普通高校专转本高数统一考试模拟试卷解析(一)

函数转换为幂的形式，方便判别阶数。
lim lim lim ex ex 2x
ex ex 2
ex ex 2
x0 x sin x
x0 1 cos x
x0
1 x2
2
lim lim
ex ex
(ex ex ) 2
x0
x
x0
8、函数 f (x) ln x 在区间 1, e上满足拉格郎日中值定理的
+
11 11 x2
=0+2
11 0 1 x2
=2 arctan
x
1 0
2(
4
0)
2
10、设向量 3,4,1、 2,1, k； 、 互相垂直，则 k
；
解析：该题考察向量的基本运算——数量积运算。两向量数量积为对应分量乘积之和，结果 是一个数量。两向量垂直的充要条件是数量积为 0。（平行的充要条件是向量积为 0 向量或 分量对应成比例）
F(x) 在 x 0 连续，等价于 lim F (x) F (0) ，也即 x0
lim f (x) 2sin x lim f (x) lim 2sin x
x0
x
x0 x
x0 x
lim f (x) f (0) 2 f (0) 2 8 x0 x 0
解得 a 8 。
14、设函数
y
uk 收敛。若正项级数 n
un 发散，则
uk (k 1) 的敛散 n
n1
n1
n1
性不能确定。如 un
1
1
与 un
1
2
。（请读者自行验证）
n3
n3
故本题答案选 C (其它选项可以举反例)
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 24 分，请把正确答案的结果添在划线上）。
7、 lim ex ex 2x
）
n1
n1
A、若（1）发散、则（2）必发散
B、若（2）收敛、则（1）必收敛
C、若（1）发散、则（2）不定
D、若（1）、（2）敛散性相同
解析：该题考察正项级数的收敛性质，比较审敛法。
若正项级数
un 收敛，则
uk (k 1) 一定收敛，因为当 n 足够大时， n
n1
n1
0
uk n
un
，由比较审敛法知
D、连续点
解析：函数
f
(
x)
在
x0
处连续的定义为
lim
x x0
f (x)
f (x0) 。实际上包含三个条件
（1） 函数 f (x) 在 x0 处必须有定义；
（2） 函数 f (x) 在 x0 处的极限存在；
（3） 函数 f (x) 在 x0 处的极限值必须等于函数值；
当上述三个条件不全满足时的点即为函数 f (x) 的间断点。而初等函数在定义区间之内均是
1 ln 2 42
17、已知函数 z f (sin x, y 2 ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
解析：该题型是几乎每年必考，需要认真掌握。
第一步：变量 x, y, z 的关系网络图
7
1
z
x y
2
x y
其中 1，2 分别表示 sin x, y2
19、把函数
D1 D2
D1 D2
D3 D4
D3 D4
2 cos x sin y dxdy ,
D1
故本题答案选 A
5、设 u(x, y) arctan x ， v(x, y) ln x 2 y 2 ，则下列等式成立的是（
）
y
A、 u v x y
B、 u v x x
C、 u v y x
D、 u v y y
；
解析：在江苏省“专转本”考试中，微分中值定理考察的层次为识记与理解。主要考察罗尔 定理与拉格朗日定理的条件与结论，定理的条件是充分的，但不必要。若遇到证明至少存在
一点 的表达式，特别是带有导数的，一般都是利用罗尔定理构造辅助函数证明。
4
f (e)
f (1)
f ( ) (e 1) ，即
f ( )
连续的，所以，没有定义的点一定是间断点，分段函数的分段点是可能的间断点。
根据点 x0 处的极限情况来加以分类：
相等：可去间断点
左右极限均存在：第一类 不相等：跳跃间断点
左右极限至少有一个不存在：第二类
若有一个为：无穷间断点
均不为无穷，函数不停振荡：振荡间断点
而
lim
x0
f
( x)
lim
x0
x sin
是 D 在第一象限的部分，则： (xy cos x sin y)dxdy （ ）
D
A、 2 (cos x sin y)dxdy
B、 2 xydxdy
D1
D1
C、 4 (xy cos x sin y)dxdy
D、0
D1
解析：该题考察函数奇偶性（对称性）的二重积分在对称区域上的积分性质。
设积分区域 D 关于 x 轴对称，
y(x)
由方程
y
x cos t sin t t cos t
所确定，求
dy dx
、
d2y dx 2
。
解析：由参数方程所确定函数的导数是常考的一个内容，首先需要熟记一阶导公式：
dy dx
y
dy dt
dx dt
（各自对参数来自百度文库t
导数的比值），
d2y dx2
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
dx dt
；
x0 x sin x
0
解析：求极限时，先判断极限类型，若是 或 型可以直接使用罗比达法则，其余类型可
0 0
以转化为 或 型。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通
0
过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。不过，在求极限时应灵活使用多种
方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较，使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将
解析：该题考察不定积分的基本概念以及凑微分法。
求 f (x) 的不定积分就是找那些导数为 f (x) 的所有函数全体，不定积分求解正确与否，只
要反过来求导是否为被积函数即可。
sin xf (cos x)dx f (cos x)d cos x F(cos x) C
故本题答案选 D
4、设区域 D 是 xoy 平面上以点 A(1,1) 、B(1,1) 、C(1,1) 为顶点的三角形区域，区域 D1
平面上的定点 A(3,1,2) 已知，又直线 L : x 4 y 3 z 过点 B 4,3,0，其方向向
量法向量
s
5,
2,1
，
AB
1,4,2；故
5
21
i n s AB 5
j 2
k
1 8,9,22
1 4 2
平面点法式方程为： 8(x 3) 9( y 1) 22(z 2) 0 ，即 8x 9 y 22z 59 。
故本题 y(2) 0 即 (1
，
1
a) ax
x2
0 ，于是 a 1 ，故本题答案选 C 2
2
1
3、若 f (x)dx F (x) C ，则 sin xf (cos x)dx （ ）
A、 F (sin x) C
B、 F (sin x) C
C、 F (cos) C
D、 F (cos x) C
第二步：寻找与 x 对应的路径 ，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”
z x
cos
x
f1' ，
2z xy
cos
x(
f '' 12
2y)
2 y cos
xf1'2'
18、求过点 A(3,1,2) 且通过直线 L : x 4 y 3 z 的平面方程。
5
21
解析：求平面方程，基本方法是使用点法式，求出平面上的一个定点和法向量 n 。
(1) 若 f (x, y) 关于 y 是奇函数，则有
f ( x, y)d 0 ;
D
(2) 若 f (x, y) 关于 y 是偶函数，则有 f ( x, y)d 2 f ( x, y)d ,
D
D1
其中 D1 是 D 的上半区域。
类似的，若积分区域 D 关于 y 轴对称，
(1) 若 f (x, y) 关于 x 是奇函数，则有
1 x
0
，即函数在
x
0 处没有定义，但左右极限均存在且相等，故
本题答案选 A
2、若 x 2 是函数 y x ln(1 ax) 的可导极值点，则常数 a （
）
2
A、 1
B、 1 2
C、 1 2
D、1
解析：该题考察函数 f (x) 极值点的必要条件，若 x x0 处可导且为极值点，则 f (x0 ) 0,
由条件 3, 4, 12,1, k 6 4 k 0 ，得 k 10 。
0
1 x2
11、交换二次积分的次序 dx
f (x, y)dy
1 x1
；
解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别
是对称型简化积分计算。
在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的
tan 3 x sec xdx
tan2 x tan x sec xdx (sec2 x 1)d sec x sec2 xd sec x sec x
1 sec3 x sec x C 3
1
16、计算 arctan xdx 。 0
解析：该题考察定积分的分部积分，注意 u 的选择。
当被积函数为五种基本初等函数中某两类不同类型函数的乘积时，一般采用分部积分法，关
解析：该题考察二元显函数偏导数的求法，偏导数的本质就是将其中一个变量当作常量对另 一个变量的导数。
u x
1
1
x2 y2
1 y
y x2
y2
， v(x, y)
ln
x 2 y 2 1 ln(x 2 y 2) ， 2
v y
1 2
x2
1
y2
2y
x2
y
y2
，即 u x
v y
，故本题答案选
A
3
6、正项级数(1) un 、(2) un3 ，则下列说法正确的是（
1 e 1
又
f
(x)
1 x
，所以
f
( )
1
于是
1
e
1 1
，得
e 1。
9、
1 x 1 11 x 2
；
解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质。
a
a
f
(x)dx
0, 2
a 0
f
( x)dx,
f ( x)为奇函数 f (x)为偶函数
1 x 1
1 1 x2
1 x 11 x2
对于幂级数 an (x x0 )n 只需作变量代换 x x0 t 即可。 n0
三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）。
13 、 设 函 数
F
(x)
f
(x)
2sin x
x
a
x x
0 0
在
,
内连续，并满足：
f
(0)
0
、
f (0) 6 ，求 a 。
解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相 同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照连续性定义讨论即可。
积分顺序。
积分区域
D
:
1 x 0
转化为
D
:
x 1 y 1 x 2
0 y 1 1 y2 x y 1
0
故 dx
1x2 f (x, y)dy
1
dy
y 1
f (x, y)dx 。
1
x1
0
1 y 2
5
12、幂级数 (2n 1)x n 的收敛区间为
；
n1
解析：对于幂级数
n0
an
键是 u 的选择，一般按照“反（三角函数）、对（数函数）、幂（函数）、三（角函数）、指（数 函数）”的优先顺序选择 u ，另外部分凑成某个函数的微分（那个函数即为 v ）
原式
x
arctan
x
1 0
1
01
x x
2
dx
4
1 2
1 d (1 x 2 ) 0 1 x2
4
1 2
ln(1
x2)
1 0
（将 t
当作中
间变量，本质为复合函数求导）
6
dy
dy dx
dt dx
cos t cos t t sin t sin t
t ；
dt
d2y dx2
( y)t xt
1 sint
csc t
。
15、计算 tan 3 x sec xdx 。
解析：该题考察三角函数的积分，熟记三角函数公式，常用导数公式。
f ( x, y)d 0 ;
D
(2) 若 f (x, y) 关于 x 是偶函数，则有 f ( x, y)d 2 f ( x, y)d ,
D
D1
其中 D1 是 D 的右半区域。
2
y
D2 D1
D3
D4
o
x
(xy cos x sin y) dxdy
D
xy dxdy cos x sin y dxdy xy dxdy cos x sin y dxdy
xn
，如果
lim
n
an1 an
（或lim n n
a n
），则
收敛半径 R
1
，收敛区间为 R, R 。若幂级数
n0
an xn
缺少的奇次项（偶次项）或上述
极限不存在（不是无穷），则此时将 x 当作常量转化为常数项级数处理。
本题 lim n
an1 an
lim
n
2n 2n
1 1
1 ，所以
R
1
1，收敛区间为 1,1 。
普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（一） 高等数学
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。
1、 x 0 是 f (x) x sin 1 的（
）
x
A、可去间断点
B、跳跃间断点
C、第二类间断点