现代控制理论线性二次型最优控制

0 ∞
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
=∫
∞
0 ∞
=∞ = ∫ x T Q x + u T R u + x T [ P ( A − BK ) + ( A − BK ) T P ] x dt − V [ x (t )] tt = 0 0 T = ∫ x T Q + K T RK + PA + AT P − PBK − K T B T P xdt + x0 P x0 0 ∞
利用黎卡提方程的对称正定解矩阵P构造 V ( x ) = x T P x 沿闭环系统轨线，
dV ( x ) &+x & T Px = x T Px dt = x T [ P ( A − BR −1 B T P ) + ( A − BR −1 B T P ) T P ] x = x T ( PA + AT P − PBR −1 B T P − PBR −1 B T P ) x = x T (−Q − PBR −1 B T P ) x <0
∞
& = Ax + Bu ⎧x 开环系统： ⎨ ⎩ y = Cx
在状态反馈控制律 u = − Kx下，所导出的闭环系统是
& = ( A − BK ) x x
闭环系统应该是渐近稳定的，因此存在李雅普诺夫函数
V ( x) = x T Px
其中的P为待定的对称正定矩阵。 沿闭环系统，V关于时间的导数是
dV (t ) dt = xT [ P( A − BK ) + ( A − BK )T P]x
代入到
T T T T T ⎤ xdt + x0 J = ∫ xT ⎡ Q K RK PA A P PBK K B P P x0 + + + − − ⎣ ⎦ 0 ∞
可得
J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt
0
∞

+ x P x 0 + ∫ x T ( K − R −1 B T P ) T R( K − R −1 B T P ) xdt
{
}
[
]
引进了更多关于反馈增益矩阵K的项，便于处理。 将二次函数： 配方法。
f ( x) = ax 2 + bx + c
极值问题处理的配方法思想推广到向量矩阵的情况。
K T RK − PBK − K T B T P = K T RK − PBK − K T B T P + PBR −1 B T P − PBR −1 B T P = ( K − R −1 B T P ) T R( K − R −1 B T P ) − PBR −1 B T P
因此，最优闭环系统是渐近稳定的。 一种新的稳定化控制器设计方法！
& = x+u 例 考虑一阶系统： x
二次型性能指标： J = ∫0
∞
( x 2 + u 2 )dt
求系统的状态反馈最优控制律。 解 模型参数 A = B = 1 ，加权矩阵 R = Q = 1
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0
现代控制理论
Modern Control Theory
线性二次型最优控制
控制器设计，使得 9 闭环系统是稳定的； 9 闭环系统具有给定的极点，保证一定的动、稳态性能 不足： 9 没有考虑控制能量的问题； 9 极点配置对模型的要求高。 思路： 同时考虑系统性能和控制能量：积分性能指标
J = ∫ [ x T Qx + u T Ru]dt
⇒
2P − P 2 + 1 = 0
P =1+ 2
解： P = 1 ± 2 。由于要求对称正定解，故取
& = − 2x 最优闭环系统： x
最优状态反馈控制律：u = − R −1B T Px = −(1 + 2 ) x 最小值依赖系统的初始状态。
线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤： 1。验证系统能控性； 2。求解黎卡提方程： PA + AT P − PBR−1B T P + Q = 0 非线性方程组，取对称正定解； 3。由
u = − Kx = − R −1B T P x
构造最优反馈控制律。
过程
例 性能指标：
J = ∫ ( x T Q x + u 2 )dt
0 ∞
u
∫
−K
x2
∫
x1
⎡1 0 ⎤ Q=⎢ , μ≥0 ⎥ ⎣0 μ ⎦
T 0 0
∞
目的是选取一个适当的增益矩阵K，使得性能指标J最小
−1 T K = R B P 。此时的性能指标最小值是 化，必须
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
最优控制增益矩阵 K = R −1B T P 和性能指标