用一次函数图象解二元一次方程组
二元一次方程组与一次函数2
5 60k b, 10 90k b.
解得
k , 6 b 5.
1 y x 5. 6
(2)当x=30时,y=0.
所以旅客最多可免费携带30千克的行李.
例3 某市自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按 月用水量分段收费办法,若某户居民应交水费 y (元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示. Y(元) (1)分别写出当0≤x≤15
小彬
小明
小颖
例2 某长途汽车客运站规定,乘客可以免费 携带一定质量的行李,但超过该质量则需购 买行李票,且行李费y(元)是行李质量x (千克)的一次函数.现知李明带了60千克 的行李,交了行李费5元;张华带了90千克的 行李,交了行李费10元. (1)写出y与x之间的函数表达式; (2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?
s/千米
图象表示
120
100 (B) 80 60 40 20
可以分别作出两人 s 与t 之间的关系图象,找 出 小明 交点的横坐 标就行了!
(A)0
1
2
2.8
3
4 t/时
用方程 解 行程问题
A,B两地相距100千米, 1 时后乙距A地 甲、乙两人骑自行车分别从A, 80千米,即乙的 B两地同时相向而行.假设他 小彬 速度是 20千米/时, 们都保持匀速行驶,则他们各 2 时后甲距A 地 30千米, 自到A地的距离s(千米)都是骑 故甲的速度是 15千米/时,
这节课你有什么收获?
利用二元一次方程组求一次函数表达 式的一般步骤:
1.用含字母的系数设出一次函数的表达 式: y kx b(k 0) ; 2.将已知条件代入上述表达式中得k,b的二元一 次方程组; 3.解这个二元一次方程组得k,b,进而得到一次 函数的表达式.
北师大版八年级上册数学《二元一次方程与一次函数》二元一次方程组PPT课件
平均数 众数 中位数
课堂小测
1.如下图所示的是某市5月份某一周的最高气温统计图,则这 组数据(最高气温)的众数与中位数分别是( A )
A.28 ℃,29 ℃ C.28 ℃,30 ℃
B.28 ℃,29.5 ℃ D.29 ℃,29 ℃
天数
最高气温/℃
课堂小测
2.如图是某射击选手5次射击成绩的折线图,根据图示信息,这5
八年级数学北师版·上册
第六章 数据的分析
从统计图分析数据的集中趋势
新课引入
如何确定一组数 据的平均数?
平均数
x
1 n
( x1 x 2 ... x n )
新知探究
如何确定中位数?
确定中位数,应先把这组数据按大小顺 序排列,最中间位置的一个数据或最中 间两个数据的平均数即为中位数.
新知探究
什么时候中位数取最中间位 置的一个数据,什么时候取最
课堂小测
(3)在(2)的条件下,把每个学生的捐款数额(以元为单位)一一记录 下来,则在这组数据中,众数是多少?
(3)因为初中生最多, 所以众数为10元.
新知探究
(3)在上面的问题中,如果不知道调查的总人数,你 还能求平均数吗?如果把算式中的小括号去掉,你 有什么发现?
约去20后可以写成 100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%,其中的百 分比就是扇形统计图中各项对应的百分比.事实上,这些百 分比就是“权”,所以平均数也可以直接这样算: 100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%=57(元).
(1)变函数:把方程组 k1 x y b1
k2 x y b2
二元一次方程组的图象解法
5x-2y=4
y
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4
l:5x-2y=4 (10x-4y=8)
1 2 3
4
x
例3 利用图象解法解方程组
8
3x+2y=-2 6x+4y=4
方程组的两个方程的图 象有怎样的位置关系? 方程组的情况怎样? 解:作出两个方程的图象 如图,两条直线平行,所 以方程组无解
例2 利用图象解法解方程组
同样,(0, -2)和(2, 3) 也在表示方程②的 10x-4y=8 直线上,所以方程 ①、 ②的图象都 解 对于方程①,有 是通过(0, -2)和(2, 3) 两点的直线l,就是 说,这两条直线重 x 0 2 合,显然,直线l上 -2 y 3 每一个点的坐标都 是原方程组的解, 过(0, -2)和(2, 3)画出 所以原方程组有无 表示方程①的直线 穷多组解
复习
通常过( 1、一次函数y=2x-5的图象是 一条直线 ,通常过( 2.5 ,0 )、 一次函数y=2xy=2x 两点画直线即可。 (0, -5 )两点画直线即可。 2、在下列各组一次函数中,图象是相互平行的直线的一组是 在下列各组一次函数中, ( B ) (A) y=4x-4和y=-4x+4 , y=4xy=y=3xy=-2x(C) y=3x-1和y=-2x-4 (B) y=2x-3和y=2x+7 y=2x(D)y=4x-1和y= − X+5 y=4x相 交 .
对于这个函数,任意给出自变量x的一些值, 可以求得相应的y值,列表如下
x y= - 3 x+3 2
… … -3 7.5 -2 6 -1 4.5 0 3 1 1.5 2 0 3 -1.5 … …
5.5二元一次方程组的图象解法
学生自己先思考 后,再分组讨论。 并让代表展示出 讨论结果.
x y 5 的解有什么关系? 2 x y 1
x-2y= - 2 2x–y=2
你能说理由吗? ﹙3﹚例:用作图象的方法解方程组
同学们你从本题中感悟到什么? 原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以 用图像法,那么用作图法来解方程组的步骤如下: (a)把二元一次方程化成一次函数的形式 (b)在直角坐标系中画出两个一次函数的图像,并标出交点。 (c)交点坐标就是方程组的解。 4、练一练 1、用作图象的方法解方程组 2x+y=4 2x-3y=12 2、在图中的两直线 l1、l2 的交点坐标可以看作 的解。 三、总结 1、我们可以得到:二元一次方程组无解<=>一 次 函数的图像平行(无交点)二元一次 方程组有一解<=>一次函数的图像相交 (有一个交点)二元一次方程组有无数个 解<=>一次函数的图像重合(有无数个交点) 2、二元一次方程的解实际上就是一次函数的 图像交点。用图像法可以解二元一次方程组, 原来我们还可以用几何的图像法来解代数问题。
八年级
苏科版数学学科导学案 编者:
课
题
5.5 二元一次方程组的图象解法
课型
新授
课时
第 1 课时
教学目标
1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3、通过学生的思考和操作,了解方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法, 同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 二元一次方程和一次函数的关系,能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。 方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
3 x
用一次函数图象解二元一次方程组
用一次函数图象解二元一次方程组山东 于秀坤一次函数的表达式就是一个二元一次方程,任何一个二元一次方程都可以化为一次函数表达式的形式.如y=2x+3是一函数表达式,也是二元一次方程;而2x-y=-3是一个二元一次方程,不是函数表达式.但可以将其化为y=2x+3,就是一个函数不表达式.一般来说,一个二元一次方程有无数多个解.以这些解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象.如以方程2x-y=-3的解为坐标所有的点组成的图形就是y=2x+3的图象.一个一次函数图象上的任意一点,它的坐标一定能适合相应的二元一次方程.如一次函数y=21x-1图象上的一点(2,0),它适合方程x-2y=2,即⎩⎨⎧==0,2y x 是方程x-2y=2的一个解. 由于二元一次方程可以转化为一次函数,在平面直角坐标系中可以画出函数的图象,所以将方程组中的两个方程都化为一次函数,在同一平面直角坐标系中就可以画出两个函数的图象(即两条直线),这两条直线的相交于一点,交点的坐标既是满足第一个方程,又满足第二个方程,所以交点的坐标就是方程组的解.这种将二元一次方程组转化为一次函数,通过画函数的图象确定交点坐标解二元一次方程组的方法,我们称为二元一次方程组的图象解法.用一次函数的图象解二元一次方程组,一般分为以下几个步骤:(1)将方程组中的每个方程分别转化一次函数表达式;(2)在同一坐标系内分别画出转化后的两个一次函数的图象;(3)根据两个函数图象交点的坐标写出方程组的解.例1 利用图象法解方程组⎩⎨⎧=+=-3,5y x y x 解:方程x-y=5,变形为y=x-5,过两点(0,-5)和(5,0)画函数y=x-5的图象;方程x+y=3变形为y=-x+3,过两点(03,)和(3,0)画函数y=-x+3的图象,这两个函数图象的交点坐标是(4,-1)(如图1).所以方程组的解为⎩⎨⎧-==.1,4y x 评注:由于一次函数的图象是一条直线,所以只要取两个适当的点,画直线即可.利用图象法求出的解与利用代入法或加减法解得到的解是相同的,但画图象时,难免有一些误差,所作图象要准确. 图1例2 利用函数图象解方程组⎩⎨⎧-=+=-.5,22y x y x 解:方程2x-y=2变形为y=2x-2,方程x+y=5变形为y=-x-5,画出直线y=2x-2与直线y=-x-5,可以看出它们交点的横坐标为-1,交点的纵坐标为-4(如图2),于是方程组⎩⎨⎧-=+=-.5,22y x y x 的解为⎩⎨⎧-=-=.4,1y x图2练一练;利用图象法解方程组:(1)⎩⎨⎧=-=-.1483,3y x y x (2)⎩⎨⎧=-=+.23,532y x y x。
七年级数学二元一次方程组解法
(2)若要使车间每天所获利润不低于24000元,你认
为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适?
课本P34 习题11.8 1,2
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是好奇这是什么地方,心想会不会是还在做梦,于是捏了自己一把,发现是有痛觉的,但我又担心自己像盗梦空间那样,做梦 做得有真实的感受,于是开始抱着头摇来摇去的。小男孩见我不太正常,于是大喊着“玉儿姐姐”什么的。刚过没多久,门外 又进来一个人,是个女子,但在我眼中看来,年纪撑死就是个高中生。那女生穿着确实简朴,或者我从这木屋就该猜到,他们 并不是有钱人。我稍微从不可思议的穿越中(尽管我不确定是不是穿越)缓过一些神来,才开始有心思打量了一下这一男一女。 这小正太确实长得好可爱,又不缺乏秀气,长大之后肯定是高富帅;这女生长相略显平凡,但是也透漏出一种秀气,我想,大 概是她现在是素颜,没有任何打扮的模样吧。小男孩的衣服稍微比较鲜艳一点,也显得他比较活泼。他见他的姐姐来了,就跑 过去冲着她的耳朵说了些什么。这女生听后,把目光转向我,开口说道:“公子,身体可好了?”我这么一听,倒是听到了一 口流利的普通话,这让我有点小吃惊。这是,我略显慌张,抚了抚自己的喉咙,张口说道:“应该七七八八了吧?”“应该七 七八八?那是何解?”女子一脸疑惑的看着我。我又吃了一小惊,忙改口道:“就是说,我的身体好很多了。”“是这样啊。” 女子像完成了什么事情一样,说完舒了一口气。我一边纳闷这突如其来的改变,一边组织好想问的问题去问这女生。由于知道 我们语言并没什么阻碍,能正常交流,再加上我知道我的谈吐应该更文绉绉一点才会让她听懂,于是我便问道:“姑娘,能问 你几个问题吗?”“嗯。”我索性翻下床来,站到她身旁问起来,“你知道这是哪吗?这是什么年代?这是由皇帝来统治的 吗?”蓦地,又觉得自己问出一连串好夸张的问题,于是又感觉自己有点小失礼了。这时,这女生脸显现一片通红,我这才有 意识到,我刚才问问题的时候靠得她太近了。那也不能怪我,向来问别人问题,就应该靠近点好让对方挺清楚不是吗?“这是 南国,年代是吕王八年。”女子羞涩地回答道。我见状,先有礼貌的向这女生道个歉,说道:“姑娘,刚才失礼了,我只是还 没习惯说话却不靠近别人说啊。”话一讲完,又发现自己说了一些莫名其妙的话,这使我觉得,用这种方式谈吐,真突出一个 烦字啊。女子蓦地转过脸去,脸部抽搐了几下,想必是在偷笑吧。那也难怪,这样的言行是挺让这时代的人感到奇怪搞笑的 第001章 天不收地不留“我的妻,你在哪里?“恍惚间,一个磁性的男声不断在耳畔重复着如此
17.5.1用图像法解二元一次方程组
y
1 x 1 与 2
y 2 x 2 的图象的交点坐
3、根据下列图象,你能说出哪些方程组的解? 这些解是什么?
y
y 2x 1
1
1 y x 2
-2
y
1
y x3
0
0
1
3 8 y x 5 5
x
x
{
y 2x 1 3 8 y x 5 5
{y x 3
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则方程组
2 x y 1 x 2 x 2 y 2 2、若二元一次方程组 的解为 , y 2
x 2 x y 5 的解为 y .3
2 x y 2
则函数 标为(2,2) .
-4
y 2 x 5
作出图象:
-6
归纳总结:
从形的角度看:
求二元一次方程组的解 是确定两条直线交点的坐标
从数的角度看:
求二元一次方程组的解
自变量为何值时,两个函数的 值相等并求函数值
1.因为方程组
x y 4 的解是 2 x y 1
1 x _____ 3 y _____
所以一次函数y=-x+4与y=2x+1的图象交点坐标 (1,3)
为
.
2. 不画函数的图象,求一次函数y=x+3 与y=-3x-1的图象的交点坐标。
就是方程组
y x 3 y 3x 1
的解。
3、A、B两地相距828Km,如图是一列慢车和一列快车沿 相同的路线从A地到B地所行驶的路程y(Km)和行驶是时间 x(h)的变化图象。 根据图象回答下列问题: (1)慢车比快车早出发 4 (2)快车比慢车早 2 小时。 小时达到B地。
19.2.3一次函数与二元一次方程组
分析: 计费与上网时间有关,所以可设上
网时间为x分,分别写出两种计费方 式的函数模型,然后再做比较.
解法1: 设上网时间为x分,若按A方式则收y=0.1x元;若 按B方式则收y=0.05x+20元. 在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象 . 解方程组 y=0.1x 得 x=400 y/元 y=0.1x y=0.05x+20 y=40 所以两图象交于点(400,40) 由图象知: 20 当0<x<400时,0.1x<0.05x+20; 当x=400时, 0.1x=0.05x+20; 当x>400时,0.1x>0.05x+20. O
-4 -3 -2 -1O -1 -2 -3
1 2 3 4 5
x
思 二元一次方 考 程-x+y=0.5
转化
对应
一次函数 y=x+0.5
对应
一条直线 一方面,直线上每一点横坐标和纵坐标的值都 是方程-x+y=0.5 的解。 同时,以方程每一组解x、y的值为横坐标和 纵坐标的点都在直线上;
思考:任何一个二元一次方程都可以写成
{
5=60k+b 10=90k+b
解得
{ b=-5
1 k 6
1 x 5 6
当y=0时,x=30
例1:如图,点P的坐标可以看作一个二元一次方程组的解。 (1)请写出这个方程组, (2)求出直线l1,l2与y轴围成的三角形的面积
y
4 B
l1
P
A
-2 -1 O 2
一次函数的形式呢?
归 纳
任何一个的二 元一次方程
一次函数
一条直线
y=-0.6x+1.6
一次函数与二元一次方程的关系PPT课件
图像上?为什么?
[知识拓展] (1)以二元一次方程的解为坐标的点组成的集合 是它对应的一次函数所在的直线;一次函数图像 上任意一点的坐标是它对应的方程的一组解. (2)二元一次方程组的解是由它对应的两个一次 函数图像的交点坐标;两个一次函数图像的交点 坐标是其对应的二元一次方程组的解.
1.以二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线,是不是一次 函数 y a x c 的图像?请说明理由.
bb 2.你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区别?
总结:以二元一次方程的解为坐标的点都在与它相应的一 次函数的图像上;反过来,一次函数图像上的点的坐标都是 与它相应的二元一次方程的解.
不等式的关系即可求解.
解:(1)两直线相交时交点的坐标是
y x 1,
y
2
x
2,
的解,即
x y
1, 0,
所以交点的坐标是(1,0),图像用两点法画 即可. y1=-x+1的图像与坐标轴的交点为 (0,1),(1,0),y2=2x-2的图像与坐标轴的交 点为(0,-2),(1,0),直接连线即可.如图所示.
1则.若直二线元y=一-3次x+方a和程y组=2x-43bxx的2y交y点ab,坐, 的标解为为
(
x m, y n. C)
2
A.(n,m) B.(m,m) C.(m,n) D.(n,n)
检测反馈
解析:二元一次方程组的解就是两个方程对应直线的交点坐标.故选C.
2.如图所示的是函数y=kx+b与y=mx+n的图像,求方程组 的点关于原点对称的点的坐标是 ( D )
一次函数与二元一次方程的图像解法介绍
y 3x 6
y 4 x2 5
2、 一般地,任何一个二元一次方 程都可以转化为一次函数的形式,所 以每个二元一次方程的图像都是一条 直线.
下面有序数对,哪个是二元一次方程 3x y 6
的解,即那个点在函数 y 3x 6 的图像上.
A(2,0)、B(3,-3)、C(5,-9)、 D(6,-10)、E(-2,10)、F(-3、15)
5 1
方程 ① 可化为y x 5
x 05
y 50
方程 ② 可转化为 y x 1
x 01
y -1 0
如图两直线的交点坐标 是(3,2) 所以此方程组
的解是:
x 3
y
2
x-y=1
3
x+y=5
通过以上探讨我们知道,用图像法解二元 一次方程组时,应先在同一平面直角坐标系内 画出这两个二元一次方程的图像,这两条直线 若相交,其交点的坐标,就是方程组的解。
你能归纳运用图像法解二元一次方程组的 一般步骤吗?
①方程化成函数
一般步骤
②画出函数图像 ③找出图像交点坐标 ④写出方程组的解
➢请问这节课你学到了那些知识和
数学方法?
➢用图像法解方程组是数形结合的
一个典型应用.
➢用图像法解方程组的方法步骤你
会了吗?
复习
1、一次函数y=2x-5的图象是一条直,线通常过( ,20.5 )、 (0, -5)两点画直线即可。
方程 2x y 6 的解.所以直线 l1 与 l2 的交点P的坐标就
是方程 x 2 y 2 与 2x y 6 的公共解 .
也就是二元一次方程组
x 2y 2 2x y 6
的解.
这样用作图求解二元一次方程组的方法,叫做二元一 次方程组的图像解法,利用图象解法解方程组是从“形” 的角度研究代数问题,数与形有着密切联系。
二元一次方程组的图像解法PPT课件
4、在同一坐标系中画出y= -1/2x+1和y=2x+6的图像。
y (1)它们有交点吗?若有, 交点坐标是 (-2,2)
(2)交点坐标与方程组
x+2y=2
的解有何关系?
2x-y=-6
x
根据上述问题你能得到哪些启示?
归纳总结:
一次函数与二元一次方程组
从形的角度看:
求二元一次方 程组的解
是两条直线的交点 坐标
2在平面直角坐标系内画出下列二元一次方程的图像二元一次方程相应的一次函数的图像上的点探究学习探究一次函数与二元一次方程组的关系探究一次函数与二元一次方程组的关系1解二元一次方程组x2y22xy62x2y2对应的一次函数为y12x132xy6对应的一次函数是y2x61它们有交点吗
13.4二元一次方程组的图像解法
活动三:实践应用
利用图象法解方程组:
x-y=-1 ① 2x+y=1 ②
解:由①得: y x1 由②得: y2x1
作出图象: 观察图象得:交点(0,-1) ∴方程组的解为 x=0
y=-1
y
y=x+1
O
x
y=-2x+4
你能说一说用图像解二元一次 方程组的一般步骤吗?
写函数,作图象,找交点,下结论
3、利用图像解方程组
y
y= -x+2.5
(2)画图
(3)两条直线有什么 位置关系?方程组解的 情况怎样?
两直线平行,无交点, 故方程组无解。
0
x
y= -x-2
通过以上各例及练习,你能说说二元一次 方程组的解的情况吗?有什么样的规律吗?
二元一次方程组
a1x+b1y=c
1
13.4二元一次方程组的图象解法
13.4二元一次方程组的图象解法(第一课时)一 学习目标:使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 二自主学习:从形式上看,通过移项,二元一次方程可以化为一次函数的形式,一次函数可以化为二元一次方程的形式。
那么二元一次方程的解与相应的一次函数也有关系吗?如果有关系,你能说出有怎样的关系?三 合作探究:方程3x+2y=6的解有多少个?请列出六组解,你能画出这个方程的解为坐标的所有点组成的图形吗?提示一:由3x+2y=6得x= ,y= .提示二:对于y= . 这个函数,任意给出自变量x 的的一些值,可以求都是方程3x+2y=6的解。
提示四:作图x提示五:二元一次方程3x+2y=6的图象就是一次函数的图象,它是一条直线。
四 巩固练习:1、在同一个平面直角坐标系内画出下列二元一次方程的图象。
(1)x-y=0 (2)x+y=0.x (第一题)(第四题)2、(1)下列的有序数对,哪些是二元一次方程3x+y=6的解?A(2,0) B(3,-3) C(5,-9) D(6,-10) E(-2,10) F(-3,15)(2)给出二元一次方程3x+y=6任意五组非整数解。
3、有五角、一元的硬币各若干个,从中取出一些凑成4元,问有多少种不同的取法?4、在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5-x和y=2x-1的图象,这两个图象有交点吗?如果有写出交点的坐标?5、一次函数y=5-x和y=2x-1的图象的交点坐标与方程组521ì+=ïïíï-=ïîx yx y的解有什么关系?13.4二元一次方程组的图象解法(第二课时)一 学习目标:1.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 2.通过学生的思考和操作,了解方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 二自主学习:. 二元一次方程组可以转化为两个一次函数,那么二元一次方程组的解与两个一次函数图象的交点坐标有怎样的关系? 三 合作探究:一般地,任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数的形式,所以每一个二元一次方程的图象都是一条直线,这样,解二元一次方程,就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线的交点问题了。
一次函数的应用及图像
一次函数y=2x-5和y=-x+1
1、先在平面直角坐标系中画出y=2x-5和y=x+1的图象。
这两条直线相交于 一 点,交点坐标是 (2。,-1)
2、解方程组
2x-y=5
x=2
这个方程组的解为:
x+y=1
y=-1
你能得到什么结论?你能说明这一结论的正 确性吗?
1、如图,根据写出方程组
x y 2 0 3x 2 y 1 0
就是解方程组
y x3 y 3x 1
的解。
一次函数y=3x-4和 y 3 x 1的图象之间有何关系? 相交 4
一次函数y=–2x+2,y=–2x+5的图象之间有何关系? 平行
那么,方程组
y 3x 4
y
3 4
x
1
有 1 个解。
y 2x 2
方程组 y 2x 5 有 无 解。
你能从中“悟”出些什么吗?
l2 销售成本
● ●
3000
2000
1000
O 1 23 4 5 6
x/ 吨
你会做吗?试试看
(6)你能得出每吨产品的销价吗? (每吨1000元) (7)销售收入为5000元时,该公司卖出了多少吨产品? (5吨)
共花费了多少成本? (4500元)
y/元
6000
5000
● l1 销售收入
●
l2 销售成本
乙
4
3
甲
2
1
t(秒)
0 1 234
(1)一次函数与二元一次方程组可以相互 转化,从图像到关系式都是完美的统一。
(2)将二元一次方程组转化为两个一次函 数,如果两个一次函数的图象有一个交点,
一次函数的图像、性质和应用二元一次方程组的图像解法
【本讲教育信息】一. 教学内容:一次函数的图像、性质和应用;二元一次方程组的图像解法[学习目标]1. 理解一次函数的图像是一条直线以及它的性质,会画一次函数的图像.2. 会应用一次函数的性质解决实际问题,能够用图像法解二元一次方程组.3. 通过学习,进一步体会“数形结合”的数学思想方法以及数学建模的思想.二. 重点、难点:能够熟练地用描点法、两点法画出一次函数的图像,用图像法解二元一次方程组,理解一次函数性质并会应用一次函数解决问题是重点;难点是对一次函数性质的理解以及应用一次函数解决问题.三. 知识要点:1. 一次函数与正比例函数的图像一般地,一次函数的图像是过(),(0,b)的一条直线;特殊的,正比例函数的图像是过(0,0),(1,k)的一条直线.直线是由直线向上或向下平移单位得到的.或者说直线是由直线向右或向左平移单位得到的.2. 一次函数的性质(1)增减性:如果,那么y的值随x值的增大而增大;如果,那么y的值随x值的增大而减小(2)所通过的象限如下表k,b的符k>0,b>0 k>0,b<0 k<0,b>0 k<0,b<0 号图像所通过一,二,三一,三,四一,二,四二,三,四的象限3. 一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系:一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解;以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数图像上.4. 数形结合及数学建模思想方法的体会与应用也是本章的一个重要知识点.【典型例题】例1. 如图所示,两条直线分别表示函数和,请根据图像,回答下列问题:(1)直线AB表示的图像,直线OB表示的图像.(2)函数随x的增大而,函数随x的减小而.方法指导经过原点的直线是正比例函数的图像,不经过原点的直线是一般是一次函数的图像.例2.直线y=kx+b与直线y=kbx,它们在同一个坐标系中的图象大致为()例3一次函数的图像过(3,0),且与坐标轴所围成的图形的面积为9,求一次函数的函数关系式.例4如图所表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程y(km)随时间x(min)变化的图像(全程).根据图像回答下列问题:(1)求比赛开始多少分钟时,两人第一次相遇;(2)求这次比赛的全程是多少千米;(3)求比赛开始多少分钟时,两人第二次相遇.例5 在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题:(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是,从点燃到燃尽所用的时间分别是;(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式;(3)当x为何值时,甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等?例6 学校有一批复印任务,原来有甲复印社承接,按每100页40元计费.现在乙复印社表示:若学校先按月付给一定数额的承包费,则可按每100页15元收费.两复印社每月收费情况如图根据图像回答下列问题:(1)乙复印社的每月承包费是多少?(2)当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同?(3)如果每月复印页数在1200页左右,那么学校应选择哪个复印社比较合算?【模拟试题】(答题时间:60分钟)1.若函数的图象经过点(1,2),则函数的表达式可能是(写出一个即可)2. 一次函数y=kx+b满足kb>0且y随x的增大而减小,则此函数图象不经过()A、第1象限B、第2象限C、第3象限D、第4象限3. 两个一次函数y1=mx+n,y2=nx+m,它们在同一坐标系中的图象可能是下图中的()4. 在函数y=-2x+3中,当自变量x满足时,图象在第一象限.5. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,1)且不经过第四象限,则满足以上条件的一个一次函数的解析式为6. 某污水处理厂的一个净化池设有2个进水口和1个出水口,三个水口至少打开一个,每个进水口进水速度由图甲给出,出水口出水的速度由图乙给出.某一天0点到6点,该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察,小亮得出了以下三个论断:(1)0点到3点只进水不出水;(2)3点到4点不进水只出水;(3)4点到6点不进水也不出水.其中正确的是()A、(1)B、(1)(2)C、(1)(3)D、(1)(2)(3)7.如图,过点A的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B,能表示这个一次函数的解析式为()A. 2x-y+3=0B. x-y-3=0C. 2y-x+3=0D. x+y-3=08. 如图,表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km的过程中,行驶的路程与经过的时间的函数关系,请根据图象填空:出发早,早了小时,先到达,先到小时,电动自行车的速度为km/h,汽车的速度为km/h.9. 已知正比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x-9的图象相交于点P(3,-6).(1)求k1、k2的值;(2)如果一次函数y=k1x-9的图象与x轴交于点A,求A的坐标.10. 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物,若该读物首次印刷的印数不少于5000册时,投入的成本与印数间的相应数据如下:印数x(册)5000 8000 10000 15000 ……成本y(元)28500 36000 41000 53500 ……(1)经过对上表数据的探究,发现这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数,求这个一次函数的解析式(不要求写出x的取值范围);(2)如果出版社投入48000元,那么能印读物多少册?11. 某公司推销一种产品,设x(件)是推销产品的数量,y(元)是推销费,下图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案,看图解答下列问题:(1)求y1、y2的解析式;(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的;(3)如果你是推销员,应如何选择付费方案?12. 电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查,播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次,播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次,公司要求电视台每周共播放7集.(1)设一周内甲连续剧播x集,甲、乙两部连续剧观众的人次的总和为y万人次,求y关于x的函数关系式;(2)已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间,并且播放甲连续剧每集需50分钟,播放乙连续剧每集需35分钟,请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集,才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大,并求出这个最大值.。
二元一次方程组与一次函数的综合应用
x 2 y 4
则二元一次方程组 2x y 7 的解为
.
2、如图,分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯 的售价+电费,单位:元)与照明时间x(小时)的函数图象,假 设两种灯泡的使用寿命都是2000小时,照明效果一样. (1)根据图象分别求出的函数关系式; (2)当照明时间是多少小时时,两种灯的费用相等?
∵∴y=k3xk++bb的=图5 象过代点解(得3,5k)=2与(-解4,-9).
-4k+b=-9
b=-1
∴这个一次函数的解析式为y=2x-1
写
这样先设待求的函数关系式(其中含有未知的系 数),再把条件代入解析式,得到方程或方程组, 解出未知系数,从而具体写出关系式的方法,叫做 待定系数法.
变式: 为了学生的身体健康,学校课桌、凳的高度
b
p
1
自学指导二 :(3+2分钟)一次函数中求三角形面积问题
1、如图所示,直线1的解析表达式为y=-3x+3,且L1与x
轴(((交123)))于求求求点点 直 直DD线 线.的Ll直12,坐的线l标2解L与;2析经xD轴表过(围达点1成式A,的,;0面B),y积直;线23 Lx1,96L2交于点C. (4)在直线L2上存在异于点C的另一点P,2使得△ADP
自学检测一 : (5分钟) 1.如图,直线l1,l2交于点A,观察图象, 点A的坐标可以看作方程组 的解.
.
2.如图,直线L1:y=x+1与直线L2:y=mx+n相交于点P(1,b) (1)求b的值
(2)不解关于x,y的方程组﹛yy==xm+x1+, n请你写出它的解.
(3)直线L3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由
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山东 于秀坤
一次函数地表达式就是一个二元一次方程,任何一个二元一次方程都可以化为一次函数表达式地形式.如是一函数表达式,也是二元一次方程;而是一个二元一次方程,不是函数表达式.但可以将其化为,就是一个函数不表达式.资料个人收集整理,勿做商业用途一般来说,一个二元一次方程有无数多个解.以这些解为坐标地点组成地图象就是一次函数地图象.如以方程地解为坐标所有地点组成地图形就是地图象.资料个人收集整理,勿做商业用途一个一次函数图象上地任意一点,它地坐标一定能适合相应地二元一次方程.如一次函数2
1图象上地一点(),它适合方程,即⎩⎨⎧==0
,2y x 是方程地一个解.资料个人收集整理,勿做商业用途由于二元一次方程可以转化为一次函数,在平面直角坐标系中可以画出函数地图象,所以将方程组中地两个方程都化为一次函数,在同一平面直角坐标系中就可以画出两个函数地图象(即两条直线),这两条直线地相交于一点,交点地坐标既是满足第一个方程,又满足第二个方程,所以交点地坐标就是方程组地解.这种将二元一次方程组转化为一次函数,通过画函数地图象确定交点坐标解二元一次方程组地方法,我们称为二元一次方程组地图象解法.资料个人收集整理,勿做商业用途用一次函数地图象解二元一次方程组,一般分为以下几个步骤:()将方程组中地每个方程分别转化一次函数表达式;()在同一坐标系内分别画出转化后地两个一次函数地图象;()根据两个函数图象交点地坐标写出方程组地解.资料个人收集整理,勿做商业用途
例 利用图象法解方程组⎩
⎨⎧=+=-3,5y x y x 解:方程,变形为,过两点()和()画函数地图象;方程变形为,过两
点(,)和()画函数地图象,这两个函数图象地交点坐标是()(如图).资
料个人收集整理,勿做商业用途所以方程组地解为⎩
⎨⎧-==.1,4y x 评注:由于一次函数地图象是一条直线,所以只要取两个适当地点,
画直线即可.利用图象法求出地解与利用代入法或加减法解得到
地解是相同地,但画图象时,难免有一些误差,所作图象要准确. 图资料个人收集整理,勿做商业用途例 利用函数图象解方程组
⎩⎨⎧-=+=-.
5,22y x y x 解:方程变形为,方程变形为,画出直线与直线,可以看出它们交点地横坐标为,交点地纵坐标为(如图),于是方程组⎩⎨⎧-=+=-.5,22y x y x 地解为⎩
⎨⎧-=-=.4,1y x 资料个人收集整理,勿做商业用途
图
练一练;利用图象法解方程组:
()⎩⎨⎧=-=-.1483,
3y x y x ()⎩⎨⎧=-=+.
23,
532y x y x。