第三章力学量的算符表示

合集下载

第3章力学量用算符表达：习题解答

第3章力学量用算符表达习题3.1 下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dxd∴ 2x 不是22dxd 的本征函数。

② x xe e dxd =22∴ xe 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为1。

③x x dx dx dxd sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。

④x x dx dx dxd cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x xx x x dxd x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπαψ22022),(--=，求：(1)势能的平均值2221x V μω=； (2)动能的平均值μ22p T =.解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x V x2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

量子力学讲义第三章讲义

第三章力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇，单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-，则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

第3章力学量用算符表达1

第3章力学量用算符表达
§3.1 表示力学量的算符
作用在一个函数u上得出另一个函数v ˆ ˆ 的运算符号 F ，简称为算符: Fu v 。如:
du d v, dx dx
是算符，其作用是求导数, xu=v,x是算符，
其作用是与u相乘。
ˆ 如果算符 F 作用于一个函数 ,结果等于
ˆ 乘上一个常数 : F ，则称此方程称为算符
0
( x, t )
e

2 x2 i
2
t 2
求： (1)势能的平均值
(2)动能的平均值
1 V 2 x 2 2
p2 T 2
ˆ 对于两个任意函数和 ,如果算符 F 满足
等式: ˆ ˆ ˆ ① F(c1 c 2 ) c1F c 2 F) 则称之为线性算符；
i ( Et p r )
p p ( r , t )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可见，动量的确定值的确为动量算符在其本征态中的本征值。
习题3.1 下列函数哪些是算符数，其本征值是什么？
x , e , sin x,3 cos x, sin x cos x
2 x
d2 dx 2
的本征函
量子力学中,力学量为什么要用算符表示?这是由微观粒子的波粒二象性决定的, 体现在以下几个方面: ①力学量的观测值具有不确定性,有一系列可能取值.但力学量的统计平均值是确定的, 而统计平均值的计算要用到一个新的工具 * ˆ (r , t )d 3 r —算符—来完成: F (r , t ) F
习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明理由。
d2 4x2 2 dx
2

k 1

量子力学第三章算符

第三章算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。

u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。

例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。

1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。

（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。

2．几种特殊算符（1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。

（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。

量子力学--力学量用算符表示与表象变换 ppt课件

ppt课件
﹟
4
2、算符的运算性质（1）算符相等：
若 Aˆ Bˆ
★算符的运算离不开对波函数的作用
对于任意的波函数都成立
则 Aˆ Bˆ
（特例：若I ，则I 称为单位算符）
（2）算符相加： (Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
这是算符最基本的运算。
ppt课件
5
交Байду номын сангаас律和结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ Aˆ (Bˆ Cˆ) (Aˆ Bˆ) Cˆ
用在任意波函数上，看它们是否相等。
若相等，则对易；否则，不对易。
比如将要讨论的位置算符 x 和动量算符 pˆ x 的对易关系。
ppt课件
7
因为对任意波函数ψ ：
xpˆ x
ix
d
dx
而
pˆ x x
i d dx
(x )
i( x d ) i ix d
dx
dx
那么
xpˆ x pˆ x x i
Hˆ pˆ 2 V (r) 2m
2 2 V (r) 2m
其中动量算符 pˆ i，
且
pˆ x
i x
又如前面引进的能量算符
Hˆ i 等 t
ppt课件
2
§3.1 算符的运算规则
1、算符的定义
表示运算的符号叫算符，又叫作用量
如
d， dx
，
, ( )*等
线性算符：
如果算符 Â 满足下列条件
Aˆ(c11 c2 2 ) c1Aˆ 1 c2 Aˆ 2
第三章力学量用算符表示与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理
1）微观粒子体系的状态可以用波函数来表示；
2）描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程；

第三章量子力学中的力学量

1 2πh
eipx/ h
hk E= ≥0 2m
ˆ H p H Lz与 ˆ，ˆ与 ˆ
2 2
k可续值故是续。连取， E 连的
能二简。级度并
为啥具有相同的本征态？
（5）坐标算符的本征值和本征函数）
ˆ xϕ x′ ( x) = x′ϕ x′ ( x) x′取一切实数 ϕ x′ ( x) = δ ( x − x′)
,
n = 1,2,3L l = 0,1, L n - 1 m = 0,±1 L ± l ，
二、量子力学的基本原理四
在意 ψ中 ψ = ∑anϕn 任态，
n
测量力学量A，可得到各种可能取值，可能取值必为某一本征值。
ˆ在征谱取的率 | a |2 。 A 本值中 A 几为 n n
2 2 ˆ2 ˆ = Lz = − h ∂ H 2I 2I ∂ϕ2
z
h2 ∂2 − ψ = Eψ 2 2I ∂ϕ
1 imϕ ψm(ϕ) = e 2π m2h2 Em = ≥0 2I
m = 0 ±1 ± 2 L ，，，
要求：要求：会求解
(3)求量分 px的征。动 x 量ˆ 本态
∂ −ih ψ = px'ψ ∂x
ˆz = x py − y px = −ih(x ∂ − y ∂ ) ˆ ˆ L ∂y ∂x
1 ∂ ∂2 ∂ 1 ˆ2 L = − h2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
从而有
ˆ = ihsin ϕ ∂ +cotθ cosϕ ∂ Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ihcosϕ ∂ −cotθ sin ϕ ∂ Ly ∂θ ∂ϕ ˆz = −ih ∂ L ∂ϕ

第三章力学量与算符

i H t t 0
H
U t , t0 e
力学量与算符
• • • • • 作业： 1、分析厄米算符 2、讨论幺正算符（投影算符、宇称算符） 3、算符运算的证明 4、讲课过程中的简单证明，一些概念、或是各算符的特性
力学量与算符
定义
r r
性质（1） 2 1 ，本征值为 1 ；（2）是厄米、幺正算符（3）波函数和算符按宇称分类
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
性质12完备性三宇称算符定义2是厄米幺正算符3波函数和算符按宇称分类力学量与算符4宇称算符的选择定律力学量与算符四时间演化算符不显含时间力学量与算符力学量与算符力学量与算符
力学量与算符
力学量与算符
算符的定义及运算算符的定义单位算符算符的和积转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
d
d A B A B A B d
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
Aij

第三章：量子力学中的力学量_6讲

A的平均值是实数 ˆ ψ）＝（A ˆ ψ，ψ） A A* （ψ，A
令： 1 2
ˆ ( ))＝（A ˆ ( )， ((1 2 )，A (1 2 )） 1 2 1 2 ˆ ψ )+(ψ ，A ˆ ψ )＝（A ˆ ψ ，ψ ）（ ˆ ψ ，ψ ） (ψ1，A + A 2 2 1 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ( r )A ( r ) dr A ( ,A ) A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
五、线性算符的运算 1. 算符的和：算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
2. 算符的积算符的积不一定满足交换律
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ ，称两算符对易，否则称不对易如果： [A,B]=[B,A]
px

px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
i px x 1 ( x)e dx px c( px )dpx 2
i px x 1 ( x )e px c( px )dxdpx 2 i px x 1 d ( x)(i )e c( px )dxdpx dx 2
ˆ A
厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数， ˆ 的本征值，为属于的本征函数，此方程称则称是 A ˆ 的本征值方程。全部本征值 { }是且仅是相应力学为算符 A 量A的所有可能取值（或测量值）.

算符与力学量的关系_第三章

2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
e

i pr cos
r drd cos
2 i pr
p(2a0 )
3
re
0

r a0
[e

i pr
e
]dr
8
3.6 算符与力学量的关系（续８）

a p
2 0 2
( 2a 0 ) 2
3
2 2
2
3.6 算符与力学量的关系（续２）
| Cn |2 具有概率的意义，它表示在态中测量力学量 F 得到结果是 n 本征值的几率，故 Cn 常称为概率幅
基本假设
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于波函数所描写的状态时，测量力 ˆ 学量 F 所得的数值，必定是算符 F 的本征值之一，测得值为其本征值 n 的概率是 | Cn |2

C p 与动量值 P 的大小有关，与 p的方向无关，由此得到动量的概率分布 p
W ( p) C p
2
a p
2 2 0 2
8a
3 5 0
2 4

9
3.6 算符与力学量的关系（小结）
厄米算符本征函数组成正交、归一的完全函数系
任意函数可以用这些本征函数做线性展开（态叠加原理）
① 此假设的正确性，由该理论与实验结注果符合而得到验证意 ② 一般状态中，力学量一般没有确定的数值，而是具有一系列的可能值，这些可能值就是该力学量算符的本征值，测得该可能值的概率是确定的
3
3.6 算符与力学量的关系（续３）

第三章力学量用算符表达

性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。
但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
ˆ ˆ x p p x i ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p 0
, x, y, z
量子力学中最基本的对易关系。
ˆ ˆ ˆ ˆ xp y p y x 0 yp x p x y 0 ˆ ˆ ˆ z pz x 0 ypz pz y 0 ˆ xp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p x p y p y p x 0 p y pz pz p y 0
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。例如：
动量算符单位算符
ˆ p i ˆ I
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
ˆ iLz
同理 ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
合记之： ˆ ˆ [ L , L ] i

第三章-力学量的算符表示

px能够取-~+中连续变化旳一切实数，为了拟定C，考虑积分
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并：对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交，但总能够找到正交函数。
例题对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix

第三章力学量的算符.

若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符算符求和满足交换率和结合率。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。
f
f
j , j 1,2,, f
ˆ F ˆ F A ji ni nj
f
ˆ A ji F ni
i 1
f
i 1
Fn A ji ni
i 1
f
Fn nj
算符 F 本征值 Fn简并的本质是当 Fn 确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，F 算符与这些算符对易，其本征值与 Fn 共同确定状态。
在势场中 V ( r ) 的粒子 H T V
2 ˆ T ˆ V (r ) 2 V (r ) H 2m
问题：算符、动量算符、 Hamilton算符
§3-2
算符的本征值和本征函数
ˆ F F n n n
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态，上式即是算符 F 的本征方程。求解时，ψ 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平
均值必为实数。
证：
F
ˆ d * F
ˆ ) * d ( F
ˆ ]* [ d * F
F*
逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。
定理II：厄密算符的本征值必为实。

第三章量子力学中的力学量

ˆ F(A)
∞
=∑
n=0
F
( n,m)
∞
F
( n)
(0) n!
ˆn A
∂n (n) F (x) = n F(x) ∂x
n m
ˆ ˆ ˆ ˆ 算符 A、B 的函数 F( A, B)为: ˆ ˆ F( A, B) =
n,m=0
∑
(0,0) n!m!
ˆ n Bm ；F(n,m) (x) = ∂ n ∂ m F(x, y) A ˆ
∂x ∂y
例:
将算符函数
ˆ ˆ F(H) = e
i − xt h
i ˆ − Ht h
展开成幂级数
解： F′(x) = d e
i = − te dx h i i 2 − xt − xt d i 2 h 2 h F (x) = 2 e = (− t) e dx h i i n − xt − xt d i n h n h ⋅ ⋅⋅, F (x) = dxn e = (− h t) e i n n F (0) = (− t) h
ˆ = h ∂ Px i ∂x
ˆ = − h ∂ = −P ˆ P x i ∂x
* x
r* r ˆ ˆ P = −P
~ ˆ ˆ （3）算符 F 的转置算符 F ） ~ ˆ ˆ 定义：定义： u * Fv dτ ≡ vFu * dτ ∫ ∫
~ ˆ ˆ (u, Fv) = ( v* , Fu * )
~ ∂ ∂ 性质：性质：ⅰ =− ∂x ∂x ~ ∞ ∞ ∞ ∂ * 证： * ∂ * ∞ * ∂ ∫−∞ u ∂x vdx = ∫−∞ v ∂x u dx = vu −∞ − ∫−∞ u ∂xvdx ~ ∞ ∂ ∂ * ∂ = = −∫ u vdx −∞ ∂x ∂x ∂x

第3章力学量用算符表达

证明如下:
设
Aˆn Ann,
Aˆ m Amm,
并设 m,n 存在, 对 Aˆm Amm, 取复共轭, 得到
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,* ,
,c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c22, c1* 1, c2* 2,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一种运算.例如
d ,V (r) , ,2
dx
讨论量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c22 c1Aˆ1 c2 Aˆ2
其中 1 和 2是任意两个波函数，c1 与 c2 是
F x eax, 可定义
F
d dx
a
e
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a
有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.
令
F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,
则
F ˆ, Bˆ Fn,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
r
将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：

量子物理学10-力学量的算符表示20210622(1)

⎝ H r 一、力学量的算符表示力学量的算符表示是量子力学的又一基本假设：在量子力学中，系统的任何力学量均对应一算符，力学量所能取的值是其相应算符的本征值。

例如（1）动量算符：（2）坐标算符：（3）动能算符：p r → p r ˆ = −i h ∇ r r → r r ˆ = r r（4）能量算符：E ˆk = p r ˆ ⋅ p r ˆ = 2m − h 2∇2 2mp r 2 E = 2m+U (r r ) ˆ = − h 2 ∇2 + (r ) U r（5）角动量算符： 2mr r r ˆ r r ˆ i j k L = r × p = x y z p ˆx p ˆy pˆz 一般来说，将一个算符作用在一个函数上，会将其变成另一个函数；而这里动量算符的作用结果仅仅相当于乘以一个常量。

算符作用结果相当于乘以一个常量的函数称为该算符的本征函数（eigen function ），该常量称为该算符的本征值（eigen value ）。

例如，将算符 ∂ i pxp ˆx = −i h ∂x作用于波函数ϕ(x )= e h ，则 ∂ ⎛ i px ⎞ i px p ˆx [ϕ(x )]= −i h ∂x ⎜⎜e h ⎟ = p ⋅e h ⎠= p ⋅ϕ(x )二、算符的对易性设ϕ(x )为任意波函数，将动量算符 p ˆx 作用于 x ⋅ϕ(x )，得到p ˆ [x ⋅ϕ(x )]= −i h ∂ [x ⋅ϕ(x )]= −i h ⎛1+ x ⋅ ∂ ⎞ϕ(x )= −i h ⋅ϕ(x )+ x ⋅ p ˆ ϕ(x ) x ∂x ⎜ ∂ ⎟ x⎝ x ⎠ (p ˆx x − x pˆx )ϕ(x )= −i h ⋅ϕ(x ) 位置变量 x 也可以看做是一个算符xˆ ，那么p ˆx x − x pˆx = −i h ≠ 0 可见，算符的“乘积”一般不满足交换律，或者说算符的顺序一般是不可对易的。

量子力学习题解答-第3章

* * c1 f1 + c2 f 2 g = ò ( c1 f1 + c2 f 2 ) g ( x ) dx = c1* ò f1* ( x ) g ( x ) dx + c2 ò f 2 ( x ) g ( x ) dx a a a b * b b
=c
2.
b * 1 a
ò
f
* 1
( x ) g ( x ) dx + c ò f ( x ) g ( x ) dx = c
展开系数 C ( p, t ) 称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数 C ( p, t ) 来研究这个态。 Y 的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。
ˆ 的本征态为分立谱 f 时，当力学量 F n Y = å cn f n ,
n
cn = f n Y
ˆ 表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。这个表象的波函数（展在 F ˆ 表示为一个方矩阵开系数 {c 可表示为一列矩阵，算符 G n } æ c æ G11 G12 1 ö ç c ÷ çG 22 ç 2 ÷ ç 21 G Ψ = ç M ÷ G = ç ... ... ç ÷ ç ç cn ÷ ç Gn1 ... ç M ÷ ç ... ... è ø è
2
测量力学量 Q ，得到的可能结果必是 Q 本征值中的一个，得到 q n 几率为 c n 。对系综测量力学量 Q （具有大量相同 Y 态系综中的每一个 Y 进行测量）所得的平均值（期待值）为
Q = å qn cn
n
2
ˆ Ydx 计算方法等价。这与用 Q = ò Y Q
*
ˆ 具有连续谱的本征函数系如果力学量 Q
a a

3.1 表示力学量的算符

1.算符定义 2.算符的构造 3. 算符的本征值与力学量 4. 厄密算符
1.波函数如何完全地描述一个量子态？波函数量子态粒子的物理量的几率分布粒子的物理量的平均值实验测量结果
2.那么给了波函数之后怎么算平均值？ 3.力学量用算符表示的实质是什么？或力学量与算符的关系是什么？通过力学量用算符表示，可以算出力学量的平均值。
如果算符Ô作用于一个函数ψ ，结果等于一个常数λ乘以这个函数ψ
Ôψ=λψ
则称λ为Ô的本征值，ψ为属于λ的本征函数，上式是算符Ô的本征方程。
2.算符的构造
（1）动量算符
三维动量算符 pˆ i
分量形式
pˆ x
i x
pˆ y
i y
pˆ z
i z
（2）坐标算符
rˆ r
（3）能量算符
Hˆ 2 2 V (r)
2
（4）量子力学的力学量在经典力学中有对应量将F(r, p)中的 p 换为算符 pˆ 而得出，即
Fˆ Fˆ (rˆ, pˆ) Fˆ (r,i)
例：
L
r
p
Lˆ rˆ pˆ ir
（5）量子力学的力学量在经典力学中没有有对应量
3.算符的本征值与力学量
假设：
如果算符Fˆ 表示力学量F，那么当体系处于Fˆ 的本征态Φ时，力学量F有确定值，这个值就是 Fˆ 在Φ态中的本征值λ。
Fˆ
4. 厄密算符
力学量都是实数
力学量算符的本征值是这个力学量算符的可能值
力学量算符的本征值是实数
厄密算符的定义
对于任意两个函数ψ和Φ，算符 Fˆ满足下列等式：
Fˆdx
(
Fˆ
) dx
Fˆ 就是厄密算符
证明：1.厄密算符的本征值是实数 2.坐标算符、动量算符都是厄密算符

3.1表示力学量的算符

§3.1 表示力学量的算符一、算符的定义：算符是指作用一个函数上得出另一个函数的运算符号。

v u F =表示F 把函数u 变成 v ，F就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

算符的本征值和本征函数：λψψ=F本征值方程，ψ叫本征值λ的本征函数。

二、算符的一般特性 1、算符相等若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB相等记为ˆˆA B =。

2、单位算符：对波函数运算后保持不变的算符称为单位算符。

ψψ=I (4-2)式中ψ为任意波函数，简记为I3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆAB C += (4-3)称为算符之和。

ˆˆˆˆA B B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A B C A B C ++=++4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= (4-4) ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

但算符之积的结合律仍然成立，即)()(C B A C B A =5、逆算符(1). 定义: 设Âψ=φ, 能够唯一的解出ψ，则可定义算符Â之逆Â-1为: 1ˆAφψ-= 若算符Â之逆Â-1存在，则11ˆˆˆˆAAA A I --==, 1ˆˆ[,]0AA -= (4-8) 推论1：若[]I B A=,（或[]I A B =,,则1-=A B推论2：若Â,ˆB均存在逆算符, 则)(B A的逆算符也存在，且 111ˆˆˆˆ()ABB A ---= (4-9) 证明：因为Â,ˆB均存在逆算符，则 I A A A I A A B B A A B B A====------111111)())((6、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ (4-1) 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

第三章力学量的算符表示

第3章 力学量用算符表达：习题解答

量子力学讲义第三章讲义

第3章 力学量用算符表达1

量子力学第三章算符

量子力学--力学量用算符表示与表象变换 ppt课件

第三章 量子力学中的力学量

第三章 力学量与算符

第三章：量子力学中的力学量_6讲

算符与力学量的关系_第三章

第三章力学量用算符表达

第三章-力学量的算符表示

第三章 力学量的算符.

第三章 量子力学中的力学量

第3章 力学量用算符表达

量子物理学10-力学量的算符表示20210622(1)

量子力学习题解答-第3章

3.1 表示力学量的算符

3.1表示力学量的算符

第3章力学量用算符表达：习题解答

第3章力学量用算符表达1

第三章量子力学中的力学量

第三章力学量与算符

第三章力学量的算符.

第三章量子力学中的力学量

第3章力学量用算符表达