分解质因数(二)
分解质因数（二）
利用分解质因数的方法可以解决许多相关的数学问题，这一讲我们继续学习讨论分解质因数的问题。
例1 144的全部约数有多少个？它们所有的约数的和是多少？
解析：我们知道，凡是能整除144的数都是144的约数，约数是一对一对出现的，所以只要一一列出就可以了。而求和便只要将所有约数直接相加就可以了。但这并不是较好的方法，我们可以先分解质因数，然后将相同质因数的个数分别加上1后相乘，所得的积就是所有约数的个数。
将合数A 分解质因数得：
A=n a n
a a a p p p p ???? 321321（其中1p ，2p ，3p ，……，n p 为质数，1a ，2a ，3a ，
……，n a 为自然数），则约数的个数为：（1a +1）×（2a +1）×（3a +1）×……×（n a +1）。
根据上述方法，因为144=24×32，由24可知144的约数有1、2、4、8、16，由32可知144的约数有1，3，9。而144的所有约数是1、2、4、8、16中每个数与1、3、9中的每一个数分别相乘的结果（包括它们本身）。
对于数A ，它的约数和用算式表示为：
)1(()1(()1(212221212111n n n a n n n a a p p p p p p p p p ++++??++++?++++
解：将144分解质因数得：
144=24×32
144的所有约数的个数是：
（4+1）×（2+1）=15（个）
144的所有约数的和是：
（1+2+4+8+16）×（1+3+9）=403
答：144有15个约数，它们的所有约数的和是403。
例2 某自然数是3和4的倍数，这个数包括1和它本身在内共有10个约数，这个自然数是多少？
解析：根据“某自然数是3和4的倍数”可以知道，这个数中必定含有质因数3和2。因为这个数共有10个约数，由求约数个数的方法可以知道，10=2×5=（1+1）×（4+1），所求自然数只有质因数2和3，其中一个质因数的个数是1个，另一个质因数的个数有4个。又因为这个自然数是4的倍数，所以质因数的个数是4个的只能是2这个质因数，而3这个质因数只能是1个。
解：因为10=2×5=（1+1）×（4+1）
所以24×31=48
答：这个自然数是48。
注意：在利用求约数个数的方法进行逆推时，要处理好两个问题，一是确定好质因数的种类，另一个是确定好每类质因数的个数，此类问题答案常常不惟一。
例3 一个自然数是由5个2，3个3，2个5和1个7组成的连乘积，这个数的两位数约数中最大的一个是多少？
解析：要找出这个数的约数中是两位数且最大的一个，从这个数的质因数中去找就可以了。但这个数中有这么多的质因数，如何确定是哪些质因数呢？
我们可以换个角度来思考，最大的两位数是99，而99含有质因数11 ，所以99不符合条件，同理98和97也不符合条件，而96正好是符合题意的最大两
位数。
从问题可能的结果入手，寻找符合题意的答案，有时比直接寻找问题的答案显得更加简捷。
解：96=25×31
答：这个数的两位数约数中最大的一个是96。
从可能的最大值或最小值入手，进行合理尝试，这是解决一些数学问题的有效策略。
例4 试找出所有不大于50的、约数个数为6的自然数（包括50）。
解析：此题还是从“约数个数为6”入手分析，根据求约数个数的方法知道，6有两种分解方式，即（5+1）或（1+1）×（2+1）。
第一种分解式只能含有一种质因数，且个数为5，即5a ，第二种分解式有两种质因数，即21b a ?，在寻找合适的自然数时，要按照从小到大的顺序依次将质因数代入。
解：根据约数的个数是6，可知：6=（5+1）=（1+1）×（2+1），
即符合题意的质因数分解式有两种。
第一种为5a ，即25=32，而35〉50，所以舍去（以下大于50的均舍去）。 第二种为21b a ?：183221=? 505221=?
122321=? 505321>?
202521=? 453521=?
282721=? 507521>?
4421121=? 503721>?
5021321>? 5031121>?
答：所有符合题意的自然数有12，18，20，28，32，44，45，50。
例5 把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到下面的算式的方框内（每个数字都要用到），并使算式成立。
□□□×□□=□□×□□=5568
解析：这道题与算术谜题有关，直接计算不能一下求出得数，只能从积5568入手进行分析。
先将5568分解质因数，因为5568=26×3×29，而题中是两个两位数相乘和三位数乘以两位数，所以将5568写成两个两位数的积就有两种情况：64×87；58×96。
对于这两种情况我们应分别讨论：先看64×87，如果先取这两个两位数，那么和三位数相乘的两位数只能取12，32和29，这时5568=12×464=32×174=29×192，其中有重复数字，不符合题意。再看58×96，那么和三位数相乘的两位数只能取32，可得：174×32=58×96=5568。
解：174×32=58×96=5568。
综合练习：
1．165的约数共有多少个？所有约数的和是多少？
2．某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？
3．用一个两位数除3347，余数是83，求这个两位数。
4．幼儿园陈老师带了112元钱去商店买一种玩具若干个，由于这种玩具每个降价1元，陈老师所带的钱可以比原计划多买2个。陈老师原来准备买多少个这种玩具？
5．求不大于100的约数最多的自然数。
6．100～200之间只有3个约数的自然数有哪些？
7．小英参加学校组织的“探索与应用”数学竞赛。赛后她说：“我取得的成绩和我的岁数以及我取得的名次乘起来刚好是3916，满分是100分。”你能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？
8．11112222枚棋子排成一个长方形阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个，这个长方形阵每一横行有多少枚棋子？
小学奥数 分解质因数(二) 精选例题练习习题(含知识点拨)
1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且 表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212 263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=??? . 模块一、分数的拆分 【例 1】 算式“ 1希＋1望＋1杯 ＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-3-4.分解质因数
小升初数学专项解析+习题-数论篇-通用版(附答案)
小升初重点中学真题之数论篇 数论篇一 1 （人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2 （101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。 3（人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 4 (人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 预测 1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
预测 2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？ 预测 3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______． 数论篇二 1 （清华附中考题） 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____. 2 （三帆中学考题） 140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是 . 3 （人大附中考题）
五年级下册《分解质因数》教案
课题二：分解质因数 教学要求①使学生理解质因数和分解质因数的概念。②初步学会分解质因数的方法。③培养学生分析和推理的能力。 教学重点①质因数和分解质因数的概念。②分解质因数的方法。 教学难点分清因数和质因数，质因数和分解质因数的联系和区别。 教学用具投影仪。 教学过程 一、创设情境 1．回答：什么叫做质数？什么叫做合数？ 2．填空：1~12的质数有，合数有。 3．观察：2、3、5、7、11……等质数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？4、6、8、9、10、12……合数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？ 二、揭示课题 下面我们学习每个合数能否用几个质数相乘的形式表示出来。（板书课题） 三、探索研究 1．小组合作学习 （1）把6、28、60写成比它本身小的两个数相乘的形式。 6=2×3 28=4×7 60=6×10 60=2×30 60=4×15 …
（2）写出的两个数中如果还是合数的，再用上面的方法继续写下去。 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 （3）从上面的例子可以看出什么来？ 师生归纳：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 做练习的第7题，学生口答。 ⊙把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（板书课题：分解质因数） 如把6、28、60分解质因数右以写成： 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 书写格式说明：要分解的合数写在等号左边，把它的质因数相乘的形式写在等号的右边。质因数按从小往大的顺序排列。 2．学习用短除法分解质因数。 （1）介绍短除法。 它是笔算除法的简化“”叫做短除号。 除数…2 6 …被除数 3 …商
分解质因数练习题10道
分解质因数练习题10道 一、填空1、在自然数中，既不是质数也不是合数，在偶数中，是质数． 2、在自然数中，既是奇数又是质数的最小的数是，既是一位数奇数又是合数，既是偶数又是质数，既不是质数又不是合数．一个合数至少有个约数． 3、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，其中最大的是，最小的数是．、10～20之间的质数有，其中个位上的数字与十位上的数字交换位置后，仍是一个质数．、在1、2、 4、10、11这几个数中，是整数，是奇数，是偶数，是质数，是合数． 6、20以内差为4的两个质数是和，和，和． 7、用最小的质数，最小的奇数，最小的合数和0组成一个四位数，其中能够被2和5同时整除的最大四位数是，只能被2整除的最小四位数是． 8、28的约数有，这些数中，质数有，合数有，奇数有，偶数有． 9、把下面各数分别填在指定的圈里．9、23、31、39、 41、51、69、79、81、89、91、97 二、判断1、能被2 整除的数都不是质数．、在自然中，除2以外，所有的偶数都是合数．、边长是质数的正方形，它的周长一定是合数．
4、只有两个约数的自然数一定是质数． 5、自然数中只有质数和合数．、自然数中除了质数、合数，还有1．7.所有的质数都是奇数． 8、有三个或三个以上约数的数一定是合数．9、合数有约数，质数没有约数． 10、两个质数的乘积一定是合数． 11.所有合数都是偶数． 12、除了2和5这两个数以外，个位上是0、2、4、6、8、5的数都是合数． 三、按要求写数．1、一个四位数，个位上的数既不是质数也不是合数，十位上的数既是质数又是 偶数，百位上的数是最小的合数，千位上的数既是奇数又是合数，这个四位数是、能同时被3、5整除的最小的三位数是 3、两个质数和为18，积是65，这两个质数是和． 4.用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是，最大是。 5.在括号里填上适当的质数①8=＋②12=＋＋ ③15=＋④18=＋＋ ⑤24=＋=＋=＋ 6.两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？ 7.当a分别是1、2、3、4、5时，6a＋1是质数，还是合数?
分解质因数专项练习演示教学
分解质因数专项练习
五年级数学（上）因数与倍数专项训练一 班级_____ 姓名________成绩______ 1.判断。 （1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（） （2）偶数都是合数，奇数都是质数。（） （3）7的倍数都是合数。（） （4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（）（5）只有两个因数的自然数，一定是质数。（） （6）两个质数的积，一定是质数。（） （7）2是偶数也是合数。（） （8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（） （9）除2以外，所有的偶数都是合数。（） （10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（）2. 在（）内填入适当的质数。 10＝（）＋（） 10＝（）×（） 20＝（）＋（）＋（） 8＝（）×（）×（） 3.填一填。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
⑴两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是（）和（）。 ⑵一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数可能是（），还可能是（）、（）。 ⑶用10以内的三个质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（），最大是（）。 ⑷最小的质数是（），最小的合数是（）。 ⑸两个都是质数的连续自然数是（）和（）。 3. 分解质因数。 24 65 38 56 94 76 135 105 87 93 五年级数学（上）因数与倍数专项训练二 班级_____ 姓名________成绩______ 一、填空。 1. 一个数除了（）和它的（），不再有别的因数，这个数叫做（）数。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
2. 一个数除了（）和它的（），还有别的因数，这个数叫做（）数。 3.（）不是质数，也不是合数。 4. 末尾是（）的数是2的倍数：末尾是 （）的数是5的倍数，（）的数是3的倍数。 5.（）是奇数，（）是偶数。 6. 12的因数共有（）个，（）是质数，（）是合数，（）既不是质数也不是合数。 7. 20以内的质数有（）个。 8. 用最小的质数，合数和0，写出同时被2，3，5整除的最大三位数是（）。最小三位数是（）。 二、判断。 1.所有的奇数都是质数。（） 2.除2以外，所有的质数都是奇数。( ) 3.所有的偶数都是合数。（） 4.除2以外，所有的偶数都是合数。（） 5.在自然数中，除了质数以外都是合数。（） 6.大于1的自然数，不是质数就是合数。( ) 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
小学五年级-分解质因数专题
分解质因数 例题1 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法 分析先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。 练习一 1，有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法 2，195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法 — 3，甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。 例题2 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法 分析先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不
得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。 练习二 1，把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。 # 2，四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少 3，把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。甲说：“我的三个数的积是48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我的三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片 例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。 2、5、14、24、27、55、56、99 分析14=2×7 55=5×11 24=2×2×2×3 56=2×2×2×7 27=3×3×3 99=3×3×11 (
分解质因数
分解质因数 教学内容： 五年级下册第38页例7、例8，完成练习六的相关练习。 教学目标： 1．结合具体的数学情境，初步认识质因数；知道质数的质因数是它本身，合数可以分解质因数。 2．学会将一个合数分解质因数，初步掌握用短除法分解质因数的方法。 3．发展学生的分析、判断、推理能力，让学生体验到数学的价值与乐趣。教学重点： 认识质因数，学会将一个合数分解质因数。 教学难点： 理解质因数的含义。 教具准备： 多媒体课件。 教学过程： 一、游戏引入，迁移认知质因数 1．游戏导入。 师：我们一起先来做个游戏，游戏的名字叫“比比谁的式子长”。 师：怎样才叫式子长？数的个数越多，式子就越长。 先来听游戏规则： ①男女生两组各选一个数，将所选的数分解成几个自然数相乘的形式，但不可用1。 ②比赛结束时，所写的乘法式子最长的小组获胜。 ③共比3局，每局获胜者下一局优先选数。 2．认识质因数。 师：明白规则了吗？瞧，屏幕上有两个数，是男生先选还是女生先选？为了公平，还是猜拳吧！ 呈现19和21 师：谁来汇报结果。（汇报格式：21等于几乘几）为什么女（男）生不动笔呢？（因为19是质数） 师：有没有道理？ 师：再来第二局，赢的先选。 呈现15和23 3．感悟质数的质因数是它本身。 师：采访一下，这一回选大数的怎么输了呢？原来如此，因为21和15是合数，所以可以分解！来看21和15的分解结果，熟悉吗？你有一双慧眼，以前我们经常用这种写乘法来找因数，不过这些因数都很特别。例如，3和7既是21的因数又是质数，我们就把3和7称为21的质因数。在15＝3×5中，谁是谁的质因数，谁来说一说。（板书：质因数） 师：这儿也有个式子27＝3×9，你能说出谁是谁的质因数吗？小组里互相说一说！ 师：好，谁来说说看。咦，9什么不是27质因数？ 师：19和23都是质数，它们只能写成1乘它本身，是吗？虽然这种分解方法不符合我们的规定，但是19等于19乘1，它的因数有几和几，有质数吗？
小学数学竞赛：分解质因数(一).教师版解题技巧 培优 易错 难
1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212 263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312 123k a a a a k n p p p p =????L 其中为质数， 12k a a a << 一、合数分解质因数 1.下列分解质因数哪个是正确的（） A．18=2×3×3B．36=4×3×3C．57=3×19×1D．24=3×2×4 考点：合数分解质因数 分析：根据把一个合数写成几个质因数相乘的形式叫做分解质因数，分析筛选即可选择．解答：解：A是正确的．因为2和3都是18 的质因数． B是错误的．因为4不是质数． C是错误的．因为1不是质数． D是错误的．因为4不是质数． 故：应选A． 2.3和5是15的（） A．公约数B．互质数C．质因数 考点：合数分解质因数． 专题：数的整除． 分析：根据算式15=3×5，可知3和5是15的因数，3和5又都是质数，所以3和5是15的质因数． 解答：解：在算式15=3×5中，3和5是15的因数，3和5又都是质数，所以3和5是15的质因数． 故选：C． 3.把60分解质因数是60=（） A．1×2×2×3×5B．2×2×3×5C．3×4×5 考点：合数分解质因数． 分析：对于此类选择题应采用逐一排除的方法进行分析排除，然后选出正确的答案． 解答：解：A：因为1既不是质数也不是合数所以错， B：2、3、5都是60的质因数，且2×2×3×5=60，所以B正确． C：4不是质数，利用短除法可以求得60=2×2×3×5， 故选：B． 4.把24分解质因数是（） A．24=2×3×4B．24=2×2×3×3C．24=2×2×2×3 考点：合数分解质因数． 分析：此类题目可以采用排除法解决，A中4不是质数；B中2×2×3×3=36了；C中都是质数，并且2×2×2×3=24，由此解决即可． 解答：解：因为A中4不是质数；B中2×2×3×3=36了；C中都是质数，并且2×2×2×3=24；故答案为C． 5.把20分解质因数应该写成（） A．20=1×2×2×5B．2×2×5=20C．20=2×2×5 考点：合数分解质因数． 分析：分解质因数的意义：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数，据此把20分解质因数，然后选择． 解答：解：20分解质因数是：20=2×2×5； 故选：C． 6.（2012?云阳县）把60分解质因数是：60=______ 考点：合数分解质因数． 专题：数的整除． 质数、合数、分解质因数练习题 1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、87 合数有： 质数有： 2. 写出两个都是质数的连续自然数。 — 3. 写出两个既是奇数，又是合数的数。 4. 判断： （1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（） （2）偶数都是合数，奇数都是质数。（） （3）7的倍数都是合数。（） （4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（）? （5）只有两个约数的数，一定是质数。（） （6）两个质数的积，一定是质数。（） （7）2是偶数也是合数。（） （8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（） （9）除2以外，所有的偶数都是合数。（） （10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（） 5. 在（）内填入适当的质数。 | 10＝（）＋（） 10＝（）×（） 20＝（）＋（）＋（） 8＝（）×（）×（） 6. 分解质因数。 65 56 94 76 135 105 87 93 ， 、 7. *两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少 8. **一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（）。 9. **用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（），最大是（）。 试题答案 1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 \ 1、13、24、29、41、57、63、79、87 合数有：24、57、63、87 质数有：13、29、41、79 2. 写出两个都是质数的连续自然数。 2和3 3. 写出两个既是奇数，又是合数的数。 9和15 | 4. 判断： （1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（×） （2）偶数都是合数，奇数都是质数。（×） （3）7的倍数都是合数。（×） （4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（√）（5）只有两个约数的数，一定是质数。（√） （6）两个质数的积，一定是质数。（×） & （7）2是偶数也是合数。（×） （8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（×） （9）除2以外，所有的偶数都是合数。（√） （10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（√） 5. 在（）内填入适当的质数。 10＝（3）＋（7） 10＝（2）×（5） · 20＝（2）＋（7）＋（11） 8＝（2）×（2）×（2） 6. 分解质因数。 65 56 94 小升初专项练习一（因数和倍数部分） 一、因数与倍数的关系 【知识点1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。不能说是谁是因数，谁是倍数。 【知识点2】倍数因数只考虑正数。小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。 【知识点3】没有前提条件确定倍数与因数： 例如：36的因数有（）。 确定一个数的所有因数，我们应该从1的乘法口诀一次找出。如：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36因此36的所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36。重复的和相同的只算一个因数。 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。 例如：7的倍数（）。 确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35……还有很多。因此7的倍数有：7、14、21、28、35、42…… 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。 【知识点4】有前提条件的情况下确定倍数与因数 例如：25以内5的倍数有（ 5、10、15、20、25 ）。特别注意前提条件是25以内！ 例如：5、1、20、35、40、10、140、2 以上各数中，是20的因数的数有（）；是20的倍数的数有（）；既是20的倍数又是20的因数的数有（）。 首先我们应该明确20的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！ 【知识点5】关于倍数因数的一些概念性问题 1、一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。 2、一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。 3、1是任一自然数（0除外）的因数。也是任一自然数（0除外）的最小因数。 4、一个数的因数最少有1个，这个数是1。除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。 5、一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。 6、一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数 二、2，3，5的倍数的特征 【知识点1】2、3、5的倍数特征 1、个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。例如：20 2、480、304，都能被2整除。 2、个位上是0或5的数，是5的倍数。例如：5、30、405都能被5整除。 3、一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如：12、108、204都能被3整除。 4、个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。例如：80、20、70、130等。 5、个位上是0且各位数字的和是3的倍数，那么这个数既是2的倍数又是3和5的倍数。例如：120、90、180、270等。 6、自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。也就是说是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。（因此在自然数中，除了奇数就是偶数） 7、偶数＋偶数=偶数偶数－偶数=偶数偶数×偶数=偶数 偶数＋奇数=奇数偶数－奇数=奇数偶数×奇数=偶数 奇数＋奇数=偶数奇数－偶数=奇数奇数×奇数=奇数 奇数－奇数=偶数无论多少个偶数相加都是偶数 偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数 【知识点2】一些特殊数的倍数的特征 1、一个数各位数上的和能被9整除，这个数就是9的倍数。 但是，能被3整除的数不一定能被9整除；能被9整除的数一定能被3整除。 2、一个数的末两位数能被4整除，这个数就是4的倍数。例如：16、404、1256都是4的倍数。 3、一个数的末两位数能被25整除，这个数就是25的倍数。例如：50、325、500、1675都是25的倍数。 4、一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就是8（或125）的倍数。例如：1168、4600、5000、12344都是8的倍数，112 5、13375、5000都是125的倍数。 第24讲分解质因数（二） 一、专题简析： 许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题 二、精讲精练 例题1 三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？ 练习一 1、有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？ 2、张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？ 例题2 长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？ 练习二 1、237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。 2、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？ 例题3某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073棵，那么，平均每人种了多少棵？ 练习三 1、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？ 2、老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。每支钢笔原价多少元？ 例题4 把 186155和187 221约分。 练习四 请用上面的方法把下面的几个分数约分。 6946 117143 323247 253161 例题5小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。小明买了多少张画片？ 练习五 1、求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？ 2、自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？ 三、课后作业 1、写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。 分解质因数练习题 1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、合数有：质数有： 2. 写出两个都是质数的连续自然数。 3. 写出两个既是奇数，又是合数的数。 4. 判断： 任何一个自然数，不是质数就是合数。偶数都是合数，奇数都是质数。的倍数都是合数。 20以最大的质数乘以10以最大的奇数，积是171。只有两个约数的数，一定是质数。两个质数的积，一定是质数。是偶数也是合数。 1是最小的自然数，也是最小的质数。除2以外，所有的偶数都是合数。 最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。 5. 在填入适当的质数。 10＝＋ 10＝× 0＝＋＋＝×× 6. 分解质因数。 13 103 7. *两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？ 8. **一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是 9. **用10以的质数组成一个三位数，使它能同时被3、 5整除，这个数最小是，最大是。 试题答案 1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、合数有：24、57、63、质数有：13、29、41、79 2. 写出两个都是质数的连续自然数。和3 3. 写出两个既是奇数，又是合数的数。和15 4. 判断： 任何一个自然数，不是质数就是合数。偶数都是合数，奇数都是质数。的倍数都是合数。 20以最大的质数乘以10以最大的奇数，积是171。只有两个约数的数，一定是质数。两个质数的积，一定是质数。是偶数也是合数。 1是最小的自然数，也是最小的质数。除2以外，所有的偶数都是合数。 最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。 5. 在填入适当的质数。 10＝＋ 10＝× 0＝＋＋＝×× 6. 分解质因数。 5 56 94 56513 5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 1 of 1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212 263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即： 312123k a a a a k n p p p p =????L 其中为质数，12k a a a << 小学五年级-分解质因数专题 例题1把18个苹果平衡分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种例外的分法？ 分析先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种例外的分法。 练习一 1，有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？ 2，195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？ 3，甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。 例题2有168颗糖，平衡分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？ 分析先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗， 2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。 练习二 1，把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。 2，四个持续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？ 3，把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。甲说：“我的三个数的积是48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我的三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？ 例题3将下面八个数平衡分成两组，使这两组数的乘积相等。 2、5、14、24、27、55、56、99 分析14=2×7 55=5×11 24=2×2×2×3 56=2×2×2×7 27=3×3×3 99=3×3×11 可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。 因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。 练习三 1，下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是持续的偶数，请写出这个统统的算式。 □□×□□=1288 2，有三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a=42，求a×b×c的积是多少？ 3，把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。 例题4王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 分析根据每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如果每人植7棵，这个班就有7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48人。 练习四 五年级数学（上）因数与倍数专项训练一______ _____ 班级________姓名成绩1.判断。 （1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（） （2）偶数都是合数，奇数都是质数。（） （3）7的倍数都是合数。（） （4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（） （5）只有两个因数的自然数，一定是质数。（） （6）两个质数的积，一定是质数。（） （7）2是偶数也是合数。（） （8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（） （9）除2以外，所有的偶数都是合数。（） （10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（） 2. 在（）内填入适当的质数。 10＝（）＋（） 10＝（）×（） 20＝（）＋（）＋（） 8＝（）×（）×（） 3.填一填。 ⑴两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是（）和（）。 ⑵一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数可 能是（），还可能是（）、（）。 ⑶用10以内的三个质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小 是（），最大是（）。 ⑷最小的质数是（），最小的合数是（）。 ⑸两个都是质数的连续自然数是（）和（）。 3. 分解质因数。 24 65 38 56 94 76 135 105 87 93 五年级数学（上）因数与倍数专项训练二______ 成绩_____ ________班级姓名一、填空。 1. 一个数除了（）和它的（），不再有别的因数，这个数叫做（）数。 2. 一个数除了（）和它的（），还有别的因数，这个数叫做（）数。 3.（）不是质数，也不是合数。 4. 末尾是（）的数是2的倍数：末尾是（） 的数是5的倍数，（）的数是3的倍数。 5.（）是奇数，（）是偶数。 6. 12的因数共有（）个，（）是质数，（）是合数，（）既不是质数 也不是合数。 7. 20以内的质数有（）个。 8. 用最小的质数，合数和0，写出同时被2，3，5整除的最大三位数是（）。 最小三位数是（）。 二、判断。 1.所有的奇数都是质数。（） 2.除2以外，所有的质数都是奇数。( ) 3.所有的偶数都是合数。（） 4.除2以外，所有的偶数都是合数。（） 5.在自然数中，除了质数以外都是合数。（） 6.大于1的自然数，不是质数就是合数。( ) 7.在自然数中，1既不是质数，也不是合数。（） 三、选一选。 1.在14＝2×7中，2和7都是14的（）。 ①质数②因数③质因数④分解质因数。 2.有一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（）。 ①6 ②12 ③24 ④144 3.把66分解质因数是（）。 ①66＝1×2×3×1 ②66＝6×11 ③66＝2×3×11 ④2×3×11＝66 4.要使四位数407□能同时被2和3整除，□里应填什么数字？（） ① 0 ② 2 ③4 ④ 6 5.能同时被3和5整除的最大的三位奇数是（）。 ①975 ②990 ③995 ④985 四、分解质因数。 36 54 108 95 210 64 五年级数学（上）因数与倍数专项训练______ 成绩_____ 班级________姓名一、填空 1. 最小的奇数是（），最小的偶数是（），最小的质数是（），最小的合数是（） 五年级下册《分解质因数》教案 教学内容： 人教版数学》五年级下册 教学目标： ．使学生认识质因数，知道合数能写成质因数相乘的形式，能把合数分解质因数；了解可以用短除法分解质因数。 ．使学生经历探索分解质因数的过程，理解分解质因数的方法，掌握分解质因数的技能，发展分析、推理等思维能力，进一步提升数感。 ．使学生主动参加探究活动，在探索分解质因数的过程中获得成功，相信自己能学会数学，产生学好数学的信心。 教学重点： 学会分解质因数。 教学难点： 认识分解质因数的过程。． 教学过程： 一、练习导入 口算 0.16×5＝0.7×0.01＝0.4×0.5＝ 3×2＝1.25×8＝2.37＋6.3＝ 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 13、24、29、41、57、63、79、87 合数有： 质数有： 判断： 任何一个自然数，不是质数就是合数。 偶数都是合数，奇数都是质数。 是偶数也是合数。 是最小的自然数，也是最小的质数。 除2以外，所有的偶数都是合数。 二、认识质因数 ．写出算式。 要求：你能把5和28分别写成两个数相乘的形式吗？自己写一写。 交流：你是怎样写的？ ．认识质因数。 引导：在这些算式中，哪些数是5的因数？哪些数是28的因数?5和28的这几个因数中，分别有哪些是质数？同桌互相说一说。 交流：能把你们的意见和大家分享吗？ 明确：在积是5的乘法算式中，1和5是5的因数，其中5是质数；在积是28的算式中，1和28、2和14，4和7是 质数。像这样一个数的因数7和2的因数，其中28都是 是质数，这个因数就是它的质因数。 ．强化认识。 追问：上面算式里，哪个数是哪个数的质因数？1为什么不是5的质因数?1、28、14和4为什么不是28的质因数？ 强调：一个数的质因数要符合两个条件：它是这个数的因数；它又是质数。这时它就是这个数的质因数。比如5是5的因数，又是质数，所以5是5的质因数；2是28的因数，又是质数，所以2是28的质因数。交流：你能回答这里两道题的问题吗？说说你的答案。追问：怎样的数才可以称作一个数的质因数？ 三、分解质因数 ．引入课题。 谈话：我们认识了质因数，就可以学习新的知识，学会新的本领，这就是分解质因数。 ．分解质因数。 出示例题，明确把30用质数相乘的形式表示出来。 让学生在课本上尝试表示，把30写成质数相乘的结果。 交流：把30写成质数相乘的形式可以怎样做？ 说明：把30写成质数相乘的形式，先写成质数2乘15；15是合数，把它写成质数3乘5，这时乘数全部是质数；就把30写成这几个质数相乘的形式：30＝2×3×5。可见，要 第二十四周分解质因数（二） 专题简析： 许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。例题1 三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？ 分析三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是2。80－2=78，剩下两个质数的和是78，而且要使它的积最大，只能是41和37。因此，这三个质数是2、37和41。 最大积是2×37×41=3034 练习一 1，有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？ 2，张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？ 3，写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。 例题2 长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？ 分析这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375分解质因数看一看。375=5×5×5×3，因为5×5比5×3正好多10，所以，此长方形的长是5×5=25米，宽是5×3=15米，它们的和是40米。 练习二 1，237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。 2，有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？ 3，有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长。 例题3 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073棵，那么，平均每人种了多少棵？ 分析根据每人种树棵数×参加人数=1073，把1073分解质因数：1073=29×37，再根据学生恰好平均分成三组可知：参加种树的人数是3的倍数多1，由于只有37比3的倍数多1，所以有37人，平均每人种29棵。 练习三 1，一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？ 2，老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。每支钢笔原价多少元？ 3，王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111块，那么，平均每人擦了多少块？ 第6课时分解质因数 教学内容： 苏教版义务教育教科书<数学》五年级下册第38页例7、例8和“练一 练”“你知道吗’’，第39～40页练习六第4～8题和“你知道吗”. 教学目标： 1．使学生认识质因数，知道合数能写成质因数相乘的形式，能把合数分解质因数；了解可以用短除法分解质因数. 2．使学生经历探索分解质因数的过程，理解分解质因数的方法，掌握分解质因数的技能，发展分析、推理等思维能力，进一步提升数感. 3．使学生主动参加探究活动，在探索分解质因数的过程中获得成功，相信自己能学会数学，产生学好数学的信心. 教学重点： 学会分解质因数. 教学难点： 认识分解质因数的过程.． 教学过程： 一、认识质因数 1．写出算式. 要求：你能把5和28分别写成两个数相乘的形式吗？自己写一写.交流：你是怎样写的？(板书：5=1×5 28-1×28 28=2×14 28=4×7)2．认识质因数. 引导：在这些算式中，哪些数是5的因数？哪些数是28的因数?5和28的这几个因数中，分别有哪些是质数？同桌互相说一说. 交流：能把你们的意见和大家分享吗？ 明确：在积是5的乘法算式中，1和5是5的因数，其中5是质数；在积是28的算式中，1和28、2和14，4和7都是28的因数，其中2和7是质数.像这样一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数.（板书：质因数——一个数里是质数的因数） 3．强化认识. 追问：上面算式里，哪个数是哪个数的质因数？1为什么不是5的质因数?1、 28、14和4为什么不是28的质因数？ 强调：一个数的质因数要符合两个条件：它是这个数的因数；它又是质数.这时它就是这个数的质因数.比如5是5的因数，又是质数，所以5是5的质因数；2是28的因数，又是质数，所以2是28的质因数. 4．做练习六第4题. 让学生阅读习题，独立思考. 交流：你能回答这里两道题的问题吗？说说你的答案.追问：怎样的数才可以称作一个数的质因数？ 二、分解质因数 1．引入课题. 谈话：我们认识了质因数，就可以学习新的知识，学会新的本领，这就是分解质因数.（板书课题） 2．分解质因数. 出示例8，明确把30用质数相乘的形式表示出来. 让学生在课本上尝试表示，把30写成质数相乘的结果. 交流：把30写成质数相乘的形式可以怎样做？（根据交流板书，写成质数相乘的形式）(word完整版)五年级数学上分解质因数题
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