3.3简正振动、声子解析

nq Aq e
i q t naq


三维晶体中第n个原子的总位移：
n nq Aq e
q q
i q t naq


再令
n
1 inaq Q ( q ) e Nm q
iq t
其中
Q(q) Nm Aq e
由
1 inaq n Q ( q )e Nm q 1 inaq m n e Q(q ) N q
( 2
n 1
n )
2
1 inaq n Q ( q ) e Nm q 1 ' inaq' Q ( q )e Nm q '
Q ( q ' )e inaq

n
i ( n 1) aq

inaq


1 N

2m
n
' Q ( q )Q ( q ) q q i ( n 1) aq
e
e inaq e i ( n 1) aq e inaq



2m
' Q ( q )Q ( q ) q q

Q(q )Q(q) 1 e 2m

i ( n 1) a ( q q ) ina( q q ) e e 1 iaq ina( q q ) iaq ina( q q ) N n e e e e


2m
* Q (q)Q(q)(2 2 cos aq) q 2 2
Hale Waihona Puke 一维简单格 子的色散关 系
aq 1 2 Q(q) 2 , | Q(q ) | 4 sin ( ) 2 q q 2m q 2

4 2 aq sin ( ) 所以Q（q）是简正坐标。其中 m 2
2 q
§3.3 简正振动 声子
简正振动
简正振动的振动状态是分子质心保持不变，整 体不转动，每个原子都在其平衡位置附近做简谐 振动，其振动频率和相位都相同，即每个原子都 在同一瞬间通过其平衡位置，而且同时达到其最 大位移值。分子中任何一个复杂振动都可以看成 这些简正振动的线性组合。
3.3.1
简正振动
一维单原子链，第q个格波引起第n个原子的位移：
q q , s , s , l 均为整数。
2π q s Na
2π q s Na
2π 2π q q ( s s) lh Na Na
1 N-1 ina( q q) 1 N 1 inah 1 N 1 iah n 1 1 eiNah e e (e ) N n 0 N n 0 N n 0 N 1 eiah
'
ia ( q ' q )
e
iaq
e
iaq
q

q
1 N
e
n
ina( q ' q )


2m
Q(q )Q(q)(1 e
' q q
iaq'
)(1 e iaq ) q, q


2m
iaq iaq Q ( q ) Q ( q )( 1 e )( 1 e ) q
根据经典力学，系统的总能量为势能U和动能T之和。
1 2 H T U m n (n1 n ) 2 n 2 n

2
而
T
U
1 1 Q m n q 2 q 2 n

2

2

( 2
n
n 1
n )
2
.
H
又根据正则方程：
H Pq Qq
.
2 Qq q Qq 0
..
Qq
..
2 q Qq
谐振子的振动方程
f ma
kx m x
x 2 x 0
..
..
k
m o x
X
k x x 0 m
..
由N个原子组成的一维单原子链的振动等价于N个谐振子
1 Q(q) Q(q) 2 q
* 1 Q (q ) Q(q) 2 q
Q(q) Q* (q)

势能U
1 Q(q) 2 q
.
2
U


Q ( q )e 2 Nm Q ( q )e Q(q)e
' n q i ( n 1) aq q
1 1e 0 2π ia l N Na 1e
iNa 2π l Na
得证
n
1 inaq Q ( q ) e Nm q

1 ' inaq' Q ( q )e Nm q '
2
动能
1 T m n 2 n
1 ' inaq inaq T Q(q )e Q ( q )e 2 N n q q 1 1 ' ina( q q ) Q(q ) Q(q ) e 2 q q N n 1 ' Q( q ) Q( q ) q , q ' 2 q q
mi i aijQ j
3N j 1
与简正坐标变换形式相似 其中线性变换系数：
a nq
1 N
e
inaq
证明：Q（q）是简正坐标
证明：要确正上述观点，需证明经简正坐标变换后，动
能和势能具有平方和的形式。需要利用以下两个关系：
（1） Q(q)
Q (q)
*
n
1 inaq Q ( q ) e Nm q 1 * inaq Q ( q ) e Nm q 1 inaq Q ( q )e Nm q
将上式两边取复共轭
n
*
而
n
因为
1 inaq Q ( q )e Nm q
所以
n * Q(q) Q (q)
* n
（2）
1 N
e
n 0
N 1
ina ( q q ' )
qq '
当 q q ,
若
1 N
ina ( q q ) e 1 n
1 2 q Qq 2 q
1 2 q
2
,
2
拉格朗日函数： L T U
Qq
.
2

2 q
Qq

广义动量： Pq 哈密顿函数：
L Qq
.
Qq
2 . 1 2 2 (q ) q Q(q ) Q 2 q