第五章 平均指标和变异指标
统计学(6)平均指标
第一批 第二批 第三批
50 55 60
25000 44000 18000
例题5：计算加权调和平均数
• A制造厂本月购进甲种材料三批，每批采购价格和采购金额如下，求本月购进甲 种材料的平均价格。
价格（元/千克） 采购金额（元） 采购量（千克） Mi/Xi Xi Mi
第一批 第二批 第三批 合计 50 55 60 25000 44000 18000 87000 500 800 300 1600
人 数 f 组中值x 一店 1.0 1 0～2年 3.5 1 2 ～5年 7.5 1 5 ～10年 10 ～20年 15.0 1 — 4 合计 工龄 平均工龄 — 6.75 二店 7 7 7 7 28 6.75 三店 25 25 25 25 100 6.75 四店 1 3 6 10 20 10.325 五店 10 6 3 1 20 3.425
xf f
• 其中： X 代表算术平均数，Xn 代表各单位标志值（变量值），fn代表各组单 位数（项数）。
• （1）根据单项数列计算加权算术平均 • 例2：
零件数（件） 工人数（人） 产量=零件数*工人数
xi
30 32 34 35 36
fi
20 50 76 40 14
Xi*fi
600 1600 2584 1400 504
（2）调和平均数与算术平均数的比较
• 变量不同：算术平均数是x，调和平均数是 1/x。 • 权数不同：算术平均数是f或n，代表次数（单位数），调和平均数是xf或M，代表 标志总量。 • 联系：调和平均数作为算术平均数的变形使用：
f
x
xf f
xf x
xf xf x
项目五 平均指标和变异指标 课件(共114张PPT) 《统计基础》(高教版).ppt
1
x1 x2
xn
n
1
x
Fundamentals
原始资料
of
Applied
加权调和平均
xh
m
1
xm
Statistics
分组资料
2.调和平均数——应用
均数的变形形式来使用的，令 = ，则 =
，将其代入加权算
xf
1
x xf
m x
m
x
h
• 此时，两者的计算结果是完全一样的，所代表的经济意义也是完全相同，
平均数 VS 强度相对数
2.算术平均数的计算
Fundamentals
实际工作中，根据掌握资料的不同，算术平均数的计算
方法分为两种情况：即简单算术平均数（用原始资料计算）
和加权算术平均数（用分组资料计算）。
of
x
n
Statistics
简单算术平均
x x2 x3 xn
x 1
of
Applied
Statistics
5.1.2
算术平均数
算术平均数的概念
of
PART 02
PART 03
算术平均数的特点
Statistics
算术平均数的计算
Applied
目 录
Fundamentals
PART 01
Applied
算术平均数是最基本、最
常用的平均指标，在现实生活
中得到广泛运用。
变量值的一般水平。
Applied
以变量数列作为计算基础，反映总体内各变量值
的一般水平。
统计学第五章(变异指标)
峰态及其度量
峰态定义
峰态是指数据分布的尖峭程度或扁平程度。在统计学中，峰态通常通过峰态系数 来度量。
峰态系数
峰态系数是描述数据分布峰态程度的一个统计量，通常表示为K。当K=3时，分 布呈正态分布，峰度适中；当K>3时，分布呈尖峰分布，即比正态分布更尖峭； 当K<3时，分布呈平峰分布，即比正态分布更扁平。
方差
要点一
定义
方差是在概率论和统计方差衡量随机 变量或一组数据时离散程度的度量， 用来度量随机变量和其数学期望（即 均值）之间的偏离程度。
要点二
计算公式
方差s^2=[(x1-x)^2+(x2x)^2+......(xn-x)^2]/n（x为平均数）。
要点三
性质
方差越大，说明随机变量取值越离散； 方差刻画了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度；若X的取值比较集 中，则方差D(X)较小，若X的取值比较 分散，则方差D(X)较大；因此，D （X）是刻画X取值分散程度的一个 量，它是衡量取值分散程度的一个尺 度。
变异系数的计算
01
注意事项
02
当数据集包含极端值时，变异系数可能会受到影响。
03
对于非正态分布的数据，变异系数的解释需谨慎。
变异系数的应用
比较不同数据集的离散程度
通过比较不同数据集的变异系数，可以评估它们 的相对波动程度。
在质量控制中的应用
通过计算产品质量的变异系数，计学第五章变异指
目
CONTENCT
录
• 变异指标概述 • 变异系数 • 极差、四分位差与平均差 • 标准差与方差 • 偏态与峰态的度量 • 变异指标在统计分析中的应用
01
变异指标概述
统计学原理第五章
第五章综合指标学习要点：了解各种指标的概念及作用，掌握相对指标、平均指标的特点及计算方法，变异指标的计算方法。
§1、总量指标§2、相对指标§3、平均指标§4、变异指标学习知识点：前言：1、总量指标是反映社会经济现象发展的总规模、总水平的综合指标。
将总体单位数相加或总体单位标志值相加，就可以得到说明在一定时间、空间条件下某种现象总体的总规模、总水平的指标，即总量指标。
如：2010年年年末为1339724852亿，反映是我国人口的总规模。
总量指标的作用：第一、总量指标可以用来反映一个国家的基本国情国力，反映一个地区、一个部门或一个单位的人力、物力和财力，是人们对客观事物认识的起点。
第二、总量指标可以用来作为制定政策、制定计划和实行科学管理的基本依据，也是检查政策、计划执行情况，反映社会经济活动绝对效果的重要指标。
第三、总量指标可以用来研究客观现象的数量表现及其发展的变化趋势。
第四、总量指标是计算相对指标和平均指标的基础。
一、总量指标的种类：1、按其反映现象总体内容的不同：• 总体单位总量（简称单位总量）：指总体内所有单位的总数，表示总体本身规模的大小。
对于一个确定的统计总体，其总体单位总量是唯一确定的。
• 总体标志总量（简称标志总量）：指总体中各单位标志值总和。
对于确定的统计总体，标志总量不是唯一的，而是随着标志的不同可计算不同的标志。
• 例：我们研究某市三级医院的基本情况，则全市三级医院的总数量是总体单位总量，而全部三级医院职工总人数、全部三级医院职工工资总额等就是总体指标总量。
2、按反映时间状况的不同，可分为时期指标和时点指标。
• 时期指标指反映某社会经济现象在一段时间活动结果的总量指标，它反映的是一段时间连续发生变化过程。
如产品总量、货物运输量、商品销售量、国内生产总量等。
• 时点指标是反映社会经济现象在某一时间（瞬间）状况上的总量指标。
如人口数、职工数、设备台数等。
平均指标与变异指标
第五章平均指标与变异指标教学目的与要求：本章主要介绍了经济统计中广泛应用的一种综合指标，即平均指标。
并在此基础上，详细论述了反映总体特征的另一指标，即标志变异指标。
通过本章的学习和应用能力的训练，重点要求是：1、深刻理解平均指标和变异指标的基本理论和分析方法2、掌握计算平均指标的各种方法及运用原则3、对平均指标进行分析，阐述影响平均指标大小的原因4、明确平均指标与变异指标的区别与联系5、掌握变异指标的计算方法，并能运用标志变异指标说明平均数的代表性基本理论和分析方法。
重点掌握：1、平均制表的分析方法。
2、变异指标的计算意义。
教学方式：用多媒体课件讲练结合。
课时安排：理论4学时，实训2学时第一节平均指标的概念和作用一、平均指标的概念1、定义平均指标又称平均数，它是统计分析中最常用的统计指标之一。
它反映了社会经济现象中某一总体各单位某一数量在一定时间、地点条件下所达到的一般水平，或者反映某一总体、某一指标在不同时间上发展的一般水平。
2、特点第一，同质性，即总体内各单位的性质是相同的。
第二，抽象性，即总体内各同质单位虽然存在数量差异，但在计算平均数时并不考虑这种差异，即把这种差异平均掉了。
第三，代表性，即尽管各总体单位的标志值大小不一，但我们可以用平均数这一指标值来代表所有标志值。
二、平均指标的作用1、可以用来比较同类现象在不同地区、部门、单位（即不同总体）发展的一般水平，用以说明经济发展的高低和工作质量的好坏。
2、可以用来对统一总体某一现象在不同时期上进行比较，以反映该现象的发展趋势或规律。
如对同一地区人均年收入逐年进行比较来反映该地区居民生活水平的发展趋势或规律。
1、可以作为论断事物的一种数量标准。
2、可以用来分析现象之间的依存关系。
3、可以估算和推算其他有关数字三、平均指标的种类平均指标按其性质可分为静态平均数和动态平均数。
静态平均数反映的是同质总体内各单位某一数量标志在一定时间地点条件的一般水平，动态平均数反映的是某一总体某一指标值在不同时间上的一般水平。
统计 第五章 变异指标
全距（R）：最大值和最小值之差。也叫极差。 全距越大，表示变动越大。
对于未分组资料或者单项式分组资料 R =Xmax– Xmin
[例] 求74，84，69，91，87，74，69这些数 字的全距。 [解] 把数字按顺序重新排列：69，69，74， 74，84，87，91，显然有
绝对离势/平均指标＝相对离势；
1. 变异系数
绝对离势统计量与其算术平均数的比率，用
V 表示。变异系数是最具有代表性的相对离势。 全距系数 平均差系数 标准差系数
全距系数 全距系数是众数据的全 距与其算术平均数之比，其计 算公式是 平均差系数 平均差系数是众数据的平 均差与其算术平均数之比，其 计算公式是
（4）受抽样变动的影响小，受极端值影响，处理开放组距 时要经过特殊处理
方差
值得注意的是，在推论统计中我们将发现，方差 是比标准差更有理论价值的概念。 。
所谓方差，即标准差的平方，它直接写成 也常被称为变准差的比值来测定变量 与 的 相对位置。使原来不能直接比较的离差标准化，可 以相互比较，加、减、平均。
第五节 偏态系数
变异指标——离中趋势 平均指标——集中趋势 偏度——偏斜情况 （1） 偏度的概念 反映总体次数分布偏斜程度的指标 （2）偏度的种类： 右偏分布（正偏） 左偏分布（负偏） （3）偏度的测算：算术平均数与众数比较法、动差法
A. 偏度＝算术平均数－众数
若偏度>0，则右偏；若偏度<0，则左偏
2
f
f
45200 12.27(件） 300
1 (120 70) M0 L i 70 10 74.17 （件） 1 2 (120 70) (120 50) x M 0 75 74.17 0.07 S 12.27
统计学第五章(变异指标)
值或组中值 出现的次数
数
整理ppt
19
【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。
月工资（元） 组中值（元）X 职工人数（人）f
300以下
250
208
300～400
350
314
400～500
450
382
500～600
550
456
600～700
650
305
700～800
750
237
800～900
850
78
900以上
950
20
合计
—
整理ppt
2000
20
解：
x 2 5 20 0 8 9 5 2 0 0 104 55 .9 29 元 5 2 0
2000 2000
25052.925220895052.925220
2000
56386.0519156.97元
2000
即该公司职工月工资的标准差为167.9元。
本节基本结构
变异指标
极差
平均差
标准差 变异系数
整理ppt
1
第五节 变异指标的计算与应用
某班三名同学三门课程的成绩如下： 单位：分
课 程
语文 数学 英语 总成绩 平均成绩
学生
甲 60 65 70 195
65
乙 65 65 65 195
65
丙 55 65 75 195
65
请比较三名同学学习整理成ppt 绩的差异。
5
5
n
AD i1 xi x 440558750558
n
5
46893.6元
5
即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。
第五章 平均指标和变异指标
的有3道工序，合格率为89%的有2道工序。求产品总平
均合格率。
12^√（98%² *96%^5*82%^3*89%² ）=94.12%
5.2 数值平均数
加权几何 平均数
投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的，10年的年 利率分配是：第1~2年为5%，第3~5年为8%，第6~8年
为10%，第9~10年为12%，求年均平均年利率。
200
190 180 合计
20
50 30
4000 9500 5400
衣，每件200元，50件中号毛
衣，每件190元，30件小号毛 衣，每件180元。计算每件毛
100
18900
衣平均价格。
5.2 数值平均数
5.2.1 算术平均数
加权算术平均数 【实例5.2】服装商店要销售 100件毛衣，其中20件大号毛
5.3.1 众数
Eg：18、19、19、20、20、20、20、22； 众数
18、19、19、19、20、20、20、22；
16、17、18、19、20、21、22、23。
5.3 位置平均数
5.3.1 众数
女鞋号码 35 销售量（百双） 1.1
36
2
5 2.1 0.6 0.2 10.9
众数
37 38 39 40 合计
体重（千克） 44-48 48-52 52-56 56-60 60-64 64-68 合计 人数（人） 2 3 6 10 7 2 30
5.3 位置平均数
中位数的 确定 某公司11位员工六月份生产某种产品的数量分别是17、
16.8、16.6、16.9、18.4、17.7、18、18.2、17.5、16、18.6 公斤，计算四分位数。
第5章 平均指标及答案
第五章平均指标一、本章重点1.平均指标反映了总体分布的共性或一般水平，和标志变异指标一起分别从集中趋势和离中趋势两个方面来描述总体分布的特征。
平均指标有动态上的平均指标和静态上的平均指标之分。
静态上的平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数和众数。
2.算术平均数是平均数的基本形式，是总体标志总量与总体单位总量之比。
有简单算术平均数和加权算术平均数之分。
权数的大小，并不是以权数本身值的大小而言的，而是指各组单位数占总体单位数的比重，即权重系数。
每一个标志值与其算术平均数离差之和为零，每一个标志值与其算术平均数离差的平方和为最小，是算术平均数两个最重要的性质。
3.调和平均数也叫倒数平均数，是根据标志值的倒数计算的，它是标志值倒数的算术平均数的倒数。
是在缺乏算术平均数基本公式分母部分的资料时所采用的。
4.几何平均数是计算平均比率和平均速度最适用的一种方法。
是n个标志值连乘积的n次方根，有简单调和平均数与加权调和平均数之分。
5.中位数和众数是根据标志值的位置计算的，所以也叫位置平均数。
把标志值从小到大排列起来处于中间位置上的数就是中位数，在一个变量数列中出现次数最多的哪个数就是众数。
要掌握组距数列确定中位数和众数的方法。
众数、中位数、算术平均数存在一定的关系，无论左偏还是右偏，中位数总是居于两者中间。
在偏斜适度的情况下，中位数与算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差的1/3。
6.只有在同质总体内才能计算和应用平均指标；用组平均数补充说明总平均指标；用分配数列补充说明平均数是计算和应用平均指标的三个基本原则。
二、难点释疑1.算术平均数通常用来反映总体分布的集中趋势，调和平均数往往只作为算术平均数的变形来使用，即在已知标志总量而未知总体单位总量的情况下计算调和平均数；而几何平均数较适用于计算平均比例和平均速度。
2.调和平均数虽然是根据标志值的倒数计算的，但其结果不等于算术平均数的倒数。
在计算和应用平均指标时，除了考虑数理方面的要求外，更重要的是要考虑其现实的经济意义。
统计学基础课后习题答案
第五章 平均指标与标志变异指标一、判断题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案××√√××××××二、单选题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBADADCAD三、多选题：应用能力训练题：⒈试根据下列某大型商场销售员日工资资料，计算该商场销售员的日平均工资：解：根据已知条件，计算有关数据资料如下表：所以：)(35.741007435件===∑∑f xf x⒉某公司下属10个企业，某年合格率资料如下表：要求：计算该产品的平均合格率解：根据题意，将有关数据计算入下表：%14.85140000119200===∑∑f xf x ⒊某市场上有三种鸡蛋，每公斤分别为16元、18元、20元，试计算： ⑴各买10公斤，平均每公斤多少钱？ ⑵各买10元，平均每公斤多少钱？ 解：⑴元）(1830102010181016............3213332211=⨯+⨯+⨯=++++++++=n n f f f f f x f x f x f x x⑵元）(85.17201018101610101010111=++++===∑∑∑∑m x m mm x x h ⒋某企业生产一种产品需顺次经过四个程序，这四个程序的废品率分别为1.2%、1.5%、1.3%和1.8%，该企业生产的平均废品率是多少？解：首先，计算该企业生产的平均合格率：%18.95%)8.11(%)3.11(%)5.11(%)2.11(......421=-⨯-⨯-⨯-=∏==n n n g x x x x x 该企业生产的平均废品率=1-95.18%=4.82%⒌某企业的销售额2011年比2010年增长7.5%，2012年比2011年增长9.8%，2013年比2012年增长6.3%，2014年比2013年增长11.4%。
计算2010年至2014年该企业销售额的平均增长速度。
eST-5
例（求众数） 求众数） 分组： 分组： 频数： 频数： 下限公式 <500 <800 <1100 <1400 <1700 <2000 40 90 110 105 70 50 35 ∆1=20 ∆2=5 d=300
众数组800~1100 众数组
①求数据：∆1=20 ∆2=5 求数据： ②代公式： 代公x = ∑xi Σfi
例：p102 表5-2 （3）权数的的作用：起一个权衡轻重的作用。 ）权数的的作用：起一个权衡轻重的作用。 （4）影响加权算术平均数的因素：变量、权数（包括次 ）影响加权算术平均数的因素：变量、权数（ 数的相对数和次数的相对数） 数的相对数和次数的相对数） （5）当各组权数相等时，权数已经不起作用，加权算术 ）当各组权数相等时，权数已经不起作用， 平均数变成简单算术平均数。 平均数变成简单算术平均数。
（3）组距数列 ） 上限公式： 上限公式：
Σf / 2 − Sm+1 Me = Xu − ×d fm
Σf / 2 − Sm−1 Me = XL + ×d fm
下限公式
求中位数） 例 （求中位数）
标志值由小到大
分组： <500 <800 <1100 <1400 <1700 <2000 分组： 频数： 40 90 110 105 70 50 35 频数： 累计频数： 累计频数： 40 130 240 345 415 465 500 下限公式
30 ) = = 2.494(元 12.03
说明：由相对数或平均数计算平均数时， 说明：由相对数或平均数计算平均数时，要判断在
什么情况下可以采用算术平均数或调和平均数， 什么情况下可以采用算术平均数或调和平均数，关键 在于所掌握的权数资料是基本公式的分子资料还是分 母资料。若是分子资料，则用加权调和平均数， 母资料。若是分子资料，则用加权调和平均数，若是 分母资料，则用加权算术平均数。 分母资料，则用加权算术平均数。 例
第五章 平均指标练习题
第五章平均指标和标志变异指标一、单项选择题1．平均指标反映( A )。
A. 总体分布的集中趋势B. 总体分布的离散趋势Ｃ. 总体分布的大概趋势 D. 总体分布的一般趋势2．平均指标是说明( C )。
A. 各类总体某一数量标志在一定历史条件下的一般水平B. 社会经济现象在一定历史条件下的一般水平Ｃ. 同质总体内某一数量标志在一定历史条件下的一般水平D. 大量社会经济现象在一定历史条件下的一般水平3．计算平均指标最常用的方法和最基本的形式：（ D）A．中位数 B. 众数C. 调和平均数D. 算术平均数4．算术平均数的基本计算公式( C )。
A.总体部分总量与总体单位数之比B.总体标志总量与另一总体总量之比Ｃ. 总体标志总量与总体单位数之比D. 总体标志总量与权数系数总量之比5．权数对算术平均数的影响作用决定于（ C ） A. 权数的标志值 B. 权数的绝对值Ｃ. 权数的相对值 D. 权数的平均值6．加权算术平均数的大小（ C ）。
A. 主要受各组标志值大小的影响，而与各组次数的多少无关B. 主要受各组次数大小的影响，而与各组标志值的多少无关Ｃ. 既受各组标志值大小的影响，又受各组次数多少的影响D. 既与各组标志值的大小无关，也与各组次数的多少无关7．在变量数列中，若标志值较小的组权数较大时，计算出来的平均数（A）。
A. 接近于标志值小的一方B. 接近于标志值大的一方Ｃ. 接近于平均水平的标志值D. 不受权数的影响8．假如各个标志值都增加5个单位,那么算术平均数会:( B )。
A. 增加到5倍B. 增加5个单位C. 不变D. 不能预期平均数的变化9．各标志值与平均数离差之和（ C ）。
A.等于各变量平均数离差之和B. 等于各变量离差之和的平均数Ｃ. 等于零 D. 为最大值10．当计算一个时期到另一个时期的销售额的年平均增长速度时,应采用哪种平均数?( D )A. 众数B. 中位数C. 算术平均数D. 几何平均数11．众数是（ C ）。
第五章 平均指标和变异指标 《统计学原理》PPT课件
第一节 平均指标的概念和作用
一、平均指标的概念 平均指标，是同类社会经济现象总体内 各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件 下数量差异抽象化的代表性水平指标，其数值 表现为平均数。
二、平均指标的作用 (一)利用平均指标，可以了解总体次数分布的集
(二)利用平均指标，可以对若干同类现象在不同 单位、地区间进行比较研究
G
f 1 f 2 f 3 fn X1 f 1 • X 2 f 2 • X 3 f 3 • X n fn
f
Xf
［公式5—8］
第五节 众数和中位数
一、众数
在观察某一总体时，最常遇到的标志值，在 统计上称为众数。
下限公式:
M0
L
( f0
( f0 f 1 ) f 1) ( f0
•i f 1 )
X1 X 2 X 3
Xn
m
1 X
［公式5—6］
[例5-4]某农产品收购部门,某月购进三批 同种产品,每批产品的价格及收购金额见表 5-3,求三批产品的价格.
［例 5-4］
第一批 第二批 第三批
合计
价格X(元/千 克) 50 55 60
_
收购金额 m(元) 11000 27500 18000
56500
(三)利用平均指标，可以研究某一总体某种数值 的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和 趋势
二、平均指标的作用 (四)利用平均指标，可以分析现象之间的 依存关系 (五)平均指标可作为某些科学预测、决策 和某些推算的依据
第二节 算术平均数
一、算术平均数的基本形式
算术平均数
总体标志总量 总体单位总数
［公式5—1］
例如,某公司某月的工资总额为744万元,工 人总数为2000人,则该公司工人的月平均工 资为:
第五章 平均指标和标志变异指标
x = 4 95% × 93% × 90% × 86% = 4 0.6838 = 90.94%
（四）众数（Mo） 1、基本概念 众数是根据变量值所处的位置来确定的平 均数，它是频率分布中出现次数最多或频 率最大的那个变量值。
2、众数的确定方法 （1）单项数列
出现次数最多或频率最大的那个变量值即为众数。
∑ xf x= ∑f
=
65500 = 1091.67(元) 60
（二）调和平均数 在不掌握各组单位数及总体单位数的情况下，只掌握 各组的标志值、各组标志总量及总体总量的条件下， 则用调和平均数的方法计算平均指标。 根据所掌握的资料不同，调和平均数有简单和加权两 种。
1、简单调和平均数
适用于未分组资料或各组标志总量均相等的情况。
9710 = = 12 . 1375 ( 件） 800
若上述资料为组距数列， 若上述资料为组距数列，则应取各组的组 说 中值作为该组的代表值用于计算； 中值作为该组的代表值用于计算；此时求 明 得的算术平均数只是其真值的近似值。 得的算术平均数只是其真值的近似值。
例：某贸易公司60名员工月工资分组资料如下：
工 资 （元） 800以下 以下 800~1000 1000~1200 1200~1500 1500以上 以上 合计 组中值 x 700 900 1100 1350 1650 — 人数（ 人数（人） f 6 14 26 10 4 60 工资总额（ 工资总额（元） xf 4200 12600 28600 13500 6600 65500
例：某厂一生产组有5名工人， 日加工零件数量分别为17件、 20件、22件、24件、27件， 17 + 20 + 22 + 24 + 27 求平均每个工人日产量件数: = 22件
统计学上师大习题答案
第五章平均指标与标志变异指标一、填空题1．平均指标是表明__________某一标志在具体时间、地点、条件下达到的_________的统计指标，也称为平均数。
2．权数对算术平均数的影响作用不决定于权数的大小，而决定于权数的________的大小。
3．几何平均数是n个__________的n次方根，.它是计算和平均速度的最适用的一种方法。
4．当标志值较大而次数较多时，平均数接近于标志值较的一方；当标志值较小而次数较多时，平均数靠近于标志值较的一方。
5．当时，加权算术平均数等于简单算术平均数。
6．利用组中值计算加权算术平均数是假定各组内的标志值是分布的，其计算结果是一个。
7．中位数是位于变量数列的那个标志值，众数是在总体中出现次数的那个标志值。
中位数和众数也可以称为平均数。
8．调和平均数是平均数的一种，它是的算术平均数的。
9．当变量数列中算术平均数大于众数时，这种变量数列的分布呈分布；反之算术平均数小于众数时，变量数列的分布则呈分布。
10．较常使用的离中趋势指标有、、、、、。
11．标准差系数是与之比。
12．已知某数列的平均数是200，标准差系数是30％，则该数列的方差是。
13．对某村6户居民家庭共30人进行调查，所得的结果是，人均收入400元，其离差平方和为5100000，则标准差是，标准差系数是。
14．在对称分配的情况下，平均数、中位数与众数是的。
在偏态分配的情况下，平均数、中位数与众数是的。
如果众数在左边、平均数在右边，称为偏态。
如果众数在右边、平均数在左边，则称为偏态。
15．采用分组资料，计算平均差的公式是，计算标准差的公式是。
二、单项选择题1．加权算术平均数的大小( )A受各组次数f的影响最大B受各组标志值X的影响最大C只受各组标志值X的影响D受各组次数f和各组标志值X的共同影响2，平均数反映了( )A总体分布的集中趋势B总体中总体单位分布的集中趋势C总体分布的离散趋势D总体变动的趋势3．在变量数列中，如果标志值较小的一组权数较大，则计算出来的算术平均数( ) A接近于标志值大的一方B接近于标志值小的一方C不受权数的影响D无法判断4．根据变量数列计算平均数时，在下列哪种情况下，加权算术平均数等于简单算术平均数( )A各组次数递增B各组次数大致相等C各组次数相等D各组次数不相等5．已知某局所属12个工业企业的职工人数和工资总额，要求计算该局职工的平均工资，应该采用( )A简单算术平均法B加权算术平均法C加权调和平均法D几何平均法6．已知5个水果商店苹果的单价和销售额，要求计算5个商店苹果的平均单价，应该采用( )A简单算术平均法B加权算术平均法C加权调和平均法D几何平均法7．计算平均数的基本要求是所要计算的平均数的总体单位应是( )A大量的B同质的C差异的D少量的8．某公司下属5个企业，已知每个企业某月产值计划完成百分比和实际产值，要求计算该公司平均计划完成程度，应采用加权调和平均数的方法计算，其权数是( ) A计划产值B实际产值C工人数D企业数9．由组距变量数列计算算术平均数时，用组中值代表组内标志值的一般水平，有一个假定条件，即( )A各组的次数必须相等B各组标志值必须相等C各组标志值在本组内呈均匀分布D各组必须是封闭组10．离中趋势指标中，最容易受极端值影响的是( )A极差B平均差C标准差D标准差系数11．平均差与标准差的主要区别在于( )A指标意义不同B计算条件不同C计算结果不同D数学处理方法不同A 7万元B 1万元C 12 万元D 3万元13．当数据组高度偏态时，哪一种平均数更具有代表性? ( )A算术平均数B中位数C众数D几何平均数14．方差是数据中各变量值与其算术平均数的( )A离差绝对值的平均数B离差平方的平均数C离差平均数的平方D离差平均数的绝对值15．一组数据的偏态系数为1.3，表明该组数据的分布是( )A 正态分布B平顶分布C左偏分布D右偏分布16．当一组数据属于左偏分布时，则( )A平均数、中位数与众数是合而为一的B众数在左边、平均数在右边C众数的数值较小，平均数的数值较大D众数在右边、平均数在左边17．四分位差排除了数列两端各( )单位标志值的影响。
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第5章平均指标和变异指标【教学内容】本章包括平均指标和变异指标两部分内容,阐述了平均指标的概念和作用;各种平均数(算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数)的计算原则、方法与应用条件;变异指标的作用、主要的变异指标(全距、平均差、标准差及其系数)的计算方法和运用条件。
【教学目标】1.理解平均指标和变异指标的概念、意义、作用；2.明确其种类及其区别；3.掌握平均指标和变异指标的计算方法、应用的原则和条件、平均指标与变异指标的关系。
【教学重点、难点】1.平均指标的特点和计算、应用原则；2.加权算术平均数；3.平均指标与变异指标的关系；4.标准差及其系数第一节平均指标的概念和作用一、平均指标的概念在社会经济现象的同质总体中,同一标志在各单位的数量表现不尽相同,标志值大小各异,这就需要利用平均指标来代表总体的一般水平。
总体各单位的同质性和某种标志值在各单位的差异性,是计算平均数的前提条件。
平均指标,是将同类社会经济现象总体内各单位某一数量标志值的差异抽象化的代表性水平指标,其数值表现为平均数。
平均指标一般是一种具有单位名称的数,它的计算单位是一个复合单位。
平均指标是社会经济统计中最常用的综合指标之一。
平均指标的显著特点是,把同质总体内各单位在某一数量标志值上的差异抽象化了,是对各单位具体数值的平均;它不是某一单位的具体数值,而是代表总体某种数量标志值的一般水平,是总体各单位的代表值。
需要注意的是,掩盖总体内部各单位某种数量标志值的差异,是平均数的局限性,必须充分认识,以防误用。
二、平均指标的作用平均指标由于能综合反映所研究现象的总体在具体条件下的一般水平,因此,在统计研究中,以及各项经济管理和分析中被广泛应用。
其作用概括起来主要有:1、利用平均指标,可以了解总体次数分布的集中趋势。
2、利用平均指标,可以对若干同类现象在不同单位、地区间进行比较研究。
3、利用平均指标,可以研究某一总体某种数值的平均水平在时间上的变化,说明总体的发展过程和趋势。
4、利用平均指标,可以分析现象之间的依存关系。
5、平均指标可作为某些科学预测、决策和某些推算的依据。
第二节算术平均数一、算术平均数的基本形式算术平均数是统计中最基本、最常用的一种平均数。
它的基本计算形式是用总体的单位总数去除总体的标志总量。
算术平均数的基本计算公式是:在社会经济现象中,总体的标志总量常常是总体单位标志值的算术总和。
例如,工人工资总额是各个工人工资的总和;粮食总产量是各块地播种面积产量的总和等。
在掌握了标志总量和总体单位总数的资料后,就可以按照[公式5-1]计算算术平均数。
二、算术平均数的计算方法（一）简单算术平均数如果所掌握的资料是没有经过统计分组的总体各单位的标志数值,则先将这些标志值相加得出标志总量,再用总体单位总数去除,就得出算术平均数。
这样计算出来的算术平均数称为简单算术平均数。
其计算公式为:用符号表示为:[例5-1]红光机械厂第一生产班组有10名工人,生产某种零件,每个工人的日产量分别为45件、48件、52件、62件、69件、44件、52件、58件、38件、64件。
试用简单算术平均数法计算工人平均日产量（）。
工人平均日产量:（二）加权算术平均数有时我们研究的统计总体包括许多单位,其中有些单位的标志值相同,另一些单位的标志值不同。
在这种情况下,就需要首先对总体各单位的标志值进行分组,编成单项变量数列或组距变量数列,再用加权算术平均数的方法计算平均数。
[例5-2]某厂机械车间有200名工人,每人每日生产某种零件数的单项数列及计算见表5-1,试求平均每个工人日产零件数。
平均每个工人日产零件数:表5-1 身体发育状况调查表(一览表式举例)[例5-3]某月某企业工人工资资料见表5-2,求工人月平均工资。
工人月平均工资:表5-2 某月某企业工人工资情况三、算术平均数的几个重要数学性质（一）平均数与次数和的乘积等于所有变量值(数量标志值)的总和有时我们研究的统计总体包括许多单位,其中有些单位的标志值相同,另一些单位的标志值不同。
在这种情况下,就需要首先对总体各单位的标志值进行分组,编成单项变量数列或组距变量数列,再用加权算术平均数的方法计算平均数。
这个性质说明,平均数是所有变量值的代表数值,并且根据平均数与次数可以推算出数量标志值的总和。
（二）所有变量值与平均数的离差之和等于零在理论上,这个性质说明,在算术平均数中,变量值之间高于或低于平均数的偏差可以相互抵消。
（三）各个变量值与平均数离差平方之和为最小第三节调和平均数一、调和平均数的概念调和平均数是平均数的一种,它是根据变量值的倒数计算的,是变量值倒数的算术平均数的倒数,故又称倒数平均数。
在社会经济统计中,往往由于缺乏总体的单位数资料,不能直接采用算术平均数计算,这时,就需要把算术平均数的形式加以改变,而采用另一种计算方法。
所以,在实际工作中,它主要是作为算术平均数的变形来使用。
其主要特点是用特定的权数(m=Xf)加权,其变量值多为相对数和平均数。
在计算平均数时,由于受到所掌握的资料的限制,往往不能直接用加权算术平均数计算,而需要按照平均数基本公式,算出所需总体单位数,或相当于总体单位数的数字。
这时所用的方法,就是加权调和平均数的方法。
调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种。
二、简单调和平均数在市场上(如蔬菜市场)常常早上1元可买到1.5千克,即每千克0.67元;中午1元可买到2千克,即每千克0.50元;晚上1元可买到2.5千克,即每千克0.40元。
要计算这一天平均价格是多少有以下两种方法。
先求出每千克的价格,然后求平均数,即用简单算术平均数方法:用总金额除以总数量,即用简单调和平均数方法:这两种方法计算出的平均价格为什么不同呢?因为前一种平均价格是用简单算术平均法计算的,后一种平均价格是用简单调和平均数方法计算的。
前一种方法是依据早、中、晚的单价简单平均计算的,它只受早、中、晚单价的影响,假设早、中、晚买的重量相同(1千克),就不受重量的影响;而后一种简单调和平均数,不仅受早、中、晚不同价格的影响,还受早、中、晚买的商品重量不同的影响,所以两种方法计算出的平均价格是不同的。
由于晚上买价较低从而相同金额可以购买的重量较多(1元可买到2.5千克),后一种方法受重量因素的影响,因此用后一种方法计算出的平均价格低于用前一种方法计算出的平均价格(0.50元<0.52元)。
哪种平均价格更具代表性呢?在销售量不同的情况下,应考虑销售量这个因素对平均价格的影响,故用第二种方法计算出的平均价格(0.50元/千克)更具代表性。
简单调和平均数的计算公式为:式中:m为标志总量(m=Xf);其他符号含义同前。
三、加权调和平均数加权调和平均数实际上是加权算术平均数的变形。
在实际工作中,经常会遇到只有各组标志总量和各个组变量值,缺少总体单位数资料的情况,这时就需要利用调和平均数公式计算平均数。
它的计算方法是以标志总量为权数,其计算公式为:式中:m为标志总量(m=Xf);其他符号含义同前。
[例5-4]某农产品收购部门某月购进三批同种产品,每批产品的价格及收购金额见表5-3,求三批产品的平均价格。
平均每千克的价格(H)为:式中:m为收购金额,即权数;X为变量值;分子是收购总金额,即总体标志总量;分母为收购量之和,即总体单位总数。
第四节几何平均数一、几何平均数的概念和特点几何平均数不同于算术平均数和调和平均数,它是n个变量值连乘积的n次方根,是计算平均比率和平均速度时比较适用的一种方法,符合人们的认识规律。
例如,有甲、乙两种商品,甲商品价格从200元上涨到250元,其价比为1.25(250÷200),其上涨率为25%;而乙种商品价格则从250元下降到200元,其价比为0.8(200÷250),即下降了20%。
如果单纯从价格变动来看两者拉平,应当是没有变动,这两种价比按算术平均法计算平均价比为1.025((1.25 +0.8)÷2),即上涨了2.5%。
如果按调和平均法计算平均价比为:二、几何平均数的计算方法（一）简单几何平均数简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。
其计算公式：式中:G为几何平均数;X为各个变量值;n为变量值的个数;∏为连乘符号。
[例5-5]某机械厂生产机器,设有毛坯、粗加工、精加工、装配四个连续作业的车间。
某批产品其毛坯车间制品合格率为97%,粗加工车间制品合格率为93%,精加工车间制品合格率为91%,装配车间产品合格率为87%,求各车间制品平均合格率。
由于各车间制品的合格率总和并不等于全厂产品的总合格率,后续车间的合格率是在前一车间制品全部合格基础上计算的。
全厂产品总合格率等于各车间制品合格率的连乘积,故应采用几何平均法计算各车间制品平均合格率。
车间制品平均合格率:为进一步了解它的实质,采用对数计算:按对数方法计算车间产品平均合格率见表5-4。
表5-4 车间产品平均合格率计算表求反对数得产品平均合格率:G=91.93%这种计算,可以直接运用计算器。
（二）加权几何平均数当计算几何平均数的每个变量值的次数不相同时,则应用加权几何平均法,其计算公式为:式中:f为变量值的次数;∑f为次数总和;其他符号含义同前。
将上述公式两边取对数,则:可见,加权几何平均数的对数,就是各变量值对数的加权算术平均数。
求出几何平均数的对数之后,再求反对数找出真数即为几何平均数。
[例5-6]某建设银行某项投资的年利率是按复利计算的,25年的年利率情况是:1年为8%、4年为5%、8年为4%、10年为3%、2年为2%,求平均年利率。
在计算平均年利率时,根据研究对象性质必须先将各年利率加100%换算成各年本利率,然后按加权几何平均法计算平均年本利率,再减100%得平均年利率,现列表计算,见表5-5。
求反对数得本利率:G=103.75%平均年利率=103.75%-100%=3.75%这就是说,25年间的年平均本利率为103.75%,年平均利率为3.75%。
第五节众数和中位数一、众数在观察某一总体时,最常遇到的标志值在统计上称为众数。
换句话说,众数就是在一组变量值中出现次数最多的那个变量值。
它是总体中最常遇到的变量值,是最普遍、最一般的,因而,可以用来说明社会经济现象的一般水平。
在实际工作中,众数被广泛运用。
例如,消费者需要的鞋、袜、帽等最普遍的尺码,集市贸易市场某种商品最普遍的价格水平,企业工人中最普遍的工资水平等,常用它来说明总体各单位某一数量标志值的一般水平。
但必须指出,众数只有在总体内单位充分多时才有意义。
一般来说,众数的确定比较简单,不需要进行复杂的计算,只要大量观察就可得知。
当掌握原始资料时,只要直接观察各数值即可得知众数,不必一一列举,如根据单项数列确定众数,只需要观察找出次数最多的那个变量值即可。