概述奇异积分的数值计算方法

En ( f ) =
2π f 2 ( 2 n )!
2n
2n
(η ), η ∈ [ −1,1]
当权函数为 e − x ，而区间为 [0, ∞) 时，相应的正交多项式为 Laguerre 多项式，将 n 次 Laguerre 多项式的全部零点 x k 作为求积节点，可以得到如下求积公式：
∫
∞
0
(n!) 2 e f ( x)dx ≈ ∑ f ( xk ) ′ ( x k )) 2 k =1 x k ( Ln
3
奇异积分的数值计算
∫
∞
−∞
e − x f ( x)dx ≈ ∑
2
2 n +1 n! π f ( xk ) ′ ( x k )) 2 k =1 ( H n
n
上式称为 Gauss-Hermite 求积公式，其截断误差公式为： En ( f ) = n! π f 2 n (2n)!
2n
(η ), η ∈ (−∞, ∞)
6
奇异积分的数值计算
第二章 奇异积分的数值计算
2.1 基础知识
在本章中我们将考虑下述形式的奇异积分 I [ g ] = ∫ ρ ( x) g ( x)dx
a b
(2-1)
的数值计算问题. 区间 [a, b] 为有限(后面将 指 出,给 一些条件以适当说明, 一下讨论对无限区间也是 成立的);
ρ ( x ) 是一个固定的权函数; g ( x ) 具有下面的形式: g ( x) = f ( x) , λi 是 (a, b) 内互不相同的 m 个点, f ( x) ∈ D1 [a, b].
ρ ( x ) 又奇性,而积分 ∫ ρ ( x ) x k dx 容易求得, k = 1,2 L .这样就可以如同对于振荡积分的
a b
2
奇异积分的数值计算
处理,对 f ( x ) 进行插值,从而形成带权求积公式:
∫
其中 a ≤ x1 < x 2 < L < x n ≤ b .
b
a
ρ ( x) f ( x ) dx ≈ ∑ Ak f ( x k )
−x n
上式称为 Gauss-Laguerre 求积公式，其截断误差公式为
En ( f ) =
2
( n!) 2 f ( 2n)!
2n
(η ), η ∈ [0, ∞ ]
当权函数为 e − x ，而区间 (−∞, ∞) 时，相应的正交多项式为 Hermite 多项式，将 n 次 Hermite 多项式的全部零点作为求积节点，可以得到如下求积公式：
∏ (x − λ )
i i =1
m
此时, g ( x ) 具有多个一阶奇点 λi . 在 g ( x ) 具有多个 一 阶奇点时,为 了 保证奇异积分(2-1) 有 意 义 , 则 还须进一步 要求 权函数 ρ ( x ) 在 (a, b) 内任 何闭区间上也是 D1 类函数. 此时奇异积分(2-1)实 际上就 是 若 干个 Cauchy 主值积分之和.与(2-1)相同,也可采用记法 I ( f , λ1 , L λ m ) = ∫ ρ ( x)
4
奇异积分的数值计算
便得到与其导数同为连续的函数.作为辅助函数,常取 Taylor 级数的部分和.这样求积公 式则可应用于被积函数与辅助函数之差上. 设所要求的积分为 I = ∫ ( x − x0 ) σ g ( x)dx, σ > −1
a b
其中 g ( x 0 ) ≠ 0, 且于 x0 的某个邻域内有一直到 k 阶的连续导数. 利用恒等式
( x − x0 ) ( x − x0 ) ( k ) g ( x) = g ( x0 ) + g ′( x 0 ) + L + g ( x 0 ) 1! k! k ( x − x0 ) ( x − x0 ) ( k ) g ( x0 ) − L − g ( x0 ) + g ( x) − g ( x0 ) − 1! k!
x − x0 g ( k ) ( x0 ) ′ ( x − x 0 ) f 2 ( x) = ( x − x0 ) g ( x) − g ( x0 ) − g ( x0 ) − L − 1! k! 所以 I = ∫ f 1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx = I 1 + I 2
t3 dt ，对 I 利用复化辛卜生公式 S 2 m . 0 1+ t2
1
表 1-1 m 1 2 3 4 5 6 7 8
I
0.612941176470588 0.613663647550498 0.613703076511086 0.613705479637529 0.613705628941378 0.613705638259155 0.613705638841303 0.613705638877684
k =1
n
假定上述求积公式对任意 n − 1 次多项式精确成立，则 Ak 必满足如下方程组：
∑A x
k =1 k
n
i k
= ∫ ρ ( x) x i dx, i = 0,1,L n − 1
a
b
若进一步假定 ρ ( x ) ≥ 0 ，且上述求积公式对任意 2n − 1 次多项式精确成立，则相应 的求积公式称为奇异积分的高斯型求积公式.对于无穷积分也可建立类似的公式. 利用正交多项式也可以给出一些标准的高斯型求积共好似的节点和系数,而无需求 解待定系数方程组.下面列出三个这样的求积公式. 当权函数为 1
Im
0.462043903259883 0.577630009258531 0.650906541634455 0.697058147993553 0.725945232371619 0.743919822478300 0.755042993686766 0.761891731404468
从上表可以看出，积分变换比极限逼近收敛快得多，并且区间剖分越细，极限逼近 的结果与真值相差越远.这说明极限逼近是数值不稳定的. 对于无穷限的广义积分 ∫ f ( x ) dx ，也可类似地选取一个趋于无穷的序列 c m ，用正
a b
适当选取一个收敛于 a 的序列 rm ，例如 rm = a + 2 − m ( m = 1,2, L) ，上述反常积分用
∫
b
rm
f ( x ) dx, m = 1,2, L
来取代，这样在所选的区间上变为正常积分，于是可采用通常的求积公式在区间 [rm , b] 上求解， 当 rm 充分靠近 a 时就可得到原积分的一个很好近似.但是,这样的近似计算往往 由于 rm 控制得过快或过慢而出现数值不稳定现象. 例1 解 计算积分 ∫
表 1-2 n 1 1.0912691 2 0.8753191 3 0.86350177 4 0.85751967
以上构造了具有最高代数精度的求积公式， 并且对于积分区间为无穷及被积函数有 奇性时也作了初步讨论.由于 Gauss 型求积公式精度高，从而在实用时无需像牛顿-柯特 斯公式那样将区间加细，但是由于 Gauss 型求积公式需要用正交多项式的零点作为节 点，因此这在应用上受到了一定的限制.
上面右端第一个积分可直接算出
∫
而第二个积分经化简后，为
1
1 x
0
(1 − x + x 2 )dx ≈ 1.733 333,
−∫
1
0
x2 x dx 1+ x
利用 3 点 Gauss 型求积公式可求得它的值为-0.162 601.最后求得 I ≈ 1.570 73 顺便指出，近年来国内、外学者们更经常采用样条方法来构作数值积分方法.特别 地，拟插值样条算子常被应用于各种奇异积分，其中包括 Cauchy 主值积分和有限部分 积分的数值积分.它们在奇异积分方程，特别在边界元方法中有着重要的应用. 本章主要介绍了具有一个奇点的奇异积分的数值计算， 在下一章将着重介绍具有多 个奇点的奇异积分的数值计算方法.
1 1 2
1 x +x
1 4
0
dx .
这个积分的准确值为 0.61370563…，我们采用两种方法.
方法一：取 I m =
∫
1 1 2
1 x +x
1 4
2− m
dx ，对 I m 用复化辛卜生公式 S 2 m .
1
奇异积分的数值计算
方法二：作变量代换，化原积分为 I = 4 ∫ 数值结果如表 1-1 所示.
a a b b
此处的 I1 已是正常的积分，因而可以数值积分. f 2 ( x) 有一直到 k 阶的导数存在,事 实上有 σ (σ − 1) L (σ − k + 1) ( k +1) f 2( k ) ( x) = ( x − x0 ) σ +1{ g (ξ 0 ) (k + 1)! k σ (σ − 1) L (σ − k + 2) ( k +1) + g (ξ1 ) + L + g ( k +1) (ξ k )} 1 k ! 其中诸 ξ j 为 x0 与 x 之间的数.所以 ∫ f 2 ( x)dx 可用含有 f ( m ) (ξ )(m ≤ k ) 的余项之数值积分
a b
公式来计算. 例3 计算 I = ∫
1
dx x (1 + x)
5
0
奇异积分的数值计算
解
利用恒等式 1 1 = (1 − x + x 2 ) + −1+ x − x2 1+ x 1+ x I =∫
1
1 x
0ห้องสมุดไป่ตู้
(1 − x + x 2 )dx + ∫
1
0
1 1 − 1 + x − x 2 dx x 1+ x
奇异积分的数值计算
第一章 简单奇异积分的计算
1.1 变量代换
被积函数在求积区间的某一点无界或积分区间无界， 这类积分称为奇异积分， 前者 也称为反常积分， 后者也称为无穷积分.由于这类积分通常是用极限来定义,因此无法直 接利用正常的求积公式. 对于反常积分,有时可以对其奇性部分作变量代换或分部积分转化为正常积分;对 于无穷积分 , 利用平移变换和反 射变换可以化区间 [0, ∞) 上的积分 , 然后利用变 换 x= t 1− t 或 x = − ln t ,又可化为区间 [0,1] 上的积分,也即
将被积函数 f ( x ) = ( x − x 0 ) σ g ( x) 分解为
f ( x) = ( x − x0 )σ g ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x)
其中 f 1 ( x) = g ( x0 )( x − x0 ) σ +
σ
g ′( x 0 ) g ( k ) ( x0 ) ( x − x0 ) σ +1 + L + ( x − x0 ) σ + k 1! k!
a ∞
常的积分
∫
∞ a
b
cm
f ( x ) dx, m = 1,2, L
来逼近无穷限的广义积分 ∫ f ( x ) dx .
1.2 一般情形
当被积函数相当复杂时，用上节讲的变量变换消去函数的奇性将是十分困难的.解 决 的 办 法是 将 反常积分的被积函数 写成 ρ ( x ) f ( x ) 的 形 式 , 其 中 f ( x ) 在 [a, b] 上 连续 ,
1− x2
,而区间为 [ −1,1] 时,相应的正交多项式为第一类 Chebyshev 多
项式,将 n 次 Chebyshev 的全部零点作为求积节点,可以得到如下求积公式:
∫
其截断误差公式为
1
f ( x) 1− x2
−1
dx ≈
π n ( 2k − 1)π f cos ∑ n k =1 2n
∫
∞
0
f ( x)dx = ∫
1 f ( − ln t ) 1 t f dt = − ∫ dt 2 0 (1 − t ) 0 t 1− t 1
具体计算时到底采用怎样的变换,要根据问题的需要,因为不适当的变换有可能引 进函数的奇性，而合适的变换会有效地消去奇性. 由于奇异积分是由极限定义的，对于 f ( x ) 在 a 附近的反常积分 ∫ f ( x ) dx ，也可以
1.3 Kontorovich 奇点分离法
对于一个积分来讲， 如果它的被积函数在积分区间上处处连续， 而它的某些阶导数 在区间内的某点不是有界的.此时虽然仍可用数值积分公式来计算,但因余项的界已无法 控制,以致这类数值积分公式无效.这表明如果被积函数 f ( x ) 的导数存在奇点，则会导致 数值积分公式无效. Kontorovich 奇点分离法是专门为解决以上问题的一类方法.其基本思想乃是作出与 被积函数有同样特点的可积分成有限形式的初等函数.如从被积函数减去这个辅助函数,
1
例 2 用适当的 Gauss 型求积公式计算奇异积分 I = ∫ 解 在区间[0,1]上建立 Gauss 型求积公式
dx x +3 x
0
.
∫
1
1 x
0
f ( x)dx ≈ ∑ Ai f ( xi )
i =0
n
可以计算出 Gauss 型求积公式的节点.当 n=0,1,2,3 时计算结果如表 1-2 所示.