函数的基本概念—函数定义、解析式(教师版)

函数（1）——函数的基本概念一、基础知识 (一)、函数的有关概念 （1）函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．（强调：①任意性；②唯一性）。

（2）函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量， A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域．（3）函数的三要素： 、 和 。

（4）．函数的表示方法表示函数的常用方法有： 、 和 （二）．相等函数如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数． 三、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．二、 例题分析 （一） 函数的概念：例题1、以下各组函数表示同一函数的是（ C ）A . f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x (x ＋1)； B. f (x )＝x 2－4x －2，g (x )＝x ＋2；C. f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1；D. f (n )＝2n －1(n ∈Z )，g (n )＝2n ＋1(n ∈Z )． 例题2、下各组函数表示同一函数的是（ D ）A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x >0)－x 2 (x <0) D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)例题3．下列说法中正确的为( A )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数例题4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有_(1)(3)___．例题5.下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( C )（二）求函数的解析式例题1．根据下列条件，求函数()f x 的解析式：⑴已知)12fx x x =+()f x ；⑵已知()f x 是一次函数，且()98f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x ；⑶已知()()3225f x f x x +-=+，求()f x ．解：⑴设1t x 1x t =-，∴()()()221211f t t t t =-+-=-， ∵11t x ,∴()()2 1 1f x x x=-．⑵设()() 0f x ax b a =+≠，则()()()2f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++⎡⎤⎣⎦，由 298a x ab b x ++=+ 得2339248a a a b b ab b ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或．∴()()3234f x x f x x =+=--或．⑶在()()3225f x f x x +-=+ ①中，以x -换x 得()()3225f x f x x -+=-+ ② 由①，②消去()f x -得()21f x x =+．例题2．已知函数 ()f x 满足2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）()f x 的解析式；⑵求()f x 的定义域、值域．解析（1）本题若采用换元法，令1t x x=+，则难以用t 来表示出x ，注意到2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()22f x x =-.（2）为确定函数的定义域，必须求出1t x x=+的值域，可考虑用判别式法：由1t x x=+，得：210x tx -+=．由240t ∆=-，得22t t -或， ∴()f x 的定义域是(][),22,-∞-+∞，又24x ，∴()222f x x =-，即值域为[)2,+∞．例题3．设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)， 求f(x)的表达式。

分析：只需令y x =，可得()21f x x x =++。

例题4． 某地的出租车按如下方法收费：在3km 以内（含3km ）的路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费.试写出以行车里程x(km)为自变量,车费y(元)为函数值的函数解析式。

答案：()7,037,037 2.43,3 2.40.2,3x x y x x x x <≤⎧<≤⎧⎪==⎨⎨+->->⎪⎩⎩例题5、甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲从家出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y ＝f(x)的函数解析式．练习题1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

答案：（1）,32)(2--=x x x f （2）,424)12(2-+=+x x x f2、已知()f x 是二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求()f x 的解析式。

答案：,12)(2--=x x x f（三）分段函数例题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1 x <1x 2＋ax x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝( C )A.12B.45C ．2D ．9例题2、已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x >0)e (x ＝0)0 (x <0)，则f {f [f (－2)]}的值是____2e ____．例题3．为配合客户不同需要，某电信公司有A 、B 两种优惠计划供客户选择：请根据上面提供的信息，解答下列问题：⑴通话时间超过多少分钟时，计划B 比计划A 更省钱？⑵若用户决定选择计划B ，则通话多少时间可比选择计划A 便宜得最多？最多便宜多少钱？ ⑶通过以上研究你觉得应如何选择优惠计划？析：先根据题意，分别求出A 、B 两计划付费金额关于通话时间的函数解析式，通过计算它们之间的差值，再作出回答．解：设A 、B 两计划付费金额关于通话时间x （分钟）的函数分别为()f x 和()g x ，依题意： ()()50, 0600.460500.426, 60x f x x x x ⎧⎪=⎨-+=+⎪⎩>，()()98, 03000.4300980.422, 300x g x x x x ⎧⎪=⎨-+=-⎪⎩>，()()48, 0600.472, 6030048, 300x y f x g x x x x -⎧⎪=-=-⎨⎪⎩<>．⑴易见，当060x，()()f x g x <；当60300x<，由()()f x g x >即0.4720x ->得180x >；当300x >时，()()f x g x >．∴当通话时间超过180分钟，计划B 比计划A 更省钱． ⑵由⑴，当180300x <时(]0.4720,48y x =-∈；当300x >时，48y =．∴当通话时间在300分钟以上时，计划B 比计划A 便宜得最多，最多便宜48元钱．⑶通过以上研究，若通话时间在180分钟以内，则选择计划A ；若通话时间超过180分钟，则选择计划B ． 四、课后作业 一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( D )A ．y ＝5x 5与y ＝x 2 B ．y ＝ln e x 与y ＝e ln x C ．y ＝(x －1)(x ＋3)x －1与y ＝x ＋3 D ．y ＝x 0与y ＝1x 02．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≤0)，－2x (x >0)，使函数值为5的x 的值是( A )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－523．已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的图象为( D )A ．B ．C ． D.4．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( B )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( B )A ．y ＝⎣⎡⎦⎤x 10B ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋510 6、设函数)()2(,32)(x f x g x x f =++=，则)(x g 的表达式是（ B ）A ．12+xB ．1-2xC ．3-2x D. 72+x7、设函数2211)11(x x x x f +-=+-，则)(x f 的解析式为（ C ） A ．21x x + B ．212-x x + C ．212x x + D. 21-x x+ 8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( B )A ．B ．C ． D. 二、填空题9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0x 12，x >0，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围________答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．已知函数f (x )＝bx 2－3x ，若方程f (x )＝－2x 有两个相等的实根，则函数解析式为________答案：f (x )＝4x3x －2三、解答题11．设f (x )＝xax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f [f (－3)]的值．解析：∵ f (2)＝1，∴22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2.①又∵ f (x )＝x 有唯一解，即xax ＋b ＝x 有唯一解，∴ x ·ax ＋b －1ax ＋b ＝0有唯一解．而x 1＝0，x 2＝1－b a ，∴1－ba＝0.② 由①②知a ＝12，b ＝1.∴f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2.∴ f [f (－3)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×(－3)－3＋2＝f (6)＝2×66＋2＝32. 12．已知函数21,(0)()21,(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<<⎩满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 解析：(1)∵ 0<c <1，所以c 2<c .由f (c 2)＝98，即c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1，0<x <12，2－4x＋1，12≤x <1，由f (x )>28＋1，得当0<x <12时，解得24<x <12； 当12≤x <1时，解得12≤x <58， ∴ f (x )>28＋1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |24<x <58. 14、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，求()f x 的解析式。