伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解(含参变量积分)【圣才出品】

伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解
第17章含参变量积分
17.1复习笔记
一、含参变量定积分
1．基本概念
设函数在平面区域上有定义．
（1）若对于定积分存在，则由此定义了区间[a，b]上的函数
I（x）称为含参变量定积分（简称含参变量积分），其中x为参变量．
（2）若对于存在，则也称J（y）为含参变量定积分，其中y为参变量．
2．基本性质
（1）连续性定理
①设函数在区域上连续，则对于含参变量定积分
存在，并且I（x）在区间[a，b]上连续．
注：f（x，y）在D上连续只是I（x）连续的充分条件．
②设函数在区域上连续，则有
③设函数在区域上连续，则对变上限含参变量积分
存在，并且二元函数I（x，u）在D上连续．对于变下限含参变量积分，也有类似的结论．（2）可积性定理
①设函数f（x，y）在区域上连续，则函数和
分别在区间[a，b]和[c，d]上可积，并且
②设函数f（x，y）在区域上连续，则
（3）可导性定理
①设函数f（x，y）及其偏导数在区域上连续，则函数
在区间[a，b]上可导，并且有
②设函数f（x，y）及其偏导数在区域上连续，则求导数运算与积分运算是可交换顺序的．
③设函数及其偏导数在区域上连续，且
是满足的可微函数，则函数在区间上可导，并且
二、含参变量广义积分
1．含参变量无穷积分
（1）含参变量无穷积分的定义
设函数在上有定义，其中为一个集合．若对于广义积
分收敛，则可得到E上的函数
称该函数为含参变量无穷积分．
（2）含参变量无穷积分的一致收敛
①含参变量无穷积分的一致收敛的定义
设函数在上有定义，其中是一个区间．若对于
当时，对于
有
则称含参变量无穷积分在E上一致收敛．
②含参变量无穷积分的绝对一致收敛的定义
设函数在上有定义，其中是一个区间．若对于
收敛，则称
在E上绝对收敛．若在E上绝对收敛，则在E 上收敛．另外，若
在E上一致收敛，则在E上绝对一致收敛．
（3）一致收敛的判别法则
①柯西准则
设函数在上有定义，其中是一个区间，则含参变量无穷积分
在E上一致收敛的充分必要条件是：对当时，对
，有
②魏尔斯特拉斯定理
设函数在上有定义，其中是一个区间．若存在函数
使得对于
及有并且收敛，则在E上绝对一致收敛．
③狄利克雷判别法
设函数在上有定义（其中是一个区间），并且满足：
a．存在对于及有
b．对任意固定的是y的单调函数，且对于当时，
对一切有
即当时，q（x，y）关于x一致趋于0，
则含参变量无穷积分在E上一致收敛．
④阿贝尔判别法
设函数在上有定义（其中是一个区间，并且满足：
a．在上一致收敛；
b．对任意固定的是y的单调函数，并且存在常数对于及
有
则含参变量无穷积分在E上一致收敛．
（4）基本性质①定理1
设函数在
上有定义，其中
则含参变量无穷积分
在
上一致收敛的充分必要条件是：对任意的满足条件
且
的序列函数序列在E 上一致收敛．
②定理2
设函数
在
上连续，其中
是一个区间，并且含参变量无穷积分
在E 上一致收敛到函数I（x），则I（x）在E 上连续．
③定理3
设函数在
上连续，且含参变量无穷积分
在[a，b]上一
致收敛，则有
④定理4
设函数f（x，y）及其偏导数在上连续，其中是一个区间，
再设存在x 0∈E，使得
收敛，并且
在E 上一致收敛，则
a．在E 上一致收敛；
b．⑤狄尼定理
设函数
在
上连续且不变号，设对于
收敛，且I（x）在[a，b]上连续，则I（x）在[a，b]上一致收敛．
2．含参变量瑕积分
（1）定义
设函数在上连续，当时，以c为瑕点．若对任意瑕积分
（17-1）收敛，则I（x）在[a，b]上有定义．称I（x）为含参变量瑕积分．
（2）基本性质
利用变换可以将（17-1）式化成含参变量无穷积分
从而得到含参变量瑕积分也有相应的一致收敛性以及其它的性质．
三、函数与 函数
1．函数
（1）定义
函数是指由如下含参变量积分定义的函数：
（2）定义域。