人教版八年级下册数学勾股定理的逆定理 课件
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人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
3.2 勾股定理的逆定理 课件(人教版八年级下)
要证明 AE⊥AB，可连接EB，借助 网格特征，综合运用勾股定理及其 逆定理证明△ABE是直角三角形．
3．如图，ABCD是一个盒子的正面， 小明想要知道边AB与边BC是否垂 直，他利用卷尺量得AB＝5cm， BC＝12cm，A、C两点的距离是 13cm，由此小明判断出边AB垂直 于边BC，你知道这是为什么吗？
解析： 在本题中， 当三边之比为3∶ C． 3 ，2， 5 4∶5时，不妨假设三边长分别为3， D．5，12，13 4，5． 答案：1.5∶2∶2.5＝3∶4∶5，而 32＋42＝52，由勾股定理的逆定理 可知①②可以构成直角三角形；同 样判断③④不可以构成直角三角 形，故选B．
解析：将选项逐一辨别，（ 3 ）2 ＋22≠（ 5 ）2，因此不能构成直 角三角形的是C．
3．能够成为直角三角形三条边长的 三个正整数，称为勾股数．
【对点巩固】
1．有一根长30cm的木棒，将其截 4．常见的勾股数有：①3，4，5（及 成三段，做一个直角三角形，怎样 其倍数） ； ② 5， 12， 13 （及其倍数） ； 截取（允许有余料）？请你设计三 种方案．
③8，15，17（及其倍数）． 5．互逆命题：若命题 2 与命题 1 的 题设、结论恰好相反，我们把像这样 的两个命题叫做互逆命题， 如果把其 中一个叫做原命题， 那么另一个叫做 它的逆命题．
即边AB与边BC垂直．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B 如图，连接AC，因为∠B＝90°， ＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12， AB＝3，BC＝4， AD＝13．求四边形的面积．
由勾股定理可得AC2＝AB2＋BC2 ＝9＋16＝25，所以AC＝5． 因为AC2＋CD2＝52＋122＝169， AD2＝132＝169， 所以AC2＋CD2＝AD2， 所以∠ACD
人教版八年级下册数学《勾股定理的逆定理》培优说课教学复习课件
课堂检测
基础巩固题
1.下列各组数是勾股数的是 ( B )
A.3，4，7
B.5，12，13
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形
(A )
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
课堂检测
3.写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假性. (1)如果两个角是直角，那么它们相等. (2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为
斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
勾股定理 的逆定理
内容 作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满
探究新知
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
符号语言：
c
b
B aC
在△ABC中， 若a2 + b2 = c2 则△ABC是直角三角形.
探究新知
方法点拨
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定 定理，即已知三角形的三边长，且满足两条 较小边的平方和等于最长边的平方，即可判 断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应 的角为直角.
N
【思考】1.认真读题，找已知是什么？
Q
“远航”号的航向、两艘船的一个半 R 2 1 小时后的航程及距离已知，如下图.
人教版八年级下册数学：17.2.2-勾股定理的逆定理课件
过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测仪
间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪
个方向?这辆小汽车超速了吗?
小汽车在车 速检测仪的2秒后
你觉的此题解对了吗?
50米
小汽车
北偏西60° 方向 25米/秒=90千米/时 40米 >70千米/时∴小汽车超速了
30米 北 30°
60°
车速检测仪
∠B=90°
B
答：C在B地的正北方向．
13cm
A 12cm
2、有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳1cm，
又向南跳2cm，再向西跳3cm，然后又跳回原点，问电
子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的？所跳距离是多
少厘米？
y
电子跳蚤跳回原点 的运动方向是
东北方向；
所跳距离是 2 2 厘
米．
O1 x
22 2 2 2
（1）类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否 也是勾股数？如何验证？
（2）通过对以上勾股数的研究，你有什么样的 猜想？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck （k为正整数)也是一组勾股数．
北
Q
30
R S 东 12×1.5=1485° 16×1.5=24 P
港口
解:根据题意画图,如图所示:
N
PQ=16×1.5=24
Q
PR=12×1.5=18
30
S
QR=30 ∵242+182=302,
R
16×1.5=24
12×1.5=18 45°45°
即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=900
P
E
3
3、小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿
新人教版初中数学八年级下册17.2.1 勾股定理的逆定理
8．(2018·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( A )
A．3，4，5
B．2，3，4
C．4，6，7
D．5，11，12
9．(2019·益阳)已知 M，N 是线段 AB 上的两点，AM＝MN＝2， NB＝1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B 为圆 心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC 一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案显示
1．如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这样的两个命题 叫做__互__逆___命__题___，如果把其中一个命题叫做原命题，那么 另一个叫做它的__逆__命__题____．
2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它 也是一个定理，称这两个定理互为_逆__定___理__．
3．下列命题的逆命题正确的是( A ) A．两条直线平行，内错角相等 B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
17．(2019·河北)已知：整式 A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式 B>0. 尝试 化简整式 A. 解：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ＝(n2＋1)2.
发现 A＝B2，求整式 B. 解：∵A＝B2，B>0，∴B＝n2＋1.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当 n>1 时，n2－1，2n，
(30°，60°，45°)的和的形式； (2)用旋转法将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°到△CP′A 的位置．
解：如图，将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°得△CP′A，则 P′C ＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，连接 PP′. 因为∠PCP′＝90°，所以 PP′2＝22＋22＝8. 又因为 P′A＝1，PA＝3， 所以 PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9. 所以 PP′2＋P′A2＝PA2. 所以∠AP′P＝90°. 易知∠CP′P＝45°， 所以∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P＝90°＋45°＝135°.
2019-2020人教版八年级数学下册17.2勾股定理的逆定理同步课件(共32张)
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
考场对接
第十七章 勾股定理
考场对接
题型一 识别二次根式
例题 1 满足下列条件的△ABC 中, 不是直角三角形的是( D ).
A．b2=c2-a2
B．a∶b∶c=3∶4∶5
C．∠C=∠A-∠B
D．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
中,有 EF2=(a2)2+(a4)2=156a2, 在 Rt△ADF 中,有 AF2=(a2)2+a2=54a2,在 Rt△ABE
中,有
13 BE=a-4a=4a,
所以
AE2=a2+(34a)2=1265a2,所以
AF2+EF2=AE2,所以△AFE
为直角三角形, 且∠AFE=90°, 即 AF⊥EF.
谢 谢 观 看！
12=36.
第十七章 勾股定理
锦囊妙计 求不规则图形的面积
在求不规则图形的面积时, 关键是通过将其分割或拼接, 转化为求规则图形 的面积, 这是转化思想的具体应用.
第十七章 勾股定理
题型五 利用勾股定理的逆定理解决实际问题
例题 8 如图 17-2-7 所示, 甲、乙两船同时从 A 港出发, 甲船沿北 偏东 35°的方向, 以每小时 9 海里的速度向 B 岛驶去, 乙船沿另 一个方向, 以每小时 12 海里的速度向 C 岛驶去, 3 小时后两船同 时到达目的地. 如果两船航行的速度不变, 且 C, B 两岛相距 45 海里, 那么乙船航行的方向是南偏东多少度？
则△ABC 是( A ).
A．直角三角形 C．钝角三角形
B．锐角三角形 D．以上都不对
17.2 勾股定理的逆定理
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
考场对接
第十七章 勾股定理
考场对接
题型一 识别二次根式
例题 1 满足下列条件的△ABC 中, 不是直角三角形的是( D ).
A．b2=c2-a2
B．a∶b∶c=3∶4∶5
C．∠C=∠A-∠B
D．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
中,有 EF2=(a2)2+(a4)2=156a2, 在 Rt△ADF 中,有 AF2=(a2)2+a2=54a2,在 Rt△ABE
中,有
13 BE=a-4a=4a,
所以
AE2=a2+(34a)2=1265a2,所以
AF2+EF2=AE2,所以△AFE
为直角三角形, 且∠AFE=90°, 即 AF⊥EF.
谢 谢 观 看！
12=36.
第十七章 勾股定理
锦囊妙计 求不规则图形的面积
在求不规则图形的面积时, 关键是通过将其分割或拼接, 转化为求规则图形 的面积, 这是转化思想的具体应用.
第十七章 勾股定理
题型五 利用勾股定理的逆定理解决实际问题
例题 8 如图 17-2-7 所示, 甲、乙两船同时从 A 港出发, 甲船沿北 偏东 35°的方向, 以每小时 9 海里的速度向 B 岛驶去, 乙船沿另 一个方向, 以每小时 12 海里的速度向 C 岛驶去, 3 小时后两船同 时到达目的地. 如果两船航行的速度不变, 且 C, B 两岛相距 45 海里, 那么乙船航行的方向是南偏东多少度？
则△ABC 是( A ).
A．直角三角形 C．钝角三角形
B．锐角三角形 D．以上都不对
新人教版《勾股定理的逆定理》优质课件3
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？
八年级 数学
第十七章 勾股定理
Байду номын сангаас
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
八年级 数学
第十七章 勾股定理
动手画一画
下面的两组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： ，6cm，。
4cm，，。 （1）这两组数都满足a2b2c2吗？
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
∴ A’B’ =c
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。(且边 C所对的角为直角。)
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
练下一面练以a,b,c为边长的三角形是不是直
(角1)三a=角5形b？=如4 果c=是3 ，那么_是哪__一_个∠角_A是__=直_9_0角;0 ？
(2) a=13 b=14 知识点四 列一元一次不等式解应用题 c=15 _不__是_ _____ ;
N 22 AB＝202 n mile，∴渔船航行202 n mile距离小岛B最近
解：(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得7x＝5y，40x＋20y＝3400， 解得x＝50，y＝70. 答：每个足球为50元，每个
篮球为70元 2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
海天
Q 远航
八年级 数学
第十七章 勾股定理
Байду номын сангаас
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
八年级 数学
第十七章 勾股定理
动手画一画
下面的两组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： ，6cm，。
4cm，，。 （1）这两组数都满足a2b2c2吗？
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
∴ A’B’ =c
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。(且边 C所对的角为直角。)
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
练下一面练以a,b,c为边长的三角形是不是直
(角1)三a=角5形b？=如4 果c=是3 ，那么_是哪__一_个∠角_A是__=直_9_0角;0 ？
(2) a=13 b=14 知识点四 列一元一次不等式解应用题 c=15 _不__是_ _____ ;
N 22 AB＝202 n mile，∴渔船航行202 n mile距离小岛B最近
解：(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得7x＝5y，40x＋20y＝3400， 解得x＝50，y＝70. 答：每个足球为50元，每个
篮球为70元 2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
海天
Q 远航
17.2 勾股定理的逆定理 课件-人教版数学八年级下册
③ 全等三角形的对应角相等；
④若a＝b，则a2＝b2.
A. 1
B. 2
C. 3
知1－练
D. 4
知识点 2 勾股定理的证明
知2－讲
1. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c 满足
a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角
三角形的步骤
3. 勾股定理与其逆定理的关系
∵x2＋x2＝( 2x)2，∴a2＋b2＝c2. ∴该三角形是直角三角形.
知2－练
方法总结：直角三角形的判定方法 (1)用角判定：①(定义法)有一个角为90° 的三角形是 直角三角形； ②(判定定理)有两个角互余的三角形是直角三角形； (2)用边判定：勾股定理的逆定理.
知2－练
知识拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c为最长边的长).
知2－讲
1. 勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判
定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，
因为还没有确定是直角三角形.
2. a2＋b2＝c2只是一种表现形式，满足a2＝b2＋c2或b2＝
a2＋c2的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边长.
知2－练
例 3 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形： (1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16； (3) 一 个 三 角 形 的 三 边 长 a ， b ， c 满 足 a ∶ b ∶ c ＝ 1∶1∶2 . 解题秘方：紧扣“直角三角形的定义”和“勾股定 理的逆定理”进行判断 .
知2－讲
勾股定∠B，在△ABC中，∠A，∠B，
条件 ∠C 的对边长分别
∠C的对边长分别为a，b，
人教版八年级数学下册课件 17-2-2 勾股定理的逆定理的应用
100 m 回到原地．
B2
南
随堂练习
（2）小明从O走到A，再走到B2，最终由B2回到O．
同理，△AOB2是直角三角形，且∠OAB2 ＝90〫
．
北
因此小明向东走 80m 后，又向南走了 60m，再走
B1
100m 回到原地．
综上所述，小明向东走 80m 后，又向南或向北走
了 60m，最后走 100m 回到原地．
分别位于点Q，R处，且相距30海里． 如果知道“远
航” 号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个
方向航行吗？
典例精析
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18 ，
QR＝30 ．
∵ 242＋182＝302，
即PQ 2＋PR2＝QR2， ∴ ∠QPR＝90°，
由远航号沿东北方向航行可知∠1＝45°．
2． 标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求．
3． 应用数学知识解决问题．
随堂练习
北
1．如图所示，甲、乙两船从港口 A 同时出发，甲船以
30 海里/时的速度向北偏东 35〫
的方向航行，乙船以
C
35〫
40 海里/时的速度向另一方向航行，2 小时后，甲船
到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C，B 两岛相距 100
A
海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？
B
随堂练习
北
解：由题意得：AC＝30×2＝60（海里），
AB＝40×2＝80（海里）．
C
35〫
因为 ＋ ＝ ＋ ＝ ＝，
所以∠BAC＝90〫．
A
因为 C 岛在港口 A 的北偏东 35〫方向，所
以 B 岛在港口 A 的南偏东 55〫方向．
B2
南
随堂练习
（2）小明从O走到A，再走到B2，最终由B2回到O．
同理，△AOB2是直角三角形，且∠OAB2 ＝90〫
．
北
因此小明向东走 80m 后，又向南走了 60m，再走
B1
100m 回到原地．
综上所述，小明向东走 80m 后，又向南或向北走
了 60m，最后走 100m 回到原地．
分别位于点Q，R处，且相距30海里． 如果知道“远
航” 号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个
方向航行吗？
典例精析
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18 ，
QR＝30 ．
∵ 242＋182＝302，
即PQ 2＋PR2＝QR2， ∴ ∠QPR＝90°，
由远航号沿东北方向航行可知∠1＝45°．
2． 标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求．
3． 应用数学知识解决问题．
随堂练习
北
1．如图所示，甲、乙两船从港口 A 同时出发，甲船以
30 海里/时的速度向北偏东 35〫
的方向航行，乙船以
C
35〫
40 海里/时的速度向另一方向航行，2 小时后，甲船
到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C，B 两岛相距 100
A
海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？
B
随堂练习
北
解：由题意得：AC＝30×2＝60（海里），
AB＝40×2＝80（海里）．
C
35〫
因为 ＋ ＝ ＋ ＝ ＝，
所以∠BAC＝90〫．
A
因为 C 岛在港口 A 的北偏东 35〫方向，所
以 B 岛在港口 A 的南偏东 55〫方向．
勾股定理的逆定理 课件 2022—2023学年人教版数学八年级下册 (2)
知识&回顾☞ 实际应用
1.两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30海里/小时的
速度向西北方向航行，乙舰以一定的速度向西南方向航行，
它们离开港口2小时后测得两船的距离为100海里，求轮船B的
速度是多少？
甲(A) 北
西
O
东
乙(B) 南
知识&回顾☞ 实际应用
2.小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿另 一方向又走100m回到原地．小明向东走80m后又向哪个方 向走的？
“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街 路上行驶的速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街 路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶在路边车速检测仪的北偏 东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与 车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的 哪个方向?这辆小汽车超速了吗?
（1）城市A是否受到台风影响？ 请说明理由。
（2）若城市A受到台风影响， 则持续时间有多长？
（3）城市A受到台风影响的最 大风力为几级？
C A
240 30°
B
（1）城市A是否受到台风影响？ 请说明理由。
解：（1）根据题意可知 作 AD⊥BC 于 D 点． 在 Rt△ABD 中，∠B=30°， AB=240 千米， ∴AD=120 千米， ∵25×（12-4）=200>120 ∴城市 A 是受到台风影响。
15km/h的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C
处时发现渔具丢在乙船上，于是快速（匀速）沿北偏
东75°方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是多少千米/时？
北 速度 (30 30 B3) 2 15 15 3
1.两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30海里/小时的
速度向西北方向航行，乙舰以一定的速度向西南方向航行，
它们离开港口2小时后测得两船的距离为100海里，求轮船B的
速度是多少？
甲(A) 北
西
O
东
乙(B) 南
知识&回顾☞ 实际应用
2.小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿另 一方向又走100m回到原地．小明向东走80m后又向哪个方 向走的？
“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街 路上行驶的速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街 路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶在路边车速检测仪的北偏 东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与 车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的 哪个方向?这辆小汽车超速了吗?
（1）城市A是否受到台风影响？ 请说明理由。
（2）若城市A受到台风影响， 则持续时间有多长？
（3）城市A受到台风影响的最 大风力为几级？
C A
240 30°
B
（1）城市A是否受到台风影响？ 请说明理由。
解：（1）根据题意可知 作 AD⊥BC 于 D 点． 在 Rt△ABD 中，∠B=30°， AB=240 千米， ∴AD=120 千米， ∵25×（12-4）=200>120 ∴城市 A 是受到台风影响。
15km/h的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C
处时发现渔具丢在乙船上，于是快速（匀速）沿北偏
东75°方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是多少千米/时？
北 速度 (30 30 B3) 2 15 15 3
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
数学
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
数学
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
数学 人教版 八年级 下册
目 录
CONTENTS
数学
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
数学
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【最新】人教版八年级数学下册第17章《勾股定理的逆定理》优质公开课课件.ppt
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
D
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169．
又∵ AD2=132=169，
A
即 AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD是直角三角形． B
C
∴
四边形ABCD的面积为
134+1512=36．
2
2
巩固练习
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否 也是勾股数？如何验证？
追问2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的 猜想？
拓展练习
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了 像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大 家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什 么关系？
小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位
于点Q，R处，且相距
N
30 n mile ．如果知道 “远航”号沿东北方
S
Q
向航行，能知道“海
R
天”号沿哪个方向航
行吗？
P
E
巩固练习
A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B 地的正东方向，C地在B地的什么方向？
正北方向
例题讲解
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4， CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
八年级数学下册教学课件《勾股定理的逆定理》
勾股定理的逆定理
活动一：引用故事，导入新课
【故事导入】
据说，古埃及人用右图的方法画直 角：把一根长绳打上等距离的 13 个结， 然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个 结间距的长度为边长，用木桩钉成一个 三角形，其中一个角便是直角.
你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因.
活动二：问题引入，自主探究
B
C a
① A′
c b
直角三角形吗？
B′
C′
a
②
根据勾股定理，A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2 = c2. ∴ A′B′ = c .在△ABC 和△A′B′C′ 中，
A c
b
BC = a = B′C′，AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC ≌△ A′B′C′（SSS）. ∴∠C=∠C′=90°，
探究点 1 勾股定理的逆定理
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿 操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果.
（1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，
7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm
的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是
求四边形 ABCD 的面积.
解：∵AD = 8，AB = 6，BD = 10，CD = 26，BC = 24，
∴ AB2 +AD2 = BD2， BD2 +BC2 = CD2 .
∴△ABD 和△BDC 都是直角三角形，
且∠A = 90°，∠DBC = 90°.
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BDC =
活动一：引用故事，导入新课
【故事导入】
据说，古埃及人用右图的方法画直 角：把一根长绳打上等距离的 13 个结， 然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个 结间距的长度为边长，用木桩钉成一个 三角形，其中一个角便是直角.
你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因.
活动二：问题引入，自主探究
B
C a
① A′
c b
直角三角形吗？
B′
C′
a
②
根据勾股定理，A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2 = c2. ∴ A′B′ = c .在△ABC 和△A′B′C′ 中，
A c
b
BC = a = B′C′，AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC ≌△ A′B′C′（SSS）. ∴∠C=∠C′=90°，
探究点 1 勾股定理的逆定理
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿 操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果.
（1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，
7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm
的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是
求四边形 ABCD 的面积.
解：∵AD = 8，AB = 6，BD = 10，CD = 26，BC = 24，
∴ AB2 +AD2 = BD2， BD2 +BC2 = CD2 .
∴△ABD 和△BDC 都是直角三角形，
且∠A = 90°，∠DBC = 90°.
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BDC =
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解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289
∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形ABC是不是
直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 _是___ ∠_A__=_9_0;0
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
4.此处为河谷地带，来自印度洋的暖 湿气流 沿河谷 深入， 导致此 地气温 较东西 两侧高 。 5.该日此地为阴雨天气，夜间大气逆 辐射强 ，气温 较高， 未出现 霜冻。 6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧， 由北向 南移动 ，画图 略。
7.土地利用以绿地为主，绿地面积呈 增加趋 势；建 筑面积 增加最 多，水 域、其 他用地 、滩涂 持续减 少。 8.布局在郊区，地价便宜；远离市区 ，能有 效减小 对市区 的污染 ；临海 分布， 便于运 进原料 和输出 产品。 9.结合上题，主要从政策扶持，发展 有机农 业；提 高农业 技术， 科学施 肥；因 主要从 我国人 多地少 ，农业 生产压 力大以 及耕地 资源的 特点等 方面分 析加强 农产品 质量监 管等方 面分析.
按照这种做法三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
勾股定理的逆命题
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
吗？
D AB
C C
13 D
12 45
A3 B
练一练
1. 三角形三边长a、b、c满足条件 (a b)2 c2 2ab,则此三角形是( B )
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、等边三角形
中考链接
2.已知：如图，四边形ABCD
中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，
CD＝12，AD＝13,求四边形
(3) a=1 b=2 c= 3
_是___ ∠_B_=_9_0_0;
(4) a:b: c=3:4:5
_是____ ∠__C_=_9_0;0
像25,20,15,能够成为直角三角形
三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例题解析
例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零 件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这 个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启 智慧 定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个
定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
解： a2 b2 (m2 n2)2 (2mn)2 (m2 n2)2 c2
∴△ABC是直角三角形
思维训练
4、 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
自主评价：
1、勾股定理的逆定理 2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS） ∴ ∠ C= ∠ C’(全等 三角形对应角相等） ∴ ∠C= 900 ∴ △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。且边 C年所对的角为直角.
人教2011版八年级下册
17.2勾股定理的逆定理 第一课时
X
复习旧知
说出下列命题的题设和结论。 1、两直线平行，内错角相等。
题设： 两直线平行 结论：内错角相等
2、内错角相等，两直线平行。
题设： 内错角相等 结论：两直线平行
新知探究
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二 个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第 二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命 题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫 做它的逆命题.
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
A
A'
c b
在△ ABC和△ A’B’C’中
b
BC=a=B’C’
B
a
C
B'
a
C'
∵ ∠ C’=900
∴ A’B’2= a2+b2 ∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
∴ A’B’ =c
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
驶向胜利 的彼岸
例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。
(4)全等三角形的对应角相等．
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 一原个命命题题成是立真时命, 逆题命,它题逆有命时题成却立不, 有一时定不是成真立命题.
引入新知
把一根绳子分成等长的12段, 然后以3个结，4个结，5个结 的长度为边长，用木桩钉成一 个三角形，其中一个角便是直 角。
ABCD的面积?
S C
四边形ABCD=36
B D
A
练一练
3、已△ 知ABC三角形分 的别 三为 a边,b,c 且a= m2 -n2,b=2mnc,=m2 n2 (m>n,m,n是正整数)， △ABC是直角吗 三?角 说形 明理由
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长， 可以代m,n为满足条件的特殊值来试， m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
.
试一试
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1)两条直线平行，内错角相等．
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
作业：34页， 习题17.2第1题、第2题
1.秋季。在北半球，台风多出现在夏 、秋季 节；此 时亚洲 高压已 经出现 ，故此 时应为 秋季。 2.天气晴朗。此时我国京津地区位于 冷锋锋 前，受 单一暖 气团控 制且等 压线稀 疏。3.秋 冬季节 ，亚欧 大陆北 部降温 快，降 温幅度 大，气 温下降 引起气 流收缩 下沉， 形成冷 高压。
∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形ABC是不是
直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 _是___ ∠_A__=_9_0;0
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
4.此处为河谷地带，来自印度洋的暖 湿气流 沿河谷 深入， 导致此 地气温 较东西 两侧高 。 5.该日此地为阴雨天气，夜间大气逆 辐射强 ，气温 较高， 未出现 霜冻。 6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧， 由北向 南移动 ，画图 略。
7.土地利用以绿地为主，绿地面积呈 增加趋 势；建 筑面积 增加最 多，水 域、其 他用地 、滩涂 持续减 少。 8.布局在郊区，地价便宜；远离市区 ，能有 效减小 对市区 的污染 ；临海 分布， 便于运 进原料 和输出 产品。 9.结合上题，主要从政策扶持，发展 有机农 业；提 高农业 技术， 科学施 肥；因 主要从 我国人 多地少 ，农业 生产压 力大以 及耕地 资源的 特点等 方面分 析加强 农产品 质量监 管等方 面分析.
按照这种做法三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
勾股定理的逆命题
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
吗？
D AB
C C
13 D
12 45
A3 B
练一练
1. 三角形三边长a、b、c满足条件 (a b)2 c2 2ab,则此三角形是( B )
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、等边三角形
中考链接
2.已知：如图，四边形ABCD
中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，
CD＝12，AD＝13,求四边形
(3) a=1 b=2 c= 3
_是___ ∠_B_=_9_0_0;
(4) a:b: c=3:4:5
_是____ ∠__C_=_9_0;0
像25,20,15,能够成为直角三角形
三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例题解析
例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零 件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这 个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启 智慧 定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个
定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
解： a2 b2 (m2 n2)2 (2mn)2 (m2 n2)2 c2
∴△ABC是直角三角形
思维训练
4、 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
自主评价：
1、勾股定理的逆定理 2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS） ∴ ∠ C= ∠ C’(全等 三角形对应角相等） ∴ ∠C= 900 ∴ △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。且边 C年所对的角为直角.
人教2011版八年级下册
17.2勾股定理的逆定理 第一课时
X
复习旧知
说出下列命题的题设和结论。 1、两直线平行，内错角相等。
题设： 两直线平行 结论：内错角相等
2、内错角相等，两直线平行。
题设： 内错角相等 结论：两直线平行
新知探究
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二 个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第 二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命 题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫 做它的逆命题.
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
A
A'
c b
在△ ABC和△ A’B’C’中
b
BC=a=B’C’
B
a
C
B'
a
C'
∵ ∠ C’=900
∴ A’B’2= a2+b2 ∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
∴ A’B’ =c
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
驶向胜利 的彼岸
例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。
(4)全等三角形的对应角相等．
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 一原个命命题题成是立真时命, 逆题命,它题逆有命时题成却立不, 有一时定不是成真立命题.
引入新知
把一根绳子分成等长的12段, 然后以3个结，4个结，5个结 的长度为边长，用木桩钉成一 个三角形，其中一个角便是直 角。
ABCD的面积?
S C
四边形ABCD=36
B D
A
练一练
3、已△ 知ABC三角形分 的别 三为 a边,b,c 且a= m2 -n2,b=2mnc,=m2 n2 (m>n,m,n是正整数)， △ABC是直角吗 三?角 说形 明理由
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长， 可以代m,n为满足条件的特殊值来试， m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
.
试一试
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1)两条直线平行，内错角相等．
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
作业：34页， 习题17.2第1题、第2题
1.秋季。在北半球，台风多出现在夏 、秋季 节；此 时亚洲 高压已 经出现 ，故此 时应为 秋季。 2.天气晴朗。此时我国京津地区位于 冷锋锋 前，受 单一暖 气团控 制且等 压线稀 疏。3.秋 冬季节 ，亚欧 大陆北 部降温 快，降 温幅度 大，气 温下降 引起气 流收缩 下沉， 形成冷 高压。