数学建模——食品质量安全抽检数据分析.

食品质量安全抽检数据分析摘要本文根据题目提出的不同问题，基于对食品数据的整理分类，然后找到合适的方法建立出相应的数学模型，并借助SPSS 软件数据，从而对食品质量进行评价，并且找出食品质量的有关规律和合理的抽检方法。

对于问题一，我们统计并分类汇总了2010-2012这三年深圳市的食品抽检数据，将主要食品分为六大类，运用了层次分析模型（AHP ），建立了三个层：主要食品、六类食品、四个影响因素，对深圳市这三年各主要食品领域微生物、添加剂含量、重金属和其他因素这四个方面的食品安全情况的变化趋势做出了定量分析，可以通过它们的权重变化说明微生物对食品安全的影响在减小，添加剂对食品安全的影响逐步增加，重金属对食品安全的影响也有所增强，而其他因素对食品安全的影响开始降低，以此来评价食品的安全趋势。

对于问题二，本文在问题一的数据基础上考虑与食品质量有关的几个影响条件，并借助SPSS 软件对它们之间的规律性进行线性刻画。

这部分内容我们将深圳三年主要食品的抽检地点分为八个区，抽检时间划分成11个阶段，食品种类分为六类，同时分析季节、食品类别、经销地与食品质量的关系，最后得到的线性回归方程为916.0141.0-198.0106.0321+⨯⨯+⨯=x x x y 。

然后我们通过求解满足三个条件下的回归平方和与依次限定其中某个条件的回归平方和，从而得到各条件下的偏回归平方和并进行比较，最后可以判断出各因素对食品安全系数的影响程度。

对于问题三，主要是对食品抽检的改进办法的研究。

在第一问中，我们已经得出对食品质量的各影响因素的权重，这里通过建立分层抽样模型，给出具体的抽样方案并作出了模型的评估。

综上所述，本文较好地评估了深圳市食品安全情况的变化趋势，找出了一些规律性的东西，并针对抽检方法做出了一些的改进，从而科学有效地反映出食品安全状况，以此来实现监管成本的最优化。

关键词：层次分析法、2χ检验、多元线性回归模型、分层抽样模型一、问题重述“民以食为天”，食品安全关系到千家万户的生活与健康。

随着人们对生活质量的追求和安全意识的提高，食品安全已成为社会关注的热点，也是政府民生工程的一个主题。

城市食品的来源越来越广泛，人们消费加工好的食品的比例也越来越高，因此除食材的生产收获外，食品的运输、加工、包装、贮存、销售以及餐饮等每一个环节皆可能影响食品的质量与安全。

另一方面，食品质量与安全又是一个专业性很强的问题，其标准的制定和抽样检测及评价都需要科学有效的方法。

深圳是食品抽检、监督最统一、最规范、最公开的城市之一。

根据深圳市2010年、2011年和2012年这三年的食品抽检数据,并根据这些资料来讨论以下问题：1.评价深圳市这三年各主要食品领域微生物、重金属、添加剂含量等安全情况的变化趋势；2.从这些数据中找出某些规律性的东西：如食品产地与食品质量的关系；食品销售地点（即抽检地点）与食品质量的关系；季节因素等等；3.改进食品抽检的办法，使之更科学更有效地反映食品质量状况且不过分增加监管成本（食品抽检是需要费用的），例如对于抽检结果稳定且抽检频次过高的食品领域该作出的调整.二、问题分析针对问题一，随着中国经济的快速发展，人们的生活质量逐渐提高，因而人们对于食品质量的要求也日渐增高，因此对食品进行产地、加工地等方面可能影响食品质量的因素进行抽检。

又因为深圳是食品抽检、监督最统一、最规范、最公开的城市之一，所以分析深圳市2010—2012三年个主要食品领域微生物、重金属、添加剂含量等安全情况的变化趋势，具有典型代表意义。

从问题二可知，为了建立更合理的模型，我们需要考虑影响食品抽检不合格的其他因素，并进行相应的定性分析。

深圳三年食品抽检的数据中给出了抽检地点，主要可分为八大区，抽检季度，四个季度。

计算各地区各因素的不合格数，并可以借助SPSS软件对数据之间的关系进行分析和刻画，最后找到它们之间的规律和联系。

针对问题三，为了能改进食品抽检的办法，可以考虑对影响食品质量的各因素进行层次分析，建立一个抽检个数与类别、地区的关系模型，从而有效地降低监管的成本。

三、 基本假设1.假设主要食品仅能分为六大类，其他没有被分类的食品对食品抽检的不合格性所造成的影响忽略不计；2.假设影响主要食物抽检不合格的因素主要有四大类，其他没有被分类的因素对食品抽检不合格性的影响忽略不计；3.假设抽样过程中其他地理或人为因素对抽样食品不合格性的影响忽略不计；4.假设对不同食品领域的各种指标是抽检是随机的；5.假设抽检间隔时间相同；6.假设检测的不同环节、不同因素的成本和工时相同。

四、 定义与符号说明符号含义 A成对比较矩阵 B判断矩阵 W权向量 λ特征根 CI 一致性指标 RI随机一致性指标321,,x x x自变量 y因变量 3210,,,ββββ参数 ε误差项 2R多重判定系数 回S 回归平方和 i Q偏回归平方和k N 第k 层含有不合格产品的批次 k n从第k 层内抽取的样本数五、模型的建立与求解5．1问题一的模型5.1.1数据处理为了提高数据处理过程中的效率，我们从原来的所有食品抽检数据中抽取了其中不合格产品的数据，以此作为参照数据并对它进行分类汇总和统计，然后分别得到2010年、2011年以及2012年这三年各个季度的统计数据。

表1 三年来各个季度分类统计表年份因素第一季度第二季度第三季度第四季度2010年微生物41 21 46添加剂28 9 0重金属 4 6 3其他36 41 28 2011年微生物214 14 37 94添加剂205 15 23 61重金属138 11 9 16其他113 48 3 112 2012年微生物9 65 19 36添加剂8 58 10 92重金属0 1 15 24其他12 61 8 235.1.2模型的建立与求解(1)进行图表分析通过上面的数据处理，我们得到了2010、2011和2012这三年在四个影响因素下的不合格产品数，并以直方图的形式进行呈现。

图1 2010年各因素引起的不合格产品数变化的趋势图图2 2011年各因素引起的不合格产品数变化的趋势图图3 2012年各因素引起的不合格产品数变化的趋势图从上面三幅图中，我们大致可以知道，微生物、添加剂、重金属以及其他因素不达标而造成的食品的不合格数三年来在不断地波动。

(2)进行层次分析为了能更好地了解深圳市这三年来各主要食品领域微生物、重金属、添加剂含量等安全情况的变化趋势，我们有必要对食品质量的因素进行深入分析。

虽然我们已经知道了影响食品质量的因素是上述四方面，但我们仍不清楚它们到底是怎样影响食品的质量的。

因此，我们还要注重研究它们在影响食品质量中所占的权重，而在此情况下，层次分析法能得到很好的应用。

层次分析法是是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，它的思路主要体现在分层上，从最底层开始分析各层对上一层的权重，一直到目标层，最后才综合得出最底层对目标层的总权重，从而能达到我们的预定目标。

现在根据深圳市的实际情况，将主要食品分为六大类，通过层次分析模型（AHP），建立了三个层：食品安全综合评价、六类食品、四个影响因素，具体的分层结构图如下所示：图4 食品安全综合评价层次结构图构造层次分析模型的建立具体应该包括以下几个过程。

Ⅰ.构造判断矩阵。

判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。

其形式如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n n n n b b b b b b b b b A 212222111211 ， 其中ij b 表示对上一层A 层而言，该B 层中因素i b 对j b 的相对重要程度。

在这里，我们通常使用1-9尺度可以方便地表示如表1.表2 1-9尺度ij b 的含义尺度含义1 C ｉ与C ｊ的影响相同 3 C ｉ比C ｊ的影响稍强 5 C ｉ比C ｊ的影响强 7 C ｉ比C ｊ的影响明显的强 9 C ｉ比C ｊ的影响绝对的强2,4,6,8 C ｉ与C ｊ的影响之比在上述两个相邻等级之间 1,1/2，…,1/9C ｉ与C ｊ的影响之比为上面a ｉｊ的互反数目标层准则层方案层针对本文中的问题一，通过以上的步骤建立模型之后，本文用成对比较法和1-9比较尺度对层次结构模型中的准则层对于目标层建立的6*6成对比矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1.0000 0.2500 0.2000 0.5000 1.0000 2.0000 4.0000 1.0000 0.5000 3.0000 4.0000 5.0000 5.0000 2.0000 1.0000 3.0000 4.0000 6.0000 2.0000 0.3333 0.3333 1.0000 2.0000 4.0000 1.0000 0.2500 0.2500 0.5000 1.0000 2.0000 0.5000 0.2000 0.1667 0.2500 0.5000 1.0000 A 。

Ⅱ.进行层次单排序和一致性检测。

采用和法计算准则层的因素相对于目标层的层次单排序。

首先，对A 的每一列向量归一化，得到对i ϖ按行求和得：1ni ij j ϖϖ-=∑，其次，将i ϖ归一化得1ii nii ϖωϖ-=∑，最后，计算矩阵的最大特征根其中i A )(ω表示向量ωA 的第i 个元素。

此外，还需要计算一致性指标：RI CI CR =，其中[1]max 1n CI n λ-=-。

RI 为平均随机一致性指标，当CR<0.1，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当调整。

Ⅲ.进行层次总排序。

需要将计算出来的层次单排序再次进行适当计算。

假设层次结构模型是由目标层(A)、准则层(B)和方案层(C)所组成，准则层有6个因素，方案层有4个因素。

已知B 层对A 层的层次单排序为：T ),,,()2(6)2(2)2(1)2(ωωωω =，以)3(k ω为列向量构成矩阵，则C 层对B 层的准则B k 的层次单排序为：Tk k k k ),...,,()3(4)3(1)3(1)3(ωωωω= 6,,2,1 =k 。

,)(11max∑==n i ii A n ωωλ同时，C 层各方案对A 层的层次总排序的方法为：,)2()3()3(ωωW =更一般地，若共有s 层，则第k 层对第1层（设只有1个因素）的组合权向量，即层次总排序满足其中)1()()(-=k k k W ωωsk ,......,4,3=。

其中)(k W 是以第k 层对第k-1的权向量为列向量组成的矩阵，于是最下层（第s 层）对最上层的层次总排序为)2()3()1()()(......ωωW W W S s s -=再根据上面的步骤进行逐步计算，最后可以得到2010年各主要食品受各种重要因素影响比重表为：表3 2010年各主要食品受各种重要因素影响比重表矩阵权重向量max λCI RI CRA-BT 20764),0.2803,0. 7630.1413,0.3 0.0798, 0.0458, ( =ω 6.11400.0228 1.240.0184B1-PT )3(1683)0.0950,0.1 0950,(0.6416,0. =ω4.0329 0.0110 0.900.0122 B2-PT )3(20.1160)0.2128, 714,0.5999,0.0 (=ω 4.0276 0.0092 0.900.0102 B3-PT )3(3549)0.0967,0.5 967,0.2516,0.0 ( =ω4.0435 0.0145 0.900.0161 B4-PT)3(40.3445)0,0583,0.095(0.5022,0. =ω 4.0734 0.0245 0.900.0272 B5-PT)3(5507)0.3507,0.3 1093,(0.1892,0. =ω4.0104 0.0035 0.900.0038 B6-PT)3(60.5317),972,0.18560.1856,0.0 (=ω 4.0042 0.0014 0.900.0015其中准则层相对于目标层的排序为T20764),0.2803,0. 7630.1413,0.3 0.0798, 0.0458, ( =ω，方案层相对于目标层的排序向量为(3)(3)(3)(3)(3)(3)2T 123456(,,,,,) (0.3690, 0.1832,0.0837, 0.3639)W ωωωωωωω=⋅=。