大学物理：描写运动的物理量

三、速度矢量 1、定义： 单位时间内质点所发生的位移。 2、速度是一个矢量。 3、平均速度： Z r1 O X
r v t
Δr
r2
Y
4、瞬时速度（简称速度）
v lim
t 0
r dr t dt
速度等于位Baidu Nhomakorabea矢量 随时间的变化率。 （对时间的一阶导 数）
Z 4、速度的方向： 瞬时速度的方向在质点运 动的切线方向上。 5、速度的单位：米每秒 m/s 6、速率： X r1 O
由加速度分量的计算公式可得：
dvx d ( R sin(t )) ax R 2 cos(t ) dt dt dvy d ( R cos(t )) ay R 2 sin(t ) dt dt dvz az dt
a axi a y j az k 2 R cos(t )i 2 R sin(t ) j 0k 2 r
Δr
r2 Y
①定义：单位时间内质点 所走过的路程。
②平均速率： ③瞬时速率 （简称为速率）
s v t
v
lim
t o
s ds t dt
7、速度与速率的比较： 速度是矢量，而速率是标量。 可以证明：平均速度的大小不一定等于平均速率， 而瞬时速度的大小则一定等于瞬时速率。
r v lim t t 0 r lim t t 0 r lim t t 0 s lim v t t 0
速度的大小可以用下面的公式得到：
v R
2 2 2 vx vy vz
四、加速度矢量 1、定义： 单位时间内质点速度的增量，用a表示。 2、什么叫速度增量？ 末速度与初速度的矢量差。
v v2 v1
v a t
Z
Δr
ΔV r2 V2 Y
3、平均加速度
r1
dx d ( R cos(t )) vx R sin(t ) dt dt dy d ( R sin(t )) vy R cos(t ) dt dt dz vz 0 dt
于是，任意时刻的速度可以用矢量表示为：
v R sin(t )i R cos(t ) j 0k
例题2、已知一个质点的运动方程为：
r R cos(t )i R sin(t ) j 0k
求：质点任意时刻的速度和速度的大小？
解：先写出运动方程的分量形式：
x R cos(t ) y R sin(t ) z0
根据速度分量的计算公式可以分别计算出速度 的各个分量为：
V1 O X
4、瞬时加速度（简称为加速度）
a lim
t 0
2 v dv d r 2 t dt dt
5、加速度单位： 米每秒平方（m/s2)
6、加速度的分量表示： a ax i a y j az k d vx ax 加速度的X分量 dt d vy ay 加速度的Y分量 dt d vz 加速度的Z分量 az dt
X
Y
cos x / r •位矢随质点运动而变化 cos y / r •位矢与时间有关 cos z / r
•位矢与坐标系有关
4、运动方程
•运动方程的定义：描写任意时刻质点位置的函 数方程叫运动方程。其矢量表达式为：
r r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
第二节 描写运动的物理量
一、位置矢量、运动方程 1、要描写物体的位置必须一个矢量 2、位置矢量的定义：在选定的坐标系中由坐标原点 指向质点的矢量叫位置矢量，简称为位矢。用r表示 Z
O
X
Y
3、位矢的分量表示：
Z
r xi yj zk
O
2 2 2 r r x y z
v vx i v y j vz k
vx vy vz dx dt dy dt dz dt
速度的X分量 速度的Y分量 速度的Z分量
8、速度的分量
证明如下：
dr v dt d v ( xi yj zk ) dt dx di i x dt dt di 0 dt dx dy dz v i j k dt dt dt
其大小可以由下面的公式得到：
所以，加速度矢量可以表示为：
a a 2R
a a a
2 x 2 y
2 z
这就是同学中学学过的向心加速度。
r r2 r1
注：位移矢量与我们所选 择的起止时间有关。 位移也与坐标系的选择 有关。 X
Z r1 O
Δr
r2 Y
位移也有分量表示：
3、路程： 质点在一段时间所走 过的轨迹的弧长。用 ΔS表示。
r1 x1i y1 j z1k r2 x2 i y2 j z 2 k x x2 x1 y y 2 y1 z z 2 z1
加速度的大小：
a a
a a a
2 x 2 y
2 z
加速度的方向问题留待以后讨论。 例题3、已知一个质点的运动方程为：
r R cos(t )i R sin(t ) j 0k
求：质点任意时刻的加速度和加速度的大小？ 解：由例题2的计算可知速度的分量形式：
dx vx R sin(t ) dt dy vy R cos(t ) dt dz vz 0 dt
•运动方程的分量表达式：
x x(t ) y y (t ) z z (t )
5、轨迹与轨迹方程 •定义：质点运动时所经过的空间点的集合。
•一般情况下轨迹是一条曲线
•描写轨迹曲线的数学方程叫轨迹方程
•怎样计算轨迹方程： 将运动方程分量式中的t消去，即得轨迹方程 例题1、已知一个质点的运动方程为：
r R cos(t )i R sin(t ) j 0k
求：轨迹方程。
解：先根据运动方程，写出其分量形式：
x R cos(t ) y R sin(t ) z0
消去t后即得：
x2 y 2 R 2 z0
这表明质点是在XOY平面内作圆周运动。 二、位移矢量 1、要描写位置的变化必须一个矢量； 2、位移矢量的定义： 由质点初始位置指向 末位置的矢量，叫位移矢量，用Δr表示。