲线C ：14222=-by x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，求该双曲线C 的焦点到其渐近线的距离．18．（本小题12分）命题p : “方程22133x y k k +=-+表示双曲线” (R k ∈)；命题q :)1(log 22++=kx kx y 定义域为R ，若命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数k 的取值范围.19．（本小题12分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，BD=22. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求点C 到平面PBD 的距离.20．（本小题12分）椭圆C ：2213x y +=，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若l 过点P (1，13)且弦AB 恰好被点P 平分，求直线l 方程．（2）若l 过点Q (0，2)，求△AOB (O 为原点)面积的最大值．21．（本小题12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在 λ ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．22．（本小题14分）如图，椭圆E ：12222=+by a x )0(>>b a 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ．过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，且△2ABF 的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）设动直线l ：m kx y +=与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．南安一中2015～2016学年度高二上学期期中考数学（理）科试卷（答案）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）：1～6 C B A C B B 7～12 B D C C C C 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）：13．存在01,020≤+-∈x x R x 使 14．6-15．22162y x-= 16． 1 三．解答题（本大题共6小题，共74分): 17．解：∴双曲线的一条渐近线方程为，即……8分 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于……12分18．解: p : 由(3)(3)0k k -+<得：33k -<< ……2分q : 令21t kx kx =++，由0t >对x R ∈恒成立.（1）当0k =时, 10>,∴0k =符合题意. ……3分（2）当0k ≠时，0k >⎧⎨∆<⎩，由2410k k ∆=-⨯⨯<得(4)0k k -<，解得：04k << ……5分综上得：q :40<≤k . …… 6分因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以命题,p q 一个为真,一个为假.… 7分p q 真假或 p q 假真∴ -3<k 30 4.k k <⎧⎨<≥⎩或或33,0 4.k k k ≤-≥⎧⎨≤<⎩或 …… 11分∴30k -<<或34k ≤< ………………12分 19．方法一：证：（1）在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22， ∴AB =2，ABCD 为正z PA方形，因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又∵PA ∩AC =A ∴BD ⊥平面PAC . ……４分（2）解：∵PA =AB =AD =2，∴PB =PD =BD =22 ，设C 到面PBD 的距离为d ，由PBD C BCD P V V --=，有d S PA S PBD BCD ••=••∆∆3131，即d •••=⨯⨯⨯•0260sin )22(21312222131，得332=d ……12分方法二：证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22， ∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），……2分∴)0,2,2(),0,2,2(),2,0,0(-===BD AC AP ∵0,0=•=•AC BD AP BD ，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，∴BD ⊥平面PAC .……5分（2）由（Ⅰ）得)2,2,0(),2,0,2(-=-=PD PB ，设平面PBD 的法向量为),,(2z y x n =，则0,022=•=•PD n PB n ，即⎩⎨⎧=-+=-+02200202z y z x ，∴x =y =z ，故平面PBD 的法向量可取为)1,1,1(2=n .∵)2,2,2(-=PC ，∴C 到面PBD 的距离为33222=•=n PC n d ……12分 20．（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得：221113x y +=，222213x y +=并作差得： 13 (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝23，代入得k=y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 则此弦所在直线方程是y －13＝－（x －1）即x ＋y －43＝0. ……5分 (2)易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2. ……6分将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ……7分令Δ＝144k 2－36(1＋3k 2)>0，得k 2>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. ……8分所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|.因为(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22－361＋3k 2＝36（k 2－1）（1＋3k 2）2， ……10分设k 2－1＝t (t >0)，则(x 1－x 2)2＝36t （3t ＋4）2＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34.……12分当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43 ,k 2－1＝43, k 2＝73时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值32. ……13分 21．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形．连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 22．解：（Ⅰ）∵过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b 2=a 2﹣c 2=3∴椭圆E 的方程为．……4分（Ⅱ）由，消元可得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0……5分∵动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P （x 0，y 0）∴m ≠0，△=0，∴（8km ）2﹣4×（4k 2+3）×（4m 2﹣12）=0∴4k 2﹣m 2+3=0① 此时x 0==，y 0=m3，即P （，m3）由得Q （4，4k+m ） ……8分取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，即M（1，0），……1２分证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）……1４分。

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南安一中2014～2015学年度上学期期中考高二（上）数学文科试卷一．选择题：（本大题共12小题，每小题5 分，满分60分）1.某同学进入高二前，高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示,则该同学数学成绩的平均数是（）A ．125B ．126C ．127D ．128 2.样本11、12、13、14、15的方差是（）A ．13B ．10C ．2D ．4 3. 设命题p ：函数cos 2y x =的最小正周期是2π命题q ：函数sin y x =的图象关于y 轴对称，则下列判断正确的是（）A ．q p ∨为真B ． q p ∧为假C ．P 为真D ．q ⌝为假4.已知回归直线ˆˆˆy bx a =+过样本点的中心（4，5），且ˆb =1.23，则回归直线的方程是（）A ．ˆy＝1.23x ＋4 B ．ˆy ＝1.23x ＋5 C ．ˆy ＝1.23x ＋0.08 D ．ˆy ＝0.08x ＋1.235.“直线062=+-y x a 与直线09)3(4=+--y a x 互相垂直”是“1a =-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.下列命题是真命题的是（）A ．R x ∈∃ 使得53cos sin =x x B ．)0,(-∞∈∃x 使得12>xC ．R x ∈∀ 恒有x x cos sin >D ．),0(π∈∀x 恒有12->x x1112 134 86 27.设]2,0[π∈x ，则21sin <x 的概率是（）A ．61B ．41C ．31D ．218.已知焦点在x 轴上的椭圆离心率12e =，它的半长轴长等于圆03222=--+x y x 的半径，则椭圆的标准方程是（）A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．141622=+y xD ．116422=+y x 9.从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（） A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种10.某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a 、b ，则双曲线12222=-by a x 的离心率5>e的概率是（） A ．61 B ．41 C ．31 D ．36111.若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线15422=-x y 的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A ．y x 42= B ．x y 42= C ．y x 122-= D ．x y 122-=12.椭圆：192522=+y x 上的一点A 关于原点的对称点为B ，2F 为它的右焦点，若22AF BF ⊥，则三角形△2AF B 的面积是（）A ．215B ．10C ．6D ．9 二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13.用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知高二年学生有300人，则该校高中生共有人. 14.命题P ：x R ∀∈，3210x x -+>的否定是 . 15.先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是 .16.过椭圆：12222=+by a x （a>b>0）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，F是椭圆的右焦点，BF x ⊥轴于F 点，当2131<<k 时，椭圆的离心率e 的取值范围是 .三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直（Ⅰ）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.9,40.1)的中点值是40.0)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(精确到0.1)．18.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程ˆˆˆyb x a =⋅+，其中ˆb =－20，ˆa =y －ˆb x ⋅；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）19.（12分）已知点(1,0)F ，直线L ：1x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线L 的距离；（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,2)N 的直线m ，使得直线m 被轨迹C 截得的弦AB 恰好被点N 平分.若存在，求直线m 的方程，若不存在，请说明理由。

20.（12分）已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上，若右焦点F 到直线0x y -+=的距离为3；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且||2MN =，求直线斜率k 的值.21.(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别1，2，3，4；（Ⅰ）从袋中随机取两个球，求取出的球编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2m n +>的概率.22.（14分）已知抛物线:G y x 42=；（Ⅰ）过点(2,1)P 作抛物线G 的切线，求切线方程；（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线G 上异于原点的两动点，其中120x x >>，以A ，B 为直径的圆恰好过抛物线的焦点F ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于C ，D 两点，若四边形ABCD 的面积为32，求直线AC 的方程.南安一中2014～2015学年度上学期期中考高二（上）数学文科试卷一．选择题：每小题5 分，共60分1. A 解：1254132128126114=+++=x2.C 解：13=x 2)41014(512=++++=s3. B 解：P 、q 均为假故先B4. C 解：回归直线方程为：5 =1.23×4＋^a 解得^a ＝0.08 ∴ ~y ＝1.23x ＋0.085.B 解：若两直线垂直，则1342-=-⨯a a 解得143-==a a 或 6 D 解：043)21(122>+-=+-x x x 故D 正确7. C 解：由21sin <x 且]2,0[π∈x 得]6,0[π∈x ∴P =318. A 解：圆：4)1(22=+-y x a=2 c=1 b=39. A 解：取出卡片上数字之和为5的有（0，4）、（1，3）、（2，2）、（3，1）、（4，0）共5种 10. A 解：由5>ac得2225a b a >+ b>2a 若a =1则b =3、4、5、6，若a =2则b =5、6 P =61366= 11. C 解：c =3 焦点F (0，-3)或F （0，3）2212. D 解：∵A 2F ⊥B 2F∴OA=OB=O 2F =O 1F （1F 为它的左焦点） ∴四边形A 2F B 1F 为矩形 ∴B 2F =A 1F∵ A 2F +A 1F =10 ∴ 2222121+⨯+AF AF AF AF 又∵21 ∴1821=⨯AF AF ∴921212122=⨯=⨯=∆AF AF BF AF S AFB 二．填空题：每小题4分，共16分 13.解：高二抽取45-20-10=15人，由4515300=x 得 x =900 14.解：∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，解 (1)频率分布表如上：频率分布直方图如上： ………… （6分）(2)这批乒乓球直径的平均值约为39.6×0.10＋39.8×0.20＋40.0×0.50＋40.2×0.20＝39.96≈40.00(mm)．…………（12分） 18.解：（１）∵5.8)(61654321=+++++=x x x x x x x 80)(61654321=+++++=y y y y y y y ∴^a ＝-y －^b x ＝80＋20⨯8.5＝250∴所求回归直线方程为：y =－２０x ＋250 …………（6分）（2）设工厂获得的利润为L （x ）元，则100033020)25020)(4()(2-+-=+--=x x x x x L∴当x ＝40330--＝8.25时L(x)最大361.25 注：25.361)433(20)(2+--=x x L∴为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为8.25元 …………（12分）19.解：（1）∵ 点P 到点F 的距离等于它到直线L 的距离∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线L ：x =-1为准线的抛物线，其方程是：x y 42= （6分）（２）假设存在满足条件的直线m ，设直线m 与抛物线C 交于不同的两点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ），则1x +2x =8，1y +2y =4当直线m 的斜率不存在时不合题意，设直线m 的方程为y －2＝k （x －4）联立方程组⎩⎨⎧=-=-xy x k y 4)4(22得0)42()448(2222=-++--k x k k x k∴1x +2x =22448k k k +- 22448k k k +-=8解得K =1当k =1时，方程0482=+-x x 满足 △>0∴所求的直线方程是x-y-2=0 …………（12分）20.解：（1）设所求的椭圆方程为：1222=+y ax 右焦点F(C ，0)∵右焦点F 到直线x －y ＋22＝０的距离为3，∴32|22|=+c 即C =2 ∴所求的椭圆方程为：1322=+y x ……（6分）（2）由⎩⎨⎧=++=33122y x kx y 得06)13(22=++kx x k 设M （1x ，1y ）、N （2x ，2y ）则1x +2x =－1362+k k1x 2x =0∵｜MN ｜＝2 ∴||1212x x k -+＝２ ∴213||6122=++k k k解得：k ＝33±………… （12分） 21.解：从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件是：｛1，2｝、｛1，3｝、｛1，4｝、｛2，3｝、｛2，4｝、｛3，4｝共6种。

取出的球编号之和不大于4的事件为：｛1，2｝、｛1，3｝∴所求的概率是：P ＝3162= …………（6分）（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，其一切可能的结果为：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）；（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）；（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）；（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）共16种，满足m+2>n 的有13种，∴所求的概率是：P ＝1613……（12分）22. 解：（1）过点P （2，1）的切线方程为y －１＝k （x －２）由⎩⎨⎧-+==kkx y y x 2142得0)12(442=-+-k kx x ∴ △＝０即0)12(16162=--k k 解得k =1 ∴ 所求的直线方程是y=x-1 …………（4分） (2)设直线AC 的方程为y=kx+1, 则直线BD 的方程为y=－k1x+1 由⎩⎨⎧+==142kx y y x 得0442=--kx x ∴1x +2x =４k ，1x 2x ＝－４ …………（6分）∴ ｜AC|＝||1212x x k -+＝)1(416161222k k k +=++ …………（8分）同理：｜BD |＝)11(42k +⨯＝2214kk +⨯ …………（10分） ∵四边形ABCD 的面积为32∴ 21｜AC |｜BD |=32 即3214)1(421222=+⨯+⨯k k k 解得：k =1或k =-1 ……（13分）∴ 直线AC 的方程是：y =x +1 …………（14分）。

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