解一元二次方程
一元二次方程求解万能公式
一元二次方程求解万能公式ax^2 + bx + c = 0在这个方程中，a、b和c是已知的常数，x是未知变量。
解一元二次方程的万能公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a在这个公式中，±表示在两个解中选择一个，√表示平方根，b^2 - 4ac称为判别式。
现在让我们来看一个实际的例子，以更好地理解这个公式的应用。
考虑一元二次方程x^2+4x-3=0。
我们可以将a、b和c的值代入公式中进行计算。
根据公式，我们有：a=1,b=4,c=-3现在让我们将这些值代入公式中：x=(-4±√(4^2-4(1)(-3)))/2(1)=(-4±√(16+12))/2=(-4±√28)/2=(-4±2√7)/2现在我们可以对这个结果进行简化：x=-2±√7因此，原方程的解是x=-2+√7和x=-2-√7这个万能公式对于解任何一元二次方程都是适用的。
它提供了一个通用的方法，可以用于计算方程的解。
然而，需要注意的是，有时判别式可能为负数，这意味着方程没有实数解。
在这种情况下，方程的解将是复数。
在实际应用中，一元二次方程的解可以用于解决各种问题。
例如，它可以用于计算物体的运动轨迹、建模自然现象或求解几何问题。
因此，掌握这个公式对于数学的学习和实际应用都是非常重要的。
总结起来，一元二次方程的解可以通过万能公式来计算。
这个公式提供了一个通用的方法，可以用于解决任何一元二次方程。
这种方法是通过将方程转化为标准形式，并应用配方法得到的。
掌握这个公式对于数学的学习和实际应用都是非常重要的。
一元二次方程式解法公式
一元二次方程式解法公式一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
解一元二次方程的一种常用方法是使用解法公式，也称为求根公式。
解法公式可以直接计算出方程的解，进而求解方程。
一元二次方程的解法公式可以分为两种情况讨论：当方程有实数根时，以及当方程有复数根时。
1. 当方程有实数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ的值决定了方程的根的性质：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即重根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
2. 当方程有复数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，复数根的虚部用i表示，即i = √(-1)。
与实数根的情况相比，复数根的判别式为4ac - b^2。
当判别式4ac - b^2 > 0时，方程有两个共轭复数根；当判别式4ac - b^2 = 0时，方程有两个相等的复数根，即重根；当判别式4ac - b^2 < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
通过解法公式，可以直接计算出一元二次方程的解。
根据公式中的系数a、b、c的不同取值，可以得到方程的不同解的情况。
需要注意的是，解法公式只适用于一元二次方程，对于其他类型的方程不适用。
此外，解法公式的使用还需要注意以下几点：1. 在计算解时，需要先计算出判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质。
2. 当判别式的值为0时，仍然需要进行计算，并且在计算过程中需要注意虚部的表示方式。
一元二次方程的简单解法
一元二次方程的简单解法直接开平方法解一元二次方程就像打开神秘宝藏的大门。
你看方程$x^2 = 9$，这就像宝藏在一个盒子里，盒子上写着$x^2$，我们知道$3$的平方是$9$，$-3$的平方也是$9$，所以$x$就等于$3$或者$-3$。
这多简单呀，就像你知道钥匙能开哪扇门一样。
要是方程是$(x - 2)^2 = 16$呢？那$x - 2$就等于$4$或者$-4$，$x$不就轻松算出来啦，是$6$或者$-2$。
这就像给你个有线索的谜题，一解就开。
配方法像给方程来个大变身。
比如说方程$x^2 + 6x + 5 = 0$。
这方程看起来有点乱对吧？我们就像魔法师，把它变成完全平方式。
先把常数项移到右边，变成$x^2 + 6x = -5$。
然后在等式两边加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数是$6$，一半是$3$，平方是$9$，就变成$x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$，也就是$(x + 3)^2 = 4$。
这不就和直接开平方法一样啦？$x + 3$等于$2$或者$-2$，$x$就是$-1$或者$-5$。
像不像把一个丑小鸭变成了白天鹅，然后就好解决啦。
公式法是个超级厉害的武器。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），有个公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
这就像一把万能钥匙。
比如方程$2x^2 - 5x + 3 = 0$，这里$a = 2$，$b = -5$，$c = 3$。
把它们代入公式，就像把钥匙插进锁孔。
先算根号里面的，$b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×2×3 = 25 - 24 = 1$。
然后代入公式算出$x$，$x = \frac{5 \pm 1}{4}$，答案就是$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{3}{2}$。
这公式法不管方程多复杂，都有办法搞定，是不是很牛？因式分解法像破案找线索。
一元二次方程的五种解法
一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中常见的方程类型，解一元二次方程有多种方法。
下面将介绍五种解一元二次方程的方法。
一、因式分解法通过因式分解的方法，将一元二次方程化简为两个一次方程，进而求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以通过因式分解得到(x + 2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2或x = -3。
二、配方法通过配方法，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，进而得到x = -3。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
通过代入系数，计算出方程的解。
例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1，b = 2，c = -3，然后利用求根公式计算出x的值。
四、完成平方法通过将一元二次方程的两边进行平方，化简为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，我们可以通过将其两边进行平方得到(x + 2)^2 = 0，进而得到x = -2。
五、图像法通过绘制一元二次方程的图像，观察图像与x轴的交点来求解方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以绘制出抛物线的图像，观察到抛物线与x轴的交点为x = 2和x = -2，因此方程的解为x = 2和x = -2。
解一元二次方程有多种方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法、完成平方法和图像法。
不同的方法适用于不同的方程，选择合适的解法可以更快地求解一元二次方程的解。
在实际应用中，根据方程的形式和已知条件，选择合适的解法可以简化计算，提高效率。
一元二次方程的解法汇总
一元二次方程的解法汇总一元二次方程是一个常见的数学问题，它的解法有多种方法。
在本文中，我将汇总一些常用的解法，并对其进行详细介绍。
一、因式分解法一元二次方程的一种解法是因式分解法。
通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过因式分解的方法将方程进行分解，得到方程的解。
二、配方法配方法是解一元二次方程的另一种常用方法。
通过将方程进行配方，可以得到一个完全平方。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过配方的方法将方程进行变形，得到一个完全平方。
最后，通过求解完全平方，可以得到方程的解。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。
通过求根公式，可以直接计算出方程的解。
一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
其中，a、b、c为方程的系数。
将方程的系数代入求根公式中，即可得到方程的解。
四、图像法图像法是解一元二次方程的一种直观方法。
通过绘制方程的图像，可以直观地找到方程的解。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过绘制方程的图像，可以观察到方程的解在坐标系中的位置。
最后，根据图像的形状和位置，可以确定方程的解。
五、完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法。
通过将方程转化为完全平方的形式，可以直接得到方程的解。
一元二次方程的完全平方公式为(a±√b)^2=a^2±2a√b+b。
将方程进行变形，使其符合完全平方的形式，然后根据完全平方公式，可以直接得到方程的解。
六、求解方法的选择在解一元二次方程时，根据具体的情况选择合适的解法非常重要。
因式分解法适用于方程可以进行因式分解的情况；配方法适用于方程可以通过配方得到完全平方的情况；求根公式适用于一般的一元二次方程；图像法适用于通过观察图像找到方程解的情况；完全平方公式适用于方程可以转化为完全平方的情况。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
解一元二次方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法：因式分解法和配方法。
一、因式分解法因式分解法是指将一元二次方程分解成两个一次因式的乘积，再令每个一次因式等于零，解得方程的两个根。
例如，解方程x^2 - 5x + 6 = 0：首先，找到两个数的乘积等于常数项c，且和等于中间项b的相反数。
在本例中，c为6，b为-5，可以将6拆解为-2和-3，-2与-3的和为-5，符合要求。
然后，将方程分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
接下来，令每个一次因式等于零，即(x - 2) = 0和(x - 3) = 0。
最后，解得x = 2和x = 3，这两个值分别为方程的两个根。
二、配方法配方法是指通过将一元二次方程移项，并用一个常数将方程的两边补全为一个完全平方的形式，从而将一元二次方程转化为一个平方差的形式，进而求解方程。
例如，解方程x^2 + 4x - 5 = 0：首先，将方程移项，得到x^2 + 4x = 5。
然后，通过添加一个与方程中一次项的系数一半相等的常数的平方，使得方程的左边成为一个完全平方。
在本例中，一次项的系数为4，可以添加(4/2)^2 = 4的平方，得到x^2 + 4x + 4 = 5 + 4，即(x + 2)^2 = 9。
接下来，令要解的方程的平方项等于右边的常数，即(x + 2)^2 = 9。
最后，开方，解得x + 2 = ±3，即x = 1和x = -5，这两个值分别为方程的两个根。
总结起来，一元二次方程的解法包括因式分解法和配方法。
通过运用这两种解法，可以求得一元二次方程的根，从而解决实际问题。
一元二次方程及其解法
一元二次方程及其解法一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、公式法和完成平方法等。
本文将逐一介绍这些解法，并通过例子加深理解。
一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，可以利用因式分解的形式将方程解出。
具体步骤如下：1. 将方程ax^2 + bx + c = 0进行因式分解，得到(ax + m)(x + n) = 0的形式；2. 根据分解得到的(x + m)(x + n) = 0，可得到两个线性方程x + m = 0和x + n = 0；3. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -m和x = -n。
例如，解方程2x^2 + 5x + 3 = 0：1. 将方程因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0；2. 得到两个线性方程2x + 1 = 0和x + 3 = 0；3. 解得x = -1/2和x = -3。
二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，可以利用配方法将其转化为可因式分解的形式。
具体步骤如下：1. 对方程ax^2 + bx + c = 0，将b项的系数b拆分成两个数p和q，使得p + q = b且pq = ac；2. 将方程重写为ax^2 + px + qx + c = 0，并进行合并得到ax^2 +(p+q)x + c = 0；3. 将方程的前两项进行因式分解，并重写为a[x^2 + (p+q)x] + c = 0；4. 提取公因式，得到a[x(x + (p+q))] + c = 0；5. 将方程重新整理为a(x + p)(x + q) = 0的形式；6. 根据分解得到的(x + p)(x + q) = 0，可得到两个线性方程x + p = 0和x + q = 0；7. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -p和x = -q。
例如，解方程2x^2 + 7x + 3 = 0：1. 将方程配成2x^2 + 6x + x + 3 = 0；2. 可以选择p = 3和q = 1，满足p + q = 7且pq = 6；3. 将方程重写为2x(x + 3) + (x + 3) = 0，并合并得到2x(x + 3) + (x +3) = 0；4. 提取公因式，得到(x + 3)(2x + 1) = 0；5. 因式分解后得到(x + 3)(2x + 1) = 0；6. 得到两个线性方程x + 3 = 0和2x + 1 = 0；7. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -3和x = -1/2。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是数学中非常重要的一个概念，它可以用来描述很多实际问题。
在解一元二次方程时，我们需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将介绍一些常见的解一元二次方程的方法，并探讨它们的应用。
首先，我们来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c是已知的实数，且a不等于0。
解一元二次方程的关键在于求出方程的根，即方程的解。
下面将介绍几种常见的解法。
一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
根据因式分解的性质，我们知道当两个因子中的任意一个为0时，方程成立。
因此，我们得到两个根x = 2和x = 3。
二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法求解。
配方法的基本思想是通过添加一个适当的常数，将方程转化为一个可以因式分解的形式。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过添加一个常数使其变为(x + 3)^2 - 1 = 0。
然后，我们可以将其分解为(x + 3 + 1)(x + 3 - 1) = 0，得到两个根x = -4和x = -2。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。
根据求根公式，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以代入a = 1，b = -4，c = 4，然后使用求根公式计算得到两个根x = 2和x = 2。
需要注意的是，当方程的判别式b^2 - 4ac小于0时，方程没有实数根，只有复数根。
四、图像法图像法是一种直观的解一元二次方程的方法。
我们可以通过绘制方程的图像来观察方程的根。
当方程的图像与x轴相交时，对应的x值即为方程的根。
一元二次方程的解法技巧
一元二次方程的解法技巧
1. 直接开平方法，简单又好用哦！就像解方程x²=4，那 x 不就等于正负 2 嘛，一下子就解出来啦，多爽！
2. 配方法，哇，可神奇啦！比如解方程x²+6x+5=0，把它配成完全平方的形式，就像给它穿上合适的衣服一样，然后就容易解啦！
3. 公式法，这可是个厉害的家伙呢！不管啥样的一元二次方程都能搞定。
比如面对2x²+3x-1=0，直接用公式一套，答案就出来啦，酷不酷？
4. 因式分解法，嘿嘿，这就像是拆礼物一样好玩！像解x²-5x+6=0，一下子分解成(x-2)(x-3)=0，那答案不就显而易见啦！
5. 观察对称，有时候方程就像对称的艺术品，抓住对称轴能省好多事儿呢！比如某个方程的图像是对称的，那利用这点来解题，不是很棒嘛？
6. 代入试探，就像摸着石头过河，试试这个值，试试那个值，说不定就找到答案啦！遇到一个比较难搞的方程，咱就一个个去试呀。
7. 利用图像，一元二次方程的图像可是会说话的哟！看着图像的走势，就大概能知道答案在哪个范围啦，多有趣！
8. 巧妙变形，有时候给方程变个小魔术，把它变个样子，解题就容易多啦！就好像把一个复杂的东西变简单啦，哈哈！
我觉得这些解法技巧都超有用的呀，掌握了它们，解一元二次方程就不再是难题啦！。
求一元二次方程解的公式
求一元二次方程解的公式
一元二次方程的解法有开平方法、配方法、因式分解法，求根公式等，接下来看一下具体内容。
一元二次方程的解法公式
（一）开平方法
形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
（二）配方法
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
（三）因式分解法
是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：
①移项,将方程右边化为（0）；
②再把左边运用因式分解法化为两个（一）次因式的积；
③分别令每个因式等于零,得到（一元一次方程组）；
④分别解这两个（一元一次方程）,得到方程的解。
（四）求根公式法
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；
②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.
若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)。
一元二次解方程的步骤及格式
一元二次解方程的步骤及格式一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c都是已知的实数常数，a≠0。
解一元二次方程的一般步骤如下：步骤一：将方程化为标准形式首先，我们需要将一元二次方程化为标准形式，即形如x^2+px+q=0。
为此，需要进行如下操作：1.若a不为1，则可以将方程两边同时除以a，将a化为12.检查b和c的正负关系。
如果b和c同时为负数，可以将方程两边同时乘以-1，使b和c至少有一个为正数。
3.将b的系数化简为p，将c的系数化简为q。
步骤二：求解一元二次方程接下来，我们需要采用合适的方法来解一元二次方程。
常用的方法有以下几种：1.因式分解法如果一元二次方程可以进行因式分解，那么我们可以直接通过因式分解法求解。
具体步骤如下：1.尝试将方程进行因式分解，即将方程写成(x+m)(x+n)=0的形式，其中m和n为常数。
2.根据因式分解的结果，可以得出两个根的值，分别是-x=m和-x=n。
2.公式法（求根公式）公式法是一种简洁高效的求根方法，通过求根公式可以直接得出一元二次方程的根的值。
求根公式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)3.完全平方法完全平方法是一种通过完全平方式将一元二次方程转化为平方的方式来求解的方法。
具体步骤如下：1.将方程进行化简，使其具备完全平方的形式，即将方程写成(x±m)^2=n的形式，其中m为常数。
2.对方程进行开方，即得到x±m=±√n。
3.求解得到x1=-m±√n和x2=m±√n。
步骤三：检验解的正确性最后，我们需要检验所求得的解是否满足原方程。
将解代入原方程进行验证，如果能够使原方程成立，则所求得的解是正确的；反之，则应该重新检查解的过程。
综上所述，解一元二次方程的步骤主要包括将方程化为标准形式、选择合适的方法求解一元二次方程，并最后检验解的正确性。
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法一元二次方程是中学数学中最基础的知识之一，也是许多高中数学知识的基础。
在解决实际问题中，我们常常需要用到一元二次方程。
下面将介绍解一元二次方程的五种基本方法。
方法一：公式法公式法是解一元二次方程最基本的方法。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，我们可以使用求根公式来求解。
即：$$x=dfrac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$这种方法比较简单、直接，但是需要注意判别式（$b^2-4ac$）的正负性，判别式小于零时方程没有实数根。
方法二：配方法配方法也是解一元二次方程常用的方法。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，我们可以通过配方法将其变形为 $(x+p)^2+q=0$ 的形式，然后求解。
具体的配方法步骤如下：1. 把方程变形为 $ax^2+bx=-c$2. 在等式两边同时加上 $dfrac{b^2}{4a^2}$，即$ax^2+bx+dfrac{b^2}{4a^2}=dfrac{b^2}{4a^2}-c$3. 左边变形为 $(x+dfrac{b}{2a})^2$，右边化简为$dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$4. 对于二次方程 $(x+dfrac{b}{2a})^2=dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$，可以解出 $x$ 的值。
方法三：图像法图像法是解一元二次方程的另一种方法。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，我们可以将其转化为 $ax^2+bx=-c$ 的形式，然后画出函数图像 $y=ax^2+bx$，并找到其与 $y=-c$ 相交的点，即为方程的解。
方法四：因式分解法对于形如 $x^2+px+q=0$ 的一元二次方程，我们可以利用因式分解法来求解其根。
具体的步骤如下：1. 求出 $q$ 的所有因数。
2. 在所有因数中找到两个数，它们的和等于 $p$。
3. 将方程变形为 $(x+a)(x+b)=0$ 的形式，其中 $a$、$b$ 分别为上一步中找到的两个数。
一元二次方程组的解法
一元二次方程组的解法在数学中，一元二次方程组是指由两个一元二次方程组成的方程组。
一元二次方程组的解法可以通过多种方法实现，下面将介绍几种常见的解法。
一、图解法通过图像来解一元二次方程组是一种直观的方法。
首先，将每个方程都转换为二维坐标系上的直线或曲线，然后找出它们的交点，这个交点就是方程组的解。
例如，考虑以下一元二次方程组：方程1：y = x^2 - 4x + 4方程2：y = -x^2 + 2x + 1我们可以将这两个方程绘制在同一个坐标系上，通过观察它们的交点来求解方程组。
在图中，我们可以看到两个方程的图像相交于点(2,1)，因此方程组的解为x=2，y=1。
二、代入法代入法是一种常用的解一元二次方程组的方法。
该方法的思想是将其中一个方程的变量表示为另一个方程的变量的函数，然后代入另一个方程，得到一个只含有一个变量的一元二次方程，从而求解该方程。
例如，考虑以下一元二次方程组：方程1：x^2 + y^2 = 10方程2：x + y = 5我们可以将方程2中的y表示为x的函数：y = 5 - x，然后将其代入方程1得到x^2 + (5 - x)^2 = 10。
将该方程化简后得到2x^2 - 10x + 15 = 0，进一步求解该方程可得到x的解，再将x的解代入方程2中求得对应的y的值，即可得到方程组的解。
三、消元法消元法是一种通过相加或相减来消去一个变量的方法。
该方法的思想是通过对方程进行线性组合，消去方程组中的一个变量，从而得到只含有一个变量的一元二次方程。
例如，考虑以下一元二次方程组：方程1：x^2 + 2xy + y^2 = 10方程2：x - y = 1我们可以通过将方程1的两边减去方程2的两边来消去变量y，得到x^2 + (2x - 1)^2 = 10。
将该方程化简后，我们可以得到一个只含有一个变量的一元二次方程，从而可以求解得到x的解，再将x的解代入方程2中求得对应的y的值，即可得到方程组的解。
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x b b2 4ac
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac 的值;
பைடு நூலகம்
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56 x1 5 ; x2 2. .
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
.
复习回顾： 1、一元二次方程的形式 2、二次项、二次项系数 3、一次项、一次项系数 4、常数项 5、一元二次方程的解法
.
❖ 形如ax²+bx+c=0(其中a,b,c是
常数，a≠0)叫做一元二次方程
称：a为二次项系数， ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,
.
例1 下列方程哪些是一元二次方程?
.
当△>0时，方程 ax2bxc0 (a≠0)
的实根可写为
b b2 4ac x
2a
一元二次方程的 求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
.
1 －8
04 0 －4
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
.
.
依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a .
这种方法称为直接开平方法。
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
ax2bxc0(a≠0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2abx2ba2ac2ba2
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
.
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(1)b24a
形如x2=a (a≥0)
或m （ x n） 2a(a0)
.
x2+6x-7=0
.
.
什么是配方法？ 平方根的意义？ 完全平方公式？
.
配方法
我们通过配成完全平方式 （ xn） 2a(a0) ，
然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的方法的助手: 平方根的意义: 如果x2 = a, 那么x= a .
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 .
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6 , x2= 2 6 .
.
练习: 用公式法解下列方程： 1、x2 +2x =5 2、 6t2 -5 =13t
c0,这b 时 24 a42a
c 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
b
x1
b 2 4 ac
2a
b
x2
b 2 4 ac
2a
.
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(2)b24a c0,这b 时 2 4 a42a
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
.
学习是件很愉快的事
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 : a 5 , b 4 , c 1 2
1.变形:化已知方 程为一般形式;
b 2 4 a c 4 2 4 5 ( 1 2 ) 2 5 6 0. 2.确定系数:用
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－－31x －1 ＝0 (4) －y22 ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
解: (1)、 (4)
.
例题分析
例2 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
.
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解 ： x26x7
x26x979
x32 16
x34
x11 x2 7
.
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
解： x24x5
2
x2 4x454
2
x 22 13
2 x2
26
2
26
26
x1 2 2 x2. 2 2
.
用配方法解一般形式的一元二次方程
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
.
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成 (x m )2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
c 0
即
x b 2a
b2 4ac 2a
＝0
此时，方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
.
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(3)b24a c0,这b 时 24 a42ac 0
而x取任何实数都不可能使 (x
b
2
) 0
，
2a
因此方程无实数根
当 b24ac>0 时，方程有两个不同的根 当 b24ac=0 时，方程有两个相同的根 当 b24ac<0 时，方程无实数根
.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
x a x1 a,x2 a .
例1、x2－4=0
解：原方程可变形为
X2 = 4 ∴ x1=-2 ,x2=2
.
例2、（3x -2）²- 49=0
解：移项，得：（3x-2）²=49
两边开平方，得：3x -2=±7
所以：x= 2 7
所以x1=3，
3
x2= -
5
3
.
归纳：直接开平方法的 特点：
解:
a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例3：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、c 的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .