求参数取值范围一般方法

求参数取值范围一般方法

一、分离参数

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。

例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+

- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

1.若不等式x 2+ax+1≥0,对于一切x ∈［0,

2

1］都成立，则a 的最小值是＿＿

2.设124()lg ,3

x x

a f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

二、分类讨论

在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。

例1、若[]2,2x ∈-时，不等式2

3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

例3.关于x 的不等式0622<+++m m mx x 在[]20,上恒成立，求实数m 的取值范围．

变式：若函数m m mx x y 622+++=在[]20,上有最小值16，求实数m 的值．

1.已知752+->x x x

a a 0(>a 且)1≠a ，求x 的取值范围． 2.求函数)(log 2x x y a -=的单调区间．

3.设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

4.已知

(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，求a 的取值范围。

5解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x

6.解关于的不等式：x ax a x 2110-++<()

7. 解不等式

()()x a x a a +-+4621>0 (a 为常数，a ≠－12

) 8.当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。

9.关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集为R ，求实数a 的取值范围．

10：求二次函数22+-=mx x y 在闭区间[2,3]上的最大值m ax y 的表达式。

11：求解关于x 的不等式1)11(log >-x a （其中10≠>a a 且）。

三、变更主元法

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。 例1、若不等式()

2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。

例2.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

1：若对于任意a (]1,1-∈，函数

()()a x a x x f 2442-+-=的值恒大于0，求x 的取值范围。

2.若对一切2≤p ，不等式()p x x p x +>++222

2log 21log log 恒成立，求实数x 的取值范围。

3.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。

四、数形结合

数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

例1、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛

⎫∈ ⎪⎝⎭

内恒成立，求实数a 的取值范围。

例2．设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=13

4)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.

1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x －1， x >0，－x 2－2x ， x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为__________． 2.若不等式log a x >sin 2x (a >0，a ≠1)对任意x ∈⎝⎛⎭

⎫0，π4都成立，则a 的取值范围为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，1 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D ．(0,1)

3．函数f (x )＝(12

)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

4：若不等式0log 32<-x x a 在⎪⎭

⎫ ⎝⎛

∈31,0x 内恒成立，求实数a 的取值范围。

5.已知函数1)(2-=x x f ，1)(-=x a x g ．

（1）若关于x 的方程)()(x g x f =只有一个实数解,求实数a 的取值范围；

（2）当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围．