专项练习：菱形的判定【北师大版 九年级数学上册】
北师大版九年级数学上册(练习)1.1第2课时 菱形的判定
北师大版九年级数学上册（练习）1.1第2课时菱形的判定----c9d88bc8-6eab-11ec-b3bc-7cb59b590d7d北师大版九年级数学上册（练习）1.1第2课时菱形的判定学习很难，但不痛苦；学习没有捷径，勤奋是根本；在你找到“学好而不重复”的方法之前，请不要放弃最简单、最有效的“重复”学习方法。
第二课钻石的决定基础题知识点判断1．(钦州中考)如图，要使□abcd成为菱形，下列添加的条件正确的是()a、 ac＝adb.ba＝bcc．∠abc＝90°d．ac＝bd2.小明和小梁正在做运动。
如果四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使四边形ABCD是菱形。
小明的补充条件是ab=BC；小亮的补充条件是AC=BD。
你认为以下陈述是正确的：（a）小明和小亮是正确的；（b）小明是对的；（c）小明错了；（d）小明和小梁错了；（海南高考）如图所示，翻译△ ABC沿BC方向获得△ DCE和connect ad。
在下列条件中，可以确定四边形aced为菱形；（a.ab=BCB.AC=BC）c．∠b＝60°d．∠ac b＝60°4.用直尺和指南针制作一个以线段AB为边的菱形，绘制轨迹如图所示。
根据（）a，可以得出四边形ABCD为菱形。
一组相邻边相等的四边形为菱形B。
四边相等的四边形为菱形c．对角线互相垂直的平行四边形是菱形d、每个对角线被分成一组平行四边形。
对角线平行四边形是钻石5．如图，在□abcd中，对角线ac与bd相交于点o，过点o作ef⊥ac交bc于点e，交ad于点f，连接ae，cf.则四边形aecf是()a、梯形B.矩形C.菱形D.正方形16.如图所示，小聪在绘制AB线段的垂直平分线时，他的操作方式是：以a和B为圆心，以大于AB的长度为半径绘制2弧，两弧相交于c，d，则直线cd即为所求．根据他的作图方法可知四边形adbc一定是________．7.已知的两条对角线AC和BD□ ABCD在点O处相交，AC=12厘米，BD=16厘米，ad=10厘米，然后□ ABCD是___8．(潍坊中考)如图，abcd是对角线互相垂直的四边形，且ob＝od，请你添加一个适当的条件________________________________________，使abcd成为菱形．(只需添加一个即可)9．(长春中考)如图，ce是△abc外角∠acd的平分线，af∥cd交ce于点f，fg∥ac交cd于点g.求证：四边形acgf是菱形．中间问题10．如图是一张平行四边形纸片abcd，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：甲：连接ac，作ac的中垂线交ad、bc于e、f，则四边形afce是菱形．B:做等分线∠ A和∠ B、 AE和BF分别在点E处与BC相交，在点F处与ad相交，则四边形abef为菱形。
北师大版初三上册数学菱形的性质与判定同步练习(附解析)
北师大版初三上册数学11．1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形．2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__互相垂直__．知识点一：菱形的定义1．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，那个条件是(B)A．AB＝CD B．AB＝BCC．AD＝BC D．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上理由)知识点二：菱形的性质3．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则那个菱形的周长为(A) A．20B．16C．12D．104．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC,第4题图),第5题图)5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是(C)A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD6．在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( C)A．10 B．12 C．15 D．207．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C )A．3 B．4 C．8 D．838．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD 边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(A)A．3.5 B．4C．7 D．149．(2021·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC 的度数为(C)A．28°B．52°C．62°D．72°10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB ＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB 中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝611．(2021·上海)如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是(B)A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍,第11题图),第12题图) 12．如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝__5__．13．如图是依照四边形的不稳固性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝__120__°.,第13题图),第14题图)14．(2021·白银)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__12__．15．(2021·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是__53__cm.16．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝12CD，DF＝12AD，∴DE＝DF.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴AE＝CF17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，A D的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B ＝∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△C DF(SAS)(2)易得△ABC是等边三角形，点E为BC的中点，从而AE⊥BC，AE ＝2318．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：∵ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点第2课时菱形的判定对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；__四边相等__的四边形是菱形．知识点：菱形的判定1．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．下列命题中正确的是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的是(D)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④,第3题图),第4题图)4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是(A)A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是(B)A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,第5题图),第6题图)6．(易错题)如图，下列条件能判定四边形ABCD为菱形的有(C)①AB ＝BC ＝CD ＝DA ；②AC ，BD 互相垂直平分；③平行四边形AB CD ，且AC ⊥BD ；④平行四边形ABCD ，且AC ＝BD.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．(2021·淄博)已知▱ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是__AD ＝D C(答案不唯独)__．8．如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB ＝OD ，请你添加一个适当的条件__OA ＝OC 或AD ＝BC 或AD ∥BC 或AB ＝BC__，使四边形ABCD 成为菱形．(只需添加一个即可)9．(2021·舟山)已知：如图，在▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连接BE ，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由． 解：(1)证明：∵▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝D O ，∠EDB ＝∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中⎩⎪⎨⎪⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF(ASA) (2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF ＝DE ，又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°，∴EB ＝DE ，∴四边形BFDE 为菱形 10．(2021·徐州)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( C )A ．长方形B ．对角线相等的梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．依照两人的作法可判定( C )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误12．(2021·十堰)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为那个条件是__③__．(只填写序号)13．(2021·新疆)如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交点P ，Q两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过点C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF.(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CF D 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形 14．(2021·南京)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？什么缘故？ 解：(1)证明：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形 (2)当AB ＝BC 时，四边形是菱形．理由如下：∵点D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形15．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含6 0°角的直角三角形ABC与AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°，四边形ABPF是什么样的专门四边形？并说明理由．解：(1)证明：∵α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN，∴AM＝AN(2)四边形ABPF是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°.又∵∠B＝∠F＝60°，∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠B AF＝60°＋120°＝180°.∴AF∥BC，AB∥EF.∴四边形ABPF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形。
北师大九年级上1.1.菱形的性质与判定同步练习有答案第2课时菱形的判定
第2课时菱形的判定1．如图14，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是( )图14A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC＝BD2．如图15，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是________(只填一个你认为正确的即可)．图153.如图16，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD还应满足的一个条件是________．图164．如图17，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．图175．如图18，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是________．图186．如图19，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)求证：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由．图197．在数学课上，老师提出如下问题：如图20①，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F，使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：图20如图20②，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于点D；(2)点C向AB边折叠，使点C与点D重合，得到折痕交BC边于点E，交AC边于点F.老师说：“小明的做法正确．”请回答：小明这样折叠的依据是________________．解题突破8．如图21，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，EF与AB的延长线交于点E，与CD的延长线交于点F，连接AF，CE.求证：四边形AECF是菱形．图219．如图22，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．图2210．(1)如图23①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．(2)如图②，△ABC中，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延长线于点D，在BA的延长线上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交DA的延长线于点F.四边形CDEF还是菱形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．图2311.四边形的四条边长分别为a，b，c，d，且满足条件a2＋b2＋c2＋d2＝ab＋bc＋cd＋da，则此四边形一定是________．12．如图24，已知△ABC的顶点B，C为定点，A为动点(不在直线BC上)，B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′，CB′，BB′，CC′.(1)猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述(不用证明)．图241．D2．答案不唯一，如AC ⊥BD 或AB ＝BC 或BC ＝CD 等 3．AD ＝BC4．证明：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠EAD ＝∠FAD. ∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF ， ∴∠FAD ＝∠ADF ，∴AF ＝DF ， ∴▱AEDF 是菱形． 5．菱形6．解：(1)证明：∵D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， ∴DE ∥AC ，AC ＝2DE .∵EF ＝2DE ，∴EF ∥AC ，EF ＝AC ， ∴四边形ACEF 是平行四边形，∴AF ＝CE . (2)当∠B ＝30°时，四边形ACEF 是菱形． 理由如下：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， ∴∠BAC ＝60°，AC ＝12AB ＝AE ，∴△AEC 是等边三角形，∴AC ＝CE . 又由(1)知四边形ACEF 是平行四边形， ∴四边形ACEF 是菱形．7．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 [解析] 如图，连接DF ，DE .根据折叠的性质，知CD ⊥EF ，且OD ＝OC ，OE ＝OF ， 则四边形DECF 恰为菱形．故答案是：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠AEO＝∠CFO.在△AOE和△COF中，∠AEO＝∠CFO，∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵EF⊥AC，OE＝OF，∴AC与EF互相垂直平分，∴四边形AECF是菱形．9．证明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE.∵E是AC的中点，∴AE＝CE.在△AFE和△CDE中，∠AFE＝∠CDE，∠AEF＝∠CED，AE＝CE，∴△AFE≌△CDE，∴AF＝CD.又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AC＝2AB，E是AC的中点，∴AE＝AB.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD.在△AED和△ABD中，AE＝AB，∠EAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△AED≌△ABD，∴∠AED＝∠B＝90°，即AC⊥DF，∴▱ADCF是菱形．10．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAF＝∠CAF.在△ADE和△ADC中，∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴DE＝DC，∠ADE＝∠ADC.同理△AFE≌△AFC，∴EF＝CF.∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ADC，∴∠EFD＝∠ADE，∴DE＝EF，∴DE＝EF＝CF＝DC，∴四边形CDEF是菱形．(2)四边形CDEF是菱形．证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△ADE和△ADC中，∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴DE＝DC，∠ADE＝∠ADC.同理△AFE≌△AFC，∴EF＝CF.∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ADC，∴∠EFD＝∠ADE，∴DE＝EF，∴DE＝EF＝CF＝DC，∴四边形CDEF是菱形．11．菱形12．解：(1)猜想：BC′＝CB′.证明：∵B′是点B关于直线AC的对称点，∴AC垂直平分BB′，∴BC＝CB′.同理BC＝BC′，∴BC′＝CB′.(2)要使四边形BCB′C′是菱形，根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，∵B′是点B 关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，∴AC垂直平分BB′，AB垂直平分CC′，∴BB′，CC′应该同时过点A，∴∠BAC＝90°，∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个．。
北师大版数学九年级上同步练习1.1第2课时菱形的判定2
北师大版数学九年级上同步练习第2课时菱形的判定一、选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=?BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种B．2种C．3种D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm二、填空题4．如图1所示，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．三、解答题8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．四、思考题9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．参考答案一、1．A 点拨：本题用排除法作答．2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．3．C 点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC 为等边三角形，?所以A C=AB=14×32=8（cm ），AO=12AC=4cm ．因为AC ⊥BD ，在Rt △AO B 中，由勾股定理，得OB=222284AB OA =43（cm ），?所以BD=2OB=83cm ．二、4．AB=BC 点拨：还可添加A C ⊥BD 或∠ABD=∠CBD 等．5．点D 在∠BAC 的平分线上（或AE=AF ）6．12cm ；723cm2点拨：如图所示，过D 作DE ⊥AB 于E ，因为AD ∥BC ，?所以∠BAD+∠ABC=180°．又因为∠BAD ：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，因为AB=AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm ．所以AE=6cm ．在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE 2+ED 2=AD 2，62+ED 2=122，所以ED 2=108，所以ED=63cm ，所以S 菱形ABCD=12×63=723（cm 2）．7．4；43点拨：如图所示，因为DE垂直平分AB，又因为DA=AB，所以DA=DB=4．所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，由已知可得AE=2．在Rt△AED?中，?AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12，所以DE=23，因为12AC·BD=AB·DE，即12AC·4=4×23，所以AC=43．三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABC D中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．。
1.1 菱形的性质与判定 北师大版九年级数学上册同步练习(含解析)
北师大版九上1.1菱形的性质与判定同步练习一、选择题（共10题）1. 菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2. 菱形ABCD中，∠A:∠B=1:5，若其周长为8，则菱形ABCD的高为( )B．4C．1D．2 A．123. 菱形ABCD中，AB=2，∠D=120∘，则对角线AC的长为( )A．1B．3C．2D．234. 菱形ABCD中，AC=10，BD=24，则该菱形的周长等于( )A．13B．52C．120D．2405. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是( )A．12B．16C．20D．246. 已知O为平行四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使平行四边形ABCD成为菱形的是( )A．AB=BC B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．∠A=∠B=∠C=90∘7. 如图，B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB=AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ABDC 是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四条边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的四边形是菱形8. 点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，AC，BD交于点O，当四边形ABCD的对角线满足( )条件时，四边形EFGH是菱形．A．AC⊥BD B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．OA=OB9. 平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(―3,0)，B(0,2)，C(3,0)，D(0,―2)，则四边形ABCD是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形10. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．BA=BC B．AC，BD互相平分C．AC=BD D．AB∥CD二、填空题（共10题）11. 如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是cm．12. 已知菱形两条对角线的长分别为4和6，则菱形的边长为．13. 已知菱形的周长为20 cm，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的面积是cm2．14. 如图，若菱形的边长为4，∠BAD=120∘，则较短对角线AC长为．15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为DC的中点，若OE=3，则菱形的周长为．16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，反向延长交BC于点F，则EF的长为．17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB=4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为．18. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥CE．从中选择条件可使四边形BECF是菱形．19. 如图，在四边形ABCD中，AB≠CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．20. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：，使得四边形AEDF是菱形．三、解答题（共7题）21. 【测试4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1) 求证：四边形BNDM是菱形；(2) 若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．(1) 求证：△ABE≌△CDF；(2) 连接DG，若DG=BG，则四边形BECF是什么特殊四边形？请说明理由．23. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：(1) ∠CEB=∠CBE；(2) 四边形BCED是菱形．24. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．(1) 求证AB=BC；(2) 若AB=2，AC=23，求平行四边形ABCD的面积．25. 在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF，求证：(1) △ABF≌△DAE．(2) DE=BF+EF．26. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE=DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．(1) 求证：△ABE≌△ADF；(2) 试判断四边形AECF的形状，并说明理由．27. 如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6．(1) 求证：四边形ABCD是平行四边形；(2) 若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】B10. 【答案】B二、填空题（共10题）11. 【答案】212. 【答案】1313. 【答案】2414. 【答案】415. 【答案】2416. 【答案】24517. 【答案】618. 【答案】②19. 【答案】AD=BC20. 【答案】如：AB=AC，答案不唯一三、解答题（共7题）21. 【答案】(1) ∵AD∥BC，∴∠DMO=∠BNO，∵MN 是对角线 BD 的垂直平分线，∴OB =OD ，MN ⊥BD ，在 △MOD 和 △NOB 中，∠DMO =∠BNO,∠MOD =∠NOB,OD =OB,∴△MOD ≌△NOB (AAS)，∴OM =ON ，∵OB =OD ，∴ 四边形 BNDM 是平行四边形，∵MN ⊥BD ，∴ 四边形 BNDM 是菱形．(2) ∵ 四边形 BNDM 是菱形，BD =24，MN =10，∴BM =BN =DM =DN ，OB =12BD =12，OM =12MN =5，在 Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM =OM 2+OB 2=52+122=13， ∴ 菱形 BNDM 的周长 =4BM =4×13=52．22. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∠BAE =∠DCF ，在 △ABE 和 △CDF 中，AB =CD,∠BAE =∠DCF,AE =CF,∴△ABE ≌△CDF (SAS)；(2) 四边形 BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∵AE =CF ，∴DE =BF ，∴ 四边形 BEDF 是平行四边形，∴OB =OD ，∵DG =BG ，∴EF ⊥BD ，∴ 四边形 BEDF 是菱形．23. 【答案】(1) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ ∠ABC =∠ABD ．∵ CE ∥BD ，∴ ∠CEB =∠DBE ，∴ ∠CEB =∠CBE ．(2) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ BC =BD ．∵ ∠CEB =∠CBE ，∴ CE =CB ，∴ CE =BD ．∵ CE ∥BD ，∴ 四边形 CEDB 是平行四边形．∵ BC =BD ，∴ 四边形 CEDB 是菱形．24. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD ∥BC ，所以 ∠DAC =∠BCA ，因为 ∠BAC =∠DAC ，所以 ∠BAC =∠BCA ，所以 AB =BC ．(2) 连接 BD 交 AC 于点 O ，因为四边形 ABCD 是平行四边形，AB =BC ，所以四边形 ABCD 是菱形，所以 AC ⊥BD ，OA =OC =12AC =3，OB =OD =12BD ，所以 OB =AB 2―OA 2=22―(3)2=1，所以 BD =2OB =2，所以 S 平行四边形ABCD =12AC ⋅BD =12×23×2=23．25. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AB =AD ，AD ∥BC ，∴∠BOA =∠DAE ，∵∠ABC =∠AED ，∴∠BAF =∠ADE ，∵∠ABF =∠BPF ，∠BPA =∠DAE ，∴∠ABF =∠DAE ，∵AB =DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2) ∵△ABF ≌△DAE ，∴AE =BF ，DE =AF ，∵AF =AE +EF =BF +EF ，∴DE =BF +EF ．26. 【答案】(1) ∵ 正方形 ABCD ，∴AB =AD ，∠ABE =∠ADF =135∘，在 △ABE 和 △ADF 中，AB =AD,∠ABE =∠ADF,BE =DF,∴△ABE ≌△ADF (SAS)．(2) 四边形 AECF 为菱形．证明：连接 AC ，∵△ABE ≌△ADF ，∴AE =AF ，∵正方形ABCD，∴EF垂直平分AC，∴EA=EC，FA=FC，∴EA=EC=FA=FC，∴四边形AECF是菱形．27. 【答案】(1) ∵O是AC的中点，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO．在△AOD和△COB中，∠ADO=∠CBO,∠AOD=∠COB,OA=OC,∴△AOD≌△COB，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD的面积=1AC⋅BD=24．2。
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形 .温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。
2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD．菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是。
3.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A. 28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A. 5B. 10C. 15D. 205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( )A. 2B. 2C. 4D. 4第2题第3题第4题第5题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．7.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .（3）四边相等的四边形是菱形 .①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
北师大版九年级数学上专项练习：菱形的判定 (含答案)
菱形的判定一、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．邻边相等D．对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）A．矩形．B．菱形．C．矩形和菱形．D．正方形．3. 满足下列（）的是菱形．A．两对角线相等B．两对角线垂直C．两条对角线垂直且互相平分D．两条对角线相等且互相垂直4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（）A．等腰梯形B．矩形C．对角线相等D．菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A．矩形B．三角形C．正方形D．菱形6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定8. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A．AB CD=B．AC BD=１２C ．AC BD ⊥时，它是菱形 D ．当90ABC ∠=时，它是矩形 二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是．10. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒A B C D 是菱形； ⇒A B C D 是菱形．11. 延长等腰ABC △顶角平分线AD 到E 使DE AD =，连结BE CE ，，则四边形ABEC 是_________形．12. 对角线__________的四边形是菱形．13. 将矩形ABCD 绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A 与B 重合，得矩形BFDE ，BF 交AD 于M ，DE 交BC 于N ，则四边形BMDN 是______（填特殊四边形的名称）． 三、证明题14. 已知，如图，从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线，垂线分别是E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．15. 已知四边形ABCD 的四边分别为a ，b ，c ，d ，且满足44444a b c d abcd +++=，求证：四边形ABCD 是菱形．A D MBCENFＡ３16. 已知ABCD 是对角线AC BD 、相交于O，如图，且6AD AC ==，4BD =，你能说明四边形ABCD 是菱形吗？17. 如图所示，ABC Rt △中，90ACB ∠=，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，CH AB ⊥交BD 于F ，DE AB ⊥于E ，四边形CDEF 是菱形吗？18. 如图，在五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ====，2ABC DBE ∠=∠．请说明：四边形ACDE 是菱形．19. 如图，在ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD 交AB 于E ，交AC 于F ，求证：四边形AEDF 是菱形．ＡＯＤＢＡＤＣＢＨＥＦＡ４20. 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AF 垂直平分线段OB ，垂足为E ，CH 垂直平分线段OD ，垂足为G ． 求证：（1）AOB △是等边三角形； （2）四边形AFCH 是菱形．21. 如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，CD 的延长线分别交于E ，F ． （1）求证：BOE DOF △≌△；（2）当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 为菱形？并证明你的结论．22. 如图所示，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，B ∠的平分线交AD 于M ，交AC 于E ，DAE ∠的平分线交CD 于N ．求证：四边形AMNE 为菱形．ＢＣＤＢ５23. 如图所示，在四边形ABCD 中，对边AB CD =，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，AC ，BD 的中点，求证：MN PQ ⊥．24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且△ADE 与△BCE 都是正三角形，点P ，Q ，M ，N 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形PQMN 为菱形．25. 如图，四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=，M 为AC 中点，且MN BD ⊥与MD 的平行线BN 交于N ，求证：四边形BNDM 为菱形．AP ＥＢＱＣＭＤＮＢ26. 如图Rt△ABC中，90BAC∠=，AD BC⊥于D，CE平分ACB∠交AD于G，交AB于E，EF BC⊥于F，求证：四边形AEFG为菱形．27. ABCD的对角线的垂直平分线与边AD BC，分别交于E F，，求证：四边形AFCE是菱形．28. 已知：如图，过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG FH，与平行四边形ABCD各边分别相交于点E F G H，，，．求证：四边形EFGH是菱形．BDG６29. 如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边A D，BC分别交于E，F．Array求证：四边形AFCE是菱形．四、应用题30. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由．７８参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二、填空题 9. 菱形10. (1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)] 11. 菱12. 互相平分且垂直 13. 菱形 三、证明题14. 先证四边形HEFG 为平行四边形，再证HF EG =．15. 解：因为44444a b c d abcd +++=，所以4444222280a b c d abcd +++-=，所以422442244224422422222222(2)(2)(2)(2)2(2)2(2)0a a b b b a c c c c d d d a d a a b abcd c d a d abcd b c -++-++-++-++-++-+=所以22222222222222()()()()2()2()0a b b c c d d a ab cd ad bc -+-+-+-+-+-=由非负数性质得，220a b -=，220b c -=，220c d -=，220d a -=，0ab cd -=，0ad bc -=．所以a b c d ===． 所以四边形ABCD 是菱形．９16. 解：四边形ABCD 是平行四边形，64AC BD ==，．32OA OC OB OD ∴====，． 又13AD =．222.90AD OA OD AOD AC BD∴=+∴∠=即，:⊥∴ABCD 是菱形．17. 解：四边形CDEF 是菱形．理由如下： DE AB CH AB ⊥，⊥，DE CH ∴∥． 即：DE CF ∥． 又BD 是角平分线，DE DC ∴=， 且.BDE BDC ∠=∠....DE CH BDE CFD CDF DFC CD CF CF DE ∴∠=∠∴∠=∠∴=∴=∥，∴四边形CDEF 是平行四边形，又因DC DE =． ∴四边形CDEF 是菱形．18. 提示：只需证四边形EACD 为平行四边形，只需证明AE CD ∥，过B 作BM AE ∥经证BM CD ∥即可．19. EF ∵垂直平分AD ，AE DE =∴，AF DF =，AD ∵平分BAC ∠，AED AFD ∴△≌△，AE AF =∴，AE DE AF DF ===∴，故四边形AEDF 是菱形． 20. （1）可证12OA AC =，12OB BD =，OA OB =∴． AF ∵垂直平分OB ，OA AB OB ==∴，故AOB △为等边三角形． （2）在等边AOB △中，AF OB ⊥，30OAE BAE ∠=∠=∴， 可证明FCA DAC ∠=∠，FCA EAO ∠=∠，AF CF =∴，１０可证明四边形AFCH 是平行四边形，而AF CF =，故四边形AFCH 是菱形． 21. （1）∵在矩形ABCD 中，AB CD ∥，E F ∠=∠∴，EBO FDO ∠=∠，又BO OD =，BOE DOF ∴△≌△．（2）当EF 与AC 垂直时，四边形AECF 为菱形． 证明：BOE DOF ∵△≌△，EO FO =∴． 又AO OC =，∴四边形AECF 为平行四边形． 又EF AC ⊥，∴四边形AECF 为菱形．22. 证明：设AN 与ME 交于点O ，因为AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高， 所以ABD CAD ∠=∠．又BE ，AN 分别平分ABD ∠和CAD ∠， 所以EAN ABE ∠=∠．所以在Rt △ABE 中，90AOB ∠=，△AME 是等腰三角形，AN 平分ME ， 又因为ABO NBO =∠∠，OB OB =，所以Rt △AOB ≌Rt △NOB ，AO ON =，即ME 垂直平分AN ，四边形AMNE 是菱形．23. 证明四边形MQNP 是菱形即可．24. 连结AC ，BD ，△ADE 与△BCE 都是正三角形，AE DE ∴=，CE BE =，60AED BEC ∠=∠=，60AEC DEC DEB ∴∠=+∠=∠证△AEC ≌△DEB（SAS ）AC DB ∴=，又P ，Q ，M ，N 分别为各边中点，得12PQ MN AC ==，12QM PN BD ==PQ QM MN NP ∴===.∴四边形PQMN 为菱形． 25. 设MN 与BD 交于O ，易证MB MD =，再证△DOM ≌△BON ，从而BN DM =，又由BN DM ∥，可证得四边形BNDM 为菱形．26. 易证AE FE =，而且AD EF ∥，AEG AGE ∠=∠AG EA EF ∴==又AG EF ∥AEFG ∴为菱形．27. 证明：EF 垂直平分AC ，AF FC ∴=，AE EC =，FAC FCA ∴∠=∠，EAC ECA ∠=∠．AD BC ∥，EAC FCA ∴∠=∠，ECA FCA ∴∠=∠．EF AC ⊥，CEF CFE ∴∠=∠，FC EC ∴=，AF FC CE AE ∴===，∴四边形AFCE 是菱形．28.略29. 先证明四边形AFCE为平行四边形，再由AC⊥EF即可得证．四、应用题30. 添加的条件是：AC BD．理由略．１１。
【数学九年级上】 北师大版 菱形的性质与判定 同步练习
2
6.顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(B)
A.平行四边形
B.对角线相等的四边形
C.矩形
D.对角线互相垂直的四边形
7.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 2，0)，B(1，1).若平移点 A 到点 C，使以点
O，A，C，B 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是(D)
解：(1)证明：∵AB∥CD，CE∥AD， ∴四边形 AECD 是平行四边形. ∵AC 平分∠BAD， ∴∠EAC＝∠DAC.
∵AB∥CD， ∴∠EAC＝∠ACD. ∴∠DAC＝∠ACD. ∴AD＝CD. ∴四边形 AECD 是菱形. (2)∵四边形 AECD 是菱形， ∴AE＝CE. ∴∠EAC＝∠ACE. ∵点 E 是 AB 的中点， ∴AE＝BE. ∴∠B＝∠ECB. ∴∠ACE＋∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°. ∵点 E 是 AB 的中点，EC＝5， ∴AB＝2EC＝10. ∴BC＝ AB2－AC2＝8. ∴S△ABC＝12BC·AC＝24. ∵点 E 是 AB 的中点，四边形 AECD 是菱形， ∴S△AEC＝S△EBC＝S△ACD＝12. ∴S 四边形 ABCD＝S△AEC＋S△EBC＋S△ACD＝36.
16.(15 分)如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD，AC，BC 于点 E，O，F，连接 CE 和 AF. (1)求证：四边形 AECF 为菱形； (2)若 AB＝4，BC＝8，求菱形 AECF 的周长.
解：(1)证明：∵EF 是 AC 的垂直平分线， ∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO. 在△AEO 和△CFO 中，{∠EAO＝∠FCO， ∴△AEO≌△CFO(ASA). ∴OE＝OF. 又∵OA＝OC， ∴四边形 AECF 是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴四边形 AECF 是菱形. (2)设 AF＝x. ∵EF 是 AC 的垂直平分线， ∴AF＝CF＝x，BF＝8－x.
北师大版九年级上册数学菱形的性质与判定练习题(附答案)
北师大版九年级上册数学菱形的性质与判定练习题（附答案）一、单选题1.下列命题中正确的是（）A. 平分弦的直径垂直于弦B. 与直径垂直的直线是圆的切线C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 联结等腰梯形四边中点的四边形是菱形2.菱形的周长为，高为，则该菱形两邻角度数比为（）A. 5:1B. 4:1C. 3:1D. 2:13.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（）A. B. C. D.4.如图，在平面直角坐标系中，已知点，若平移点到点，使以点为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A. 向左平移（）个单位，再向上平移1个单位B. 向左平移个单位，再向下平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位5.下列说法中，错误的是( )A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形二、填空题6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为________.7.如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，请再添加一个条件：________，使四边形ABCD成为菱形（不再标注其它字母）。
8.菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使得CE=BC，点F在DE上，DF=6，AG平分∠BAF，与线段BC 相交于点G，若CG=2，则线段AB的长度为________．9.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF 的面积为________ 。
10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．三、解答题11.求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形．12.如图（1），在∆ABC中，AB=BC=5，AC=6，∆ABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE、AC和BE相交于点O。
北师大版九年级上册数学 菱形的判定和性质 测试题(含答案)
菱形测试题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm4.菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为4cm，则它的周长为（）．A．8cm B．9cm C．12cm D．16cm5.菱形具有而矩形不一定有的性质是（）．A．对边边长相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线长度相等6.下列图形中能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．不存在7.下列说法不正确的是（）．A．菱形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线平分各内角C．菱形的对角线相等 D．菱形的对角线交点到各边等距离8．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图2DACFH E BKD ACF HG E B9．如图2所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）10．菱形ABCD 的周长为48cm ，∠BAD： ∠ABC=•1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______． 11．在菱形ABCD 中，AB=4，AB 边上的高DE 垂直平分边AB ，则BD=_____，AC=_____． 12．如图所示，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD=BC ，四边形ABCD 是菱形吗？•说明理由．13．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，PD∥AC，PC∥BD，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．14．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BD•交AC 于点D ，CH⊥AB 于H ，且交BD 于点F ，DE⊥AB 于E ，四边形CDEF 是菱形吗？请说明理由．15．如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，过点D•作DE⊥AB，DF⊥AC，DAC FH GEB垂足分别为E ，F ，再过E ，F 作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G ，H ，且EG ，•FH 相交于点K ，试说明EF 和DK 之间的关系．16．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm ，宽20cm 的长方形的瓷砖，E ，F ，G ，H 分别是边BC ，CD ，DA ，•AB 的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m ，宽2.8m•的墙壁准备贴这种瓷砖，试问： （1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？•其中有花纹的菱形有多少个？17．已知：如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF ． （1）试说明：AE =AF ；（2）若∠B=60°，点E ，F 分别为BC 和CD 的中点，试说明：△AEF 为等边三角形．参考答案1．A 2．D 3．C 4.D 5.C 6.B 7.C 8．AB=BC 还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等．9．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）10．12cm；723cm2 11．4；4312．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．13．解：四边形PCOD是菱形．四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，14．解法一：四边形CDEF是菱形．理由：如图所示，因为△CBD≌△EBD，所以CD=DE，因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，•所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．因为CF//DE．•所以四边形CDEF是平行四边形．又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．解法二：如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．因为△BCD≌△BED．所以BC=BE．又因为∠1=∠2，所以BD⊥CE，且OC=OE．因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，所以∠3= ∠4．所以CF=CD．又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，•又因为DF⊥CE，所以CDEF是菱形．15．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，所以DE∥FH．•因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，•所以EF与DK互相垂直平分．16．解：（1）因为墙壁的总面积为4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）．（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（•行）．因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．17．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，∠B=∠D，又因为BE=DF，•所以△ABE≌△ADF，所以AE=AF．（2）连结AC．因为AB=BC，∠B=60°，所以△ABC 是等边三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，所以∠BAE=90°-60°=30°，同理∠DAF=30°．因为∠BAD=180°-∠B=120°，所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°．又因为AE=AF，•所以△AEF是等边三角形．。
(完整版)北师大版九年级数学上学期第一章特殊平行四边形同步练习题菱形的判定(含答案),推荐文档
5 EF 第 1 课时 菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、BD 相交于点 O, AB= , AO=2, OB=1. 四边形 ABCD 是菱形吗？ 为什么？3、 如左下图，AD 是△ABC 的角平分线。
DE ∥AC 交 AB 于 E ，DF ∥AB 交 AC 于 F.四边形 AEDF 是菱形吗？说明你的理由。
4、如右上图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD 、BC 分别交于 E 、F ，四边形 AFCE 是否是菱形？为什么？5、已知 DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形 DEAF 为菱形的是（）A. AD 平分∠BAC AA B. AB ＝AC ＝且 BD ＝CD EBDC. AD 为中线 FD. EF⊥ADDC 6、 如右图，已知四边形 ABCD 为菱形， AE ＝CF. 求证：四边形 BEDF 为菱形。
第 6 题7、已知 ABCD 为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。
小刚说只要过 BD 中点作 BD 的垂线交 AD 、BC于 E 、F ，沿 BE 、DF 剪去两个角，所得的四边形 BFDE 为菱形。
你认为小刚的方法对吗？为什么？A ED8、如右上图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部 O9BF C 分 ABCD 是菱形吗？为什么？ 、如左下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点O ，且 AC ⊥BD ，第 7 题点 M 、N 分别在 BD 、AC 上，且AO ＝ON ＝NC ，BM ＝MO ＝OD. 求证：BC ＝2 DN10、如右上图，已知四边形 ABCD 为矩形，AD ＝20㎝、AB ＝10㎝。
AMDM 点从 D 到 N QBPC第 10 题A ，P 点从B 到C ，两点的速度都为 2㎝/s ；N 点从 A 到B ，Q 点从 C 到D ，两点的速度都为 1㎝/s 。
北师大版 九年级(上)数学 1.1 菱形的性质与判定 专题训练(含解析)
1.1 菱形的性质与判定专题训练一．选择题（共10小题）1．下面性质中，菱形不一定具备的是A．四条边都相等B．每一条对角线平分一组对角C．邻角互补D．对角线相等2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形3．在菱形中，，，则此菱形的面积是A．48B．96C．60D．1204．已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是A．13B．52C．120D．2405．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为A．B．C．D．6．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为A．B．C．4D．87．如图，四边形的两条对角线，交于点，，．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是A．B．C．D．8．如图，菱形对角线，，则菱形高长为A．B．C．D．9．如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为A．B．C．D．10．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与的长度相等D．保持不变且与的长度相等二．填空题（共8小题）11．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为12．如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长为．13．如图，的对角线、相交于点，则添加一个适当的条件：可使其成为菱形（只填一个即可）．14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为．15．在菱形中，对角线、交于点，点为中点，过点作于点交于点，连接，若，则．16．如图，菱形中，点为对角线的三等分点且，连接，，，已知，那么菱形的边长为．17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为．18．如图，在菱形中，，，为中点，为对角线上一动点，连接和，则的最小值是．三．解答题（共7小题）19．如图，已知菱形的一条对角线恰好与其边的长相等，求这个菱形各内角的大小．20．如图，在已知平行四边形中，平分，与相交于点，，与相交于点．求证：四边形是菱形．21．已知，如菱形，垂直于，且为的中点，已知．求：（1）的度数；（2）的长．22．如图，四边形和四边形都是菱形，点，在上．已知，，求：（1）的度数；（2）的度数．23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．24．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求菱形的周长．25．如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．（1）连接，当经过边的中点时，试判定四边形的形状并说明理由；（2）当为多少时，四边形是菱形．参考答案一．选择题（共10小题）1．下面性质中，菱形不一定具备的是A．四条边都相等B．每一条对角线平分一组对角C．邻角互补D．对角线相等解：、菱形的四条边都相等，故此选项不符合题意；、菱形的每一条对角线平分一组对角，故此选项不符合题意；、菱形的对角相等，邻角互补，故此选项不符合题意；、菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意；故选：．2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形解：、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：．3．在菱形中，，，则此菱形的面积是A．48B．96C．60D．120解：四边形是菱形，，，，，，在中，，，；故选：．4．已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是A．13B．52C．120D．240解：菱形中，，，，，在中，，菱形的周长．故选：．5．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为A．B．C．D．解：菱形，，，，，，故选：．6．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为A．B．C．4D．8解：四边形是菱形，，，，在中，，，，，菱形的面积．故选：．7．如图，四边形的两条对角线，交于点，，．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是A．B．C．D．解：四边形中，，，四边形是平行四边形，，当或时，均可判定四边形是菱形；当时，可判定四边形是矩形；当时，由得：，，，四边形是菱形；故选：．8．如图，菱形对角线，，则菱形高长为A．B．C．D．解：菱形对角线，，，，，根据勾股定理，，菱形的面积，即，解得．故选：．9．如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为A．B．C．D．解：连接，如图：四边形是菱形，，，，，，，点是中点，，是等边三角形，，，；即菱形的较大内角度数为；故选：．10．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与的长度相等D．保持不变且与的长度相等解：连接，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，，，，，，在和中，，，，，故选：．二．填空题（共8小题）11．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为6解：菱形周长为20，则，，，，，故答案为：6．12．如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长为．解：连接交于，如图，四边形为菱形，，，，，，为等边三角形，，．故答案为：．13．如图，的对角线、相交于点，则添加一个适当的条件：或（答案不唯一）可使其成为菱形（只填一个即可）．解：的对角线，相交于点，当或使其成为菱形．故答案为：或（答案不唯一）．14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为．解：在菱形中，，，，，．故答案为：．15．在菱形中，对角线、交于点，点为中点，过点作于点交于点，连接，若，则35．解：四边形是菱形，，．垂直平分，，，，故答案为35．16．如图，菱形中，点为对角线的三等分点且，连接，，，已知，那么菱形的边长为．解：如图，连接交于．四边形是菱形，，，，，，，，，．故答案为．17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为3．解：四边形是菱形，，，，，，，，故答案是：3．18．如图，在菱形中，，，为中点，为对角线上一动点，连接和，则的最小值是．解：作点关于的对称点，交于点，连接，则就是的最小值，在菱形中，，，为中点，，，，点为的中点，是等边三角形，，，，故答案为：．三．解答题（共7小题）19．如图，已知菱形的一条对角线恰好与其边的长相等，求这个菱形各内角的大小．解：四边形为菱形，，，，，为等边三角形，，，即这个菱形各内角的大小分别为，，，．20．如图，在已知平行四边形中，平分，与相交于点，，与相交于点．求证：四边形是菱形．【解答】证明：四边形是平行四边形，，又，四边形为平行四边形，平分，，，，，平行四边形为菱形．21．已知，如菱形，垂直于，且为的中点，已知．求：（1）的度数；（2）的长．解：（1）于，且为的中点，．四边形是菱形，．．是等边三角形．．（2），是等边三角形，，，．．22．如图，四边形和四边形都是菱形，点，在上．已知，，求：（1）的度数；（2）的度数．解：（1）四边形是菱形，，，，；（2），四边形是菱形，，则，．23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：，，为的平分线，，，，，四边形是平行四边形，，是菱形；（2）解：四边形是菱形，，，，，，菱形的面积，，菱形的面积，．24．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求菱形的周长．【解答】（1）证明：，，是对角线的垂直平分线，，，在和中，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）解：四边形是菱形，，，，，，在中，由勾股定理得：，菱形的周长．25．如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．（1）连接，当经过边的中点时，试判定四边形的形状并说明理由；（2）当为多少时，四边形是菱形．【解答】（1）解：四边形是平行四边形．理由：，，，为的中点，，在和中，，，四边形是平行四边形；（2）解：若四边形是菱形，则有，则此时的时间．。
专项练习：菱形的判定【北师大版九年级数学上册】
菱形的判定、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD 是菱形的条件是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．邻边相等D．对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）A．矩形．B．菱形．C．矩形和菱形． D ．正方形．3. 满足下列（）的是菱形．A．两对角线相等B．两对角线垂直C．两条对角线垂直且互相平分D．两条对角线相等且互相垂直4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（）A．等腰梯形B．矩形C．对角线相等D．菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A．矩形B．三角形C．正方形D．菱形6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定8. 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A．AB CDB．AC BDC．AC BD 时，它是菱形D．当ABC 90o时，它是矩形、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是．10. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O ，从（1）AB CD ；（2）AB∥CD；（3）OA OC；（4）OB OD ；（5）AC ⊥ BD ；（6）AC平分BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：ABCD 是菱形；ABCD 是菱形．11. 延长等腰△ABC顶角平分线AD到E使DE AD，连结BE，CE ，则四边形ABEC是 __________ 形．12. 对角线 ___________ 的四边形是菱形．13. 将矩形ABCD绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A与B重合，得矩形BFDE，BF交AD于M，DE交BC于N，则四边形BMDN是 ____ （填特殊四边形的名称）．三、证明题14. 已知，如图，从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线，垂线分别是E，F，G，H．求证：四边形EFGH 是矩形．15. 已知四边形ABCD的四边分别为a，b，c，d ，且满足a4 b4 c4 d4 4abcd ，求证：四边形ABCD 是菱形．MNDC16. 已知Y ABCD 是对角线 AC 、BD 相交于 O ，如图，且 AD 13，AC 6，BD 4，你能说明四边形 ABCD 是菱形吗？如图所示， Rt △ ABC 中， ACB 90o， ABC 的角平分线 BD 交 AC 于点 D ，19. 如图，在 △ABC 中， AD 是交 AC 于 F ，求证：四边形 AEDF 是菱形．17. CH ⊥AB 交BD 于F ，DE ⊥AB 于E ，四边形 CDEF 是菱形吗？如图，在五边形 ABCDE中， 说明：四边形 ACDE 是菱18. AB BC CD DEEA ， ABC 2 DBE ．请BAC 的平分线，20. 如图，矩形 ABCD 中， O 是两对角线的交点， AF 垂直平分线段 OB ，垂足 为 E ， CH 垂直平分线段 OD ，垂足为 G ．求证：（1） △ AOB 是等边三角形； （ 2）四边形 AFCH 是菱形．21. 如图，矩形 ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线 EF 与AB ，CD 的延长线分别交于 E ，F ．1）求证： △ BOE ≌△ DOF ；2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形 AECF 为菱形？并证明你的结论．22. 如图所示，AD 是Rt △ ABC 斜边BC 上的高， B 的平分线交 AD 于M ，交AC 于 E ， DAE 的平分线交 CD 于 N ．求证：四边形 AMNE 为菱形．ＤＡＭＤＮ23. 如图所示，在四边形 ABCD 中，对边AB CD ，M ，N ，P ，Q 分别是 AD ， BC ， AC ， BD 的中点，求证： MN ⊥PQ ．24. 如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，且△ ADE 与△ BCE 都是正三角形， 点 P ，Q ，M ，N 分别为边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点．求证：四边形 PQMN25. 如图，四边形 ABCD 中， ABC ADC 90o ，M 为 AC 中点，且 MN ⊥ BD 与 MD 的平行线 BN 交于 N ，求证：四边形 BNDM 为菱形．Ｄ26. 如图Rt △ ABC中，BAC 90o，AD ⊥ BC于D，CE平分ACB交AD 于G，交AB 于E，EF ⊥BC于F ，求证：四边形AEFG为菱形．形AFCE 是菱形．28. 已知：如图，过Y ABCD 的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG，平行四边形ABCD各边分别相交于点E，F，G，H ．求证：四边形EFGH 是菱形．27. Y ABCD 的对角线的垂直平分线与边FH 与AD，：四边D29. 如图，在Y ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形．四、应用题30. 如图，在四边形ABCD 中，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由．参考答案一、选择题1. D2. B3. C4. C5. D6. C7. B8. B二、填空题9. 菱形 10. (1)(2)(6) (3)(4)(5)[ 或(3)(4)(6)]11. 菱12. 互相平分且垂直 13. 菱形三、证明题14. 先证四边形 HEFG 为平行四边形，再证 HF EG ．15. 解：因为 a 4 b 4 c 4 d 4 4abcd ，所以 2a 4 2b 4 2c 4 2d 4 8abcd 0 ，所 以(a42a 2b2b4 )(b42a 2c2c 4)(c42c 2d2d 4) (d42a 2d2a 4)2(a 2b 2 2abcd c 2d 2) 2(a 2d 2 2abcd b 2c 2) 0所以(a 2 b 2)2 (b 2 c 2)2 (c 2 d 2)2 (d 2 a 2)2 2(ab cd)2 2(ad bc)2 0 由非负 数性质得， a 2 b 2 0，b 2 c 2 0， c 2 d 2 0，d 2a 20 ，ab cd 0，ad bc 0．所以 a b c d ．所以四边形 ABCD 是菱形．16. 解：Q 四边形 ABCD 是平行四边形， AC 6，BD 4． OA OC 3，OB OD 2 ．又Q AD 13 ．2 2 2AD 2OA 2 OD 2.AOD 90o ，即: AC ⊥ BDY ABCD 是菱形．17. 解：四边形 CDEF 是菱形．理由如下： Q DE ⊥ AB ， CH ⊥ AB ，DE ∥CH ． 即： DE ∥CF ． 又QBD 是角平分线， DE DC ，且 BDEBDCQ DE ∥ CH ，BDECFD. CDF DFC.CD CF. CF DE.四边形 CDEF 是平行四边形，又因 DC DE ． 四边形 CDEF 是菱形．18. 提示：只需证四边形 EACD 为平行四边形，只需证明 AE ∥CD BM ∥AE 经证 BM ∥CD 即可．19. ∵ EF 垂直平分 AD ，∴AE DE ，AF DF ，∵ AD 平分 BAC ，∴△ AED ≌△ AFD ，∴AE AF ，∴AE DE 故四边形 AEDF 是菱形．1120. （1）可证 OA AC ，OB BD ，∴OA OB ．22∵ AF 垂直平分 OB ，∴OA AB OB ，故 △AOB 为等边三角形．2）在等边 △ AOB 中， AF ⊥OB ，∴ OAE BAE 30o ，可证明 FCA DAC ， FCA EAO ，∴ AF CF ， 可证明四边形 AFCH 是平行四边形，而 AF CF ，故四边形 AFCH 是菱形．21. （1）∵在矩形 ABCD 中， AB ∥CD ，∴ E F ， EBO FDO ，又 BO OD ，∴△ BOE≌△ DOF ．过B 作AF DF ，（2）当EF 与AC垂直时，四边形AECF 为菱形．证明：∵△ BOE ≌△DOF ，∴EO FO．又AO OC ，∴四边形AECF 为平行四边形．又EF ⊥ AC ，∴四边形AECF 为菱形．22. 证明：设AN与ME交于点O ，因为AD是Rt△ ABC斜边BC上的高，所以ABD CAD ．又BE，AN分别平分ABD和CAD，所以EAN ABE ．所以在Rt△ ABE中，AOB 90o，△ AME是等腰三角形，AN平分ME，又因为∠ABO NBO，OB OB ，所以Rt△ AOB ≌Rt△ NOB ，AO ON ，即ME垂直平分AN ，四边形AMNE是菱形．23. 证明四边形MQNP 是菱形即可．24. 连结AC ，BD，Q△ ADE 与△ BCE都是正三角形，AE DE，CE BE，AED BEC 60o，AEC 60o DEC DEB 证△ AEC≌△ DEB1（SAS）AC DB，又P，Q，M ，N分别为各边中点，得PQ MN AC，2 1QM PN BD PQ QM MN NP. 四边形PQMN 为菱形．225. 设MN与BD交于O ，易证MB MD ，再证△ DOM ≌△ BON ，从而BN DM ，又由BN∥ DM ，可证得四边形BNDM 为菱形．26. 易证AE FE，而且AD∥EF，AEG AGE AG EA EF 又AG∥EF AEFG 为菱形．27. 证Q EF 垂直平分AC ，AF FC ，AE EC，FAC FCA ，明：EAC ECA．Q AD∥ BC，EAC FCA，ECA FCA．Q EF⊥ AC CEF CFE ，FC EC ，AF FC CE AE，四边形AFCE 是菱形．28. 略29. 先证明四边形AFCE 为平行四边形，再由AC⊥EF即可得证．四、应用题30. 添加的条件是：AC BD ．理由略．。
北师大版九年级数学上同步练习1：菱形的性质与判定 (含答案)
菱形的性质与判定一、选择题1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角3.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（）A.168 cm2B.336 cm2C.672 cm2D.84 cm24.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）A.43B.83C.103D.1235.下列语句中，错误的是（）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到二、填空题6.菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______.7.菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______.8.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______.9.菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______.10.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______.三、解答题11.如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.12.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？13.菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH.参考答案一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.D二、6. 2 cm 7. 44厘米8. 176 cm2 9. 8 cm 5 cm 10. 4 cm三、11.四边形AEDF是菱形，AE=E D.12.□AFCE是菱形，△AOE≌△COF，四边形AFCE是平行四边形，EF⊥AC13.24 cm214. 9.6 cm。
2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第一章 菱形的性质与判定》同步练习题附含答案
2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第一章菱形的性质与判定》同步练习题附含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2．如图，菱形ABCD的周长为8，∠ABC=120°，则AC的长为（）A．2 √3B．2 C．√3D．13．如图，在菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且OA=4，直线y=23x+43过点C，则菱形ABOC的面积是 ( ）A．4 B．323C．8 D．1634．如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．2√3cm2 B．3√3cm2 C．4√3cm2 D．6√3cm25．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为√3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：√2D．1：√36．如图有一张长为12，宽为8的长方形（矩形）纸片，先将其上下对折，再左右对折，最后沿着虚线剪下一个直角三角形①，若该直角三角形①的直角边长为整数，将①展开可得一个四边形，则下列哪个选项不能作为该四边形的面积（）A．18 B．24 C．28 D．307．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°8．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）个。
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菱形的判定一、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．邻边相等D．对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）A．矩形．B．菱形．C．矩形和菱形．D．正方形．3. 满足下列（）的是菱形．A．两对角线相等B．两对角线垂直C．两条对角线垂直且互相平分D．两条对角线相等且互相垂直4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（）A．等腰梯形B．矩形C．对角线相等D．菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A．矩形B．三角形C．正方形D．菱形6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定8. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A．AB CD=B．AC BD=C ．AC BD ⊥时，它是菱形 D ．当90ABC ∠=o 时，它是矩形 二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是．10. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒ABCD 是菱形；⇒ABCD 是菱形．11. 延长等腰ABC △顶角平分线AD 到E 使DE AD =，连结BE CE ，，则四边形ABEC 是_________形．12. 对角线__________的四边形是菱形．13. 将矩形ABCD 绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A 与B 重合，得矩形BFDE ，BF 交AD 于M ，DE 交BC 于N ，则四边形BMDN 是______（填特殊四边形的名称）． 三、证明题14. 已知，如图，从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线，垂线分别是E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．15. 已知四边形ABCD 的四边分别为a ，b ，c ，d ，且满足44444a b c d abcd +++=，求证：四边形ABCD 是菱形．A D MBCENFＡ16. 已知ABCD Y 是对角线AC BD 、相交于O，如图，且6AD AC ==，4BD =，你能说明四边形ABCD 是菱形吗？17. 如图所示，ABC Rt △中，90ACB ∠=o ，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，CH AB ⊥交BD 于F ，DE AB ⊥于E ，四边形CDEF 是菱形吗？18. 如图，在五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ====，2ABC DBE ∠=∠．请说明：四边形ACDE 是菱形．19. 如图，在ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD 交AB 于E ，交AC 于F ，求证：四边形AEDF 是菱形．ＡＯＤＢＡＤＣＢＨＥＦＡ20. 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AF 垂直平分线段OB ，垂足为E ，CH 垂直平分线段OD ，垂足为G ． 求证：（1）AOB △是等边三角形； （2）四边形AFCH 是菱形．21. 如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，CD 的延长线分别交于E ，F ． （1）求证：BOE DOF △≌△；（2）当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 为菱形？并证明你的结论．22. 如图所示，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，B ∠的平分线交AD 于M ，交AC 于E ，DAE ∠的平分线交CD 于N ．求证：四边形AMNE 为菱形．ＢＣＤＢ23. 如图所示，在四边形ABCD 中，对边AB CD =，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，AC ，BD 的中点，求证：MN PQ ⊥．24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且△ADE 与△BCE 都是正三角形，点P ，Q ，M ，N 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形PQMN 为菱形．25. 如图，四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=o ，M 为AC 中点，且MN BD ⊥与MD 的平行线BN 交于N ，求证：四边形BNDM 为菱形．AP ＥＢＱ ＣＭＤＮＢ26. 如图Rt △ABC 中，90BAC ∠=o ，AD BC ⊥于D ，CE 平分ACB ∠交AD 于G ，交AB 于E ，EF BC ⊥于F ，求证：四边形AEFG 为菱形． 27.ABCDY 的对角线的垂直平分线与边AD BC ，分别交于E F ，，求证：四边形AFCE 是菱形．28. 已知：如图，过ABCD Y 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG FH ，与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E F G H ，，，． 求证：四边形EFGH 是菱形．BDGY中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边A D，29. 如图，在ABCDBC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形．四、应用题30. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由．参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二、填空题 9. 菱形10. (1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)] 11. 菱12. 互相平分且垂直 13. 菱形 三、证明题14. 先证四边形HEFG 为平行四边形，再证HF EG =．15. 解：因为44444a b c d abcd +++=，所以4444222280a b c d abcd +++-=，所以422442244224422422222222(2)(2)(2)(2)2(2)2(2)0a a b b b a c c c c d d d a d a a b abcd c d a d abcd b c -++-++-++-++-++-+=所以22222222222222()()()()2()2()0a b b c c d d a ab cd ad bc -+-+-+-+-+-=由非负数性质得，220a b -=，220b c -=，220c d -=，220d a -=，0ab cd -=，0ad bc -=．所以a b c d ===． 所以四边形ABCD 是菱形．16. 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，64AC BD ==，．32OA OC OB OD ∴====，．又AD =Q ．222.90AD OA OD AOD AC BD∴=+∴∠=o即，:⊥∴ABCD Y 是菱形．17. 解：四边形CDEF 是菱形．理由如下： DE AB CH AB Q ⊥，⊥，DE CH ∴∥． 即：DE CF ∥． 又BD Q 是角平分线，DE DC ∴=， 且.BDE BDC ∠=∠....DE CH BDE CFD CDF DFC CD CF CF DE ∴∠=∠∴∠=∠∴=∴=Q ∥，∴四边形CDEF 是平行四边形，又因DC DE =． ∴四边形CDEF 是菱形．18. 提示：只需证四边形EACD 为平行四边形，只需证明AE CD ∥，过B 作BM AE ∥经证BM CD ∥即可．19. EF ∵垂直平分AD ，AE DE =∴，AF DF =，AD ∵平分BAC ∠，AED AFD ∴△≌△，AE AF =∴，AE DE AF DF ===∴，故四边形AEDF 是菱形． 20. （1）可证12OA AC =，12OB BD =，OA OB =∴． AF ∵垂直平分OB ，OA AB OB ==∴，故AOB △为等边三角形． （2）在等边AOB △中，AF OB ⊥，30OAE BAE ∠=∠=o ∴， 可证明FCA DAC ∠=∠，FCA EAO ∠=∠，AF CF =∴，可证明四边形AFCH 是平行四边形，而AF CF =，故四边形AFCH 是菱形． 21. （1）∵在矩形ABCD 中，AB CD ∥，E F ∠=∠∴，EBO FDO ∠=∠，又BO OD =，BOE DOF ∴△≌△．（2）当EF 与AC 垂直时，四边形AECF 为菱形． 证明：BOE DOF ∵△≌△，EO FO =∴． 又AO OC =，∴四边形AECF 为平行四边形． 又EF AC ⊥，∴四边形AECF 为菱形．22. 证明：设AN 与ME 交于点O ，因为AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高， 所以ABD CAD ∠=∠．又BE ，AN 分别平分ABD ∠和CAD ∠， 所以EAN ABE ∠=∠．所以在Rt △ABE 中，90AOB ∠=o ，△AME 是等腰三角形，AN 平分ME ， 又因为ABO NBO =∠∠，OB OB =，所以Rt △AOB ≌Rt △NOB ，AO ON =，即ME 垂直平分AN ，四边形AMNE 是菱形．23. 证明四边形MQNP 是菱形即可．24. 连结AC ，BD ，Q △ADE 与△BCE 都是正三角形，AE DE ∴=，CE BE =，60AED BEC ∠=∠=o ，60AEC DEC DEB ∴∠=+∠=∠o 证△AEC ≌△DEB（SAS ）AC DB ∴=，又P ，Q ，M ，N 分别为各边中点，得12PQ MN AC ==，12QM PN BD ==PQ QM MN NP ∴===.∴四边形PQMN 为菱形． 25. 设MN 与BD 交于O ，易证MB MD =，再证△DOM ≌△BON ，从而BN DM =，又由BN DM ∥，可证得四边形BNDM 为菱形．26. 易证AE FE =，而且AD EF ∥，AEG AGE ∠=∠AG EA EF ∴==又AG EF ∥AEFG ∴为菱形．27. 证明：EF Q 垂直平分AC ，AF FC ∴=，AE EC =，FAC FCA ∴∠=∠，EAC ECA ∠=∠．AD BC Q ∥，EAC FCA ∴∠=∠，ECA FCA ∴∠=∠．EF AC Q ⊥，CEF CFE ∴∠=∠，FC EC ∴=，AF FC CE AE ∴===，∴四边形AFCE 是菱形．28.略29. 先证明四边形AFCE为平行四边形，再由AC⊥EF即可得证．四、应用题30. 添加的条件是：AC BD．理由略．。