配方法与正定二次型解
二次型化为标准形的几种方法
二次型化为标准形的几种方法2015届本科毕业论文题目：二次型化为标准型方法所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：赵江南指导教师：艾合买提答辩日期：2015年5月5日目录1 引言................................................ 错误!未定义书签。
2 关于二次型定义...................................... 错误!未定义书签。
3 二次型化为标准型的方法 (1)3.1 正交变换法 (1)3.2. 配方法 (3)3.3. 初等变换法 (5)3.4. 雅可比方法 (7)3.5. 偏导数法 (8)4. 小结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)二次型化为标准形的几种方法摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。
这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。
正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。
其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。
关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observedto formula.Key words: orthogonal transform method ; match method ;elementary transformation; jacobian method ;partial derivative method易见矩阵的初等保号变换不改变二次型的正定性，负定性，半正定型，半负定性.引理1 非退化线性替换不改变实二次型的负定，正定，半正定，半负定，不定. 证明 设),,,(21n x x x g =AX X '是负定二次型，并且CY X = (0≠C ) 是非退化线性替换.),,,(21n x x x g =AX X '，BY Y y y y f n '=),,(21 )(AC C B '=，并且对任意nn R k k k ∈≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡021 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n k k k C c c c 2121，结果0),,,(),,(2121<=n n c c c g k k k f ，即),,(21n y y y f 是负定二次型.反之设),,(21n y y y f 是负定：AX X x x x g X C Y BY Y y y y f n n '=='=-),,(),,,(21121 其中011≠=-CC于是得到),,,(21n x x x g X AX '=是负定的，也就是非退化线性替换不会改变正定二次型的负定性. 同理，非退化线行替换不改变正定二次型的半负定、半正定性、和不定性。
6_2 配方法化二次型为标准形
②将x1, x2,…, xn正交化标准 化为h1, h2,…, hn，令 P=(h1, h2,…, hn), 仍有 P -1AP= 正交必无关 , 即有 P TAP= 因为PT=P -1.
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作业：
P128页 习题四 8， 9
《线性代数》
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现将X=PY代入二次型，得
f ( X ) X T AX
X PY
( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
d1 0 0 y1 0 d 0 y2 2 T yn Y Y , 0 0 d y n n
2
(1)就是相应的满秩线性变换，其中的 满秩方阵 P 为
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P 0 0
1 0
结束
2 3 1
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
解：f 中不含变量的平方项，但f 中含乘积项x1x2，为使f 出现平 方项可作下列变换：
上式右端除第一外，已不再含x1 ，继续对x２配方得： 4 2 y1 x1 x2 x3 f 2( x1 x2 x3 ) 2 3( x2 x2 x3 ) 3 x3 3 2 2 2 5 2 令 y2 x2 x3 2 3 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 x3 y3
第 6章
二次型
一、二次型与二次型的化简 *二、配方法化二次型为标准形 *三、合同变换法化二次型为标准形 四、正交变换化二次型为标准形 五、惯性定律与正定二次型
正定二次型
正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。
正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。
设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。
如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。
二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。
2. 正定二次型的特征值全为正数。
设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。
由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。
因此，正定二次型的特征值全为正数。
3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
正定二次型可以通过配方法化简为标准型。
化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。
正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
4. 正定二次型的零空间只包含零向量。
设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。
三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。
1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。
对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。
通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。
2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。
协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。
正定二次型
x
T
Ax为 正 定 的 充 分 必 要 条 是 件:
n
它的标准形的 n个 系 数 全 为 正 .
证明
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0,
则 y C x 0,
-1
2 f x f Cy k y 设可逆变换x Cy使 i i. i 1
x Cy 及 x Pz 使 及
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
k i 0, i 0,
则 k1 , , k r 中 正 数 的 个 数 与 1 , , r中 正 数 的 个 数 相 等 .
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理．
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵 , 则AT , A1 , A均为正定矩阵 ;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵 , 则A B也是正定矩阵 .
2 2 2 例1 二次型 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
判定该二次型是否正定. 解
2 4 5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 1 2 , 4 2 5
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定义1 在二次型 f 的标准型中，正系数的个数 p 称为 f 的正 惯性指数；负系数的个数 q 称为 f 的负惯性指数。 设二次型 f 的标准型为 2 2 2 2 f d1 y1 d2 y2 d p y 2 d y d y p p1 p1 p q p q ,
第三节 正定二次型
任意二次型f X T AX总可以经可逆线性变换X CY 化为标准形
f 1 y12 L n yn2.
其中非零项的项数是确定的，等于二次型矩阵A的秩．
定义 二次型f 的矩阵的秩称为二次型f 的秩．
设实二次型f X T AX的秩为r,则存在可逆线性变换X CY ,
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 t 取何值时 , 二次型
f x2 y2 5z2 2txy 2xz 4 yz
解
正定? f的矩阵为
1 A t
t 1 1 2 ,
1 2 5
由 a11 1 0, 1 t 1 t 2 0, 1 t 1 t 1
A t 1 2 5t 2 4t 0, 解得 4 t 0 . 5
型,并称对称矩阵A是正定的;如果对任何 0都有
f (x) 0,则称 f 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定的.
例如 f x2 4 y2 16z2 为正定二次型
f x12 3x22
为负定二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理7.3.1实二次型 f X T AX 为正定的充要条件
是 : 它的标准形的n个系数全为正 , 即它的正惯 性指数等于 n .
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
作业 P141 5(1),(3),6,7
思考题
设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 矩阵C A 0 是否为正定矩阵.
0 B
思考题解答
解 C是正定的. 因为,设Z (xT , yT )T 为m n维向量,其中x, y分
东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型
教学基本要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同变换和合同矩阵的概念.3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.4.了解惯性定理.5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.第六章二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.一、二次型与合同变换1. 二次型n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2+2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1)以下仅考虑n元实二次型.设11121n112222n21n2n nn na a a xa a a xA,xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2)式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.例6.1(例6.1 P 132)二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132)由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.定义6.2 仅含平方项的二次型f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3)称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132)标准形的矩阵是对角矩阵.二次型有下面的结论：定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为T T x CyB C ACTT A B C AC C 0R(A)R(B)f x Axfy By ==↔=≠=⇒==⇐.2. 合同变换在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133)矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P 134)A 与B 合同 ⇔∃可逆矩阵C ，∂B=C T AC A 与B 等价 ⇔∃可逆矩阵P ,Q ，∂B=PAQ(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P 137)正交矩阵Q ，∂Q -1AQ= Q T AQ=B ⇒ A 与B 既相似又合同合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.x Cy TT TT C 0T C 0f x Ax y C ACy y ByA C AC B=∆≠≠===⇔=如果B 是对角矩阵，则称f=y T B y 是f=x T A x 的标准形.二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理由第五章第三节知：对于实对称阵A ，存在正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵(对角线上的元素为A 的n 个特征值).因此，二次型f=x T A x 经正交变换x =Q y 就能化为标准形f=y T (Q T AQ)y =y T (Q -1AQ)y .定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P 134)推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P 137)推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P 137)正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.2.用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型f=x T A x 为标准形的过程与将实对称阵A 正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：(1)求出A 的全部互异特征值λ1,λ2…,λs ；(2)求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关特征向量)； (3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n 个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn ； (4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn )，正交相似变换x =Q y 把二次型f=x T A x 变为标准形f=y T (Q T AQ)y .例6.2(例6.2 P 134) 例6.3(例6.3 P 135)三、用配方法化二次型为标准除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.例6.4(例6.4 P 139) 例6.5(例6.5 P 139)总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形： (1)二次型中含有平方项例如，若二次型中含有平方项a 11x 12，则把所有含x 1的项集中起来配方，接下来考虑a 22x 22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.(2)二次型中不含平方项，只有混合项例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a 12x 1 x 2，则令112212ii x y y ,x y y ,x y ,i 3,...,n.=+⎧⎪=-⎨⎪==⎩ 那么关于变量y 1,y 2,…,y n 的二次型中就有了平方项，然后回到(1).四、正定二次型 1. 惯性定理虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.定理6.3(惯性定理) 设实二次型f=x T A x 的秩为r ，且在不同的可逆线性变换x =C y 和x =D y 下的标准形分别为f=λ1y 12+λ2y 22+…+λr y r 2, λi ≠0，f=μ1y 12+μ2y 22+…+μr y r 2, μi ≠0，则λ1,λ2…,λr 与μ1,μ2…,μr 中正数的个数相同. (定理6.3 P 142)定义6.4 二次型f 的标准形中的正(负)系数的个数称为f 的正(负)惯性指数. (定义6.5 P 143)惯性定理指出，可逆变换不改变惯性指数.推论 n 阶实对称阵A 与B 合同的充分必要条件是A 与B 有相同的正惯性指数和负惯性指数. (推论 P 143)正惯性指数+负惯性指数=R(A). 正惯性指数=正特征值的个数， 负惯性指数=负特征值的个数.2. 二次型的分类二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义6.6-6.7 P 143)f f f f f /A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A x 0,f (x)0y 0,f (y)0⎧⇔>∀≠>⎪⇔≥∀≠≥⎪⎪⇔<∀≠<⎨⎪⇔≤∀≠≤⎪⎪⇔∃≠∂>∃≠∂<⎩正定正定记作半正定半正定记作负定负定记作半负定半负定记作不定且由此，根据惯性定理可知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.3.正定二次型(正定矩阵)的判定定理6.4 n 元实二次型f=x T A x 为正定(负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数等于n . (定理6.4 P 143)定理6.5 n 元实二次型f=x T A x 为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数小于n ，且负(正)惯性指数为0. (推论1 P 143)推论2 n 阶实对称阵A 正定(负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值全是正数(负数)；A 半正定(半负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值为不全为正数(负数)的非负数(非正数). (推论2 P 143)例6.6(例6.6 P 143) 例6.7(例6.7 P 144) 例6.8(例6.8 P 144) 例6.9(例6.9 P 144)定义6.4 设A=(a ij )n ，则行列式11121k 12222k k k1k2kka a a a a a D (k 1,2,,n)a a a ==称为A 的k 阶顺序主子式. (定义6.8 P 144)定理6.6 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零；A 负定的充分必要条件是A 的所有顺序主子式中奇数阶的小于零而偶数阶的大于零. (定理6.5 P 144)例6.10(例6.10 P 145)五、二次型应用[实例6-1] 二次曲面图形的判定六、习题(P 148) 选择题：1.提示：110.5A 11000.50.50.51-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⇒|1|=1>0, 119901100=>, 100A 199100.51 1.25=<-- ⇒ 选D2.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32-2x 1x 2+2x 2x 3 =(x 1-x 2)2+(x 2+x 3)2+2x 32⇒ 正惯性指数为3，故选A3.提示：方法一 特征值为2,-1,-1，故选C.方法二 011A 101110⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⇒ |0|=0，排除A,B011010=-<, |A|=2>0，排除D ⇒ 选C4. B填空题：1.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+8x 1x 3-2x 2x 3.2. 1200221001300000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 错误的解答：120221012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.提示：323221r r r r 2r r211211211A 121033033112033000-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ 秩为2错误的解答：正惯性指数为3，故秩为3. 事实上，线性变换y1= x1+x2, y2= x2-x3, y3= x1+x3不可逆，故R(f)<3.4.提示：A可逆、对称⇒A-1=(A-1)T AA-1⇒x=A-1y.5.提示：tE-A的特征值为t-1, t-2,…, t-n ⇒t >n.6.提示：方法一a22A2a222a⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭与6⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似⇒3a=6 ⇒a=2方法二f(y1,y2,y3) =6y12⇒A有2个0特征值⇒R(A)=1 ⇒a=2方法三f(y1,y2,y3)=6y12⇒A的特征值为6,0,0二次型的特征值为a+4, a-2, a-2 ⇒a+4=0, a-2=0 ⇒a=27.提示：A的各行元素之和为3 ⇒A(1,1,…,1)T=3(1,1,…,1)TR(f)=1 ⇒3是A的唯一非零特征值⇒标准形为f(y1,y2,y3)=3y12或f(y1,y2,y3)=3y22或f(y1,y2,y3)=3y32解答题：1.参见P134-135的例6.2、例6.32.参见P139的例6.4、例6.53.参见P145的例6.104.(1)521A21111t-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭|5|=5>0,521021=>,101A211t2010t1=-=->-⇒t>2(2)1t 1A t 12125-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭|1|=1>0,21t1t 0t 1=->, 2A 5t 4t 0=--> ⇒ -4/5<t<05.提示：f=x T A x =x T U T U x =|U x |2≥0.因为U 可逆，故当x ≠ο时，U x ≠ο，从而f=|U x |2>0，所以f 为正定二次型(A=U T U 是正定矩阵).6.提示：因为A 正定，故存在正交矩阵Q 和正定对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn )，使A=QDQ T .令D 1=diag(12n ,,...,λλλ)，则A=QDQ T = QD 1D 1T Q T =U T U ，其中U=(QD 1)T .5、6两题表明A 是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵U 使A=U T U .7.提示：设对称矩阵A 与矩阵B 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=B. B T =(C T AC)T =C T AC=B ，所以与对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵.8.提示：方法一 矩阵A 与矩阵-A 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=-A .从而|C T AC|=|-A| ⇒ |C|2·|A|=(-1)n |A| ⇒ |A|(|C|2-(-1)n )=0A ⇒可逆|C|2=(-1)nC ⇒可逆|C|2>0，故n 为偶数方法二 A 的正惯性指数= -A 的负惯性指数A 的负惯性指数= -A 的正惯性指数 A 与-A 合同⇒ A 与-A 有相同的正惯性指数和负惯性指数 ⇒ A 的正惯性指数= A 的负惯性指数 ⇒ n 为偶数9.提示：513153 A153023 33k00k3---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为R(A)=2，所以k=3.(或由R(A)=2，有|A|=0，得k=3.) 余下略.10.提示：20003a0a3⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与125⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似a02200103a29a5a2 0a35>⇒=⇒-=⇒=余下略.11. 提示：1b1b a1111⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与14⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似2a51b1a3b a1b1 111+=⎧⎪=⎧⎪⇒=⇒⎨⎨=⎩⎪⎪⎩余下略.12.提示：(1)A的特征值为1,1,0，Q的第3列是属于0的特征向量，1的特征向量与其正交，易知为(√2/2,0,-√2/2)T和(0,1,0)T，是Q的前两列.于是A=Qdiag(1,1,0)Q T=….(2)A+E的特征值为2,2,1，所以A+E为正定矩阵.13.提示：(1)a01E A0a111(a1)λ--λ-=λ--λ--222a 11(a)01110(a 1)a 12(a)01010(a 1)a2(a)1(a 1)(a)((2a 1)a a 2)(a)((2a 1)(a 2)(a 1))(a)((a 2))((a 1))λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--=λ-λ--λ+--=λ-λ--λ+-+=λ-λ--λ-+ A 的特征值为a-2,a,a+1.(2)二次型f 的规范形为f(y 1,y 2,y 3)=y 12+y 22，所以A 有2个正特征值，一个0特征值.由于a-2<a<a+1，所以a-2=0，故a=2.14.提示：A 正定 ⇔ A 的任意特征值λ>0 ⇒ |A|>0⇒ A -1的任意特征值1/λ>0 ⇒ A -1正定A*的任意特征值|A|/λ>0 ⇒ A*正定15.提示：∀x ≠ο，x T (A+B)x =x T A x +x T B x >0 ⇒ A+B 正定16.提示：A 与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn ) (λ1≥λ2≥…≥λn )相似⇔ ∃正交矩阵Q ，∂Q AQ=diag(λ1,λ2,…,λn )ny Qx T T2i i i 1n n 22i i 1i i n x 1y 1x 1y 1i 1i 1f x Ax y Dy y max f max y ,min f min y ========⇒===λ⇒=λ≤λ=λ≥λ∑∑∑ 当分别取T1y e =和T n y e =时，得1n x 1x 1max f ,min f ===λ=λ.17.提示：设λ是A 的特征值，则λ3+λ2+λ-3=0，λ的值为1或复数. 因为A 是实对称矩阵，所以A 的特征值全为1，因此A 为正定矩阵.18.提示：A,B 实对称 ⇒ A,B 的特征值都是实数A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b⇒ A-aE 和B-bE 正定 (若λ是A 的特征值，则λ-a 是A-aE 的特征值)15⇒第题 (A-aE)+(B-bE)正定，即A+B-(a+b)E 正定⇒ A+B 的特征值都大于a+b.19.提示：必要性 设R(A)=n ，令B=A ，则AB+B T A=2A 2为正定矩阵.充分性 设AB+B T A 是正定矩阵，若R(A)<n ，那么A x =ο有非零解y . 因此，y T (AB+B T A)y =(A y )T By+ y T B T (A y )=ο，这与AB+B T A 正定矛盾，所以R(A)=n.20.提示：考虑二次型g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz ，由于202E A 040(1)(4)(6)205λ-λ-=λ-=λ-λ-λ-λ-，⇒ A 的特征值全为正数⇒ g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz 是椭球曲面⇒ f(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz+2x-4y+1是椭球曲面附加题：1.设A 为m 阶正定矩阵，B 为m×n 实矩阵，证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件为R(B)=n .提示：B T AB 正定⇔ ∀x ≠ο, x T B T AB x =(B x )T A(B x )>0⇔ ∀x ≠ο，有B x ≠ο⇔ B x =ο只有零解⇔ R(B)=n七、计算实践实践指导：(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.(2)了解实二次型的标准形式及其求法.(3)了解合同变换和合同矩阵的概念.(4)了解惯性定理和实二次型的规范形.(5)了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法.例6.1 设12A 21⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则在实数域上与A 合同的矩阵为[D ]. (A)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (C)2112⎛⎫ ⎪⎝⎭; (D)1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.(2008 数二 三 四)提示：合同的矩阵有相同的秩，有相同的规范形，从而有相同的正惯性指数与负惯性指数.故选D .例6.2 已知二次型f(x 1,x 2,x 3)=(1-a)x 12+(1-a)x 22+2x 32+2(1+a)x 1x 2的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x =Q y ，把f 化成标准形；(3)求方程f(x 1,x 2,x 3)=0的解. (2005 数一)解 (1) 1a 1a 0220A 1a 1a 01a 1a 0002002-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-→+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R (A )2=⇒1+a=1-a ⇒ a=0(2) 略.(3) f(x 1,x 2,x 3)=0⇔ (x 1+x 2)2+2x 32=0 ⇔ x 1=-x 2, x 3=0 ⇒ 解为k(-1,1,0)T , k ∈R例6.3 若二次曲面的方程x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y 12+4z 12=4，则a= 1 . (2011 数一)提示：二次型f(x,y,z)=x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz 经正交变换化为标准形f=y 12+4z 12，因此二次型矩阵1a 1A a 31111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似.所以 1a 1a 310a 1111=⇒=.例6.4 设矩阵211100A 121,B 010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B [B ].(A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)既不合同也不相似. （2007 数一）解 211E A 121121112112λ-λλλλ-=λ-=λ-λ-λ-2111030(3)003=λλ-=λλ-λ-即A 的特征值为0,3,3.故A 与B 不相似.由于A 与B 有相同的正惯性指数与负惯性指数，所以A 与B 合同.故选B .例6.5 设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面x (x y z)A y 1z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如下图，则A 的正特征值个数为[B ]. (2008 数一)(A) 0； (B) 1； (C) 2；(D)3.提示：图形是双曲抛物面，说明A 的秩为2，正惯性指数为1，所以选B.例6.6 设A 为三阶实对称矩阵, 且满足条件A 2+2A=O .已知A 的秩R(A)=2,(1)求A 的全部特征值；(2)当k 为何值时，矩阵A+kE 为正定矩阵.解 (1)设λ是A 的特征值，则λ2+2λ=0，λ=0或-2R(A)=2 ⇒ A 的特征值为0,-2,-2(2) A+kE 的特征值则为k, k-2, k-2 ⇒ 当k>2时，A+kE 为正定矩阵例6.7 设101A 020101=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B=(kE+A)2，其中k 为实数，E 为单位矩阵. 求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并问k 为何值时，B 为正定矩阵.解 A 是实对称矩阵，则kE+A 是实对称矩阵，(kE+A)2是实对称矩阵.A 与diag(0,2,2)相似⇒ kE+A 与diag(k,k+2,k+2)相似⇒ (kE+A)2与diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)相似⇒ Λ=diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)⇒ 当k ≠0且k ≠-2时，B 为正定矩阵例6.8 设A ,B 分别为m 阶和n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭的正定性. 解 ∀x ≠ο, y ≠ο，有x T A x >0, x T B x >0⇒ x ≠ο或y ≠ο，有(x T ,y T )≠ο, (x T ,y T )C ⎛⎫ ⎪⎝⎭x y =x T A x +x T B x >0 ⇒ A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭正定例6.9 设T A C D CB =⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶与n 阶对称矩阵，C 为m ⨯n 矩阵. (1) 计算P T DP ，其中1m n E A C P OE --=⎛⎫⎪⎝⎭． (2) 利用(1)的结果，判断矩阵B-C T A -1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. (2005 数三)。
正定二次型
( x1 x2 )2 x22 5 x32 4 x2 x3
( x1 x2 )2 ( x2 2 x3 )2 x32
令 y1 x1 x2
y2
x2
2 x3
为满秩变换. 得
y3 x3
f y12 y22 y32
正惯性指数p=3=n, 得 f 正定.
方法3 特征值
1 1 0
正定二次型(正定矩阵)的性质.
注意: 正定矩阵是特殊的实对称矩阵.
性质1 若A, B为同阶正定矩阵, k为正实数, 则 (1) A+B, kA仍为正定矩阵; (2) 对任意满秩矩阵C, C AC仍为正定矩阵, 即合同变换不改变正定性.
证明 (1) x(A+B)x= xAx+ xBx>0. x(kA)x=k xAx>0(k>0).
xCy
C 0Biblioteka d1y12d
p
y
2 p
d
p1
y2 p1
dr
yr2
(2)
rn.
则必存在实向量 y (0,,0, y p1 ,, yn ) 0
代入上式使 f 0.
同理由C1x=y, 对给定的y能确定唯一非零解 x ( x1, x2 ,, xn ) 使f 0.
这与f 正定矛盾, 因此 p=n.
其它类似可证.
f=xAx >0, 称f为正定二次型, 对称矩阵A称为 正定矩阵.
f= xAx <0, 称f为负定二次型, 对称矩阵A称为 负定矩阵.
f= xAx 0, 称f 为半正定二次型, A为半正定矩阵.
f= xAx 0,称f为半负定二次型, A为半负定矩阵.
若存在非零向量x1, x2, 使得f=x1Ax1>0, f=x2Ax2<0, 称 f 为不定二次型.
求二次型标准形的方法与正定二次型
2an1,n xn1 xn
ann xn2
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21
x2
x1
a22 x22
a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn )
y22 8y32
1
1 2
4
坐标变换矩阵为 C 1 1 1
0
2
0
1
CT AC D D为对角矩阵
pT m
pT 2
pT 1
Ap1 p2 pm
D
pT 1
Ap1
D1
pT 2
pT 1
Ap1
p2
ห้องสมุดไป่ตู้
D2
pT m
pT 2
pT 1
Ap1 p2
pm
D
pT m
pT 2
pT 1
E
CT
在原理上，我们也可以设计初等行变换来求二
0
r3 5r2 1
0 0
0
1 3
0
1 3
1
0
0 0
8
2
5 1
所以经过变换X PY ,所给二次型化为标准形
f
3 y12
1 3
y22
8 y32
1 1 2
其中
P
0
3
1
5
0 0 1
例2. 化二次型 f 2x1x2 2x1x3 8x2 x3 成标准形, 并求所用的变换矩阵.
解：
二次型的矩阵为A
0
1
3
2
0
0
r2
线性代数14.配方法化二次型、正定二次型
1 2
x3）2 +（2 x2
+x3）2 +（
-
52）x32
当 5， f 正定;
2
规范形为 f z12 z22 z32
当 5，f 半正定;
2
规范形为 f z12 z22
当 5， f 不定;
2
规范形为 f z12 z22 -z32
例6.3.3 设A是n阶正定矩阵, 证明A1, A, Ak (k为正整数)都是正定矩阵.
(x1 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 5x32
令： yy12
x1
2
x2 x2
2x3 x3
y3
x3
y1 1 2 2 x1
即：
y2
0
1
1
x2
y3 0 0 1 x3
x1 1 2 2 1 y1
从而： x2
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
故该实二次型的正惯性指数p 2,
负惯性指数q 0
秩r p q 2 规范形为h(z) z12 z22.
6.3 定性分类
定义6.3.1 设有二次型 f xT Ax ，其中 A 为实对称矩阵,
若对任意非零向量 x ，总有： （1）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为正定二次型， 并称 A 为正定矩阵； （2）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半正定二次型，并称 A 为半正定矩阵； （3）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为负定二次型， 并称 A 为负定矩阵； （4）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半负定二次型，并称 A 为半负定矩阵；
A正定 A的各阶顺序主子式均大于零
A负定 A的奇数阶顺序主子式均为负，
线代课件§6用配方法化二次型成标准形
4. 配方
最后，我们对每一项进行 配方，得到 $(x-g)^2 = D - g^2$，$(y-f)^2 = D f^2$ 和 $(z-h)^2 = D h^2$。
证明步骤详解
1. 引入配方法
2. 展开式子
这一步是为了将二次型转化为一个更易于处 理的形式，通过引入 $g, f, h$ 和 $D$，使得 二次型可以更容易地被配方。
证明结论总结
• 通过上述的证明过程，我们证明了二次型 $f(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2gx + 2fy + 2fz$ 可以被配方法化为标准形 $f(x,y,z) = a(x-g)^2 + b(y-f)^2 + c(z-h)^2 + D$。
05
配方法化二次型成标准形的应 用
配方法简介
01
配方法的定义：通过配方将二次型转化为完全平方的形式 ，从而将其化为标准形的方法。
02
配方法的步骤
03
1. 将二次型中的每一项写成平方项与线性项之和。
04
2. 将二次型中的平方项组合成完全平方项。
05
3. 将二次型中的线性项与完全平方项相加，得到标准形 。
06
配方法的适用范围：适用于任何实数域上的二次型，尤其 在实数域上的一元二次方程求解中有广泛应用。
理解了二次型标准形在解决实际问题 中的应用价值。
对未来研究的展望
深入研究其他化二次型为标准形 的方法，如三角分解法、正交变
换法等。
探索二次型标准形在各个领域的 应用，如物理学、工程学、经济
学等。
进一步研究二次型标准形与矩阵 理论之间的关系，以及其在矩阵 分解和特征值计算等领域的应用。
7-3正定二次型
z2 q2
zr2
则 p=q
3、规范形对应的矩阵
f y12 y22
y2p
y2 p1
y2 p2
yr2
1
p个
1
规范形的矩阵
-1
r p个.
(1) 秩为r
-1
0
n r个
0
(2) 对角阵，主对角线上的元素只能为1,0,-1
f = 2y12 - y22 - y32
f 2z12 2z22 2z32
令
w1 w2
2 y1 y2
y1
解得
y2
1 2
w1
w2
Y = CW 可逆，得标准形为f w12 w22 w32.
w3 y3
y3
w3
令
w1 w2
例2 问t满足什么条件时，二次型
f (x1, x2, x3) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2x3正定.
解：二次型f 的矩阵
1 t 1
A
t
1
2
1 2 5
A1 1 0,
1 A2 t
t 1 t2 0， 1
2、正定矩阵的判定
1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同. 证：设A为n阶实对称阵
A正定 实二次型f X T AX 正定 f 的规范形为f y12 y22 yn2. f 的规范形对应的矩阵是单位阵E A与E合同
第四节 正定二次型
方法 1
方法 2
方法 3
11
例 2 用惯性指数法判断三元二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x x x x1 x2 x2 x3
2 1 2 2 2 3
是否是正定二次型.
解法 解法 1 1 用配方法
解法 2 用初等变换法 解法 2
12
2. 顺序主子式法 有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个 二次型是否正定， 为此，引入 定义 9 子式
T T
En 1 O
令
. T T ann GG O
C = C1C2 , ann - TGGT = a ,
28
1 T . 就有 C AC 1 a
两边取行列式， | C |2 | A | = a . 由条件 | A | > 0 得 a > 0 . 这就说明，矩阵 A 与单 位矩阵合同，所以，A 是正定矩阵，或者说二次 型
5
(2) 非退化实线性变换保持正定性不变. 证明 (2) 设实二次型 f = XTAX 是正定的. 作非退化线性变换 X = CY 得二次型 f = YT( CTAC )Y . ( 因为如果 对任意的 Y0 0，相应 X0 =CY0 0， X0 = 0，则 Y0 = C-1X0 = 0 ) 于是由 f = XTAX 的正定 性， 即得 f = Y0T( CTAC )Y0 = X0TAX0 > 0 .
i 1 j 1
k
k
f (c1 , c2 , , ck ,0x1 , x2 , , xk )
是正定的.
23
因此，由 “正定矩阵的行列式大于零” fk 的矩阵的行列式
0 , k 1, , n . ak1 akk
求二次型标准形方法及正定二次型
例3. 化二次型 f 3x 2 x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
2 1
成标准形, 并求所用的变换矩阵.
3 1 1 解 二次型的矩阵为 1 0 2 1 2 0 3 0 3 1 1 1 0 0 c 1 c 2 3 1 ( AE ) 1 0 2 0 1 0 r 1 r 0 1 3 2 3 1 5 1 2 0 0 0 1 1 3
其标准形为
f z z z
2 1 2 2
2 3
13 坐标变换矩阵为 C 0 0
0 0 1 1 0 3 2 5 1 1 0 0 0 c c 2 3 0 r r 0 1 0 2 3 0 0 1 1
a11 a12 a 21 a22 x1 , x2 , , xn a n1 a n 2
a11 a12 a 21 a 22 A a n1 a n 2
a1n x1 a 2 n x 2 x a nn n
二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2 a22 x2 2a23 x2 x3
2a1n x1 xn 2a 2 n x 2 x n
矩阵P称为把 A变为B的合同变换矩阵
合同矩阵有一下性质： （1）自反性（2）对称性(3) 传递性 定理 设 P 是一个可逆矩阵,若 A 为对称矩阵, 则 B P T AP 也为对称矩阵,且 R( A) R( B)
四、配方法求二次型的标准形
第三节正定二次型
惯性定理：设有实二次型f X T AX ,它的秩为r, 它的规范形是唯一的。
f
z2 1
z2 2
z2 p
z2 p 1
z2 p2
z2 r
即r和正惯性系数p对于f都是确定的。
证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。
现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。
假设二次型可以化成两个规范形
惯性定理可表述成 设有实二次型f xT Ax,它的秩
为r , 有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
及
则k
,
1
相等.
f k1 y12 k2 y22 kr yr2
f 1z12 2 z22 r zr2
k, 中正数的个数与 ,
r
1
ki 0, i 0,
推论3. 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的特征值 全为正
推论4. 正定矩阵的行列式大于零
证明：设A为正定矩阵，则CTAC = E, 两端求行列式得：
CT A C 1,
A C 2 1
1
A C2 0
定理2 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A
的各阶顺序主子式为正，即 a11 a1n
例如 f x12 4x22 16 x32 为三元二次型，则它为正定二次型
f x12 3x22 为二元二次型，则它为负定二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理1 实二次型f X T AX为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正.
证明 设可逆变换 X CY使
f Ces k10 k2 0 ks1 kn 0 ks 0.
14第十四次课二次型及其标准形用配方法化二次型为标准形
A 5 E X 0 当 时 3 5
3 特征向量为：
1 1 1
1 1 1 6 3 2 1 1 取正交矩阵 P , , 1 1 2 3 2 6 3 0 2 1 6 3 2 2 2 f y y 5 y 化为标准形： P Y 则经正交变换 X 1 2 3
Step2：对 A 作正交相似对角化
Step3：则二次型 f X AX 经正交变换 X PY ，
T
2 2 2 y2 可化为标准形： f 1 y1 配方法化标准形
2019/2/7 17
2 n yn
作
业
习题6(A)： P 1 、 23 、 1 7 51 7 6:
提前预习 §6.3 用初等变换法化二次型为标准形
例1
用配方法化
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
为标准形。
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情形二： 若 f X T AX 中不含平方项， 但包含 xi x j 的
xi z i z j 交叉项， 则先作可逆变换： x j zi z j 构造出 x k z k k i , j;
2019/2/7 7
称为二次型的标准形。 d1
dn
y1 y 2 yn
X A XP P Y Y A 则： f
T T
x1 p11 y1 p12 y2 x p y p y 2 21 1 22 2 xn pn1 y1 pn2 y2 即： x1 p11 p12 x p p22 2 21 xn pn1 pn2
正定二次型的判定方法
正定二次型的判定方法首先，介绍一下什么是正定二次型。
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，其中A为n阶对称矩阵。
这意味着二次型的值对于所有非零向量都是正的，反之，若存在一些非零向量使得二次型的值为负或0，则称为负定二次型或半定二次型。
接下来，我们来介绍正定二次型的判定方法，包括特征值法、配方法、主元法等。
1.特征值法：特征值法是判定二次型正定性的重要方法。
首先求矩阵A的特征值λi及其对应的特征向量xi，然后判断特征值是否全部大于0。
如果全部大于0，则二次型是正定的；如果有一个特征值小于等于0，则二次型不是正定的。
2.配方法：配方法是判定二次型正定性的常用方法。
对于n阶矩阵A，通过对A进行合同变换，将A化为对角矩阵D，即D=P^TAP，其中P为可逆矩阵，D为对角矩阵。
若D的对角元素d1, d2, ..., dn全大于0，则二次型是正定的。
否则，若存在一些对角元素di小于等于0，则二次型不是正定的。
3.主元法：主元法也是一种常用的判定正定二次型的方法。
将n阶对称矩阵A化为标准型，即E=T^TAT，其中E为对角矩阵，T为可逆矩阵。
对于标准型E，若E的主对角线元素全大于0，则二次型是正定的。
若存在一些主对角线元素小于等于0，则二次型不是正定的。
4.结构法：结构法是一种基于矩阵A的结构特点进行判定的方法。
对于n阶对称矩阵A，若存在n个线性无关的向量，将其拼接为矩阵B，即B=[b1,b2, ..., bn]，且满足B^TAB是对角矩阵，则二次型是正定的。
否则，二次型不是正定的。
以上是常见的几种判定正定二次型的方法，下面我们通过一个具体的例子来演示这些方法。
设二次型Q(x)=x^TAx=x1^2+4x1x2+3x2^2，其中A是2阶对称矩阵。
我们通过以上方法来判定二次型的正定性。
1.特征值法：求矩阵A的特征值λi及其对应的特征向量xi，有：1-lambda, 22, 3-lambda解特征方程det(A-lambdaI)=0，得到特征值为λ1=4和λ2=0。
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第十五讲：配方法与正定二次型
T f x x Ax , 如果对任何 x 0 ， 定义9 设有实二次型 则称 f 为正定二次型， 都有 f x >0 （显然 f (0) = 0），
2.正定二次型的定义：
f x 0 则称为负定二次型,
并称对称矩阵 A 是正定的； 如果对任何 x 0 ，都有 并称对称矩阵 A 是负定的.
2
பைடு நூலகம்
令 y y
1
x1 x2 x3 x2 2 x3 x1 y1 y2 y3 y x x x
2 2
2
3
x2 2 x3
x3
1
2
3
即
x 2 y2 2 y3 x 3 y3
第十五讲：配方法与正定二次型
就把 f 化成标准形
2 x1 x2 2 x3 2 x2 x3 9 x3 2 2
x
1
x2 2 x3
2
4 x 4 x2 x3 8 x
2 2
2 3
令
第十五讲：配方法与正定二次型 1 5 y1 x1 x2 2 x3 x1 y1 2 y2 2 y3 1 1 y2 2 x2 x3 即 x2 y2 y3 2 2 y3 x3 x3 y3
f x 5 x 4 x 2 x1 x2 4 x1 x3
2 1 2 2 2 3
成标准型，并求所用的变换矩阵.
2 2 f x12 5 x2 4 x3 2 x1 x2 4 x1 x3
x 2 x1 ( x2 2 x3 ) 5 x 4 x
2 1 2 2
1 P 0 0 1 2 1 2 0 5 2 1 2 1
( P 0)
标准型为:
2 2 f y12 y2 9 y3
第十五讲：配方法与正定二次型
例2 化二次型
2 2 f x12 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 1 2
2 3
2
2 2 [ x 2 x1 ( x2 2 x3 ) x2 2 x3 ] x2 2 x3 5 x2 4 x3
2 2 x1 x2 2 x3 [2 x2 2( 2 x2 ) x3 x3 ] 9 x3 2 2
x Cy
及
x Pz
2 f k1 y12 k2 y2 kr yr2
2 f 1 z12 2 z2 r zr2
k 0 0
i
i
则 k1 , k2 ,, kr中正数的个数与1 , 2 ,, r中正数的个数相等. 这个定理称为惯性定理. 标准化后正系数的个数 称为正惯性指数，记为 p
负（含零）系数的个数 称为负惯性指数
第十五讲：配方法与正定二次型 该定理说明了： （1）二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所
含的项数是确定的（即是二次型的秩）。 （2）在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个 数（即正惯性指数）是不变的，同理，负惯性指数也 不变 （3）在二次型标准化的各类变换中，通过练习已知， 一种典型的变换是正交变换，变换后标准型的系数恰好 是特征值。根据惯性定理，所有特征值中，正特征值的 个数等于正惯性指数，负（含零）特征值个数等于负惯 性指数
所用变换矩阵为
f y y
2 1
2 2
1 1 1 P 0 1 2 , 0 0 1
（|P|=1≠0）
第十五讲：配方法与正定二次型
二、正定二次型的概念 1.惯性定理： 定理11 设有实二次型 f xT Ax , 它的秩为 r ，有两个实可逆 变换 使 及
第十五讲：配方法与正定二次型
班级： 时间： 年 月 日；星期
教学目的
掌握二次型及标准型定义，掌握二次型的矩阵表 达式，理解合同矩阵定义与性质，理解二次型化 成标准型的基本原理和方法，会用配方法化二次 型为标准型
二次型化成标准型 同上 讲练结合 对称矩阵对角化方法－二次型及矩阵形式－标准 型、合同矩阵与性质－化标准型的基本方法－练 习－配方法练习 复习对称矩阵对角化方法：15分钟；二次型概念： 15分钟；合同矩阵及性质：30分钟；二次型化标 准型方法：35分钟；机动：5分钟
成标准型，并求所用的变换矩阵. 解
2 2 f x12 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3
x1 x2 x3
2
2 2 2 2 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3
x1 x2 x3 x22 4 x32 4 x2 x3
三、正定二次型的判定方法： 1.标准型系数法： 定理12 实二次型f x T Ax 正定的充分必要条件是：它的标 准形的 n 个系数全为正.
第十五讲：配方法与正定二次型
2.特征值判定方法 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的 推论 特征值全为正 分析：由于二次型可合同为标准型，标准型的系数即组成 了对角矩阵，主对角线的元素是由特征值构成的，所以特 征值即标准型系数，由以上定理即可得出结论。 3.主子式判定方法： （1）什么是主子式 沿主对角线，从 a11开始，依次计算的 1、 2、 n阶行列式 a11 a12 a1 n a11 a12 a21 a22 a2 n a11 a11 , a21 a22
作业
练习册
第39 页－41页
重点 难点 讲授方法
讲授内容 主线
时间安排
第10题 至 第13题
第十五讲：配方法与正定二次型
本次课讲完大纲规定全部内容， 下次课进行全书总结并讲授一套模拟 训练题 本次上课交作业P49—P50,T20可暂不 做，课堂上讲
第十五讲：配方法与正定二次型
一、配方法化标准型
例1 解: 化二次型