《选修不等式选讲》知识点详解+例题+习题含详细答案

选修4－5不等式选讲

最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．

1．含有绝对值的不等式的解法

(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；

(2)|f(x)|0)⇔－a

(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

2．含有绝对值的不等式的性质

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？

提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

3．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a、b为正数，则a＋b

2≥ab，当且仅当a＝b

时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则

a＋b＋c

3≥

3

abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数，则

a1＋a2＋…＋a n

n≥

n

a1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式

(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

(2)若a i，b i(i∈N*)为实数，则(∑

i＝1

n

a2i)(∑

i＝1

n

b2i)≥(∑

i＝1

n

a i

b i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．

(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．()

(2)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()

(3)|ax＋b|≤c(c>0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.()

(4)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为Ø.()

(5)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.()

[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)√

2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )

A ．{x |0

B ．{x |1

C ．{x |0

D ．{x |1

[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.

解法二：令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≥12，

1－3x ，x <12，

则f (x )<1的解集为{x |0

[答案] A

3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是

( )

A ．|a ＋b |＋|a －b |>2

B ．|a ＋b |＋|a －b |<2

C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2

D ．不能比较大小 [解析] |a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.

[答案] B

4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为( )

A ．1

B ． 2 C. 3 D ．2 [解析] (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤ (12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.

当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．

∴(a ＋b ＋c )2≤3.

故a＋b＋c的最大值为 3.故应选C.

[答案] C

5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．

[解析]利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4.

[答案]－2≤a≤4

考点一含绝对值的不等式的解法

解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是：

(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．

(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．

(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．

(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．

解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．

(1)(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()

A．(－∞，4) B．(－∞，1)

C．(1,4) D．(1,5)