三角形的高中线与角平分线(含答案)

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专题复习：三角形的角平分线、中线与高

基础过关 1．以下说法错误的是（ ） A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D ．三角形的三条高可能相交于外部一点 2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，• 那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 3．如图（1），BD=12

BC ，则BC 边上的中线为_________，

△ABD 的面积=_________的面积．

(1) (2) 4．如图（2），△ABC 中，高CD 、BE 、AF 相交于点O ，则△BOC•的三条高 分别为线段 、 和 。 5．下列图形中具有稳定性的是（ ） A ．梯形 B ．菱形 C ．三角形 D ．正方形 6．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，已知AB=5cm ，AC=3cm ，

求△ABD•与△ACD 的周长之差．

7．如图，∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，且BD=CD ．•可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？

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综合创新

8．如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．

9．有一块等边三角形优良品种试验基地，如图所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（至少画出两种划分图形）．

10．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．

11．如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，•

且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°， 求∠BPC 的度数。

12．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？

五边形木架和六边形木架呢？n 边形木架呢？

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A ．150°

B ．130°

C ．120°

D ．100°

（探究题）（1）如图7-1-2-9，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AB ，DF ∥AC ，EF 交AD 于点O ．请问：DO 是△DEF 的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （2）若将结论与AD 是△ABC 的角平分线、DE ∥AB 、DF ∥AC 中的任一条件交换，•所得命题正确吗？

13．（开放题）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n 边形木架呢？

14．（趣味题）《三国演义》中有关木牛流马的叙述：

“孔明即手书一纸，付众观看，众将环绕而视．造木牛之法云：‘方腹曲头，一脚四足；头入领中，舌着于腹．载多而行少，独行者数十里，群行者二十里．曲者为牛头，双者为牛脚，横者为牛领，转者为牛足，覆者为牛背，方者为牛腹，垂者为牛舌，曲者为牛肋，刻者为牛齿，立者为牛角，细者为牛鞅，摄者为牛轴．牛仰双辕，人行六尺，牛行四步．’每牛载十人所食一月之粮，人不大劳，牛不饮食．”

你知道木牛流马中运用了什么数学知识吗？

数学世界

探险家的“难极”

有一个探险家，挖空心思想出一个“难极”来． 什么是探险家的“难极”呢？

一般情况下，如果从某地出发，先往北走100公里，再往东走100公里，然后往南走100公里，这时，终止地总要在出发地正东100公里处．

而若从某地出发，先往北走100公里，再往东走100公里，然后往南走

100•公里，能正好回到原来的出发地．这个出发地被探险家称其为“难极”．你知道探险家的“难极”在哪里吗？

答案:

1．A 点拨：锐角三角形的三条高在三角形内部交于一点，•直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高在三角形外部交于一点．

2．B 3．AD；△ACD 4．BD，CE，OF 5．C

6．解：∵AD为△ABC的中线，

∴BD=CD，

∴△ABD与△ACD的周长之差为：

（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC=5-3=2（cm）．

7．解：∵∠BAD=∠CAD，∴AD是△ABC的角平分线，DE是△BEC的角平分线．∵AD⊥BC，垂足为点D，∴AD是△ABC的高，DE是△BEC的高．

∵BD=CD，∴AD是△ABC的中线，DE是△BEC的中线．

点拨：本题是考查三角形的角平分线、中线和高的概念．

8．解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x．

（1）AB+AD=15，BC+CD=6时，

有2x+x=15，解得x=5．

∴2x=10，BC=6-5=1．

（2）当BC+CD=15，AB+AD=6时，

有2x+x=6，解得x=2．

∴2x=4，BC=15-2=13．

∵4+4>13，∴此时构不成三角形．

∴这个等腰三角形的腰长及底边长分别为10，1．

点拨：要注意检验结果是否满足三角形三边关系定理．

9．解：方案1：如答图1，在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．

(1) (2) (3)

方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．同学们，你还有别的方法吗？试试看．

点拨：三角形面积计算公式为

1

2

×底×高，因此解题的关键是找出底、

高分别相等的四个三角形．

10．解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，

∴S△ABD=

1

2

S△ABC=

1

2

×4=2（cm2）．

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