解一元二次方程

x a x1 a,x2 a .
例1、x2－4=0
解：原方程可变形为
X2 = 4 ∴ x1=-2 ,x2=2
.
例2、（3x -2）²- 49=0
解：移项，得：（3x-2）²=49
两边开平方，得：3x -2=±7
所以：x= 2 7
所以x1=3，
wenku.baidu.com
3
x2= -
5
3
.
归纳：直接开平方法的 特点：
.
当△>0时，方程 ax2bxc0 (a≠0)
的实根可写为
b b2 4ac x
2a
一元二次方程的 求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
解:
a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例3：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、c 的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
c 0
即
x b 2a
b2 4ac 2a
＝0
此时，方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
.
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(3)b24a c0,这b 时 24 a42ac 0
而x取任何实数都不可能使 (x
b
2
) 0
，
2a
因此方程无实数根
c0,这b 时 24 a42a
c 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
b
x1
b 2 4 ac
2a
b
x2
b 2 4 ac
2a
.
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(2)b24a c0,这b 时 2 4 a42a
形如x2=a (a≥0)
或m （ x n） 2a(a0)
.
x2+6x-7=0
.
.
什么是配方法？ 平方根的意义？ 完全平方公式？
.
配方法
我们通过配成完全平方式 （ xn） 2a(a0) ，
然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的方法的助手: 平方根的意义: 如果x2 = a, 那么x= a .
ax2bxc0(a≠0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2abx2ba2ac2ba2
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
.
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(1)b24a
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
.
学习是件很愉快的事
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 : a 5 , b 4 , c 1 2
1.变形:化已知方 程为一般形式;
b 2 4 a c 4 2 4 5 ( 1 2 ) 2 5 6 0. 2.确定系数:用
.
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解 ： x26x7
x26x979
x32 16
x34
x11 x2 7
.
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
解： x24x5
2
x2 4x454
2
x 22 13
2 x2
26
2
26
26
x1 2 2 x2. 2 2
.
用配方法解一般形式的一元二次方程
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
.
1 －8
04 0 －4
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
.
.
依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a .
这种方法称为直接开平方法。
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
.
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成 (x m )2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
当 b24ac>0 时，方程有两个不同的根 当 b24ac=0 时，方程有两个相同的根 当 b24ac<0 时，方程无实数根
.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
x b b2 4ac
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56 x1 5 ; x2 2. .
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－－31x －1 ＝0 (4) －y22 ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
解: (1)、 (4)
.
例题分析
例2 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 .
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6 , x2= 2 6 .
.
练习: 用公式法解下列方程： 1、x2 +2x =5 2、 6t2 -5 =13t
.
复习回顾： 1、一元二次方程的形式 2、二次项、二次项系数 3、一次项、一次项系数 4、常数项 5、一元二次方程的解法
.
❖ 形如ax²+bx+c=0(其中a,b,c是
常数，a≠0)叫做一元二次方程
称：a为二次项系数， ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,
.
例1 下列方程哪些是一元二次方程?