第四讲效用函数与风险升水

第四讲 效用函数与风险升水
第一节 不确定状态的描述
一、两个变量
1、结果：12(,,)n x x x （非现金变量）
12(,,)n y y y （钱数）
2、概率分布121(,,) 1 0(1,2,)n
n i i i p p p p p i n ==≥=∑
二、彩票（Lottery ）/赌局（gamble ）:单赌与复赌 单赌：11221(,,,)1,0n
s n n i i i L p a p a p a p p ===≥∑
单赌：结果与出发点只有一个环节
复赌：单赌当中的结果又是一张彩票（compound Lottery ） 复赌公理：
如果12324(1)p p p p p =⋅+-⋅，则12L L =
三、不确定条件下选择公理
公理1：[连续性公理]
如A B C ≥≥，则(0,1)p ∍∈
使得(1)~p A p C B ⋅+-⋅
注意：A 与B 相差很大（1000$—10$）
如A=2$，B=1$，理性条件下则公理一般不成立 公理2：[独立性公理]
如A B ≥，考虑“C ”
则对(0,1) (1)(1)p pA p C pB p C ∀∈+-≥+-
对,A B 之间偏好关系不受独立于（,A B ）外的事件C 的影响。

意味着，偏好关系不随时间，地点等而改变。

可以推广到b 11(,,), (,,) a a a b b
n n p p p p ζζ== c 12(,,)n x x x ζ= 在a ζ与b ζ间是相同的，
a b c ζζζ>>
连续性：(0,1)α∃∈，使(1)~a c b αζαζζ+-
独立性：如a b ζζ≥，则(1)(1)a c b c αζαζαζ
αζ+-≥+-
公理3：［次序完全公理］
如存在A 与B ，偏好A B ≥，或者B A ≥，或者~A B 同时，如A B ≥，并且B C ≥，则A C ≥
第二节 期望效用理论
一、期望 1122()n n E x p x p x p x =+++
问题：有些事件()E x =∞，但()V x <∞
二、圣彼得堡悖论（1738）
Daniel Bernoulli
Nicolas Bernoulli(1717) 一枚均质硬币（12
）
获利赌局-1 2n n ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
如掷一次,第一次就背面朝上,获1元 如 二 2 如 三 4 如
11111()2
()222
n n n E x ∞-===++=∞∑ 实际发现()20v x <
D ．Bernoulli ():
E x 客观的，评价可以一致； ()V x ：主观的，人与人不同。

()u x 是凹函数，例如：()log u x x =
∴()V x 收敛
2211n=11111[()]log1()log ()log 222211 =()log 2log 2()(1)log 2
22
n n n n n n E u x n -∞∞-==++++=-=∑∑ 期望效用≠期望回报
三、V ·诺依曼—摩根斯坦效用公式
1()()()n
i i n E u u p u x ζ===∑对效用本身取期望，而不是
i i p x ∑，()u x 是凹函数。

四、注意：()E u 不能任意的正单调转换
完全确定条件下：
()()()()x y u x u y u
x u y >⇔>⇔> ()u
x 是()u x 的任意正单调转换 在不确定条件下：x 是ζ，2个结果，1122() ()w p w p 12()log ,1u x x p p =+=
1122()log log E u p w p w =+ （1）不确定
若变换形式为
12()12
p p E u V e w w == （2）确定（12,p p ）成了支出比例 （2）式与（1）式含义完全不同
()E u ∴只承认正线性转换，
(())(0)v a b E u b =+>，里面包含了基数含义， 基数指数Cardinal index 能定大多少，
A. Sen （阿马迪亚.森）认为：
B. ()()u x u y x y >⇔>（序数含义，只选定大小）
1
1
()()()
()()
n a a a i i i n b b b i i i E u u p u x u p u x ζζ====⋅=∑∑
()()a b a b u u ζζζζ>⇔>
第三节 风险规避与风险溢价
一、研究对象：风险对人们的效应
取决于3个变量：
① risk 本身 ② w （财富水平） ③主观态度u (·)
定义：零均值风险()0E r =， pure risk =zero mean risk 风险规避（厌恶风险）如果一个人对零均值风险采取拒值态度，则此人厌恶风险。

二、风险度量
工资方式 12
1 2000 10002
αα平均离差 1佣金制 2固定薪水 99% 1510 1% 510
()1500E ω= 离差 ()w E w -
①平均离差=1
()n i i i i w E w p =-∑
②方差 2σ 标准差σ
三、对风险的主观态度
1、()u w 是凹，()0 ()0 u w u w '''><
如果w 是一个向量
[0,1]λ∀∈，只要0,1λ=，则()u ⋅是凹的
⇒推论：如果()u ⋅是严格凹的，则此人一定是风险规避的
证：任设一人初始财产水平为0w ，风险为 x
（ x 为纯风险） 000
()()z w x E z E x w w =+=+= (0,1)λ∀∈，λ表示坏事发生的概率，1λ-表示好事发生概率
2010
12000
()(1)()[()(1)()]()u w x u w x u w x w x u w λλλλ++-+<++-+= [ 纯风险， 12()0(1)0E x
x x λλ=⇔+-=] 2、效用函数凹的三个经济含义
①边际效用递减()0u ''⋅<
②风险规避
③赢得起输不起
3、用数学刻画风险规避
①1212[(1)]()(1)() u w w u w u w λλλλ+->+- [()][()]u E g E u g > 风险规避
②1212[(1)]()(1)() u w w u w u w λλλλ+-<+- [()][()]u E g E u g < 风险爱好
③1212[(1)]()(1)() u w w u w u w λλλλ+-=+- [()][()]u E g E u g = 风险中立
四、风险规避系数 ()u ⋅凹的程度
()()
u w R u w α''=-' 绝对风险规避系数 ()()
w u w R u w γ''⋅=-' 相对风险规避系数 例如：存在一个效用函数
2()
() ()Aw Aw Aw
u w e u w Ae u w A e ---=-'=''=-可得：
?a R A R γ⇒==， ②(1)
() (0,1)(1)
w u w ζζζζ-=≠→- 求R α
五、CE 与P
CE(certainty Equivalent)确定恒等值，P （Premium ）风险升水
1、CE ：在一个完全确定的收入量，在此收入条件所对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平。

所以，CE 是在确定水平下等价于期望效用对应的财富水平。

(())
()CE u E u p E w CE ==-（风险代价）（风险溢价）
例6 存在一种彩票，其概率分布
获900元，0.2，获100元，0.8
问：个人()u w =，这个人愿花多少钱买这张彩票 答：由于()9000.21000.8260E w =⨯+⨯=
CE 应满足
()[()]0.214u CE E u w ===+= 196CE ⇒= （愿出价格）
()64E u CE -= （风险溢价）
当确定性结果转化为不确定性结果时，要有补偿，风险溢价
五、应用
注意：()E w 可能0w ≠（0w 初值）
例7：财险 9o w =万（房屋）0.05概率失火，
8w ∆=万，u =（单边风险）
求：①保险金应付多少？
②保险公司的利润为多少？
这里，0w =9万≠()E w =0.9590.0518.6⨯+⨯=
例8：
本讲作业：第3、4、7、9、10、14题
附加思考题：
1、 目前有许多事业部门为职工买商业保险，你认为这种行
为的问题所在？企业是否可以？国有企业是否可以？
2、 现在中国学者讨论“保险泡沫”，你认为“保险泡沫”
的原理是是什么？如何消除？。