从现代数学的观点来看中学数学的数列教学

KEGAI QIANYAN

课改前沿

115

数学学习与研究2019.13

从现代数学的观点来看中学数学的数列教学

◎资雪梅

（通海县桑园中学，云南

玉溪652799）

【摘要】本文介绍了现代数学的内容和特点，以及中学

数学和数列教学，并用现代数学来解决中学数学中的数列问题，让现代数学的思想渗透到中学数学的数列教学中，从而提高教学的质量和教学水平．

【关键词】现代数学；中学数学；数列一、现代数学的内容和特点数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求．数学是一种古老而又年轻的文化．20世纪30年代以后的数学一如既往地向前发展着，而其发展的速度却超出了人们的预料，它被人们称为现代数学．它包括了非欧几何、抽象代数、集合论、拓扑学、泛函分析、数理逻辑、数学基础等内容．

现代数学与中学数学在研究对象、思想方法和语言上都有着显著的不同．第一，在研究对象上，中学数学是以数和三维空间的图形为主要的研究对象；而现代数学则是以任意集合及其之间的各种关系为主要的研究对象．第二，在思想和方法上，中学数学具有普遍而强有力适应性的本质思想．如，符合思想，化归思想，转换思想等；而现代数学是以集合论为基础，普遍采用公理化方法和数学结构观点进行统一处理．如，集合论观点、公理化观点、结构观点和同构观点，是现代数学的基本观点．第三，在数学语言上，中学数学主要用符号语言和图形语言；而现代数学全面使用集合论符号、数理逻辑符号，使其语言更加统一和形式化．

“学习数学就是学习一种有特定含义的形式化语言，以及用这种形式化语言去表述、解决各种问题．作为现代数学语言重要组成部分的集合语言，可以简洁、准确地表达数学

对象和结构”．学习和掌握现代数学，对数学是研究抽象结

构关系的理论，是关于模式的科学、是演绎科学，是人类思维的创造物．现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦，能提高人的数学悟性和数学意识．

二、中学数学及数列教学

随着中学教材的改革和更新，随着数学竞赛活动的发展，随着科学技术的进步，都给中学数学教学提出了更高的要求．中学数学教学的目的就是使学生学好从事社会主义现代化建设所必需的数学基础知识和基本技能，培养学生的运算动力、逻辑思维能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力．

现代数学的发展使我们对中学数学的认识更加深刻和全面，如非欧几何的建立使人们对欧式几何的认识更加深刻；拓扑学的发展使人们认识到除了一般的度量空间之外还有许多的特殊空间．

在中学数学的教学阶段渗透现代数学的思想和方法，为现代数学的教学做了很好的铺垫．在中学数学中许多不能或不容易解决的难题，运用现代数学的理论和思想方法就能得到很好的解决．现代数学与中学数学在相互作用中得到共同发展．

在中学教材中，数列是高中数学的重点内容之一．数列部分主要介绍了两类特殊的数列：等差数列和等比数列．但是数列很多，大部分都不是这两类数列．而为了培养学生的观察能力、思考能力和归纳能力，常常会给出数列的前几项，要求学生通过观察写出数列的通项公式．所谓用观察法求出数列的通项公式，指的就是由数列的前有限项所揭示的某些比较浅显的规律，去猜测它的一个通项公式．由于学生在高中所学知识的局限性，所接触的观察题都比较简单．

三、用现代数学解决中学数学中的数列问题

但是，数列有无穷多项，仅仅知道它的前几项，能否确定这一数列的通项公式，而且，这一通项公式是否唯一呢？我们来看这样一个例子：

例1已知数列｛a n ｝的前3项为2，

4，6，试写出该数列的通项公式．

对高中生来说，很容易就能观察出该数列的通项公式是f （n ）=2n．

但是这个通项公式是唯一的吗？

经验证知：g （n ）=13

（n 3－6n 2

+17n －6）．

也是该数列的一个通项公式．

虽然对n =1，

2，3，f （n ）=g （n ），但是f （4）=8，g （4）=10，可见f （n ）和g （n ）是两个不同的公式．

事实上，对任意给定的a 1，

a 2，…，a k ，都可以做出一个关于n 的k －1次多项式f （n ），使得f （i ）=a i ，

i =1，2，…，k．设f （n ）=a 1f 1（n ）+a 2f 2（n ）+…a k f k （n ），

只要使其中f i （n ）当n =i 时，f i （i ）=1；当n ≠i 时，f i （n ）=0．就满足f （i ）=a i ，i =1，2，…，k．

令f i （n ）=λi （n －1）…（n －i +1）（n －i －1）…（n －k ），

显然有f i （n ）=0，

n =1，2，…i －1，i +1，…，k．现选λi ，使f i （i ）=λi （i －1）…（i －i +1）（i －i －1）…（i －k ）=1，从而

λi =

1

（i －1）Λ（i －i +1）（i －i +1）Λ（i －k ），于是

f （n ）=∑n

i =1

（n －1）Λ（n －i +1）（n －i －1）Λ（n －k ）

（i －1）Λ（i －i +1）（i －i +1）Λ（i －k ）a i ，

这就是所要求的通项公式，它是关于n 的k －1次多项式．

可见，对给定的k 项，

a 1，a 2，…，a k ，总可以写出数列｛a n ｝的无穷多个通项公式f （n ），使f i （i ）=a i ，

i =1，2，…，k ，而f （k +1）等于任意给定的数a k +1．例1中的g （n ）就是根

据a 1=2，

a 2=4，a 3=6和a 4=10构造出来的．所以，中学数列教学中的

“根据a 1，a 2，a 3，…，写出数列通项公式”的题，只能通过观察写出一个最容易的通项公式．而从现代数学的角度，就能把数列的教学提升到一个新的高度．

著名的数学教育家斯托利亚尔认为：与其说是教现代数学，不如说是现代的数学教学，即是把中学数学建立在现代数学的思想基础上，用现代数学的观点、思想、方法、风格和语言进行中学数学教学，使学生的思维向现代数学的思维方向发展．

用现代数学的思想方法指导中学数学的教学，有利于提高教学的质量和教学水平．在实践中不断地探索，并逐步上升到理论的高度，再更好地应用到实践中去，才能真正培养学生的数学能力，以实现数学教学的目标．【参考文献】

［1］胡炳生．现代数学观点下的中学数学［

M ］．北京：高等教育出版社，

2001．［2］高夯．现代数学与中学数学［

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