对不等式(当且仅当的几何解释

对一个不等式链的几何解释

湟中县第一中学 阿花忠

在高中数学必修5的基本不等式的教学中，如何对不等式221122

2b

a b a ab b

a +≤+≤≤+（0,0>>

b a 当且仅当”成立）时“==b a 进行几何解释呢？

如图，在圆O 中，AB 是直径，点C 是圆周上异于A 、B 的一点，则是直角。ACB ∠ .b BE a AE E AB CE C ==⊥，，设于点作过点

1、对不等式时成立）当且仅当b a b a ab b

a =>>≥+,0,0(2的几何解释 中，和在CBE ACE ∆∆BCE CAE BEC CEA ∠=∠∠=∠,, 所以，ACE ∆∽CBE ∆ 所以，BE CE

CE AE =，所以，BE AE CE ⨯=2，所以，ab CE =2

又AB 是圆的直径，所以CE AB 2>；当点E 是AB 的中点时，CE AB 2=

所以，CE AB 2≥，即,2ab b a ≥+

即ab b

a ≥+2”成立）时“（当且仅当==

b a

2、对”成立）时，“当且仅当==+≤+b a b a b a (222

2的几何解释

在圆O 中，过圆心O 作,AB DO ⊥交圆周于点D 。在DOE RT ∆中，22b

a b

a a AO AE OE -=+-=-=， 2b

a OD +=

所以，DE =2)2()2(2

22222b a b a b a OE DO +=-++=+

在DOE RT ∆中，DO DE > 当点D 和点E 重合时，DO DE =

所以，”成立）时，“当且仅当==+≤+b a b a b a (222

2

3、对不等式ab b a ≤+1

12

（当且仅当b a =时，“=”成立）的几何解释

O ab

CE =D A

B

C

E F

在COE RT ∆中，过，于点作F OC EF E ⊥则 EF CO CE OE ⨯=⨯2

121 所以， b

a a

b b a b a ab b a CO CE OE EF +-=+⨯-=⨯=)(2

2 所以，b

a b a ab b a ab b a ab b a ab EF CE CF 1122)(4)()()()(2222222+=+=+=+--=-= 在CEF RT ∆中，CF CE > 即ab b a ≤+112

（当且仅当b a =时，

“=”成立） 即”成立。

重合时，“和圆心当且仅当点=≤≤≤O E CE DO CE CF , (阿花忠（1970.7)，女，青海省湟中县第一中学，数学本科，中学一级教师。138********，E-mail: a_huam@) O ab CE =D

A B C

E F