第五章 平均指标和变异指标

第5章平均指标和变异指标

【教学内容】

本章包括平均指标和变异指标两部分内容,阐述了平均指标的概念和作用;各种平均数(算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数)的计算原则、方法与应用条件;变异指标的作用、主要的变异指标(全距、平均差、标准差及其系数)的计算方法和运用条件。【教学目标】

1.理解平均指标和变异指标的概念、意义、作用；

2.明确其种类及其区别；

3.掌握平均指标和变异指标的计算方法、应用的原则和条件、平均指标与变异指标的关系。【教学重点、难点】

1.平均指标的特点和计算、应用原则；

2.加权算术平均数；

3.平均指标与变异指标的关系；

4.标准差及其系数

第一节平均指标的概念和作用

一、平均指标的概念

在社会经济现象的同质总体中,同一标志在各单位的数量表现不尽相同,标志值大小各异,这就需要利用平均指标来代表总体的一般水平。总体各单位的同质性和某种标志值在各单位的差异性,是计算平均数的前提条件。

平均指标,是将同类社会经济现象总体内各单位某一数量标志值的差异抽象化的代表性水平指标,其数值表现为平均数。平均指标一般是一种具有单位名称的数,它的计算单位是一个复合单位。平均指标是社会经济统计中最常用的综合指标之一。

平均指标的显著特点是,把同质总体内各单位在某一数量标志值上的差异抽象化了,是对各单位具体数值的平均;它不是某一单位的具体数值,而是代表总体某种数量标志值的一般水平,是总体各单位的代表值。需要注意的是,掩盖总体内部各单位某种数量标志值的差异,是平均数的局限性,必须充分认识,以防误用。

二、平均指标的作用

平均指标由于能综合反映所研究现象的总体在具体条件下的一般水平,因此,在统计研究中,以及各项经济管理和分析中被广泛应用。其作用概括起来主要有:

1、利用平均指标,可以了解总体次数分布的集中趋势。

2、利用平均指标,可以对若干同类现象在不同单位、地区间进行比较研究。

3、利用平均指标,可以研究某一总体某种数值的平均水平在时间上的变化,说明总体的发展过程和趋势。

4、利用平均指标,可以分析现象之间的依存关系。

5、平均指标可作为某些科学预测、决策和某些推算的依据。

第二节算术平均数

一、算术平均数的基本形式

算术平均数是统计中最基本、最常用的一种平均数。它的基本计算形式是用总体的单位总数去除总体的标志总量。算术平均数的基本计算公式是:

在社会经济现象中,总体的标志总量常常是总体单位标志值的算术总和。例如,工人工资总额是各个工人工资的总和;粮食总产量是各块地播种面积产量的总和等。在掌握了标志总量和总体单位总数的资料后,就可以按照[公式5-1]计算算术平均数。

二、算术平均数的计算方法

（一）简单算术平均数

如果所掌握的资料是没有经过统计分组的总体各单位的标志数值,则先将这些标志值相加得出标志总量,再用总体单位总数去除,就得出算术平均数。这样计算出来的算术平均数称为简单算术平均数。其计算公式为:

用符号表示为:

[例5-1]红光机械厂第一生产班组有10名工人,生产某种零件,每个工人的日产量分别为45件、48件、52件、62件、69件、44件、52件、58件、38件、64件。试用简单算术

平均数法计算工人平均日产量（）。

工人平均日产量:

（二）加权算术平均数

有时我们研究的统计总体包括许多单位,其中有些单位的标志值相同,另一些单位的标志值不同。在这种情况下,就需要首先对总体各单位的标志值进行分组,编成单项变量数列或组距变量数列,再用加权算术平均数的方法计算平均数。

[例5-2]某厂机械车间有200名工人,每人每日生产某种零件数的单项数列及计算见表5-1,试求平均每个工人日产零件数。

平均每个工人日产零件数:

表5-1 身体发育状况调查表(一览表式举例)

[例5-3]某月某企业工人工资资料见表5-2,求工人月平均工资。

工人月平均工资:

表5-2 某月某企业工人工资情况

三、算术平均数的几个重要数学性质

（一）平均数与次数和的乘积等于所有变量值(数量标志值)的总和

有时我们研究的统计总体包括许多单位,其中有些单位的标志值相同,另一些单位的标志值不同。在这种情况下,就需要首先对总体各单位的标志值进行分组,编成单项变量数列或组距变量数列,再用加权算术平均数的方法计算平均数。

这个性质说明,平均数是所有变量值的代表数值,并且根据平均数与次数可以推算出数量标志值的总和。

（二）所有变量值与平均数的离差之和等于零

在理论上,这个性质说明,在算术平均数中,变量值之间高于或低于平均数的偏差可以相互抵消。

（三）各个变量值与平均数离差平方之和为最小

第三节调和平均数

一、调和平均数的概念

调和平均数是平均数的一种,它是根据变量值的倒数计算的,是变量值倒数的算术平均数的倒数,故又称倒数平均数。在社会经济统计中,往往由于缺乏总体的单位数资料,不能直接采用算术平均数计算,这时,就需要把算术平均数的形式加以改变,而采用另一种计算方法。所以,在实际工作中,它主要是作为算术平均数的变形来使用。

其主要特点是用特定的权数(m=Xf)加权,其变量值多为相对数和平均数。在计算平均数时,由于受到所掌握的资料的限制,往往不能直接用加权算术平均数计算,而需要按照平均数基本公式,算出所需总体单位数,或相当于总体单位数的数字。这时所用的方法,就是加权调和平均数的方法。调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种。

二、简单调和平均数

在市场上(如蔬菜市场)常常早上1元可买到1.5千克,即每千克0.67元;中午1元可买到2千克,即每千克0.50元;晚上1元可买到2.5千克,即每千克0.40元。要计算这一天平均价格是多少有以下两种方法。

先求出每千克的价格,然后求平均数,即用简单算术平均数方法:

用总金额除以总数量,即用简单调和平均数方法:

这两种方法计算出的平均价格为什么不同呢?因为前一种平均价格是用简单算术平均法计算的,后一种平均价格是用简单调和平均数方法计算的。前一种方法是依据早、中、晚的单价简单平均计算的,它只受早、中、晚单价的影响,假设早、中、晚买的重量相同(1千克),就不受重量的影响;而后一种简单调和平均数,不仅受早、中、晚不同价格的影响,还受早、中、晚买的商品重量不同的影响,所以两种方法计算出的平均价格是不同的。由于晚上买价较低从而相同金额可以购买的重量较多(1元可买到2.5千克),后一种方法受重量因素的影响,因此用后一种方法计算出的平均价格低于用前一种方法计算出的平均价格(0.50元

<0.52元)。哪种平均价格更具代表性呢?在销售量不同的情况下,应考虑销售量这个因素对平均价格的影响,故用第二种方法计算出的平均价格(0.50元/千克)更具代表性。