翻折专题

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1.（本小题10分）（Ⅰ）如图1，在平面直角坐标系中，将矩形纸片的顶点与原点O重合，边放在轴的正半轴上，边放在y轴的正半轴上，

．将纸片折叠，使点落在边上的点处，过点作⊥于点，折痕所在直线与直线相交于点P，连结OP．求证：四边形

是菱形；

（Ⅱ）设点P坐标是，点P的轨迹称为折叠曲线，求与的函数关系式（用含

的代数式表示）；

（Ⅲ）将矩形纸片如图2放置，，，将纸片折叠，当点与点

重合时，折痕与的延长线交于点．试问在这条折叠曲线上是否存在点，使得△K CF 的面积是△KOC面积的，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案（Ⅰ）由题意知OM=ME,∠OMN=∠EMN,

∵OM∥EP,∴∠OMN=∠MPE.∴∠EMN=∠MPE.∴ME= EP.∴OM= EP.∴四边形OMEP是平行四边形.

又∵ME= EP, ∴四边形OMEP是菱形.

（Ⅱ）∵四边形OMEP是菱形, ∴OP=PE∴，∵EQ=OA=m,PQ=y,

∴PE=m－y. ∴.

∵∴

∴.

（Ⅲ）假设折叠曲线上存在点K满足条件.

当.作KG⊥DC于G, KH⊥OC于H.设K(x,y),则

.当. ∴F(12,－5) ∴ CF=

5.

∵, ∴=×，∴. 7’

∴K().∵点K在上, ∴=.化简得:

解得:

当时，.∴存在点K(，).

2.如图，将一个正方形纸片AOCD，放置在平面直角坐标系中，点A（0，4），点O（0，0），点D在第一象限．点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点O落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接OP，O H．设P点的横坐标为m．

（Ⅰ）若∠APO=60°，求∠OPG的大小；

（Ⅱ）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长l是否发生变化？若变化，用含m的式子表示l；若不变化，求出周长l；

（Ⅲ）设四边形EFGP的面积为S，当S取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

答案详解【解答】解：（1）∵正方形纸片折叠，使点O落在点P处，点C落在点G处，∴∠POC=∠OPG，

∵四边形AOCD是正方形，∴AD∥OC∴∠APO=∠POC∴∠APO=∠OPG，

∵∠APO=60°，∴∠OPG=60°，

（2）△PDH的周长不发生变化，理由：如图，过B作OQ⊥PG，垂足为Q．

∴∠DAO=90°，∴∠DAO=∠PQO=90°，由（1）知，∠APO=∠OPG，∵OP=OP，

∴△AOP≌△QOP，∴AP=QP，AO=QO，∵AO=OC，∴OC=OQ，∵∠OCD=∠OQH=90°，OH=OH，∴Rt△OCH≌Rt△OQH，∴CH=QH，∴△PDH的周长l=PD+DH+PH=PD+DH+P Q+QH

=PD+PQ+DH+QH=PD+AP+DH+CH=AD+CD=8，

∴△PDH的周长不发生变化，周长为定值8；

（3）如图2，过点F作FM⊥OA，

由折叠知，△EON与△EPN关于直线EF对称，∴△EON≌△EPN，∴ON=PN，EP=EO，E N⊥PO，∵∠A=∠ENO，∠AON=∠AOP，∴△EON∽△POA，∴①，

设AP=x，∵点A（0，4），∴OA=4，∴OP==，

∴ON=OP=，将OP，ON代入①式得，OE=PE=（16+x2），

∵∠EFM+∠OEN=90°，∠AOP+∠OEN=90°，∴∠EFM=∠AOP，

在Rt△EFM和Rt△POA中，，

∴Rt△EFM≌Rt△POA（ASA），∴EM=AP=x．∴FG=CF=OM=OE﹣EM=（16+x2）﹣x =x2﹣x+2，

=S梯形OCFE=（FG+OE）×BC=【x2﹣x+2+（16+x2）】×4=（x﹣2）2+∴S

梯形EFGP

6，

∴当x=2时，S

最小，最小值是6，∴AP=2，∴P（2，4）．

梯形EFGP

3..已知点，点为直线上的动点，设。

（1）如图1，若点且，，求与之间的函数关系式。

（2）在（1）的条件下，是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。（3）如图2，当点的坐标为时，在轴上另取两点，，且。线段在轴上平移，线段平移至何处时，四边形的周长最小？求出此时点的坐标。

答案详解

解：（1）如图1所示，过点作轴于点。因为，所以

，。因为，

所以，，所以，又因为，所以，所以，即，故（）。

（2）因为二次函数对称轴为：，所以根据二次函数图象的性质，时有

最大值，此时。

（3）如图2所示，过点作轴，令，连接，作点关于轴对称的点，当、、三点共线时，最小，又因为、为定值，所以此时四边形的周

长最小，因为，，设直线的解析式为：，所以将，代入，可得：

，解得：，所以，因为点为直线与轴交点，所以点坐标为。

4.如图①,在矩形ABCD中, , ,将矩形折叠,使B落在边(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或者边(含端点)交于点F,然后展开铺平,则以B、E、F

为顶点的称为矩形ABCD的“折痕三角形”

(Ⅰ)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕”是一个三角形;

(Ⅱ)如图②,当“折痕”的顶点E位于AD的中点时,求出点F的坐标;

(Ⅲ)如图③,在矩形ABCD中,该矩形是否存在面积最大的“折痕”?若存在,请求出此最大面积,并求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.

答案

解:(I)由折叠的定义可以知道,为矩形ABCD的“折痕三角形”时,, 是等腰三角形. 因此，本题正确答案是:等腰;

如图②所示, 折痕垂直平分BE,,

点A在BE的垂直平分线上,即折痕经过点A, 四边形ABEF为正方

形, ,

点F的坐标为;

矩形ABCD存在面积最大的折痕

,