B_6_4_6.4-群的同态及同构
群的同构定理
群的同构定理在抽象代数中，群是一种具有代数结构的数学对象，它在数学领域中有着广泛的应用和重要地位。
对于群的研究，同构是一个重要的概念。
同构是指两个群之间存在一个一一对应的双射，其保持了两个群之间的运算结构。
在本文中，我们将探讨群的同构定理及其相关性质。
一、同构的定义和性质设G和H是两个群，若存在一个从G到H的双射f，且对于任意的元素a、b∈G，有f(ab)=f(a)f(b)，则称这个双射f为从G到H的同构映射，记作G≅H。
若存在一个同构映射从G到H，则称G和H是同构的。
同构的基本性质如下：1. 同构是等价关系。
即同一个群与自身同构，若G≅H，则一定有H≅G；若G≅H，H≅K，则一定有G≅K。
2. 同构保持群的运算结构。
若G≅H，且a、b∈G，则f(a·b)=f(a)·f(b)。
3. 同构保持单位元。
若G≅H，且eG和eH分别为G和H的单位元，则f(eG)=eH。
4. 同构保持逆元。
若G≅H，且a∈G，则f(a⁻¹)=f(a)⁻¹。
二、下面我们介绍两个经典的群的同构定理。
1. 序号群同构定理设G是一个群，H是G的一个子群。
对于G中的任意元素a∈G，定义一个同态映射f：G→H，使得f(a)=aH。
则f是从G到H的一个同态映射，并且Ker(f)={a∈G | a∈H}是G的一个同态核。
根据同态核定理，G/Ker(f)≅H。
2. 基本同构定理设f：G→H是一个群之间的同态映射，其同态核为Ker(f)。
根据同态核定理，G/Ker(f)≅Im(f)，即G除以同态核的商群与f(G)同构。
三、同构的应用群的同构是抽象代数中一个重要的研究对象，它在很多数学领域中有广泛的应用。
以下是一些同构的常见应用：1. 规范形式：通过寻找两个同构的群，可以将一个复杂的群转化为一个更简单的形式，从而更容易研究和理解。
2. 基于同构的证明：在证明中，可以通过寻找两个同构的群，将一个问题转化为另一个已知结论的证明，从而简化证明的难度。
群同态与同构的基本理论与应用
群同态与同构的基本理论与应用在代数学的研究领域中，群同态和同构是具有重要意义的概念。
群同态是指将一个群的结构映射到另一个群的结构的映射，而同构是指具有双射性质的群同态。
本文将介绍群同态与同构的基本理论，并探讨它们在代数学以及其他领域中的应用。
一、群同态的定义与性质一个群同态是指将一个群的元素映射到另一个群中的函数，满足保持群运算的性质。
设有两个群$G$和$G'$，它们的运算分别为$*$和$*$'，那么一个群同态$\phi: G \rightarrow G'$需要满足以下条件：1. 保持群运算：对于任意的$x, y \in G$，有$\phi(x * y) = \phi(x) *'\phi(y)$；2. 保持单位元：有$\phi(e_G) = e_{G'}$，其中$e_G$和$e_{G'}$分别是$G$和$G'$的单位元；3. 保持逆元：对于任意的$x \in G$，有$\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1}$。
上述条件保证了群运算在映射之后的群中仍然成立，即保持了群的结构。
群同态的一个重要性质是，对于同一个群$G$，我们可以定义自身到自身的恒等同态$id: G \rightarrow G$，它满足$id(x) = x$，对于任意的$x \in G$。
二、群同构的定义与性质如果一个群同态是双射的，那么它就是一个群同构。
群同构保持了群元素之间的一一对应关系，从而保持了群的结构。
设有两个群$G$和$G'$，它们的运算分别为$*$和$*$'，一个群同构$\phi: G \rightarrowG'$需要满足以下条件：1. 双射性：对于任意的$x, y \in G$，如果$\phi(x) = \phi(y)$，那么$x = y$，并且对于任意的$x' \in G'$，存在唯一的$x \in G$，使得$\phi(x) = x'$；2. 保持群运算：同群同态的条件一样，对于任意的$x, y \in G$，有$\phi(x * y) = \phi(x) *' \phi(y)$；3. 保持单位元和逆元：同群同态的条件一样，有$\phi(e_G) =e_{G'}$，并且对于任意的$x \in G$，有$\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1}$。
B_6_4_6.4-群的同态及同构
一、群的同态映射
◦ e e a a b b sr sr3 e e e a a b b sr sr3 e e e a a b b sr3 sr a a a e e sr sr3 b b a a a e e sr3 sr b b b b b sr3 sr e e a a b b b sr sr3 e e a a sr sr sr3 b b a a e e sr3 sr3 sr b b a a e e
一、群的同态映射
◦ e e r r3 s sr2 sr sr3 e e e r r3 s sr2 sr sr3 e e e r3 r sr2 s sr3 sr r r r3 e e sr sr3 sr2 s r3 r3 r e e sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr e e r3 r sr2 sr2 s sr sr3 e e r r3 sr sr sr3 s sr2 r r3 e e sr3 sr3 sr sr2 s r3 r e e
一、群的同态映射
定理6.4.1设σ是群(G,·)到代数系统(K,*)内的一个 同态映射， G′=σ(G) ，则 （1） (G′,*)是一个群， （2） (G′,*)的单位元1′就是(G,·)的单位元1的映像 σ(1) ， -1 -1 （3） 对任意a， s◦r◦r◦r
( {I, r, r2, r3, s, sr, sr2, sr3} ，◦ )是一个群 称为二面体群，记作D4或D8.
一、群的同态映射
◦ I r r2 r3 s sr sr2 sr3 I I r r2 r3 s sr sr2 sr3 r r r2 r3 I sr sr2 sr3 s r2 r2 r3 I r sr2 sr3 s sr r3 r3 I r r2 sr3 s sr sr2 s s sr3 sr2 sr I r3 r2 r sr sr s sr3 sr2 r I r3 r2 sr2 sr2 sr s sr3 r2 r I r3 sr3 sr3 sr2 sr s r3 r2 r I
群环域论中的同态与同构
群环域论中的同态与同构群环域论是数学中的一个重要分支，研究群与环域之间的关系及其性质。
在群环域论中，同态与同构是两个重要的概念。
本文将从同态和同构的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、同态的定义与性质同态是指保持代数结构之间运算相容性的映射。
对于群与环域，同态具体的定义如下：（一）群同态：设G和H是两个群，如果存在一个映射f：G→H，满足对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从G到H的一个群同态。
（二）环域同态：设R和S是两个环域，如果存在一个映射f：R→S，满足对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从R到S的一个环域同态。
同态具有以下性质：（一）同态保持单位元：对于群同态，有f(eG)=eH，其中eG和eH分别是群G和H的单位元。
（二）同态保持逆元：对于群同态，有f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中a^(-1)是a的逆元。
（三）同态保持加法和乘法运算：对于环域同态，有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)。
二、同构的定义与性质同构是指两个代数结构之间存在一个双射，使得这个映射保持运算性质。
对于群与环域，同构具体的定义如下：（一）群同构：设G和H是两个群，如果存在一个双射f：G→H，且对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称G和H是同构的，f为从G到H的一个群同构映射。
（二）环域同构：设R和S是两个环域，如果存在一个双射f：R→S，且对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称R和S是同构的，f为从R到S的一个环域同构映射。
同构具有以下性质：（一）同构保持单位元和逆元：对于群同构，有f(eG)=eH和f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中eG和eH分别是群G和H的单位元，a^(-1)是a的逆元。
群同态基本定理与同构定理
思路拓展
采用归纳法，将问题划分为小规模子问题，通过递归调用，逐步缩小问题规模，最终得出证明结果。
证明过程细节
在归纳过程中，需要建立递归终止条件和归纳转移条件，并利用群的定义和性质，逐步缩小问题规模，最终得出 $f(a)=f(b)$ 的矛盾结果。
群同态基本定理的证明方法二
应用场景一
应用场景二
群的同构定理的表述与证明
应用一
在有限群表示论中，群的同构定理可以用来判断两个群是否具有相同的表示。
应用二
在代数拓扑中，群的同构定理可以用来判断两个拓扑空间是否同胚。
群的同构定理的应用举例
密码学中的许多算法都涉及到了群结构，如对称加密算法中的有限域等。
同构定理可以用来判断两个有限群是否同构。如果两个有限群同构，则它们具有相同的性质和结构，因此可以用来构造相同的密码学算法。但是，如果两个有限群不同构，则它们具有不同的性质和结构，因此不能用来构造相同的密码学算法。因此，同构定理在密码学中具有重要的作用。
2023
群同态基本定理与同构定理
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目录
群与群同态基本概念群同态基本定理的证明群的同构定理群同态基本定理与同构定理的应用群同态基本定理与同构定理的推广
01
群与群同态基本概念
群是一个非空集合，其中存在一个二元运算符，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
封闭性：对于任意$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。
操作系统的权限管理
群同态基本定理可以用于将一些数据结构的设计问题转化为群同构问题，从而设计出更有效的算法。
数据结构与算法设计
在计算机科学中的应用
量子计算
在量子计算中，同构定理可以用于量子态的变换和量子测量等问题。
群论中的群同态与同构
群论是数学的一门重要分支，研究的是群这一抽象代数结构的性质和性质间的关系。
在群论中，群同态和群同构是两个基本概念。
首先，我们来讨论群同态。
群同态是指一种映射，它保持群的结构。
具体来说，设有两个群G和H，群同态是一个映射f: G -> H，它满足以下两个性质：1.f(x * y) = f(x) * f(y)，对于所有的x, y ∈ G；2.f(e) = e’，其中e是G的单位元，e’是H的单位元。
第一个性质保证了同态映射将群的乘法运算保持不变，第二个性质确保了同态映射将单位元映射到单位元。
群同态的一个重要应用是在简化问题的复杂性方面。
通过将一个较大的群映射到一个较小的群，我们可以研究原问题的较小版本，并利用较小群的性质来推导有关于原问题的结论。
接下来，我们谈论群同构。
群同构是指两个群之间存在双射的同态映射。
具体来说，如果存在一个双射f: G -> H，并且f满足同态的两个性质，那么我们称G和H是同构的，记作G ≅ H。
同构意味着两个群具有相同的抽象结构，虽然它们的元素和操作可能看起来不同。
例如，考虑整数加法群（Z，+）和整数乘法群（Z，*）。
尽管整数加法群和整数乘法群的运算看起来不同，但它们具有相同的结构，因此我们可以说这两个群是同构的。
同构的两个群之间有一些重要的性质如下：1.同构是一种等价关系。
即对于任意的群G，它与自身同构，即G ≅ G。
2.若G ≅ H，那么H ≅ G。
同构满足交换性。
3.若G ≅ H且H ≅ K，那么G ≅ K。
同构满足传递性。
群同构在研究群的性质和计算中发挥着重要的作用。
通过将一个群与一个已知的同构群进行比较，我们可以轻松地推导出这个群的一些性质。
同时，群同构也为群的计算提供了便利。
如果两个群是同构的，我们可以在计算一个群的过程中，使用另一个同构群的性质来简化计算。
总结来说，群同态和群同构是群论中非常重要的概念。
群同态是保持群结构的映射，而群同构则是保持群结构并具有一一对应关系的映射。
群论中的同态与同构理论
群论中的同态与同构理论群论是数学中的一个重要分支，研究群的性质和结构。
在群论中，同态和同构是两个基本概念，它们对于理解群的性质和群之间的关系非常重要。
一、同态的定义和性质在群论中，同态是指两个群之间的映射，它保持了群运算的结构。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)，那么φ就是一个从G到H的同态。
同态具有以下性质：1. 同态保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
2. 同态保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。
3. 同态保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。
二、同构的定义和性质同构是指两个群之间的一种特殊的同态映射，它是一种双射，并且保持了群运算和群结构。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，满足以下条件：1. φ是一个双射，即φ是一个一一对应的映射。
2. φ保持群运算，即对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
那么φ就是一个从G到H的同构。
同构具有以下性质：1. 同构保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
2. 同构保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。
3. 同构保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。
三、同态和同构的应用同态和同构在群论中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们研究群的性质和结构，以及群之间的关系。
1. 同态的应用：同态可以用来研究群之间的映射关系。
通过同态，我们可以将一个复杂的群映射到一个简单的群，从而简化问题的研究。
同态还可以用来刻画群的性质，例如同态核和同态像等。
2. 同构的应用：同构可以将一个群与另一个群进行一一对应，从而帮助我们找到两个群之间的相似之处。
同构还可以用来研究群的结构，例如分类群的同构分类问题。
四、同态与同构的例子为了更好地理解同态和同构的概念，我们来看几个具体的例子。
群论中的群的同构和同构定理
群论是数学中的一个分支，研究的是群的性质、结构和变换。
群的同构在群论中扮演着重要的角色，可以帮助我们发现不同群之间的相似性，并且提供了一种分类不同群的方法。
同构定理则是群论中的一项重要成果，它不仅提供了一种判断群是否同构的方法，还为我们分析群之间的关系提供了便利。
首先，我们来了解一下群的同构。
群的同构是指两个群之间存在一个双射映射，该映射既保持群运算的性质，也保持了群元素间的关系。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射f：G→H，满足以下条件：（1）f(x * y) = f(x) * f(y)，对任意x，y∈G成立；（2）f是双射（即一一映射和满射）；那么我们可以说G和H是同构的，记作G≅H。
同构的映射f在保持群运算的性质的同时，也保持了群元素之间的关系。
换句话说，两个同构群中的元素在运算上是相同的，在群的性质和结构上也是相似的。
例如，我们可以通过一个同构映射将整数加法群（Z，+）与自然数乘法群（N，*）建立起一一对应的关系，从而发现它们之间的相似性和对应关系。
而同构定理则进一步帮助我们判断群是否同构，以及刻画群之间的关系。
同构定理包括两个重要的定理，即第一同构定理和第二同构定理。
第一同构定理（同构基本定理）指出了任何一个群G和它的一个正规子群N的商群G/N之间存在一个同构关系。
具体来说，如果N是G的一个正规子群，那么存在一个同构映射f：G/N→im(f)，其中im(f)是映射f的像，满足f(gN) = f(g)，对任意g∈G成立。
第一同构定理不仅帮助我们理解了群的结构中正规子群的作用，也为判断群是否同构提供了一个重要的工具。
第二同构定理（同构定理）则是对第一同构定理的进一步应用和拓展。
它描述了两个群的商群之间的关系。
具体来说，设有两个群G和H，N1和N2分别是G和H的正规子群，并且存在一个同构映射f：G→H，那么G/N1和H/N2之间也存在一个同构的关系。
第二同构定理进一步说明了群的正规子群的作用，以及同构映射对群之间的关系的保持性。
64 代数结构的同态与同构
定理6.4.3 设 f 为从 ( A , o, ) 到 ( A ,∗, ⊗) 的一个同 定理 1 2 构, 则 ( A , o, ) 满足关于运算 o (或 ) 的交换 或 1 律、结合律以及 对 o (或 o 对 ) 的分配律等 或 运算性质的充要条件是 ( A ,∗, ⊗)满足关于运算 ∗ 2 (或 ⊗) 相对应的性质。 相对应的性质。 或 定理6.4.2 设 f 为从 ( A , o, ) 到 ( A ,∗, ⊗) 的一个同 定理 1 2 构, 则 ( A , o, )有特异元的充要条件是 ( A ,∗, ⊗) 1 2 有相应的特异元， 有相应的特异元，且
例. 代数 代数(A, ◦), 其中 A={a, b, c}, 运算◦由右表给出, 为单位元 为单位元; 运算◦由右表给出 c为单位元 但 (B, ◦)其中 B={a, b}, a为单位元。 为单位元。 其中 为单位元
定义6.4.3 设 f 为从 1, ◦)到(A2, *)的一个同态，如 为从(A 的一个同态， 定义 到 的一个同态 单射(满射 双射)， 满射， 果是 f 单射 满射，双射 ，则称 f 为从 (A1, ◦) 到 (A2, *) 的单同态 满同态，同构 。 的单同态(满同态 同构) 满同态， 是同构时， 当 f 是同构时，也称 (A1, ◦)与 (A2, *)是同构的， 与 是同构的， 并记作： 并记作：(A1, ◦) ≅(A2, *) 。
定义6.4.2 设(A1,◦,⊙)和 (A2,*,⊗) 是二个代数 定义 ◦⊙ 和 *⊗ 结构，若存在映射f 结构，若存在映射 : A1→A2，满足
f ( x o y) = f ( x)∗ f ( y) 和 f ( x y) = f ( x) ⊗ f ( y),
群同态基本定理与同构定理
在代数学中，同构定理是研究群论的重要工具。例如，可以利用同构定理来研究群的性质、结构以及 群之间的关系。
03
群同态基本定理与同构定 理的关系
两者之间的联系
01
群同态基本定理是同构定理的基础，它为同构定理提供了基本 的理论支持。
02
同构定理是群同态基本定理的推广，它把群同态基本定理中的
群推广到更一般的代数结构。
深入，人们发现非交换群在许多领域中也有着广泛的应用。因此，对非
交换群的同态基本定理的研究也变得十分重要。
定理的深化
精细的同态基本定理
在群同态基本定理的证明过程中，有一些关 键的步骤需要用到一些特殊的技巧和方法。 这些技巧和方法可以被称为精细的同态基本 定理。它们对于理解群的结构和性质具有重 要的意义。
THANKS
感谢观看
限群。无限群是指包含无限个元素的群，其运算并不一定满足封闭性，
因此需要更精细的处理方法。
02
从群到环和域
群同态基本定理的推广并不仅限于群，还可以将其推广到环和域等数学
对象。这些对象在代数学中被广泛研究，因此，对它们的同态基本定理
的研究也具有重要意义。
03
从交换群到非交换群
在最初的研究中，群同态基本定理主要关注的是交换群，但随着研究的
两者都是研究群的结构和性质的重要工具。
03
两者之间的区别
群同态基本定理主要关注的是有限群与其子群之间的映射关系，而同构定理则更注重不同代数结构之 间的映射关系。
群同态基本定理的证明方法相对简单，主要基于群的定义和性质，而同构定理的证明则更加复杂，需要 引入更多的代数工具。
在应用上，群同态基本定理主要用于解决有限群的问题，而同构定理则可以应用于更广泛的代数结构， 包括环、域、模等。
群的同构定理
§3.4 群的同构定理同态基本定理：设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，则ker G G ϕ≅ 。
用图表示：将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。
定理1 (第一同构定理) 设ϕ是群G 到群G 的一个满同态，且 ker N G ϕ⊆<，记()N N ϕ=，则G G N N≅，或 ()()G G N N ϕϕ≅。
当ker N ϕ=时，{}()N e ϕ=，{}G G G e N =≅，第一同构定理退化 成同态基本定理第一同构定理也可以用图表示：证明 首先，由N G <有()N N G ϕ=<。
作映射：:G G N N τ→， ()()xN x N τϕ=，G xN N ∀∈。
以下验证τ是G N 到G N 的一个同构映射。
（1）是映射：设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈，于是 11()()()()a b a b N N ϕϕϕϕ--=∈=，从而()()a N b N ϕϕ=，即G N 中的每个赔集在τ下的像唯一，因此τ确为G N 到G N的一个映射。
（2）是满射：()G aN a G N∀∈∈，因为ϕ是满射，所以存在 a G ∈，使得()a a ϕ=，从而存在G aN N ∈，使得()aN a N τ=， 即是满射。
（3）是单射：设()()aN bN ττ=，即()()a N b N ϕϕ=，从而11()()()a b a b N ϕϕϕ--=∈。
但ϕ是满同态且()N N ϕ=，所以 c N ∃∈，使得11111()()()Ker a b c a b c e a bc ϕϕϕϕ-----=⇒⋅=⇒∈。
于是由已知条件ker N ϕ⊆得11111a bc N a b a bc c N -----∈⇒=⋅∈， 从而aN bN =，即是单射。
（4）又由于()(())()()()()()()()aN bN ab N ab N a b N a N b N aN bN ττϕϕϕϕϕττ⋅====⋅=， 所以τ是G N 到G N 的一个同态映射。
群同态基本定理与同构定理
物理
构造法
反证法
伴随映射法
同构定理的证明方法
群同态基本定理与同构定理的关系
03
群同态基本定理与同构定理的联系
群同态基本定理提供了群与群之间映射的代数性质，为研究群的同构关系提供了基础。同构定理则是在群同态基本定理的基础上，进一步探究群的结构和性质。
同构定理
对群同态基本定理与同构定理的总结
群同态基本定理和同构定理的应用广泛，不仅在数学领域，还在物理、化学、计算机科学等领域发挥了重要作用。未来随着不同学科的发展，这些定理的应用前景将更加广阔。
随着数学学科的发展，对群同态基本定理和同构定理的深入研究将有助于揭示更多的数学规律和现象。通过对这些定理的深入研究和探索，将推动数学学科的进一步发展。
群同态基本定理关注映射的代数性质
同构定理则更关注群的内部结构，即群中元素的性质和相互关系。通过研究群的同构关系，我们可以了解不同群之间的相似之处，从而更好地理解群的性质和行为。
同构定理关注群的内部结构
群同态基本定理与同构定理的差异
群同态基本定理的应用范围广泛
由于群同态基本定理是代数系统的一般性质，因此其应用范围非常广泛。无论是在数学、物理还是工程领域，群同态基本定理都是研究代数结构的重要工具。
04
群同态基本定理是代数中的一个重要定理，它表明任何有限群都可以分解成单群和可解群的直和。这个定理在解决一些实际问题中非常有用，比如在编码理论和密码学中，通过研究有限群的性质可以设计出更加安全和可靠的加密算法。
举例说明群同态基本定理的应用
举例说明同构定理的应用
同构定理是代数中的一个基本定理，它表明任何两个可交换的群在同构意义下是相同的。这个定理在解决一些实际问题中非常有用，比如在物理学中，通过研究不同物体的同构性质可以发现它们之间的相似之处，从而更好地理解和描述这些物体的性质。
课件：6.4 同态及同构_20141010
练习：
• 设G是模8整数加群 ，求由4生成的循环子群H, 并给出H的左、右陪集。
G={0,1,2,3,4,5,6,7} , 模8加运算
H={0, 4} H有4个右陪集： {0, 4}，{1, 5} , {2, 6} , {3, 7} H有4个左陪集： {0, 4}，{1, 5} , {2, 6} , {3, 7}
培集的性质
从（5）还可推出： （6）aH=bH的充分必要条件是a-1b∈H。 证明：必要性.
由b∈bH,及aH=bH知， b∈aH,故a-1b∈H。
充分性. 由a-1b∈H，知， b∈aH, 故由性质（5），知 aH=bH。
陪集的性质
（7）任意两个右陪集aH和bH或者相等或者 不相交。 证明： 如果aH和bH相交，则它们包含公共 元素c，即c∈aH，且c∈bH。因此， 由（5）得aH=cH，且bH=cH。故， aH=bH。
例 写出三次对称群的所有子群。 S3={（1）,(1 2),（1 3）,（2 3）,（1 2 3）,(1 3 2)} 由Lagrange定理，子群的元数只能为1,2,3,6 元数为1的子群({（1）}, ·) 元数为2的子群(元数为质数的群一定为循环群) 以(12)为生成元：(｛（1）,（1 2）｝，·) 以(13)为生成元：( ｛（1）,（1 3）｝，·) 以(23)为生成元：( ｛（1）,（2 3）｝，·) 元数为3的子群一定为循环群 以(123)为生成元： {（1）,（1 2 3）,（1 3 2）}，·) 元数为6的子群: S3
{I, (1 3)}, {(12),(123) }, {(23),(123)
• 解： 由(1 32)生成的循环子群: H={I, (12 3), (132)}
H有2个右陪集： {I, (12 3), (132)}，{(1 2), (1 3), (2 3)} H有2个左陪集： {I, (12 3), (132)}，{(1 2), (1 3), (2 3)}
群论中的群的同态和同构
群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，即群。
群的概念最早由德国数学家高斯引入，并在他之后被众多数学家继续研究和发展。
在群论中，同态和同构是两个重要的概念，它们描述了群与群之间的关系。
首先，我们来看同态的概念。
在群论中，如果存在一个映射 f：G→H，其中 G 和 H 是两个群，且满足以下两个条件：1.对于 G 中的任意元素 a 和 b，有 f(a*b) = f(a)*f(b)（即 f 是一个保持群运算的映射）；2.f(G) 是 H 的子群（即 f 将 G 的元素映射到 H 中的元素，而且保持了H 中的群运算）。
那么我们称映射 f 是从群 G 到群 H 的同态映射，简称同态。
同态的概念可以理解为将一个群的结构映射到另一个群中，并且保持了群运算的结构性质。
同态映射的存在性与群的性质有很大关系，在实际应用中有着广泛的应用。
与同态相对应的是同构的概念。
如果存在一个一一映射 f：G→H，它满足以下两个条件：1. f 保持群运算，即对于 G 中的任意元素 a 和 b，有 f(a*b) =f(a)*f(b)；2. f 的逆映射也是一个群的同态。
那么我们称映射 f 是从群 G 到群 H 的同构映射，简称同构。
同构的概念是群之间结构相等的一种描述，即两个群之间存在一一对应，并保持了群运算的性质。
同构关系常常用于分类和比较不同的群。
如果两个群之间存在同构映射，我们就可以将它们看作是彼此相同的结构。
同态和同构的概念在群论中有着广泛的应用。
首先，同态映射可以用于研究群的子群和商群的结构。
通过同态映射，我们可以将一个群映射为另一个群的子群，并且保持了群运算的性质。
这为研究群的结构提供了新的方法。
同时，同态映射还可以用于研究群之间的相似性和联系。
如果两个群之间存在同态映射，那么它们在结构上有相似的性质，可以通过研究其中一个群来推断另一个群的性质。
同构映射则更加强调了群之间的相等性。
当两个群之间存在同构映射时，它们在群运算结构上完全相同，在一些性质的研究中可以互相替代。
群同态基本定理与同构定理
同构定理的推广
群同态基本定理和同构定理在密码学中有着广泛的应用，如公钥密码体制的设计和安全性证明。
密码学中的应用
群同态基本定理和同构定理在算法设计中有一定的应用，如在图算法中判断图的性质和结构。
算法设计中的应用
群同态基本定理与同构定理在理论计算机科学中的应用
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群同态基本定理与同构定理
群同态基本定理同构定理群同态基本定理与同构定理的关系群同态基本定理与同构定理的扩展形式
contents
目录
01
群同态基本定理
群的定义
定义映射f
第一步，证明f是单射
第二步，证明f是满射
第三步，证明f是同态
群同态基本定理的证明方法
01
02
03
04
通过研究群的同态，可以确定群的结构。
例子
整数环、多项式环、矩阵环等。
环的定义
方法一
利用定义证明。证明两个环的加法和乘法运算相同，即可证明两个环同构。
方法二
利用同态基本定理证明。证明存在一个满同态映射，即可证明两个环同构。
同构定理的证明方法
在代数几何中，同构定理可以用来将一个代数簇的方程转化为另一个代数簇的方程，从而研究原代数簇的性质。
在更一般的条件下，群同态基本定理的结论仍然成立。例如，当群的阶数不固定时，定理仍然适用。
非阿贝尔群的情况
对于非阿贝尔群，群同态基本定理同样适用，但证明方法需要更为复杂的代数技巧。
群同态基本定理的推广
同构定理的推广形式
同构定理可以推广到更一般的群结构，如群的扩张、群的直和等。
无限群的情况
对于无限群，同构定理同样适用，但证明方法需要引入新的分析工具和技术。
离散数学6.4同态及同构
例 设(R+，·)是正实数乘法群, (R，+)是实数加
法群。
令
σ：xlogx， xR+，
则σ是R+到R上的1-1映射,
且对a,bR+，
σ (a·b)=log(a·b)=log a+log b
=σ(a)+σ(b)。
故σ是R+到R上的同构映射。
Log x是以e为底的x的对数,若取σ(x)=log2x， 或若取
2021/8/5
证明
(1) 因为群G非空，至少1∈G，故至少σ(1)∈G′，即 G′非空。 (2) 任取a’∈G′，b’∈G′， 往证a’b’∈G′。
因有a,b∈G, 使得 a’=σ(a), b’=σ(b)， 故按σ的同态性，
a’b’= σ(a)σ(b)=σ(ab)， 而ab ∈G, 因而a’b’ =σ(ab) ∈σ(G), 即 a’b’ ∈G′。
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结论2. 若H′为G′之子群，则 H=σ-1（H′）亦必为G之子群，
其中
σ-1(H′)= {x| x∈G ,σ(x)∈H′} 。 证明：
• σ-1(H′)非空，因σ(1)=1′∈H′, 所以1∈σ-1(H′)； • 若a，b∈σ-1 ( H′)，即σ(a),σ(b)∈H′，因H′为
2021/8/5
证法二：建立映射 τ：a’ → σ-1(a’), a’∈G’。
往证τ是G’到G/N上的同构映射。 • 证τ是G’到G/N内的映射。 任取a’∈G’,则有a∈G,使a’=σ(a)。由定理6.5.2
，知 σ-1(a’)=aN。由τ定义，
τ(a’)=σ-1(a’)=aN∈G/N。 • 证τ是满映射。 2021/8/5
iff σ(b)(a′)-1=1′ iff σ(b)(σ(a))-1
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一、群的同态映射
◦ I r2 r r3 s sr2 sr sr3 I I r2 r r3 s sr2 sr sr3 r2 r2 I r3 r sr2 s sr3 sr r r r3 r2 I sr sr3 sr2 s r3 r3 r I r2 sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr I r2 r3 r sr2 sr2 s sr sr3 r2 I r r3 sr sr sr3 s sr2 r r3 I r2 sr3 sr3 sr sr2 s r3 r r2 I
顺时针旋转180° ， r◦r
顺时针旋转270° ， r◦r◦r
( {I, r, r2, r3} ，◦ )是一个群
一、群的同态映射
a b c d b a d c a b c d d c b a a b c d a d c b a b c d c b a d 翻转，记为s
翻转 ， s◦r◦r
翻转， s◦r
*
e
a
b
c
e a b c
e a b c
a e c b
b c e a
c b a e
三、同态核
◦ I r2 r r3 s sr2 sr sr3 I I r2 r r3 s sr2 sr sr3 r2 r2 I r3 r sr2 s sr3 sr r r r3 r2 I sr sr3 sr2 s r3 r3 r I r2 sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr I r2 r3 r sr2 sr2 s sr sr3 r2 I r r3 sr sr sr3 s sr2 r r3 I r2 sr3 sr3 sr sr2 s r3 r r2 I
+
σ：G1 G2, σ(x)=e 。
则σ是同态映射，而且是双射。
x
一、群的同态映射
例4．设G1是整数加法群，G2是模n的整数加法群。 令 σ：G1G2,σ(x)=x(mod n)， 则σ是G1到G2的满同态映射，G1～σ(G1)， σ(G1)=G2。
一、群的同态映射
(Z, +) …, -12, -6, 0, 6, 12, …
一、群的同态映射
◦ I r2 r r3 s sr2 sr sr3 I I r2 r r3 s sr2 sr sr3 r r r3 r2 I sr sr3 sr2 s r2 r2 I r3 r sr2 s sr3 sr r3 r3 r I r2 sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr I r2 r3 r sr sr sr3 s sr2 r r3 I r2 sr2 sr2 s srபைடு நூலகம்sr3 r2 I r r3 sr3 sr3 sr sr2 s r3 r r2 I
一、群的同态映射
◦ e e r r3 s sr2 sr sr3 e e e r r3 s sr2 sr sr3 e e e r3 r sr2 s sr3 sr r r r3 e e sr sr3 sr2 s r3 r3 r e e sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr e e r3 r sr2 sr2 s sr sr3 e e r r3 sr sr sr3 s sr2 r r3 e e sr3 sr3 sr sr2 s r3 r e e
一、群的同态映射
◦ e e a a b b c c e e e a a b b c c e e e a a b b c c a a a e e c c b b a a a e e c c b b b b b c c e e a a b b b c c e e a a c c c b b a a e e c c c b b a a e e
一、群的同态映射
◦ e e a a b b sr sr3 e e e a a b b sr sr3 e e e a a b b sr3 sr a a a e e sr sr3 b b a a a e e sr3 sr b b b b b sr3 sr e e a a b b b sr sr3 e e a a sr sr sr3 b b a a e e sr3 sr3 sr b b a a e e
一、群的同态映射
◦ e e a a b b sr sr3 e e e a a b b sr sr3 e e e a a b b sr3 sr a a a e e sr sr3 b b a a a e e sr3 sr b b b b b sr3 sr e e a a b b b sr sr3 e e a a sr sr sr3 b b a a e e sr3 sr3 sr b b a a e e
*
e
a
b
c
e a b c
e a b c
a e c b
b c e a
c b a e
一、群的同态映射
定义6.4.1设(G,·)是一个群，(K,*)是一个代数系统， (G,·)到(K,*)内的一个映射σ称作是同态映射，如果 对任意a、b∈G都有 σ(a·b)=σ(a) *σ(b)。 注意：这个映射σ既不一定是单射也不一定是满射。
一、群的同态映射
(Z6, +6) 0, 3 1, 4 2, 5 (Z3, +3) 0 1 2
一、群的同态映射
定义6.4.1设(G,·)是一个群，(K,*)是一个代数系统， (G,·)到(K,*)内的一个映射σ称作是同态映射，如果 对任意a、b∈G都有 σ(a·b)=σ(a) *σ(b)。
注意：这个映射σ既不一定是单射也不一定是满射。 当考虑G中所有元素在K中映像时，有下面定理
一、群的同态映射
◦ e e a a s sr2 sr sr3 e e e a a s sr2 sr sr3 e e e a a sr2 s sr3 sr a a a e e sr sr3 sr2 s a a a e e sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr e e a a sr2 sr2 s sr sr3 e e a a sr sr sr3 s sr2 a a e e sr3 sr3 sr sr2 s a a e e
*
e
a
b
c
e a b c
e a b c
a e c b
b c e a
c b a e
一、群的同态映射
I
r2 e a b c
r
r3 s sr2 sr sr3
三、同态核
◦ I r2 r r3 s sr2 sr sr3 I I r2 r r3 s sr2 sr sr3 r2 r2 I r3 r sr2 s sr3 sr r r r3 r2 I sr sr3 sr2 s r3 r3 r I r2 sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr I r2 r3 r sr2 sr2 s sr sr3 r2 I r r3 sr sr sr3 s sr2 r r3 I r2 sr3 sr3 sr sr2 s r3 r r2 I
翻转 ， s◦r◦r◦r
( {I, r, r2, r3, s, sr, sr2, sr3} ，◦ )是一个群 称为二面体群，记作D4或D8.
一、群的同态映射
◦ I r r2 r3 s sr sr2 sr3 I I r r2 r3 s sr sr2 sr3 r r r2 r3 I sr sr2 sr3 s r2 r2 r3 I r sr2 sr3 s sr r3 r3 I r r2 sr3 s sr sr2 s s sr3 sr2 sr I r3 r2 r sr sr s sr3 sr2 r I r3 r2 sr2 sr2 sr s sr3 r2 r I r3 sr3 sr3 sr2 sr s r3 r2 r I
一、群的同态映射
◦ e e a a s sr2 sr sr3 e e e a a s sr2 sr sr3 e e e a a sr2 s sr3 sr a a a e e sr sr3 sr2 s a a a e e sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr e e a a sr2 sr2 s sr sr3 e e a a sr sr sr3 s sr2 a a e e sr3 sr3 sr sr2 s a a e e
一、群的同态映射
例1．设(Z,+)为整数加法群，(C ,·)是所有非 零复数在数的乘法下作成的群，令 * n σ：Z C , σ(n)=i ，其中i是C的虚 数单位。
则σ是Z到C 内的一个映射，且对m、n∈Z，有 m+n m n σ(m+n)=i =i ·i =σ(m)·σ(n)。 * 即，σ是Z到C 的同态映射，Z～σ(Z)。 σ(Z)={1，-1，i，-i}。
(Z6, +6)
0
…, -11, -5, 1, 7, 13, …
…, -10, -4, 2, 8, 14, … …, -9, -3, 3, 9, 15, …
1
2 3 4 5
…, -8, -2, 4, 10, 16, …
…, -7, -1, 5, 11, 17, …
一、群的同态映射
例5．设Z6是模6整数加法群，Z3是模3整数加法群。 令 σ：Z6Z3,σ(x)=x(mod 3)， 则σ是Z6到Z3的满同态映射，Z6～σ(Z6)， σ(Z6)=Z3是Z3的一个子群。
一、群的同态映射
◦ I r2 r r3 s sr2 sr sr3 I I r2 r r3 s sr2 sr sr3 r2 r2 I r3 r sr2 s sr3 sr r r r3 r2 I sr sr3 sr2 s r3 r3 r I r2 sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr I r2 r3 r sr2 sr2 s sr sr3 r2 I r r3 sr sr sr3 s sr2 r r3 I r2 sr3 sr3 sr sr2 s r3 r r2 I
一、群的同态映射
◦ e e r r3 s sr2 sr sr3 e e e r r3 s sr2 sr sr3 e e e r3 r sr2 s sr3 sr r r r3 e e sr sr3 sr2 s r3 r3 r e e sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr e e r3 r sr2 sr2 s sr sr3 e e r r3 sr sr sr3 s sr2 r r3 e e sr3 sr3 sr sr2 s r3 r e e