初三中考数学 函数思想与数形结合
初三数学专题复习数形结合思想 一次函数与二次函数的图像与性质
初三数学专题复习数形结合思想――一次函数与二次函数的图像与性质一、内容和内容分析数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
本专题的重点是如何根据题目所提供的图形及已知条件提取准确的信息解决函数相关问题，并依据函数图象的几何含义运用数形结合方法解答问题。
主要内容是运用数形结合的思想方法解决初中阶段函数的相关问题。
二、目标和目标分析1. 通过学习数形结合思想方法，加深学生对一次函数、二次函数的图像及性质的理解；2. 在函数学习的基础上，用数形结合的方法，让学生理解方程、函数、不等式这三者的关系；3. 引导学生根据平面直角坐标系内几何图形的特征，寻找恰当的数量关系，求出目标函数的关系式；4. 掌握在函数问题中运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤；5. 培养学生读图分析数据及数形结合的能力三、教学问题诊断分析1.数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。
“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
考虑到初中阶段的学习主要是“以形助数”，所以我们选取的数形结合思想专题就以函数为载体，从图像入手，让学生充分去理解函数的图像与性质之间的联系，并且在此基础上通过问题让学生考虑方程、函数、不等式三者的关系。
2.数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。
“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
在初中的学习主要是“以形助数”为主，所以在设计上我们选取的问题还是紧扣这一方面，从中考来看，也比较符合现在中考的实际。
试述初三数学函数教学中数形结合的创新思想
试述初三数学函数教学中数形结合的创新思想初三数学函数教学中，数形结合是一种创新的教学思想。
它旨在通过将数学知识与几何形状相结合，帮助学生更直观地理解和应用函数概念，提高他们的数学思维能力和问题解决能力。
数形结合能够帮助学生深入理解函数的几何意义。
在传统的函数教学中，学生往往只注重函数的代数表达式和运算规则，而忽略了函数的几何意义。
而数形结合则将函数概念与几何形状联系起来，在图形中展示函数的变化规律，帮助学生直观地理解函数的含义和性质。
通过画出函数图像，学生可以观察到函数的增减性、最值点等特征，从而更好地理解函数的单调性和极值。
数形结合可以激发学生的创新思维。
在数形结合的教学过程中，学生需要运用几何形状和变换的知识，将数学概念与实际问题相结合，进行问题的拓展和推广。
当学生已经掌握了线性函数的概念和图像特征后，教师可以提出一个拓展问题：如何确定一个函数的斜率与两条平行直线的斜率之间的关系？通过观察和比较不同直线的图像，学生可以可能发现斜率与平行关系的规律，从而培养他们的发现问题和解决问题的能力。
数形结合可以促进学生的多元智能发展。
根据霍华德·加德纳的多元智能理论，人类的智能包括语言智能、逻辑数学智能、空间智能等多个方面。
传统的函数教学往往只注重逻辑数学智能的培养，而忽略了其他智能的发展。
而数形结合则能够通过绘制图形、观察图像等方式，激发学生的空间智能和视觉智能，使学生能够以多种方式理解和运用数学知识。
通过绘制函数图像，学生可以用图形的方式展示数学概念和关系，培养他们的空间智能和创造力。
数形结合还可以提高学生对数学的兴趣和学习动力。
图形具有直观性和形象性的特点，能够使抽象的数学概念变得具体可见，从而增加学生对数学的兴趣和投入程度。
通过举一反三、巧解题目等方式，鼓励学生主动探究和发现数学问题的解题方法，激发他们的好奇心和求知欲。
当学生发现只有斜率为负的函数图像才与x轴相交时，他们可能会对这个有趣的性质产生兴趣，并主动探索更多类似的问题，提高他们的学习动力和主动性。
中考数学专题复习 专题48 中考数学数形结合思想(教师版含解析)
中考专题48 中考专题数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
2.数形结合思想应用常见的四种类型(1)实数与数轴。
实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。
(2)在解方程(组)或不等式(组)中的应用。
利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
(3)在函数中的应用。
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
(4)在几何中的应用。
对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【经典例题1】(2020年•遵义)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为( )A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【标准答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=AC CD 计算即可． 【答案剖析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【知识点练习】(2019•湖北省仙桃市)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )A． B．C．D．【标准答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【经典例题2】(2020年•济宁)数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b 相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是( )A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【标准答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线答案剖析式所组成的方程组的解．【答案剖析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P(20，25)∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【知识点练习】(2020年株洲模拟)直线y=k1x+b1(k1＞0)与y=k2x+b2(k2＜0)相交于点(﹣2，0)，且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【标准答案】4【答案剖析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1(k1＞0)与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2(k2＜0)与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【经典例题3】(2020年通化模拟)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE 与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【标准答案】见答案剖析。
数学中考复习：数形结合思想PPT课件
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池 外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问 题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性 质，
函数的解析式是从数量关系上反应 量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
谈谈初中数学中常用的数学思想
谈谈初中数学中常用的数学思想在初中数学中，常用的数学思想有：数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。
教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生思维能力，是进行数学素质教育的一个切入点。
一、数形结合的思想数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
由以上的例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得形象直观。
二、方程与函数的思想方程与函数的思想解决数学问题的一个有力工具。
用函数和方程的思想来解决问题，往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了。
例：某公司到果园基地购买某种优质水果，果园基地对购买量在3000㎏以上（含3000㎏）的有两种销售方案。
方案一：每千克9 元，由基地送货上门；方案二：每千克8 元，由顾客自己租车运回。
已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000 元。
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(㎏)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。
分析：由题意易得方案一与方案二对应的函数关系式为y1=9x与y2=8x+5000，再根据y1与y2的大小关系选择付款最少的购买方案。
解：（1）方案一，y1=9x；方案二，y2=8x+5000，x≥3000㎏．(2)9x=8x+5000，x=5000；当x=5000㎏时，y1=y2。
两种方案付款一样；当x﹥5000㎏时，y1﹥y2，选择方案二付款最少；当3000≤x﹤5000，y1﹤y2，选择方案一付款最少。
三、分类讨论的思想分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。
此方法可以训练学生思维的全面性，克服思维的片面性，防止漏解。
运用分类讨论思想时，分类要准确、全面、不重、不漏。
中考试题中的数学思想方法例析
边形、圆等初中数学的重点内容; 一条
是暗线 :通过试题重点考察初中数学常
用的思想方法。数学思想方法是数学的
生命和灵魂，是数学知识的精髓 ，是把
知识转化为能力的桥梁。随着中考改革
的深人 ，中考试题从 知识型转 到能力
型，更加突出了对数学思想力一法的考察。
一、… 粗
初中阶段常用的数学思想有: 数形
结合思想 、分类讨论思想、整体思想 、转
分析: 本题分别应用切割线定理和 勾股定理，列出方程 ，问题即得到解决。
解: 由乙B=900，可知 BC土AB. -.-BE 为0 0 的直径，
.-.CB 切0 0 于 B
-.-AC 切0 0 于点 D,
.-.CD = C B
.由'.A切B=割八线D定2 理矛一1，可得 AD2=AExAB AE
一一一一 I 一一一一止一一一上一一习一一一』一仁
b
-a
0
a
-b
图1
例 2 二次函数Y=xz+x+1 与反比
例函数 Y- 1 在同一直角坐标系中交点 X
的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
分析 : 如果用代数方法 ，解方程组
代人求得 :x' +x2- I=0 ，来讨论三次方程 根的个数 ，是闲难的;如果在同一直角
化思想 、方程思想 、函数思想等。
1. 数形结合思想
就是把数式 与图形结合起来 、代数
与几何结合起来 ，进行分析 、研究、解决
问题的思维策略。
例 1 已知:a>O, b<O,a+b<O，那么
下列各式中正确的是( )
A . 一h < - a < 卜< a
-数学思想(方程、函数、数形结合、整体、分类、转化)(1)
中考数学二轮复习重要考点精析数学思想一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．思路分析：（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在△Rt ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x-2，在△Rt ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x-2）2+x2=42，解得：x1=1+7，x2=1-7（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+7．点评：此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．对应训练1．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在△Rt ACD中，∠CAD=30°，．则 AD= 3 CD= 3 x ，在 △Rt BCD 中，∠CBD=45°，则 BD=CD=x ，由题意得， 3 x -x=4，4解得：x= 3 - 1 =2（ 3 +1）≈5.5．答：生命所在点 C 的深度为 5.5 米．考点二：函数思想函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
试述初三数学函数教学中数形结合的创新思想
试述初三数学函数教学中数形结合的创新思想在初中数学学习的过程中，函数是一个重要的概念。
而在教学中，数形结合被广泛应用于函数教学中，可以起到很好的创新作用。
下面将从以下几个方面阐述函数教学中数形结合的创新思想。
一、数形结合可以帮助学生深入理解函数的概念在函数的教学中，初学者往往难以理解函数的本质。
而数形结合可以帮助学生通过可视化的方式来理解函数的概念。
例如，在函数的图像上进行探究，可以使学生通过对图像性质的分析，从而更深入的理解函数的意义。
同时，通过绘图和观察，可以让学生对不同种类的函数有着更加直观的认识。
数形结合也可以帮助学生学习数学建模。
例如，在一个实际问题中，如果用函数来描述其中的关系，那么可以根据问题中的特点来选择函数的类型，并且利用函数的性质来解决问题。
通过将函数与实际问题相结合，学生可以体验到数学的实用性，也可以更加深入地理解函数的本质。
三、数形结合可以丰富函数的应用场景数形结合还可以帮助学生找到函数的应用场景。
由于函数在现实中有着广泛的应用，所以数形结合可以通过实际问题的分析，让学生感受到函数的实际意义，在设计问题解决方案的过程中感受到数学的实用性。
四、数形结合可以提高学生的学习兴趣和动力在教学中，数形结合的创新思想往往可以让教学内容与学生生活相关联起来，这样会让学生觉得学习变得更加有趣和有意义。
当学生学会了利用函数进行数学建模，以及解决实际问题的方法，他们就会感受到数学的实际意义，从而进一步深入学习数学。
总之，数形结合在函数教学中的创新思想，可以帮助学生更好地理解函数的概念，学会数学建模以及应用场景，以及提高学习兴趣和动力。
因此，在教学中，教师要注重使用数形结合的方式，以摆脱传统教学方法的固有模式，从而增强学生的学习积极性和创造性。
函数思想与数形结合解题方法的联系
函数思想与数形结合解题方法的联系数学是一门综合性很强的学科，其中函数思想和数形结合解题方法是重要的教学内容。
函数思想贯穿于数学各个领域，作为数学的核心思想之一，具有很强的实用性和广泛的适用性，能够有效地解决很多实际问题。
数形结合解题方法则是发挥形式化思维和直观形象思维的结合效应，提高学生的思维严密性、逻辑性、想象力和创造力，从而更好地推动数学教育的发展。
1.函数图像与函数解析式联系在初中数学教学中，我们通常会学习到一些基本的函数，例如一次函数、二次函数、反比例函数等，这些函数都有对应的图像，学生通过观察函数图像来理解函数的特点和性质。
当我们已知一个函数图像时，可以根据图像来构造或求出函数的解析式；反之亦然，将函数的解析式代入坐标系中可以得出函数的图像。
因此，函数图像和函数解析式之间存在密切联系，数形结合解题方法可以帮助学生更好地理解和应用函数。
2.函数求极值和最值的问题在函数的解析式中，最值的求解是一个很关键的问题。
当我们通过函数图像来解决问题时，需要观察图像的顶点、拐点等关键点，通过数形结合的方法来判断函数最大值、最小值，从而解决相关问题。
3.数形结合推导函数性质学生在学习函数的性质时，通常需要根据函数的解析式进行推导，但是这种方法往往比较抽象，不易形象化。
通过数形结合的方式，我们可以将函数的性质和图像联系起来，更好地理解和应用函数。
例如，当我们要证明一次函数是一个增函数时，可以通过函数图像来证明，即线段斜率为正，从而得出结论。
在数学竞赛等高难度的问题中，数形结合解题方法更能体现其优越性。
4.函数的应用函数是一种重要的数学工具，具有广泛的应用场景。
在生活中，我们经常遇到各种与函数相关的问题，例如汽车行驶的距离与时间关系、收入与消费的函数变化等。
这些问题都可以通过数形结合的方式来解决。
通过建立函数模型，我们可以更好地描述实际问题，并对问题进行量化求解，从而得出正确答案。
总之，函数思想和数形结合解题方法是数学教学中的重要内容，可以对学生成长产生积极的影响。
试述初三数学函数教学中数形结合的创新思想
试述初三数学函数教学中数形结合的创新思想在初三数学函数教学中，数形结合是一种创新思想，通过将数学的抽象理论与具体的图形形象相结合，可以帮助学生更好地理解和掌握函数的概念和性质，提升数学学习的效果。
数形结合可以帮助学生掌握函数的图像转化和性质。
在函数的学习中，函数的图像是一个重要的概念，通过观察和分析函数图像，可以帮助学生了解函数的性质。
数形结合可以通过绘制函数图像的方式，让学生直观地观察函数的凹凸性、斜率、单调性等性质。
在讲解函数的单调性时，可以通过函数图像的上升和下降来帮助学生理解，将函数的抽象概念与具体的图形形象相结合，可以更加深入地理解函数的性质。
数形结合可以培养学生的几何直观和空间想象能力。
数学中的函数概念往往比较抽象，对于初中生而言，很容易产生困扰。
而通过让学生将函数转化为图形的形式，可以让他们在空间中直观地感受和理解函数的概念。
在讲解函数的横截距时，可以通过绘制函数图像来帮助学生理解，并且让学生通过观察图形，找出函数图像与x轴相交的点，从而掌握函数的概念和横截距的求解方法。
通过数形结合的方式，可以提高学生的几何直观和空间想象能力，培养他们的抽象思维能力。
数形结合能够激发学生的学习兴趣和主动性。
数学是一门抽象的学科，对于初中生来说，抽象概念的学习可能会枯燥乏味。
而通过数形结合的方式，将数学的抽象理论与具体的图形形象相结合，可以生动有趣地呈现数学的知识，激发学生的学习兴趣。
在讲解函数的性质时，可以通过绘制有趣的图形，让学生主动探索和发现函数的性质。
通过这种积极参与的方式，可以培养学生的学习主动性，提高他们的学习兴趣。
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。
问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。
提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。
学生2：能够遇到5辆。
学生3：能够遇到6辆。
学生4：能够遇到7辆。
教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
浅谈初中函数教学中的 “数形结合”思想方法
（追问）T: ⑸你能从解析式出发给出证明吗？
在上面的教学设计中，教师借助几何画板课件，帮助学生形象直观的理解了反比例函数图象的变化规律，发现变化过程中的特殊点的，自然的归纳出反比例函数增减性的性质及自变量的取值范围，并且通过结合符号语言和解析式全方位诠释增减性的意义。学生不但理解而且记忆，而且途径全面，更好的感受到函数的三种表示方法的整体一致性。
浅谈初中函数教学中的“数形结合”思想方法
函数是初中数学教学中的重要内容，学生初次接触函数，感觉难度大，不容易理解。那么怎样进行函数教学，学生会学的轻松一点呢？我在函数的教学过程中，针对学生的知识结构与年龄特点，结合自己的一点教学经验，谈谈函数教学中的“数形结合”思想方法。
一、数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
中学数学6大重要思想 强烈推荐
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式，要想用好它，需要敏锐的观察、丰富的联想、创新性的思维等能力，故有一定的难度，高考中常见的构造对象有构造数学模型（即实际问题数学化）、构造方程、构造恒等式、构造函数、构造数列、构造图形、构造反例等。
六，整体的思想方法
人们在研究某些数学问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能、或作种种处理以后，达到顺利而以简捷地解决问题的目的，象这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程，我们称它为“整体的思想方法”.
解题方法指导:1.运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径.
2.运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，又有逆向的；在思维形态上，既有集中的又有发散的，既有直观的，又有抽象的.
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。
数学思想有哪些
数学思想有哪些数学思想包括：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、整体思想、化归思想、隐含条件思想、类比思想、建模思想等。
数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
1、函数方程思想：指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题。
例如：等差、等比数列中，前n项和的公式，都可以看成n的函数。
2、数形结合思想：利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。
例如：求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值。
3、分类讨论思想：问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。
例如：解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。
4、方程思想：一个问题可能与某个等式建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
例如：证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。
5、整体思想：从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征。
例如：叠加叠乘处理、整体运算、几何中的补形等都是整体思想。
6、化归思想：在于将未知的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。
例如：三角函数，几何变换。
7、隐含条件思想：没有明文表述出来或者是没有明文表述，但是该条件是真理。
例如：一个等腰三角形，一条过顶点的线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。
8、类比思想：把两个不同的数学对象进行比较，发现它们在某些方面有相同或类似之处，就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
9、建模思想：为了更具科学性可重复性地描述一个实际现象，采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象。
函数思想与数形结合解题方法的联系
函数思想与数形结合解题方法的联系函数思想与数形结合是解决数学问题的一种综合方法。
函数思想是利用数学函数的性质和特点解决问题，数形结合是指通过几何图形的特点和性质来解题。
将这两种方法结合起来，可以更全面地理解和解决数学问题。
本文将从函数思想和数形结合的角度，探讨它们在解题中的联系与应用。
函数思想是一种抽象的数学思维方式，它将一个数集合映射到另一个数集合，通过对自变量和因变量之间的规律和关系进行分析，找出它们之间的函数关系。
而数形结合则是一种几何思维方式，通过分析几何图形的特点和性质，来解决数学问题。
1. 利用函数思想来解决几何问题在解决几何问题时，函数思想可以帮助我们把几何问题抽象成数学函数，然后通过对函数进行分析和研究，来解决几何问题。
在解决直线方程、曲线方程与几何问题的联系时，可以利用函数思想来对曲线函数进行分析，得出它们与几何问题之间的关系。
又如，在解决立体图形的体积与表面积问题时，可以将立体图形抽象成数学函数，然后通过对函数的性质和特点进行研究，来解决几何问题。
2. 利用数形结合来构造数学函数在解决数学函数问题时，数形结合可以帮助我们通过几何图形的性质和特点，来构造和分析数学函数，进而解决函数问题。
在解决函数的周期性、对称性和单调性等问题时，可以通过分析函数对应的几何图形的周期性、对称性和单调性，来得出函数的性质和特点。
又如，在解决函数的极值和最值问题时，可以通过对函数对应的几何图形的特点和性质进行分析，来得出函数的极值和最值。
三、函数思想与数形结合的解题实例下面我们以一个具体的数学问题为例，来说明函数思想与数形结合在解题中的联系与应用。
问题：求函数y=2sinx的最小正周期。
解析：首先我们利用函数思想，把函数y=2sinx抽象成数学函数，然后分析其周期性。
函数y=2sinx的最小正周期应该是在一段长度为2π内，函数图像重复出现的最小单位。
然后我们利用数形结合，来构造函数y=2sinx对应的几何图形。
函数思想与数形结合解题方法的联系5篇
函数思想与数形结合解题方法的联系5篇第1篇示例：函数思想与数形结合解题方法的联系函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
函数思想的核心就是将一个输入映射到一个唯一的输出。
这种抽象的概念让我们能够理解各种数学问题，并通过函数的定义和性质来解决这些问题。
数形结合解题方法更加直观和具体，它以图形和形状为载体，来帮助我们理解数学概念。
通过图形和形状的变化，我们可以看到数学规律和关系的表现，从而更好地理解和应用数学知识。
函数思想与数形结合解题方法的联系在于，它们之间有着密切的关系。
函数描述了数学问题中的关系，而数形结合解题方法则能够帮助我们直观地理解这种关系。
通过将函数与数形结合起来，我们可以更深入地理解和掌握数学知识。
在解决关于两个变量之间的关系的问题时，我们可以首先通过函数的方法建立数学模型，然后利用数形结合解题方法来直观地展示这种关系。
通过图形和形状的变化，我们可以看到函数的性质，从而更好地理解和解决问题。
函数思想与数形结合解题方法的联系还能够帮助我们发现数学问题的新解法。
通过将抽象的函数概念与具体的图形结合起来，我们可以从不同的角度来理解和解决问题，从而提高解题的效率和准确性。
第2篇示例：函数思想与数形结合解题方法之间的联系是非常紧密的，两者相辅相成，互相促进，能够帮助我们更加深入地理解数学中的问题并得出准确的答案。
函数思想是数学中非常重要的概念之一，它可以描述一个变量如何随着另一个变量的变化而变化。
在解题过程中，我们经常会遇到多个变量之间的关系，需要通过函数来建立它们之间的联系。
以一元函数为例，我们可以通过函数表达式来描述输入和输出之间的对应关系，从而实现对问题的建模和求解。
函数思想的引入使得数学问题的复杂性降低了不少，使得我们能够更清晰地理解问题的本质，并且得到更有力的解答。
数形结合是一种非常直观和具体的解题方法，它通过几何图形和数学符号的结合，可以更加形象地展现问题的内在联系。
中考数学专题复习——数形结合思想PPT课件
2 无论 m 为何实数，直线 y ＝ x ＋ 2m 与 y ＝－x＋4的交点不可能在 （ C） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
y
O
x
y＝－x＋4
3 已 知 二 次 函 数 y1 ＝ ax2 ＋ bx ＋ c （a≠0)与一次函数 y2＝kx ＋m(k≠0) 的 图 象 相 交 于 点 A( － 2,4) ， B(8,2) （如图所示），则能使 y1 ＞ y2成立的 x＜－2或x＞8 x的取值范围是＿＿＿＿＿
24 24 18 (3)中途加油＿＿升 (4)如果加油站离 12 目的地还有230公里， 6 车速为40公里/小时， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （小时） t
要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
7、思考题：
已知：如图，直线y＝－√3 x/3＋1和x 轴、 y 轴分别相交于 A、 B 两点，以线段 AB 为 边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P 在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相 y 等。（1）求C点坐标； （2）求直线PC的解析式； D （3）若点Q的坐标为 C (√3 m,m2－3),问点Q在 P B x 不在直线PC上？ A E O
2 例3：已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示
1、试判断a , b , c 的符号 2、点（b , 2a-b）在第
二
象限
3、若M= a b c a b c 则 （ A ） A、M > 0 B、 M = 0 C、M < 0 D、不能确定
2a b 2a b y
运用数形结合的方法，将 函数的解析式、图象和性 质三者有机地结合起来
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中考代数几何-用数形结合的思想解题
中考用数形结合的思想解题1. 用数形结合的思想解题可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.方法点拨数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1. 如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A. 39SB. 36SC. 37SD. 43S答案与解析举一反三【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A n B n C n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A n B n C n 面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选 C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．【变式】正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则B n的坐标是______________．答案与解析【答案】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），代入 y=kx+b得：解得：则直线A1A2的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴点A3的坐标为（3，4），∴A3C2=A3B3=B3C3=4，∴点B3的坐标为（7，4），∴B1的纵坐标是：1=20，B1的横坐标是：1=21-1，∴B2的纵坐标是：2=21，B2的横坐标是：3=22-1，∴B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是：7=23-1，∴B n的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1，则 B n（2n-1，2n-1）．∴B4的坐标是：（24-1，24-1），即（15，8）．故答案为：（15，8）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题2. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+的结果为__________.答案与解析【思路点拨】由数轴可知，0＜a＜2，由此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵0＜a＜2，∴|2-a|+=2-a+a=2.故答案为：2．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的点的位置来判断数a的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3.（1）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。
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上，点C在x轴正半轴上，AC=5,AB= A,B,C三点的抛物线的解析式.
17，cos∠ACB=
3,求过 5
【分析】要求抛物线解析式，需先求A、B、C三点的坐标，由 图知，求坐标要先解直角三角形，求出OA、OC、OB的长度， 在直角三角形AOC中，由AC=5，cos∠ACB= 求得3
5
OA=4,OC=3. 在直角三角形AOB中求得OB=1,结合图形和已知 即可写出A、B、C三点的坐标.
【思路点拨】本题要先结合图形求出三条线段的长度，在根据 线段长度得出点的坐标时，一定要结合图形，根据点所在的坐 标轴或象限写出点的坐标.解答本题也是利用了数形结合思想， 正是把形的直观和数的精确有机的结合起来.
当堂达标
1.若直线y=mx+4，x=l，x=4和x轴围成的直角梯形的面积是7，则 m的值是（ ）A．－ B．－ C．－ D．－2
获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．
【思路点拨】这是一道一次函数和二次函数相结合的题
目，第（2）问转化成二次函数问题之后，要充分利用 抛物线得出问题的答案，第（3）问也要借助图像利用 数形结合的思想解答.
【例4】已知如图2，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴
【例3】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定 试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价x（元）
符合一次函数 y kx b ，且 x 65 时，y 55 ； x 75 时，y 45 ．
（1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售 单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可
【分析】本题是一道实际应用题，解答时，需先将实际问 题转化为函数问题来解决.不妨设此人每天获得的利润为y， 售价定为x元，则y=(x-8)〔100-10(x-10)〕= -10(x-14)2+360， 由二次函数的性质知，当他把价格定为14元时，才能使每 天获得的利润最大，最大利润是360元.
【思路点拨】把此题转化为函数问题后，我们发现求最大 利润问题就变成了求二次函数的最值问题，解决起来就简 单了.
上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售 价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同． 【思路点拨】本题很好的体现了数形结合思想，解答此题我们充 分利用问题中所提供的数与形，由直观的形得出了精确的数，从 而很好的解决了问题.
数)；又知前20天的销售价格 (元/件)与销售时间x(天)
之间有如下关系：
(1≤x≤20，且x为
整数)，后10天的销售价格 (元/件)与销售时间x(天)之 间有如下关系： =45(21≤x≤30，且x为整数)．
(1)试写出该商店前20天的日销售利润 (元)和后l0天的 日销售利润 (元)分别与销售时间x(天1】某商人将进货单价为8元的商品，按每件10元出售 时，每天可销售100件，现在他想采取提高售价的办法来 增加利润.已知这种商品每提价1元（每件）日销售量就减 少10件，请问他的想法能否实现，他把价格定为多少元时， 才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？若不能， 请说明理由.
2.因南方旱情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减 少．为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式给予以支援 下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图 象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水 在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答 下列问题： （1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？
第70讲 中考复习专 题(四)
函数思想与数形结合
【教学目标】
通过学习、训练，使学生理解和掌握函数思想和 数形结合思想并能运用函数思想和数形结合思想 解决问题.
【教学重、难点】
使学生能灵活运用函数思想和数形结合思想解决 问题.
一、题型归析
函数思想是一种对应思想，它是用运动变化的观 点来观察问题、分析问题，并借助于函数关系思 考解决问题的一种数学思想.数形结合思想就是把 数量与图形结合起来进行分析、研究、解决问题 的思维策略.在学习中，充分利用问题中所提供的 数与形，不失时机地把数的精确性与形的直观性 结合起来，（即以形作为手段，数为目的，比如 应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者 是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某 些属性.）可收到意想不到的效果.
（2）在第几天时甲水库输出 的水开始注入乙水库？此时乙
水库的蓄水量为多少万立方米？
（3）求直线AD的解析式．
3.（成都）某人投资开办了一个装饰品商店．该店采购
进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价
格为20元／件．销售结束后，得知日销售量P(件)与销售
时间x(天)之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30，且x为整
(2)请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最 大?并求出这个最大利润． 注：销售利润＝销售收入一 购进成本．
答案
1.B； 2.解： （1）甲水库每天的放水量是（3000-1000）
/5=400（万立方米）；（2）在第10天时甲水库输出的 水开始注入乙水库.此时乙水库的蓄水量为300万立方米； （3）设直线AD的解析式为y=kx+b,将 x=10,y=300;x=15,y=2050代入，解得k=350 ,b= -3200 ,∴y=350x-3200； 3 .解：（1）根据题意，得R1=P(Q1-20)=(-2x+80) 〔（x+30）-20〕=-x2+20x+800(1≤x≤20,且x为整 数).R2=P(Q2-20)=(-2x+80)(45-20)=-50x+2000(21≤x≤30,且 x为整数). （2）在1≤x≤20，且x为整数时，∵R1=-(x-10)2+900,∴ 当x=10时，R1的最大值为900.在21≤x≤30,且x为整数时， ∵当x=21时，R2的最大值为950. ∵950＞900，∴当x=21 即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元.
【例2】某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况， 对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图1，图中 的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察 图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求： （1）请提供四条信息；
（2）不必求函数的解析．
【分析】这是一个图像题， 观察图像，可以得出一系 列的信息如：（1）2月份 每千克销售价是3．5元； 7月份每千克销售价是0．5元； （3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月