条件概率与事件的独立性

条件概率与事件的独立性

1． 条件概率及其性质

（1）条件概率的定义：设A 、B 为两个事件，且P(A)>0，称P(A|B)= 为在 发生的条件下， 发生的概率。

2．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做 .

若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立. 3．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 4．互斥事件与相互独立事件是有区别的：

互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。

如果A 、B 相互独立，则P （A +B ）=P （A ）+P （B ）-P （A ⋅B ）

如:某人射击一次命中的概率是0.9,射击两次,互不影响,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.9×0.9=0.99,(也即1-0.1×0.1=0.99) 5．独立重复试验

（1）独立重复试验的定义： （2）n 次独立重复试验的概率公式：

三、基础再现

1.一学生通过英语听力测试的概率是2

1

，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率是

（ ）

A.

41 B. 31 C. 21 D. 4

3

2．已知,53

)(,103)(==A P AB P 则)|(A B P 等于 （ ）

A. 50

9 B. 21 C. 109 D. 41

3．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ）

A ．

125

81

B ．

125

54 C ．

125

36 D ．

125

27 4．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( ) A. p 1p 2 B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1） C.1－p 1p 2

D.1－（1－p 1）（1－p 2） 5.（浙江）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( )

(A) 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648 6．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为3

1

，丙生解出它的概率为

4

1

，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______.

四、典例示范

例1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现在从中不放回的取两次，每次任取一件，试求：（1）第一次取到不合格品的概率；

（2）在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.

【例2】（四川卷18）． 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

例3.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

1

3

，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率.

五、知能迁移

1．在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是 （ ）

A.0.12

B.0.88

C.0.28

D.0.42 2.位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位移动的方向为向上或向右，并且向上和向右移动的概率都为2

1

，质点P 移动5次后位于（2，3）的概率是（ ）

A. 5)21(

B. 525)21(C

C. 325)21(C

D. 53525)2

1(C C

3．一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件

是相互独立的，并且概率都是3

1

.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率

是________.

4.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为5

3

，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.

5. 甲、乙、丙三人射击命中目标的概率分别为0.5,0.25,0.125,现三人同时射击一目标,则目标被命中的概率为________.

6（湖南卷16） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是

1

2

，且面试是否合格互不影响.求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数 的分布列和数学期望.

7．栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．

的概率．

8（湖南）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．