管理决策分析模糊决策和灰色决策方法

就退化为普通子集,隶属函数就变为特征函数.因此,普通子集 就是模糊子集的特例.
当论域U为有限集时,模糊子集A表示为
A
～
A(u1 ) / u1 ～
A(u2 ) / u2 ～
A(un ) / un ～
n
A(ui ) /(ui ),(ui U , i 1,2, , n) i1 ～
这里,“∑”不表示数字和, A (ui ) / ui 也不表示分数,而 是表示模糊集中的元素ui及其对应的隶属度 A(ui )
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第一节 模糊综合评价方法
一. 模糊子集、模糊关系及其简单性质
设U表示一些对象的集合,称之为论域.论域U上的普通子集 A有明确的范围,对于任意元素u∈U, u或者属于A,u或者不 属于A,二者必居其一.普通子集A用特征函数表示为:
1, u A vA(u) 0, u A
定义9.1
设
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3.模糊子集的运算
设A,B为论域U上的模糊子集,模糊子集的主要运算法则是:
① 相等. 如果A=B,则有 A (u) B (u) ② 包含. 如果A B ,则有 A (u) B (u)
③
余集.
如果A余集是
A,则有
A
(u)
1
A
(u)
④ 并集. 如果A、B的并集是 A B ,则有
0.7 / u1 0.8 / u2 0.2 / u3 1 / u4 5. 模糊关系与模糊矩阵
A
～
0.7
/
u1
0.8
/
u2
0.2
/
u3
1
/
u4
,
根据定理9.1可以得到
A U
0,
1 A
0.2A0.2 0.7A0.7 0.8A0.8 1A1
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0.2(1 / u1 1 / u2 1 / u3 1 / u4 ) 0.7(1 / u1
1 / u2 1 / u4 ) 0.8(1 / u2 1 / u4 ) 1(1 / u4 )
AB (u) max[ A(u), B (u)] A(u) B (u)
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⑤ 交集. 如果A、B的交集是A B ,则有
A B (u) min[ A(u), B (u)] A(u) B (u)
模糊子集的并集A B 和交集 A B可以用图9-5表示 曲线1,2表示并集
曲线3，4表示交集
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和普通集合运算律类似,模糊子集交、并、余集满足下列运 算律：
① 交换律 A B B A
A B B A
② 结合律
A(B C) (A B)C A (B C) (A B) C
③ 分配律
A(B C) (A B) (AC) A (B C) (A B)(A C)
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④ 吸收律 A ( A B) A A (A B) A
⑤ 对偶律 A B A B A B AB
4. 模糊子集和普通子集的转化
定义9.2 设A是论域U上的模糊子集,任取 0, 1,集合
A u | A(u) , u U
则Aλ称为模糊子集A的λ截集,其中λ称为阈值或置信水 平.模糊子集A与它的λ截集的关系如图9-6.
Supp A u | A (u) 0, u U
如图9-7.
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定义9.3 设A是U上的普通子集, 0, 1, λA是一个模
糊子集,其隶属函数为
u A
A (u)
0
u A
λA称为λ与A的积.
定理9.1 设A是U上的模糊子集, 0, 1,则
A
～
U
0,1
A
（9-1）
[例 9-3]设U={u1,u2,u3,u4},
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[例9-2] 设U={u1,u2,u3,u4,u5},
A
～
0.9
/
u1
0.7
/
u2
0.4
/
u3
0.1
/
u4
,
B
～
0.2
/
u1
0.5
/
u2
0.8
/
u3
0.3
/
u4
0.1
/
u5
,
则有 A B 0.9 0.2 0.7 0.5 0.4 0.8 0.1 0.3 0 0.1
1 ,
1,
uc uc
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其中, c∈U 是任一点,参数a>0,b>0.图形如图9-2.
② 偏大型(戒下型)
0,
uc
(u)
1
[a(u
c
)b
1 ,
uc
其中, c∈U 是任一点,参数a>0,b>0.图形如图9-3.
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③ 中间型(正态型)
(u) ea(uc)2
其中, c∈U 是任一点,参数a>0.图形如图9-4,表示充分 接近元素c的模糊集.
～～
u1
u2
u3
u4
u5
0.9 / u1 0.7 / u2 0.8 / u3 0.3 / u4 0.1/ u5
A B 0.9 0.2 0.7 0.5 0.4 0.8 0.1 0.3 0 0.1
～～
u1
u2
u3
u4
u5
0.2 / u1 0.5 / u2 0.4 / u3 0.1/ u4,
A
～
是论域U上的一个模糊子集,对任意
u∈U
,
都对应一个数 A(u) 0,
值函数
1,称之为元素u对 A的隶属度,实 ～
A : U 0, 1
u A(u)
称为 ～ A隶属函数.
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[例9-1] 以年龄为论域,U=[0,100],以A表示模糊子集“年 轻”.一般认为25岁以下的人均为年轻,超过25岁的人“年轻” 程度逐年下降.A的隶属函数为
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根据截集的定义，推出截集的性质:
( A B) A B
② ( A B) A B
③ 若1 , 2 0, 1 , 且1 2 ,则A1 A2
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模糊子集A特殊的截集：
当λ=1时,截集A1的范围最小,称为模糊子集A的核; 当λ→0+时,得到范围最大的集合,称为A的支集,记作
1,
A
(u)
1
u
来自百度文库
25 5
2
1
,
0 u 25 25 u 100
其图形如图9-1所示.
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30岁的人在多大程度上属于“年轻”这个范畴,容易计算
A(30) 0.5 即30岁的人隶属“年轻”集合的程度为
当模糊子集的0.隶5.属函数A (u)的取值仅为0或1时,模糊子集
～
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同样,当论域U为无限集时,模糊子集A表示为
A
～
A(u) / u,(u U ) ～
U
其中“∫”也不表示积分.
有限集论域U上的模糊集也可以表示为
A
～
(A(u1 ), A(u2 ),
～
～
, A(un )) ～
2. 隶属函数的常见类型
① 偏小型(戒上型)
(u)
1 [a(u c)]b