高中数学第三章推理与证明2数学证明课件

合集下载

高中数学推理与证明课件

面面积，那么你类比得到的
结论是
S12
S
2 2
S
2 3
S
2 4
.
如何证明
变式训练2：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径 r a2 b2 ，
2
把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。
变式训练3：
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
注：演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必然是正确的。
例3:有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,
则平行于平面内所有直线；已知直线l∥平面，
直线a 平面, 则直线l / /直线a ,的结论显然是错
误的，这是因为
A.大前提错误 √
C.推理形式错误
B.小前提错误 D.非以上错误
变式训练4：
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为S 1 (a b c)r,r为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为
,r为三角形内
切圆半径
请类比出四面体的有关性质？
2 变式训练1： tan 5 • tan10 tan 5 • tan 75 tan10 • tan 75 1
tan10 • tan 20 tan10 • tan 60 tan 20 • tan 60 1
tan15 • tan 35 tan15 • tan 40 tan 35 • tan 40 1 由以上两式可以推出什么结论，并证明
例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，

中学高三数学推理与证明课件复习课件新人教A版

归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
(2)类比推理根据两类不同事物之间具有的某些类似 (或一致)性推测其中一类事物具有与另一类事物类似 (或相同 )的性质，这样的推理叫类比推理．类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的．所以类比推理属于合情推理．
如图②，连接 BE 并延长交 CD 于 F，连接 AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF⊂平面 ACD， ∴AB⊥AF，在 Rt△ABF 中，AE⊥BF， ∴A1E2＝A1B2＋A1F2.
在 Rt△ACD 中，AF⊥CD， ∴A1F2＝A1C2＋A1D2. ∴A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2，故猜想正确．
解析：设 AB＝a，AC＝b，AD＝c.
∵三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两垂直，
∴AB、AC、AD 两两垂直．
∴S△2 ABC＋S2△ACD＋S2△ADB＝14a2b2＋14a2c2＋14b2c2. 作 BE⊥DC 于 E，连接 AE，则 CD⊥AE.
在 Rt△CAD 中，AE＝
bc b2＋c2 .
3．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征， ②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．
归纳推理
[例 1] 平面内有 n 条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．
解析：n＝2 时，交点个数：f(2)＝1. n＝3 时，交点个数：f(3)＝3. n＝4 时，交点个数：f(4)＝6. n＝5 时，交点个数：f(5)＝10. 归纳猜想 f(n)＝12n(n－1)(n≥2)．

高中数学第三章推理与证明1.1.2类比推理教案含解析北师大版选修1_2

1．2 类比推理类比推理三角形有下面两个性质：(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题1：你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗？试写出来．提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题2：由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．定义特征由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理合情推理的含义(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．1．类比推理是从人们已经掌握了的事物特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；2．类比推理以旧的知识作为基础，推测新的结果，具有发现功能．平面图形与空间几何体的类比[例1] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2.[思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面积类比体积． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C ＝πd 球的表面积S ＝πd 2圆的面积S ＝πr 2球的体积V ＝43πr 3[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形立体图形点点、线直线直线、平面边长棱长、面积面积体积三角形四面体线线角面面角平行四边形平行六面体圆球1．下面类比结论错误的是( )A ．由“若△ABC 一边长为a ，此边上的高为h ，则此三角形的面积S ＝12ah ”类比得出“若一个扇形的弧长为l ，半径为R ，则此扇形的面积S ＝12lR ”B ．由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”C ．由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行”D ．由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边” 解析：选C 只有C 中结论错误，因为两个平面还有可能相交．2.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.定义、定理与性质的类比[例2][精解详析] ①两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量； ②从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律，即：a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解，x ＝－a 与x ＝－a ；④在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a .在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．3．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.等式不等式a ＝b ⇒a ＋c ＝b＋c① a ＝b ⇒ac ＝bc ② a ＝b ⇒a 2＝b 2③答案：①a >b ⇒a ＋c >③a >b >0⇒a 2>b 2(说明：“>”也可改为“<”)4．已知等差数列{a n }的公差为d ，a m ，a n 是{a n }的任意两项(n ≠m )，则d ＝a n －a mn －m，类比上述性质，已知等比数列{b n }的公比为q ，b n ，b m 是{b n }的任意两项(n ≠m )，则q ＝________.解析：∵a n ＝a m qn －m，∴q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n －m.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n －m1．类比推理先要寻找合适的类比对象，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．2．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发现的．1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．2．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 设内切球的球心为O ，所以可将四面体P ABC 分为四个小的三棱锥，即O ABC ，O PAB ，O PAC ，O PBC ，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P ABC 的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9＝b 95，可得在等差数列{a n }中a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝9×2.4．类比三角形中的性质： ①两边之和大于第三边； ②中位线长等于底边长的一半； ③三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；③四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12()AB ―→＋AC ―→ ，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13()AB ―→＋AC ―→＋AD ―→ 6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a，即k ＝b a，所以椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab . 答案：πab7．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d ＝100d ＝300，10个同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. (2)在公差为d 的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意k ∈N ＋，数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 也成等差数列，且公差为k 2d .9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22. 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明．解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n . 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0.。

高中数学第三章推理与证明2数学证明课件选修12高二选修12数学课件

以
是增y＝函l o数g (1结x 论).”下列(xiàliè)说法正确的是
√A.大前提错误导致结论3 错误
B.小前提错误导致结论错误
y＝是l对o g数1 x函数(小前提)，所
3
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提都错误导致结论错误
解析 y＝logax是增函数错误，故大前提错误.
12/9/2021
大前提小前提
结论
12/9/2021
第十一页，共三十六页。
解答
(3)通项公式(gōngshì)为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.
解在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列(děnɡ chā shù
，时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，
小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.
结论
12/9/2021
第十二页，共三十六页。
解答
反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示(jiēshì)了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
常用格式 M是P S是M S是P
12/9/2021
第八页，共三十六页。
题型探究(tànjiū)
12/9/2021
第九页，共三十六页。
类型(lèixíng)一演绎推理与三段论
例1 将下列(xiàliè)演绎推理写成三段论的形式. (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

高三数学二轮复习 7.2推理与证明课件

3．直接证明 (1)直接证明
从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．
(2)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
1．能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．了解间接证明的一种基本方法：反证法．
推理证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法，从内容编排上看，推理和证明是新课标的新增内容，但从知识结构上看，这些内容渗透于其它数学知识中，几乎涉及数学的方方面面．
所以 AB⊥PD，
在直角三角形 APB 中，AB·PD＝PA·PB，
所以 PA2＋PB2·PD＝PA·PB，
1 PD2
＝
PA2＋PB2 PA2·PB2
＝
1 PA2
＋
1 PB2
，
故
1 h2
＝
1 PA2
＋
1 PB2
＋
P1C2.(也可以由等体积法得到).
[例3] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an －qan－1(n≥2，q≠0)． (1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的 n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．

23数学归纳法课件

23 数学归纳法课件一、教学内容本节课将深入探讨数学归纳法，该部分内容位于高中数学教材第三章第二节。

详细内容包括数学归纳法的定义、原理以及应用；重点讲解如何使用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念、原理及应用范围。

2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

3. 能够分析并解决实际问题，运用数学归纳法进行逻辑推理。

三、教学难点与重点难点：理解数学归纳法的原理，并能灵活运用。

重点：掌握数学归纳法的证明步骤，能够熟练运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

四、教具与学具准备1. 教师准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学生准备：笔记本、教材、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）展示一个与自然数有关的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立。

2. 例题讲解（15分钟）讲解数学归纳法的定义、原理以及应用。

通过讲解例题，让学生了解数学归纳法的证明步骤。

3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成一道与自然数有关的数学命题证明，巩固所学知识。

5. 答疑环节（5分钟）针对学生在练习中遇到的问题进行解答，巩固知识点。

6. 课堂小结（5分钟）对本节课所学内容进行回顾，强调数学归纳法的重要性。

七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：对于任意自然数n，下列等式成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。

（2）证明：对于任意自然数n，下列等式成立：1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2。

2. 答案：（1）见教材P68。

（2）见教材P69。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生是否掌握了数学归纳法的证明步骤，能否独立完成课后作业？2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在解决实际问题中的应用，如：在计算机科学、数论等领域。

重点和难点解析1. 教学内容的数学归纳法证明步骤。

数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)

2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。

人教版高中数学课件-推理与证明

数学选修2-2
第二章推理与证明
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
1．下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A．某校高三(1)班有 55 人，(2)班有 54 人，(3)班有 52 人，由此得高三所有班的人数均超过 50 人 B．两条直线平行，同旁内角互补，若∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12(an－1＋an＋1)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
對演繹推理及三段論的理解 (1)①演繹的前提是一般性的原理，演繹所得的結論是蘊涵於前提之中的個別、特殊事實，結論完全蘊涵於前提之中； ②演繹推理是一種收斂性的思考方法，少創造性，但具有條理清晰，令人信服的論證作用，有助於科學的理論化和系統化． (2)對於“三段論”應注意：應用三段論解決問題時，應當首先明確什麼是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略．
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常數)．
(小前提)
通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數列{an}為等差數列．
(結論)
数学选修2-2
第二章推理与证明
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
運用三段論時的注意事項用三段論寫演繹推理的過程，關鍵是明確大前提、小前提，大前提提供了一個一般性的原理，在演繹推理的過程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一個特殊情況，只有將二者結合起來才能得到完整的三段論．一般地，在尋找大前提時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提．
数学选修2-2
第二章推理与证明

【高中数学】推理与证明

【高中数学】推理与证明知识讲解归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；(3)证明（视题目要求，可有可无）。

类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验猜想。

合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.2. 演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

演绎推理的一般模式---“三段论”，包括：(1)大前提----已知的一般原理；(2)小前提----所研究的特殊情况；(3)结论----据一般原理，对特殊情况做出的判断.3. 直接证明与间接证明(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。

要点：顺推证法，由因导果。

(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法，执果索因。

(3)反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法，它是一种间接的证明方法。

反证法法证明一个命题的一般步骤： ①（反设）假设命题的结论不成立；②（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； ③（归谬）断言假设不成立；④（结论）肯定原命题的结论成立.4. 数学归纳法：数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤：(1)（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；(2)（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.课堂练习1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f (2n )>2n ＋12B ．f (n 2)≥n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．以上都不对3．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误4．若点P 是正四面体A －BCD 的面BCD 上一点，且P 到另三个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，正四面体A －BCD 的高为h ，则( )A ．h >h 1＋h 2＋h 3B ．h ＝h 1＋h 2＋h 3C ．h <h 1＋h 2＋h 3D ．h 1，h 2，h 3与h 的关系不定5．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )A ．25B ．66C ．91D ．1206．已知等差数列{a n }中，a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，那么等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式_ 成立。

高中数学第三章推理与证明1.2类比推理课件北师大版选修1_2

1 2 34 5
解析答案
2.下面使用类比推理，得出的结论正确的是 A.若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b” B.“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”
√C.“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)”
D.“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析显然A，B，D不正确，只有C正确.
1 2 34 5
解析答案
3.根据“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体 A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点
√C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某点
解析正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.
梳理合情推理的定义及分类定义：根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式. 分类：常见的合情推理有归纳推理与类比推理.
[思考辨析判断正误] 1.由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理.( √ ) 2.类比推理是从特殊到特殊的推理.( √ ) 3.合乎情理的推理一定是正确的.( × )
则 b2＝ac，即 c2－a2＝ac，可得 e2－e＝1，又由 e>1，则 e＝
5＋1 2.
解析答案
达标检测
1.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是
A.三角形
√C.平行四边形
B.梯形 D.矩形
解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
③由“平面内，垂直于同一直线的两直线相互平行”，类比得到“空

高中数学选修～课件第三章§反证法

推理不严谨，结论不成立
推理过程中存在漏洞
在使用反证法时，需要确保推理过程的严谨性。如果推理过程中存在漏洞，就可能导致结论不成立。
未能正确运用逻辑规则
在反证法中，需要正确运用逻辑规则进行推理。如果未能正确运用逻辑规则，就可能导致推理结果出现错误。
05 练习题与拓展思考
针对性练习题
证明
若$a,b,c in mathbb{R}$，且$a=b+c$，则$a,b,c$中至少有一个数不小于$frac{a}{3}$ 。
错误地否定原命题
在反证法中，需要假设原命题的否定形式成立，然后进行推理。如果错误地否定了原命题，就会导致推理方向偏离正确轨道。
未能找到矛盾点或突破口
对已知条件理解不足
在使用反证法时，需要充分利用已知条件进行推理。如果对已知条件理解不足，就可能无法找到矛盾点或突破口。
缺乏解题经验
对于一些较为复杂的题目，需要具备一定的解题经验才能找到矛盾点或突破口。如果缺乏解题经验，就可能无法有效地运用反证法。
假设$x,y$都不大于$1$，即$x leq 1, y leq 1$，则$x+y leq 2$，与已知条件 $x+y>2$矛盾，故假设不成立，原命题成立。
答案及解析
• 假设在这$99$个数中，任意三个数的和都不是$3$的倍数。考虑这$99$个数除以$3$的余数，只能为$0,1,2$。由于 $99$个数中任意三个数的和都不是$3$的倍数，故余数为 $0,1,2$的数应各出现$33$次。但在这$99$个连续自然数中，必有一个数能被$3$整除，即余数为$0$的数至少有$34$ 个，与假设矛盾，故原命题成立。
高中数学选修～课件第三章§反证法
汇报人：XX 20XX-01-30

高中数学第三章推理与证明高考中的类比推理拓展资料素材北师大版选修1-2

高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。

”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。

类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。

例1、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。

类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式成立。

分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。

在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。

高中数学第三章函数的概念与性质3-2函数的基本性质3-2-1函数的单调性与最值课件湘教版必修第一册

答案：C
解析：∵a2－a＋1＝
－a＋1)≤f
3
4
.故选C.
a−
1 2 3
＋
2
4
≥
3
.又函数y＝f(x)在[0，＋∞)是减函数，∴f(a2
4
状元随笔利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对
应的自变量转化到同一个单调区间上．
角度2 解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实
值范围是( C )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪ 3， + ∞
(3)已知函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为
6
________．
3
(4)已知函数f(x)＝
，求函数f(x)在[1，5]上的最值．
2x−1
解析：(4)先证明函数f(x)＝
递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是
相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定
要仔细读题，明确条件含义．
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
x1 −1
x
(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递
增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上在x＝b处有最小值f(b)．( √ )
2．函数y＝－2x2＋3x的单调递减区间是(
A．[0，＋∞) B．(－∞，0)
3

高中数学选修2《合情推理与演绎推理》课件

【推理】
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程. 合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方向的作用; 演绎推理则具有证明结论, 整理和建构知识体系的作用.
合情推理又分归纳推理与类比推理.
问题1. 观察以下几个一元二次方程的根与常数项, 你有什么发现? 5x2+2x+3=0, 5x2+2x-3=0, x2+x+1=0, x2+x-1=0, 2x2-3x+4=0, 2x2-3x-4=0. 问题2. 观察下面几个偶数的分解, 你有什么发现? 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11. 方程 5x2+2x+3=0, x2+x+1=0, 2x2-3x+4=0 无实根; 方程 5x2+2x-3=0, x2+x-1=0, 2x2-3x-4=0 有二不等实根. 由问题 1 猜测: 一元二次方程中, 常数项为正时, 方程无实根; 常数项为负时, 方程有两不等实根.
归纳推理可以发现新事实, 获得新结论.
【课时小结】
2. 归纳推理的基本思路
(1) 在部分对象中寻找相同点. 如问题 1, 2. (2) 在部分对象中分析运行结果的相同点. 如例1, 例4. (3) 在部分对象中寻找相关关系. 如练习第2题.
习题 2.1 A组第 1、2、3 题.
习题 2.1 A 组 2an 1. 在数列{an}中, a1=1, an+1 = (nN*), 试 2 + an 猜想这个数列的通项公式. 解: a1=1. 2a1 21 2 = = . a2 = 2 + a1 2 + 1 3 2 2 2a2 1 3 = . = a3 = ∴猜想: 2 2 2 + a2 2 + 3 an = 2 . n+1 1 2 2a3 2 2 = . = a4 = 2 + a3 2 + 1 5 2 2 2 1 2 2 观察前 4 项: a1 = 1 = , a2 = , a3 = = , a4 = . 2 3 2 4 5

高中数学模块复习课第2课时推理与证明课件 a选修12a高二选修12数学课件

kǎo)体验
专题二
演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)及其应用
【例 2】已知函数
1 2
f(x)= x +aln
2
x(a∈R).
(1)若 f(x)在[1,e]上是增函数,求 a 的取值范围;
2
3
(2)若 a=1,1≤x≤e,求证:f(x)< x3.
12/8/2021
第十一页，共三十六页。
专题整合
专题
2
2Байду номын сангаас
2
12/8/2021
第十八页，共三十六页。
C+ccos A)
专题整合
专题
(zhuāntí)归
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题四反证法及其应用
【例4】已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实
数(shìshù)a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最
后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
12/8/2021
第四页，共三十六页。
自主梳理
知识(zhī
网络
shi)
要点
(yàodiǎn)
梳理
思考(sīkǎo)
辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样
|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (
A.76
B.80
)
C.86 D.92