分解质因数(二)

分解质因数（二）

利用分解质因数的方法可以解决许多相关的数学问题，这一讲我们继续学习讨论分解质因数的问题。

例1 144的全部约数有多少个？它们所有的约数的和是多少？

解析：我们知道，凡是能整除144的数都是144的约数，约数是一对一对出现的，所以只要一一列出就可以了。而求和便只要将所有约数直接相加就可以了。但这并不是较好的方法，我们可以先分解质因数，然后将相同质因数的个数分别加上1后相乘，所得的积就是所有约数的个数。

将合数A 分解质因数得：

A=n a n

a a a p p p p ⨯⨯⨯⨯ 321321（其中1p ，2p ，3p ，……，n p 为质数，1a ，2a ，3a ，

……，n a 为自然数），则约数的个数为：（1a +1）×（2a +1）×（3a +1）×……×（n a +1）。

根据上述方法，因为144=24×32，由24可知144的约数有1、2、4、8、16，由32可知144的约数有1，3，9。而144的所有约数是1、2、4、8、16中每个数与1、3、9中的每一个数分别相乘的结果（包括它们本身）。

对于数A ，它的约数和用算式表示为：

)1(()1(()1(212221212111n n n a n n n a a p p p p p p p p p ++++⨯⨯++++⨯++++

解：将144分解质因数得：

144=24×32

144的所有约数的个数是：

（4+1）×（2+1）=15（个）

144的所有约数的和是：

（1+2+4+8+16）×（1+3+9）=403

答：144有15个约数，它们的所有约数的和是403。

例2 某自然数是3和4的倍数，这个数包括1和它本身在内共有10个约数，这个自然数是多少？

解析：根据“某自然数是3和4的倍数”可以知道，这个数中必定含有质因数3和2。因为这个数共有10个约数，由求约数个数的方法可以知道，10=2×5=（1+1）×（4+1），所求自然数只有质因数2和3，其中一个质因数的个数是1个，另一个质因数的个数有4个。又因为这个自然数是4的倍数，所以质因数的个数是4个的只能是2这个质因数，而3这个质因数只能是1个。

解：因为10=2×5=（1+1）×（4+1）

所以24×31=48

答：这个自然数是48。

注意：在利用求约数个数的方法进行逆推时，要处理好两个问题，一是确定好质因数的种类，另一个是确定好每类质因数的个数，此类问题答案常常不惟一。

例3 一个自然数是由5个2，3个3，2个5和1个7组成的连乘积，这个数的两位数约数中最大的一个是多少？

解析：要找出这个数的约数中是两位数且最大的一个，从这个数的质因数中去找就可以了。但这个数中有这么多的质因数，如何确定是哪些质因数呢？

我们可以换个角度来思考，最大的两位数是99，而99含有质因数11 ，所以99不符合条件，同理98和97也不符合条件，而96正好是符合题意的最大两

位数。

从问题可能的结果入手，寻找符合题意的答案，有时比直接寻找问题的答案显得更加简捷。

解：96=25×31

答：这个数的两位数约数中最大的一个是96。

从可能的最大值或最小值入手，进行合理尝试，这是解决一些数学问题的有效策略。

例4 试找出所有不大于50的、约数个数为6的自然数（包括50）。

解析：此题还是从“约数个数为6”入手分析，根据求约数个数的方法知道，6有两种分解方式，即（5+1）或（1+1）×（2+1）。

第一种分解式只能含有一种质因数，且个数为5，即5a ，第二种分解式有两种质因数，即21b a ⨯，在寻找合适的自然数时，要按照从小到大的顺序依次将质因数代入。

解：根据约数的个数是6，可知：6=（5+1）=（1+1）×（2+1），

即符合题意的质因数分解式有两种。

第一种为5a ，即25=32，而35〉50，所以舍去（以下大于50的均舍去）。 第二种为21b a ⨯：183221=⨯ 505221=⨯

122321=⨯ 505321>⨯

202521=⨯ 453521=⨯

282721=⨯ 507521>⨯

4421121=⨯ 503721>⨯

5021321>⨯ 5031121>⨯

答：所有符合题意的自然数有12，18，20，28，32，44，45，50。

例5 把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到下面的算式的方框内（每个数字都要用到），并使算式成立。

□□□×□□=□□×□□=5568

解析：这道题与算术谜题有关，直接计算不能一下求出得数，只能从积5568入手进行分析。

先将5568分解质因数，因为5568=26×3×29，而题中是两个两位数相乘和三位数乘以两位数，所以将5568写成两个两位数的积就有两种情况：64×87；58×96。

对于这两种情况我们应分别讨论：先看64×87，如果先取这两个两位数，那么和三位数相乘的两位数只能取12，32和29，这时5568=12×464=32×174=29×192，其中有重复数字，不符合题意。再看58×96，那么和三位数相乘的两位数只能取32，可得：174×32=58×96=5568。

解：174×32=58×96=5568。

综合练习：

1．165的约数共有多少个？所有约数的和是多少？

2．某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？

3．用一个两位数除3347，余数是83，求这个两位数。

4．幼儿园陈老师带了112元钱去商店买一种玩具若干个，由于这种玩具每个降价1元，陈老师所带的钱可以比原计划多买2个。陈老师原来准备买多少个这种玩具？

5．求不大于100的约数最多的自然数。

6．100～200之间只有3个约数的自然数有哪些？

7．小英参加学校组织的“探索与应用”数学竞赛。赛后她说：“我取得的成绩和我的岁数以及我取得的名次乘起来刚好是3916，满分是100分。”你能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？

8．11112222枚棋子排成一个长方形阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个，这个长方形阵每一横行有多少枚棋子？