2018年选修4-5 《一般形式的柯西不等式》参考教案2

3.2 一般形式的柯西不等式
教学目的（要求）：使学生认识二维柯西不等式及其证明；
培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点（难点）：维柯西不等式的应用。

教学过程： 一、
温故
1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若,,,,a b c d R ∈则
()()()2
2
222a
b c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时取等号
2、变式：若,,,,a b c d R ∈ac bd ≥+
ac bd +
显然当22221,1a b c d +=+=时，1ac bd +≤
3、定理2：（柯西不等式的向量形式）设,αβ 是两个向量，则αβαβ⋅≤
当且仅当,αβ 中有一个是零向量或存在实数k 使得k αβ=
时，等号成立。

4、定理3、（二维形式的三角形不等式）设123123,,,,,x x x y y y R ∈，那么
≥
≥
5、配凑的思想
二、 新课：推广柯西不等式
1、由柯西不等式的向量形式：设,αβ
是两个向量，则αβαβ⋅≤
这里,αβ 是平面向量，若,αβ
为空间向量呢，
构造向量()()123123,,,,,,a a a b b b αβ==
设,αβ
间的夹角为θ，
则仍有cos αβαβθαβαβ⋅=⇒⋅≤
即112233a b a b a b ++≤
所以()()()2
222222133123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++
当且仅当()1,2,3i i a kb i ==时取等号 2、归纳推理：n 维上的柯西不等式：
()()()2
22222213121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++
证明：回顾前面的证法
视22222213121122,,n n n n A a a a C b b b B a b a b a b =+++=+++=++ 则不等式为2B AC ≤
构造二次函数22y Ax Bx C =++
即()()222212n f x a a a x =+++- ()x b a b a b a n n +++ 22112+()22212n b b b +++ 当120n a a a ==== 或120n b b b ==== 时不等式显然成立 当12,,,n a a a 至少有一个不等于0时，222120n a a a +++> 而()()()()2
2
2
11220n n f x a x b a x b a x b =-+-++-≥ 恒成立。

所以其=∆4()2
2211n n b a b a b a +++ -4()(
)2
2
22
12
2
22
1n
n b b b a a a ++++++ 0≤
得：(
)(
)2
22212
2221n
n b b b a a a ++++++ ()222
1
1n
n b a b
a b a +++≥ 当且仅当()f x 有唯一零点时，0∆=以上不等式取等号。

此时有唯一的实数x 使得()01,2,,i i a x b i n +== 若0x =，则()01,2,,i b i n == ，不等式成立
若0x ≠，则()1
1,2,,i i i a b kb i n x
=-==
综上当且仅当()01,2,,i b i n == 或()1,2,,i i a kb i n == 时不等式取等号。

推测正确
3、定理：一般形式的柯西不等式： 设1212,,;,,,n n a a a b b b R ∈
则()()()2
22222213121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++
即2
22
111n n
n k k k k k k k a b a b -==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
∑∑∑
当且仅当()01,2,,i b i n == 或()1,2,,i i a kb i n == 时不等式取等号。

4、思考：一般形式的三角形不等式及其证明
4、柯西不等式的应用：
例1、已知12,,n a a a R ∈ ，求证：()2
22212121n n a a a a a a n
+++≤+++ 证明：套用柯西不等式
()22222221212111111n n n a a a a a a ⎛⎫++++++≥⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
个 所以()()2
2221212n n n a a a a a a +++≥+++
即
()2
22212121n n a a a a a a n
+++≤+++ 原式得证。

例2、若,,,a b c d 是不全相等的正数，证明2222a b c d ab bc cb da +++>+++ 证明：配凑柯西不等式
()()()2
2
2222222a
b c d b c d a ab bc cb da ++++++≥+++
因为,,,a b c d 是不全相等，所以
a b c d
b c d a
===不能成立， 所以()()2
2
2222a b c d ab bc cb da +++>+++ 即2222a b c d ab bc cb da +++>+++
练习讨论：若,,,a b c d 是正数，求证：9a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫
++++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
证明：
()222222
2
1119
a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++++=++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≥++= 例3、已知231,x y z ++=求222x y z ++的最小值。

解：配凑柯西不等式得
()()()2
2
22222123231x
y z x y z ++++≥++=
所以222114
x y z ++≥
当且仅当123x y z ==即113
,,14714
x y z ===时222x y z ++取最小值114
例4、把一条长是m 的绳子截成三段，各围成一个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设截得的三段长分别为,,x y z ，则x y z m ++=
则三个正方形的面积和为：()222
222144416x y z S x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为，()()()2
2222222111x y z x y z m ++++≥++=
当且仅当3
m
x y z ===时取等号 所以()222
min 116S x y z =++有最小值248
m 答：
选用：例5、已知12,,,n a a a 都是正实数，且121n a a a +++=
求证：22221121223111
2n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++
证明：由柯西不等式得：
左边=()()()()1223111
2n n n a a a a a a a a -++++++++⎡⎤⎣
⎦
2
2
2
2
2
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎢⎥⨯+++++⎢⎥⎣⎦
2
2
2
2
12⎡⎤=+
++
+
+⎢
⎥⎣⎦
2
2
2
2
2
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎢⎥⨯+++++⎢⎥⎣⎦
1
2
⎡⎫
⎫⎫
≥+++⎢
⎢⎣
⎤
⎫⎫
++⎥
⎥⎦
()2
12
11
22
n
a a a
=+++=
所以原式得证
六、课后作业：P 41 1、2、3、4、5、6。