教学案例《函数的应用举例》
新人教版九年级数学下册《锐角三角函数应用举例——坡度问题》教学设计
教学难点
利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题。对于坡度 i 表示成 1∶m 的形 式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视。 一．引入 山坡陡峭程度、梯子倾斜度描述。 二、新授。
教学过程
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
（1） h ：铅垂高度。 （2） l ：水平长度。
（3）坡角 ：坡面与水平面的夹角。
（4）坡度（坡比）:坡面的铅垂高度 h 和水平长度 l 的比。 记作： i ，即： i h tan
l
注意：
i h 1 1 tan llm h
显然，坡度 i 越大，坡角 就越大，坡面就越陡。
练习：
1、如图是一个拦水大坝的横断图,AD∥BC.,
(1)如果斜坡 AB=10m,大坝高为 8m,则 斜坡 AB 的坡度为________
锐角三角函数应用举例
——坡度问题教学设计
知识与技能：巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。 过程与方法：掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与 教学目标 坡度有关的实际问题。 情感、态度与价值观：培养学生用数学的意识，渗透数形结合的数学思想和 方法。
教学重点 理解坡度和坡角的概念。
练习提高 下图是一座人行天桥的示意图,其高是 8m,原 坡面的倾斜角为 45°现在要降低坡度,使新坡 面的倾斜角为 30°,若新坡角前需留 3m 的人行 道,问原距底 A 点 10 m 的建筑物是否需要拆除？ 请说明理由. 课堂小结 学习了本堂课，回答下列问题： 1.有哪些量可以反映斜坡的陡峭程度？如何反映？ 2.坡度是角度吗？坡度指的是什么？ 3.坡度与坡角有什么关系？ 课后作业 1.课本 77 页练习 2 2.课本 79 页第 9 题
的高度为 米.
中职数学基础模块上册《函数的实际应用举例》word教案1
【课题】 3.3函数的实际应用举例【教学目标】知识目标：（1）理解分段函数的概念；（2）理解分段函数的图像；（3）了解实际问题中的分段函数问题．能力目标：（1）会求分段函数的定义域和分段函数在点0x 处的函数值0()f x ；（2）掌握分段函数的作图方法；（3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式．【教学重点】（1）分段函数的概念；（2）分段函数的图像．【教学难点】（1）建立实际问题的分段函数关系；（2）分段函数的图像．【教学设计】（1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣；（2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识；（3）提供数学交流的环境，培养合作意识．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】（第一课时）创设情景 兴趣导入问题我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：那么，每户每月用水量x （3m ）与应交水费y （元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？分析由表中看出，在用水量不超过10（3m ）的部分和用水量超过10（3m ）的部分的计费标准是不相同的．因此，需要分别在两个范围内来进行研究．动脑思考 探索新知在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集．如前面水费问题中函数的定义域为(]()()0,1010,0,+∞=+∞U ．求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．如前面水费问题中求某户月用水8（3m ）应交的水费()8f 时，因为0810<<，所以()8 1.6812.8f =⨯=（元）．分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．巩固知识 典型例题（学生自主练习，学生代表讲解）例1 设函数()221,0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩…（１）求函数的定义域；（２）求()()()2,0,1f f f -的值．分析 分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的并集．求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，再把0x 代入到相应的解析式中进行计算． 解 （1）函数的定义域为(]()(),00,,-∞+∞=-∞+∞U ．（2） 因为 ()20,∈+∞，故 ()2224f ==；因为 (]0,0∈-∞，故 ()02011f =⨯-=-；因为 (]1,0-∈-∞，故 ()()12113f -=⨯--=-．运用知识 强化练习（小组竞赛，组长检查帮助）教材练习3.31.设函数 ()221,20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩„（1）求函数的定义域；（2）求()()()2,0,1f f f -的值．（第二课时）动脑思考 探索新知（学生板演，教师补充）因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．例2 作出函数()1,0,1,0x x y f x x x -<⎧==⎨+⎩…的图像． 分析 由解析式可以看到，需要分别在(),0-∞和[)0,+∞两个范围内作出对应的图像，从而得到函数的图像．解 作出1y x =-的图像，取0x <的部分；作出1y x =+的图像，取0x …的部分；由此得到函数的图像（如下图）．（1）因为分段函数是一个函数，应将不同取值范围的图像作在同一个平面直角坐标系中．（2）因为1y x =-是定义在0x <的范围，所以1y x =-的图像不包含()0,1点．运用知识 强化练习（各组代表画图，其余组员补充）教材练习3.32. 我国国内平信计费标准是：投寄外埠平信，每封信的质量不超过20g ，付邮资0.80元；质量超过20g 后，每增加20g （不足20g 按照20g 计算）增加0.80元．试建立每封平信应付的邮资y （元）与信的质量x （g ）之间的函数关系（设060x <<），并作出函数图像． 归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？继续探索 活动探究(1)读书部分：教材章节3.3；(2)书面作业：学习与训练3.3；(3)实践调查：调查生活中分段函数的实例．。
函数的实际应用举例教学设计
函数的实际应用举例教学设计一、教材分析本课选用《中等职业教育课程改革国家规划新教材配套教学用书》基础模块上册，第三章第3节《函数的实际应用举例》第一课时主要介绍分段函数，此知识点是函数这一章中的一个重要内容，我们可通过分析分段函数的基本性质进一步巩固基本函数的性质，提高对函数的认识，而且它在现实生活中有着广泛的实际应用，如：水费问题、邮资问题．纳税问题、出租车的计费问题等等．本课题是在学习了函数概念和函数图像基础上进行的一堂探究式的课堂教学，通过学习，让学生了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识．而在学习过程中所渗透的分类讨论与整合思想、对生活中的问题建立函数意识及分析问题与解决问题的能力,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．通过学习分段函数的基本性质，进一步巩固基本函数的性质，提高对函数的认识，加深对函数思想的理解．另一方面又可进一步加深对函数本身的认识，起到承上启下的作用．（二）教学目标1、知识技能目标：理解分段函数的概念，建立简单实际问题的分段函数的关系式，会求分段函数x处的函数值，掌握分段函数的作图方法，在此基础上，能应用分段函的定义域和分段函数在点数来解决与之有关的问题．2、过程与方法目标：通过对生活中实际问题的分析与探讨，引导学生积极思维，培养学生团结合作的意识与分析问题、解决问题的能力及数形之间转换等能力．3、情感，态度与价值观：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，初步具备应用数学知识分析、解决实际问题的意识，从探索中获得成功的体验．（三）重点、难点分析1、重点（1）分段函数的概念；（2）分段函数的图像．2、难点：（1）建立实际问题的分段函数关系；（2）分段函数的图像．3、关键点：（1）创设问题情境，在学生临近区提出问题（2）调动学生主动参与的积极性，发挥学生主体作用，并给学生一些探索性质和解决问题的时间和空间．二、学情分析（一）教学对象：中等职业高一的学生．大部分学生由于厌学情绪较浓，学习兴趣较差, 思维不够活跃，缺乏分析问题和解决问题的能力（二）学生的已有的知识结构：了解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的解析式及图像．掌握了函数的概念，函数的三种表示法，函数的单调性与奇偶性．（三）从学生的认知角度来看：学生对生活中发生的事件有较强的好奇心，喜欢究根问底，应因势利导让其了解函数在生活中的实际应用．不利因素是：学生对分段函数的表示方法是完全陌生的，接受需要一个过程，分段函数是一个函数还是两个，或多个函数，学生可能会理解错误，正确理解建立实际问题的分段函数关系和如何画出分段函数的图象对学生来讲是个难点．三、教法与学法分析为了实现本节课的教学目标，突出教学重点，在教法上我采取了：1、情境导入：通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．2、引导探究：教师在课堂教学中只起着引导作用，让学生在教师的提问中自觉的发现新知，探究新知．在学法上我重视了：1、合作探究：让学生从问题中探究——质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2.小组讨论：组内成员合作，组间成员竞争的讨论不失为一种有效的教学策略；能使师生、生生之间有更多的交往、互动的机会．四、教学过程：教具:常规教学用具及多媒体课件在整个教学过程中，师生合作探究贯穿始终．复习提问以旧引新——创设情境直观感受——引导探索观察发现——引导运用理解领悟——练习巩固深化认识——归纳小结引导反思（一）复习提问以旧引新1 、学过的基本函数有哪些？（正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数）设计意图——以旧引新，利于学生建构知识网络，本题较简单可让一些学习较差的学生来回答，并给予鼓励，树立其学习的信心．2、这些函数的一般形式及图像？设计意图——本节的学习会充分的运用到图象法和解析式法，，而且本节的学习会充分的运用到图象法和解析式法，为分段函数的学习做好铺垫．（二）创设情境直观感受（概念引入）问题：夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量有关，某人到一个水果店买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元：6斤以上9斤以下，每斤0.5元：9斤以上，每斤0.6元。
《函数的实际应用举例》说课稿
《函数的实际应用举例》说课稿一、教材分析本节课在教材中的地位及作用：函数是本章的重点内容，而本节内容又是函数知识的综合应用。
本节的学习，既是对函数知识的巩固，又是对数学思想方法的再认识，同时强化了应用意识。
本节内容正体现了这一特点。
根据中职《数学教学大纲》要求以及“以服务为宗旨，以就业为导向”的办学方针。
数学的教学主要目的是为专业课程服务，为学生将来的社会生活服务。
基于以上的认识，本课教学目标及重难点确定如下。
教学目标：1.知识目标：（1）理解分段函数的概念及应用; （2）了解实际问题中的分段函数问题。
2.能力目标：（1）会求分段函数的定义域和函数值; （2）能建立简单实际问题的分段函数关系式以培养学生数据处理及分析与解决实际问题的能力。
3.情感目标：通过分段函数对营销策略的引导作用让学生体会数学为专业课服务的思想。
重点：对分段函数的认识和理解。
在教学过程中，通过计算水费和解答基础例题的突出重点。
难点：建立实际问题的分段函数关系。
在教学过程中通过与专业相结合的例题解答及专业素质的训练来突破难点。
关键：确定自变量在不同取值范围内的对应函数关系式。
二、学情分析本节课的教学对象是高一年级市场营销专业的学生。
从知识层面来说学生在前面已经学习了求函数定义域和求函数值，在此基础上学生再学本节课相对能减小难度。
从能力层面来说本班学生的整体数学基础较差，缺乏学习兴趣和主动性。
从情感层面来说他们对新鲜事物感兴趣，有很强的表现欲，较注重自己的专业素质的培养。
针对以上学情，我是这样处理教材的，将教学内容与学生的专业知识相结合，讲授知识，训练技能。
三、教法与学法1.教法：“教必有法而教无定法”，只有方法得当才会有效。
新课程标准要求教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。
本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教学方法：引导发现法：教学过程中通过水费计算案例，将知识融入到具体的事例中，引导学生归纳总结出相关知识。
《函数的实际应用举例》教学方案设计
《函数的实际应用举例》教学方案设计一、教学目标1.了解函数的定义和基本使用方法；2.掌握函数的实际应用场景及其在解决问题中的作用；3.能够独立设计并编写包含函数的程序。
二、教学步骤步骤一：引入函数的概念（10分钟）1.通过生活中的例子，引导学生思考函数的概念；2.以数学函数的定义为例，介绍函数的定义及其组成部分；3.通过引导学生观察函数的特点，总结函数的特征。
步骤二：函数的基本使用方法（20分钟）1.介绍函数的调用方法和传参的方式；2.通过示例程序演示函数的调用过程；3.引导学生理解函数的返回值概念，并说明如何使用函数的返回值；4.通过练习巩固学生对函数的基本使用方法的掌握。
步骤三：函数的实际应用场景（30分钟）1.介绍函数在解决实际问题中的作用；2.以数学函数、科学计算、数据处理等领域为例，说明函数的实际应用场景；3.通过示例程序演示函数在实际应用中的使用方法；4.引导学生分析实际问题，并设计相应的函数解决方案。
步骤四：函数的实际应用举例（40分钟）1.以数学函数为例，介绍常见的数学函数及其应用；2.以科学计算为例，介绍常见的科学计算函数及其应用；3.以数据处理为例，介绍常见的数据处理函数及其应用；4.通过示例程序演示函数在不同领域中的实际应用；5.设计综合练习，考察学生运用函数解决实际问题的能力。
步骤五：总结与拓展（10分钟）1.总结函数的基本使用方法和实际应用场景；2.强调函数在解决问题中的重要性；3.引导学生思考其他可能的应用场景，并鼓励他们进行拓展性思考。
三、教学资源1.多媒体设备；2.示例程序和练习题；3.教师讲义和学生笔记。
四、教学评估1.通过课堂小测验对学生对函数概念和基本使用方法的理解情况进行评估；2.观察学生在练习和设计实际应用时的表现，并给予及时的指导和评价；3.通过学生的作业和展示，评估他们对函数的掌握程度及应用能力。
五、教学时长本教学方案设计以2个课时进行教学。
第一个课时主要介绍函数的概念和基本使用方法，第二个课时主要介绍函数的实际应用场景和举例，同时进行练习和设计任务。
函数的实际应用及举例
函数的实际应用及举例函数是编程中非常重要的概念，它是为了实现特定功能而组织在一起的一段代码。
函数可以将代码模块化，提高代码的可读性和可维护性。
在实际应用中，函数有着广泛的用途，包括数学计算、数据处理、图像处理、网络通信等。
本文将以几个典型应用领域为例，介绍函数的实际应用。
1.数学计算数学计算是函数应用的一个重要领域。
函数可以用于实现复杂的数学运算、求解方程、计算数列等。
例如，计算圆的面积和周长的函数可以定义如下：pythondef calculate_circle(radius):area = 3.14 * radius * radiusperimeter = 2 * 3.14 * radiusreturn area, perimeter这个函数接受圆的半径作为参数，并返回圆的面积和周长。
2.数据处理函数在数据处理中也有着广泛的应用。
函数可以用于数据的读取、转换、清洗、分析等操作。
例如，以下是一个用于计算列表中数字平均值的函数：pythondef calculate_average(numbers):total = sum(numbers)average = total / len(numbers)return average这个函数接受一个数字列表作为参数，并返回平均值。
3.图像处理图像处理是另一个常见的应用领域。
函数可以用于图像的读取、处理、分析、转换等操作。
例如，以下是一个用于将图像转换为灰度图的函数：pythondef convert_to_grayscale(image):gray_image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_BGR2GRAY)return gray_image这个函数接受一个彩色图像作为参数，并返回一个灰度图像。
4.网络通信函数在网络通信中也有着重要的应用。
函数可以用于发送和接收网络数据、处理网络请求、解析网络协议等操作。
例如，以下是一个用于发送HTTP请求并获取响应的函数：pythonimport requestsdef send_http_request(url, method='GET', data=None, headers=None): response = requests.request(method, url, data=data,headers=headers)return response.text这个函数接受一个URL作为参数，并返回HTTP响应的内容。
函数的实际应用举例教学设计
函数的实际应用举例教学设计教学设计：函数的实际应用教学目标：1.了解函数的实际应用领域和重要性；2.掌握函数在实际问题中的应用方法；3.培养学生的实际问题解决能力。
教学内容：1.函数的实际应用概述；2.函数在数学、科学、工程、经济等领域中的具体应用；3.使用函数解决实际问题的思路和方法。
教学过程：第一步：导入1.引入一个实际问题的例子，例如求一个铁圆柱的体积；2.引导学生思考如何用数学知识来解决这个问题。
第二步：课堂讲解1.介绍函数的概念和作用；2.列举函数在数学、科学、工程、经济等领域中的重要作用；3.详细介绍函数在各个领域中的具体应用，如数学中的函数图像、科学中的物理模型、工程中的计算模拟等。
第三步：小组讨论1.将学生分成小组，每个小组选择一个具体的实际问题；2.让学生讨论在解决这个问题中如何使用函数，并列出解决问题的思路和方法。
第四步：学生展示1.每个小组派代表上台展示他们选择的实际问题和解决方法；2.其他小组提问并讨论解决方法的合理性。
第五步：实际操作1.指导学生使用函数解决一个实际问题；2.学生在电脑上编写程序，实现函数的具体应用；3.学生互相交流和比较结果，讨论解决问题的有效性和可行性。
第六步：总结归纳1.让学生总结函数的实际应用领域和重要性；2.引导学生思考如何将函数的实际应用与日常生活结合起来；3.鼓励学生提出其他可能的实际应用领域和问题。
第七步：作业布置1.要求学生用函数解决一个与自己感兴趣的实际问题，并写出解决步骤和思路；2.鼓励学生展示自己的作品，并与他人分享自己的思考和经验。
教学评价：1.观察学生在小组讨论中的参与程度和思考能力；2.检查学生在实际操作中的程序编写和问题解决能力；3.回顾学生的作业，评价其解决实际问题的思路和方法是否合理。
教学延伸：1.组织学生进行更复杂的实际问题解决实践，培养学生的创新能力；2.引导学生进一步学习与函数相关的知识，如函数的导数和积分等；3.鼓励学生参与数学建模比赛或科学竞赛，展示自己的实际问题解决能力。
函数的应用教案二
函数的应用教案二《函数的应用》教案12教学目标：利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。
利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。
在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。
教学重点和难点：运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。
教学过程：（一）引入：分组复习旧知。
探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？可引导学生从几个方面进行讨论：（1）如何画图（2）顶点、图象与坐标轴的交点（3）所形成的三角形以及四边形的面积（4）对称轴从上面的问题导入今天的课题二次函数中的图象与性质。
（二）新授：1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。
例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点a，且与x轴交于点b、c；在抛物线上求一点e使sbce= sabc。
再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点f，使bce与bcd 全等。
再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点m，使bom与abc 相似。
2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。
例如：已知一抛物线的顶点坐标是c（2，1）且与x轴交于点a、点b，已知sabc=3，求抛物线的解析式。
（三）提高练习根据我们学校人人皆知的`船模特色项目设计了这样一个情境：让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。
求此船龙骨的抛物线的解析式。
让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。
（四）让学生讨论小结（略）（五）作业布置1、在直角坐标平面内，点o为坐标原点，二次函数y=x2+（k—5）x—（k+4）的图象交x轴于点a（x1，0）、b （x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。
“函数的应用举例”案例分析.doc
“函数的应用举例”案例分析南宁沛鸿民族中学数学组韦仕喜教学背景：课堂教学是索质教育的主渠道，怎样在课堂教学屮培养学生的实践能力和创新能力？如何充分发挥学生学习数学积极性与主动性？如何培养学生研究性学习方法？带着这此问题，我们开展了研究，改革以“接受”为主的传统课堂教学，努力寻找将研究性学习方式引进数学课堂教学的方法，努力使研究性学习成为我们进行课堂教学设计的一种理念。
木节课是高中新编教材的新增内容,以前没教过，用传统的讲授法教学,根本无法达到本节课的教学日的。
教学片段实录一引入：(创设情最、激发兴趣)师：到日前为止，我们已经学习了哪些函数？它们的函数表达式是什么？生：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数(学生念吋教师板书：)1、f(x)=kx+b (kHO)2、f(x)= ax? + bx + c (aHO)3、f(x)=k/x (kHO)4、f(x)= a x (a>0,且aH 1)5、f(x)=log a x (a>0,且aH 1)师：生活屮处处有数学，函数在实际生活、生产屮有着广泛的应用。
请同学们列举一些生活屮的函数关系。
生：运动鞋的码数与身高的关系;迟到次数与操行分的关系；身高与体重的关系…… (学生冋答涌跃，列举了多种发生在身边的函数关系)师：今天大家尝试一下，怎样从实际问题入手，运用学过的知识，通过抽象概括、建立数学模型来解决实际问题。
首先，我们做个调查活动，请一•些同学自报身高和体重。
在学生开始报数据时，教师迅速打开电脑中的EXCEL系统，并把学生的身高和体重数据分别填入电子表格中的A列和B列，(场而很热闹)录入10个人的数据后，发现这些数据都很接近。
教学片段实录二师：由于吋问关系，我们统计的数据面不够宽，还不具有充分的代表性，我们观察以下具有代表性的一组数据(课本例题的延伸)：(用电脑投影出以下例题，事先另外将身高、体重的数据录入EXCEL电子表格)例以卜•是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表:身高/cm60708090100110120体重/kg 6. 137. 909. 9912. 1515. 0217. 5020. 92(1)根据表屮捉供的数据，能否选择一种函数，便它能比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身髙x的函数关系？试求出这个函数解析式。
九年级数学下册《函数的应用》优秀教学案例
本案例注重小组合作，让学生在合作中共同探讨问题、分享经验、提高能力。小组合作不仅培养了学生的团队合作精神，还提高了其沟通能力和协作能力。学生在相互评价、相互学习中，实现了共同成长。
4.反思与评价的全面关注
案例中，教师注重学生的反思与评价，引导学生总结学习过程中的优点和不足。这种做法有助于学生形成自我认知，提高自我调节能力。同时，多元化的评价方式使评价更加全面、客观，有助于学生全面了解自己的学习状况。
b.案例二：某城市出租车计费规则，行驶里程与费用成线性关系，求行驶一定里程的费用。
2.以同样的方式，讲解二次函数和反比例函数在实际问题中的应用。
3.结合图像，让学生观察、分析函数的性质和变化规律，加深对函数概念的理解。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组选取一个实际问题，运用所学函数知识进行分析和解决。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
2.在解决问题的过程中，学会运用类比、归纳、猜想等数学方法，提高数学思维能力。
3.借助实际问题，让学生经历“问题提出、分析、解决”的过程，培养解决问题的策略和方法。
4.注重学生数学思维方式的培养，引导学生从多角度、多层次去思考问题，提高思维的广阔性和深刻性。
九年级数学下册《函数的应用》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，函数作为核心概念之一，其应用对于九年级学生来说既是难点也是重点。随着新课标的推行，强调培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。《函数的应用》这一章节，旨在让学生通过具体情境，感受函数在实际生活中的广泛应用，从而加深对函数概念的理解，提高数学素养。
（二）问题导向
教学中，我将以问题为导向，引导学生主动思考、发现问题、解决问题。设计具有启发性的问题，鼓励学生进行探究，使其在解决问题的过程中，掌握函数知识。
《函数的应用》全章教案完美版
《函数的应用》全章教案一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 .1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、 编写意图和教学建议1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .三、教学内容与课时的安排建议全章教学时间约需9课时.3.1 函数与方程 3课时3.2函数模型及其应用 4课时实习作业1课时小结1课时§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1．知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2．过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3．情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．三、学法与教学用具1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
中职教育数学《函数的实际应用举例》课件
污水处 0.3 0.8 理费
例2 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是 每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的 还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月 （以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10 天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都
相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得 的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
数学模型
推理 演算
数学模型 的解
例1 我国是一个缺水的 国家，很多城市的生活用 水远远低于世界的平均水 平，为了加强公民的节水 意识，某城市制订了每户 每月用水收费（含用水费 和污水处理费），试写出 每户每月用水量与水费之 间的函数关系.
水费 种类
不超过 超过10
10 m3 m3 的
的部分 部分
用水费 1.3 2.0
按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这
种出租车，车费17元，车上仪表显示等候
时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介
于（ A ）
A．5～7km
B．9～11km
C．7～9km
D．3～5km
函数的实际应用
引入
思考函数 y x ，当 x 0, y=?
当 x 0, y=?
当 x 0, y=?
思考 如何画出该函数的图像？
概念辨析Βιβλιοθήκη 函数yxx, x
0,
是一个函数还是两个函数？
x, x 0,
答：是一个函数，只不过是分段表示的函数.
总结解应用题的策略
实际问题
实际问题 的解
抽象概括 还原说明
则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－ 200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．
《EXCEL中的函数应用》公开课教案
《EXCEL中的函数应用》公开课教案第一章：教学目标与内容简介1.1 教学目标了解Excel函数的基本概念和作用掌握常用Excel函数的使用方法和技巧能够运用函数解决实际工作中的数据处理问题1.2 教学内容Excel函数的概述常用Excel函数介绍函数的使用方法和技巧实际案例分析与操作第二章：Excel函数的概述2.1 教学目标了解Excel函数的基本概念掌握Excel函数的调用方式和语法规则2.2 教学内容Excel函数的定义和作用Excel函数的调用方式Excel函数的语法规则第三章：常用Excel函数介绍3.1 教学目标掌握常用Excel函数的功能和使用方法3.2 教学内容文本函数逻辑函数日期和时间函数数学函数统计函数财务函数查找和引用函数信息函数第四章：函数的使用方法和技巧4.1 教学目标学会使用函数解决实际问题掌握函数的使用技巧4.2 教学内容函数的使用步骤函数的组合和嵌套函数的注意事项函数的实际应用案例第五章：实际案例分析与操作5.1 教学目标能够运用函数解决实际工作中的数据处理问题5.2 教学内容案例一：销售数据分析案例二：工资条计算案例三：考试成绩统计案例四：库存管理案例五：制作图表第六章：文本函数的应用6.1 教学目标掌握文本函数的功能和用法学会使用文本函数进行数据格式转换和文本处理6.2 教学内容文本函数的分类和功能常用文本函数的使用方法文本函数的实际应用案例第七章：逻辑函数的应用7.1 教学目标理解逻辑函数的作用学会使用逻辑函数进行条件判断和数据分析7.2 教学内容逻辑函数的分类和功能常用逻辑函数的使用方法逻辑函数的实际应用案例第八章：日期和时间函数的应用8.1 教学目标熟悉日期和时间函数的用法掌握日期和时间函数在数据分析中的应用8.2 教学内容日期和时间函数的分类和功能常用日期和时间函数的使用方法日期和时间函数的实际应用案例第九章：数学函数的应用9.1 教学目标了解数学函数的作用学会使用数学函数进行数学计算和数据分析9.2 教学内容数学函数的分类和功能常用数学函数的使用方法数学函数的实际应用案例第十章：统计函数的应用10.1 教学目标掌握统计函数的功能和用法学会使用统计函数进行数据分析和统计10.2 教学内容统计函数的分类和功能常用统计函数的使用方法统计函数的实际应用案例第十一章：财务函数的应用11.1 教学目标理解财务函数的概念学会使用财务函数进行财务计算和分析11.2 教学内容财务函数的分类和功能常用财务函数的使用方法财务函数的实际应用案例第十二章：查找和引用函数的应用12.1 教学目标掌握查找和引用函数的作用学会使用查找和引用函数查找和引用数据12.2 教学内容查找和引用函数的分类和功能常用查找和引用函数的使用方法查找和引用函数的实际应用案例第十三章：信息函数的应用13.1 教学目标了解信息函数的功能学会使用信息函数获取和处理数据13.2 教学内容信息函数的分类和功能常用信息函数的使用方法信息函数的实际应用案例第十四章：函数在数据透视表中的应用14.1 教学目标掌握在数据透视表中使用函数进行数据分析学会使用函数优化数据透视表的显示效果14.2 教学内容数据透视表的基本操作在数据透视表中使用函数的方法函数在数据透视表中的实际应用案例第十五章：综合案例与实战演练15.1 教学目标能够综合运用所学函数解决实际问题提高Excel函数的应用能力和技巧15.2 教学内容综合案例一：销售数据报告综合案例二：财务报表分析综合案例三：员工绩效评估实战演练：运用所学函数解决实际问题重点和难点解析重点：掌握Excel函数的基本概念、调用方式、语法规则，以及常用Excel函数的功能和使用方法。
第二章 函数的应用举例教材分析二 人教版 教案
第二章 函数的应用举例教材分析二一、教学任务的分析1．函数的应用是函数内容里的一个重要方面．学生学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题解决问题．在初中学习了一次函数、二次函数和反比例函数的基础上，本章又学习了指数函数和对数函数，这就为学生函数的应用奠定了一定的知识基础．通过函数的应用，对学生完善函数的思想、激发应用数学的意识、培养分析问题解决问题的能力、增强进行实践的能力等，都有很大的帮助．2．例2作为函数的应用举例这一节的一个主要内容，它源于实际，取材于学生身边的买房和购车，背景又是学生熟悉的消费贷款．解答该题和解答教科书中的许多函数应用题一样，都需要经历一个建立函数模型并利用所得模型解决问题的过程．但是，由于该题的信息量大、变量多，需要筛选（特别是两个还本付息表有较多的干扰因素，这与过去要用到几个量已知条件就有且只有几个量的题就完全不同），且建模的方向不明，在推理、计算和对问题的回答上都有一定的难度，学生难以直接通过题目得到暗示，从而到一条解决问题的途径，所以在解决问题的过程中一定会遇到不少困难．然而，正因为如此，例2才更贴近实际，才更有可能让学生参与到深层的思维和推理活动中去，才更能体现数学建模的思想，也才更具有挑战性和探索、研究的价值．3．例2是本小节第二堂课的内容，通过上一堂课对例1和练习、习题中部分问题的解决，学生已经初步学习了用数学模型方法解决问题．在此基础上，根据问题的实际情况，例2的教学就应着眼于学生可能遇到的困难，围绕建立函数模型并利用模型解决问题这一重点展开．这样，课堂教学活动就可以依据下列环节来设计：实际问题 函数模型 实际问题的解 函数模型的解还原说明 推理演算抽象概括在以上每一个环节的具体教学活动中，教师都要力求自始至终保持让学生“做数学”的认知要求，从教师和学生两方面来组织和实施解决例2问题的双边活动，从而达到函数应用的目的．二、教学情景的设计每一位学生都清楚，这堂课就是要解决例2的问题．通过上一堂课的教学，学生应该了解了用数学模型方法解决问题的步骤，教师就应当按照这条主线来设计教学任务．但考虑到学生认知发展水平的不同，可能依然会有部分学生没有将这些步骤内化，使得他们在解决问题时不知所措．对此，教师要有充分的准备，使教学情景的设计建立在学生可能遇到的困难之上，以此引导学生按照这些步骤去解决问题，从而进一步地提高对问题解决的认识，而不应该事先告诉学生将要做什么，甚至教他怎么去做．1．尝试回答题目中的问题学生一开始就会主动地阅读题目，迫切地想了解问题情景．教师可以借此鼓励学生尝试回答题目中的问题，以激发学生探索的热情．（1）阅读题目题目信息量大，要留给学生一定的阅读时间．教师可以通过下列问题来了解学生对题意的理解．1）你认为题目要解决的问题是什么？学生可能会有下列不同的回答：A．为该家庭设计一个尽快购到车和房的合理贷款方案；Ｂ．先购房后买车快，还是先买车后购房快；Ｃ．建立函数模型来选择贷款方案，等．不同的回答反映了对题意理解的不同层次．2）你能解决你的问题吗？教师可以让学生尝试回答自己认为需要解决的问题，当学生陷入困境时，让他们进行讨论，在交流中将学习引向建立函数模型的思考上．思维遇到障碍就会渴望帮助，但教师不能包办代替．3）究竟我们现在需要去解决哪个问题？此时，学生看到了需要解决的数学问题．从实际中提出数学问题是由学生完成的，这就是一种数学意识的培养．（2）尝试建立函数关系式，帮助正确地选择方案学生的思考再次陷入困境，应让他们展开讨论，相互得到启发．教师从中了解学生对问题认识的情况．2．将实际问题概括为函数模型学生要通过下列活动来达到对这一任务的认识和实施．（1）带着问题审题根据学生讨论中暴露出来的困难，引导学生围绕如何建立函数关系式这一问题，从题目中获取所需信息．当明确了实际问题转化的方向后，带着数学问题积极地去题目中扑捉所需的信息才是有效的审题．1）题目中哪些信息对你建立函数关系式有帮助？当教师为学生搭了这个“脚手架”之后，学生就能够主动地从题目中提取有关的数据，发现存在的变量．由学生去建立变量、常量与函数关系式的联系，保持了高水平的认知要求．2）能不能把你获取的信息归归类？由于学生的分类标准不同，他们可能会作出如下分类：Ａ．变量与常量，Ｂ．买车与购房数据，Ｃ．汽车与住房消费贷款数据，Ｄ．积蓄、收入与支出，等．对信息的检索与整理，拉近了与函数关系式的距离，为后面的推理提供了方便，其中蕴含着分类的思想．3）应该从哪一类信息中寻找函数？让学生发表不同的意见，在对比中达成共识．学生发表意见，就会有高水平行为的示X，这就使得教学任务从组织到实施都保持着较高的认知水平；从形成个人意见，到对比不同意见，再到达成共识，就是一个概括的具体过程．4）建立哪个变量的函数对选择方案有利？它是随着哪个变量的变化而变化的？这个问题也许是学生自己提出来的，因为此时他们急切地想建立起这个函数关系式．能否购房买车，关键要看家庭积累的资金够不够，找到家庭积累资金与时间的等量关系自然就变成了他们自己确立的下一阶段的任务．通过教师在学生原有的认知基础上不断地搭“脚手架”，学生始终保持着高水平的认知活动，并在积极的思维过程中发现问题内在的联系，函数关系式开始浮出水面．（2）建立方案一中家庭积累资金关于时间的函数关系式只要能解决其中的一个方案，另一个方案就不再难了．不妨先让学生解决方案一．要留给学生适量的思考时间，并让他们把想法告诉大家．然后，在教师的引导下，将大家的思路进行整理，逐渐得出建立函数关系式的如下几个步骤．先由教师将问题分解为若干个子问题后再让学生去解决（即先告诉学生要做什么只需做什么…，然后再让学生倒过来做），和先由学生发现解决问题所涉及到的若干个子问题再在教师引导下去解决，这两者的认知要求是不同的．前者的认知要求没有保持在“做数学”的水平，教师要求学生用教师认为是最正确的方法去得到正确答案，学生未能探究问题情景，也未能思考多种解题策略，从而使教学任务的实施处于“无联系的程序”水平；而后者则不同，学生是先通过对问题情景的亲身探究，自己提出解题策略，然后才在教师的引导下形成合理的解题方法，教学任务的实施自始至终都保持在“做数学”的认知要求水平上．1）选择贷款期限，并计算出首付房款后家庭的剩余资金．根据表1、表2学生容易想到，贷款期限越长，每月的还款数就越少，家庭的积累资金就增长得越快，于是就能尽快购房买车，所以住房贷款选30年期．容易算得，按70％的比例可贷住房款21万元，首付30％后家中还剩资金1万元．2）建立买车前的家庭积累资金y关于买车时间x的函数关系式．只有得到买车前的家庭积累资金y关于买车时间x的函数关系式后，才有可能知道何时有资金买车．通过审题，这一点学生是能够想到的．在建立函数关系式时，应该反映出学生由一个实际的等量关系式转化为一个抽象的函数关系式的过程，即yx, (x ∈N) ．得到实际的等量关系并将其转化为数学模型，是数学建模的核心，是抽象概括能力的具体体现．购房后买车前增加的资金3）建立首付汽车款y关于买车时间x的函数关系式．只有再得到首付汽车款y关于买车时间x的函数关系式后，才能求出买车后的结余资金，从而最终了解何时有资金能力买车．然而，能考虑到首付汽车款是一个影响资金积累的变量，并通过建立函数关系式将其纳入资金积累的函数关系式中，对学生来说可能是一个困难．教师可以让学生讨论，“根据买车前的家庭积累资金y关于买车时间x的函数关系式，能否算出何时有能力买车？”若学生认为求出y＝0时的x值即为所求，则再让他们讨论，“此时的首付车款是多少？”让学生在计算中发现自己认识上的不足，从而建立多个量之间的联系．认识的提高是一个循环往复螺旋上升的过程．由于车价每月都在下降，所以首付车款y就存在一个关于买车时间x的函数关系式，即 y = 30%×15(1－1%)x，亦即y×x (x∈N) ．4）建立刚买车后家庭的结余资金y1关于买车时间x的函数关系式．－，即y1×x x+1 (x∈N)．学生也许会想，求出y1＝0时的x值就应该是买车的最早时间了．这是教学过程的一个转折点，应该给学生适量的时间讨论．在学生难以发现存在的问题时，教师不能因此而降低认知要求，应再次为学生搭“脚手架”，让学生思考，“买车后家庭还能维持正常的开支吗？”以此来启发大家．当学生发现了决策存在的漏洞时，会真正感觉到方案选择的复杂和难度．此时最需要教师做的是鼓励大家，因为这离问题的解决只有一步之遥．由于解决问题的途径不可预见，学生会有不同程度的焦虑，这就需要他们有相当大的认知努力，并在任务的完成过程中对自己的认知过程进行自我调控．这样才能保持高水平的认知要求．5）建立买车后月支出y关于买车时间x的函数关系式．由于买车后的月支出所包含的几个量中，只有月偿还汽车贷款是变量，而它是与买车时间有关，所以函数关系式中的自变量应为买车时间．对此，可以让学生在建立函数关系式的过程中得到认识．即y×x+0.370288 (x∈N) ．6）建立还清汽车贷款时的家庭结余资金y2关于买车时间x的函数关系式．即，y2 =×x x +8.78272 (x∈N)．至此，就得到了解决问题所需的函数．3．利用所得函数关系式求方案一买车所需的最短时间学生从前面的分析已经认识到，y1＝0时的x值只说明了何时有资金能力买车，而最快买车的时间应该是由y2 ＝0时的x值来确定．要认识到这一步是有困难的．教学中，可以让学生利用信息技术工具进行实验，当他们通过自己的探索获得结果后，就能加强对问题的理解．（1）求出y1＝0时的x值如何求出y1＝0时的x×x x+1＝0求x的值；2）通过图形计算器或计算机中相应软件的解方程功能直接求出x的值；3）通过图形计算器或计算机中相应软件的作图功能，作出函数y1×x x+1和y=0的图象，并求出它们的交点坐标，从而求出x的值．若采取第一种策略，显然难以求出x的值，教师就应该引导他们利用图形计算器或计算机进行探索；若采取第二种策略，虽然可以很快地求出x的值，但超出了学生的认知水平；若采取第三种策略，就可以使学生在已学过的利用图象解简单的绝对值方程和一元二次方程的基础上，得到对求x值的认识．所以，教师应该引导学生最终采取第三种策略，利用信息技术工具进行实验，通过探索得到x＝13．引入信息技术工具，就为学生提供了一个新的情景，实现了方程－函数－图象的联系，使学生能够利用已有知识解决未知问题．学生的这种实践就是一种创造性的活动．（2）求出y2＝0时的x值同样，用图形计算器或计算机中作出函数y2=－16.68864 ×x xy=0的图象，并求出它们的交点坐标，便可求出x＝21．这说明，购房后13个月该家庭有资金能力买车，但此时买车就不能保证家庭的收支平衡．所以按照方案一，该家庭购房后至少需要21个月才能买车．然而，这是不是购房买车所需的最短时间呢？这就要求学生还需对所得的解进行验证．4．验证21个月是不是购房买车所需的最短时间这其实就是对两个方案作出抉择．学生们都明白，解决了方案一的问题，同理就可以解决方案二的问题．但是，还需要经过同样多的过程吗？教师可以让学生先讨论，然后在解决问题的过程中得到认识．买车后为了能尽快购房，汽车和住房贷款同样分别选5年期和30年期．按的70 % 比例可贷汽车款10.5万元，首付30 % 后，家中还剩5.5万元．同方案一理，可建立在汽车贷款期内购房前的积累资金y关于购房时间x的函数关系式．汽车贷款期内购房前的积累资金＝买车后的剩余资金＋，即y x (x ∈N) ．由于尚不知在汽车贷款期内是否能购房，而21个月就能实现方案一，所以只需在汽车贷款期内验证方案二是否有可能在21个月内实现即可．这就是在解题过程中得到的认识．令＝21，则y ×21＝6.483997．而此时购房需首付30%×30×(1+0.8%)21 =10.639315(万元)> 6.483997 (万元)．这说明，方案二购房买车所需的时间比方案一的长，应该选择方案一．对方案一结果的验证，就是用数学模型的解还原说明实际问题的解的过程．具有数学模型方法解决问题思想的学生，就能意识到采取验证的策略对两种方案作出选择；相反，不具备这这段时间增加的资金种思想的学生，就很可能采取模仿方案一的方法再次研究方案二的策略．对后者，让他们讨论和实践，就会促进数学模型方法解决问题的思想形成．5．小结当最终找到实际问题的解之后，教师完全有必要让学生对这个复杂的解决问题的过程进行回顾与反思，形成评价．在这里可以通过本道题的第2个问题来创设情景，从而使整个学习活动自始至终都保持在高水平的认知要求上．没有问题情景的回顾，不易调动学生积极的思维活动，常常流于形式，可能下降为低认知水平的简单重复．要最终得到家庭积累资金关于所经过时间的函数关系式，就要根据不同的时间段来划分家庭积累资金的情况，并从中找到不同阶段函数自变量的取值X围．因购房后21个月买车，汽车贷款期限为60个月，住房贷款期限为360个月，所以根据前面得到的函数关系式，分别列出以下函数关系式．（1）购房后买车前的家庭积累资金关于时间的函数关系式为y x (x∈N 且1≤x≤21) ；（2）购车后但还清汽车贷款前，= ＋( x∈N 且21< x≤81) ，即 y x+2.910535 (x∈N 且21< x≤81) ；（3）还清汽车贷款后，= ＋刚买车后家庭的结余资金购房后还清汽车贷款前增加的资金还清汽车贷款时的结余资金还清汽车贷款后增加的资金( x∈N 且81< x≤360) ，即 y x＋10.413236 (x∈N 且81< x≤360) ．综上所述，便可得到家庭积累资金关于所经过时间的函数关系式通过进一步的概括，学生得到了一个完整的数学模型，并在此过程中对应用函数模型方法解决问题的思想有了更深刻的体会，认识过程更加系统了．6．开展课外研究性学习从教材中挖掘素材并结合实际进行探究性活动，是研究性学习的一种方式．教师可以让学生课外在例2的基础上，继续探索．如，提出其它方案，并与例2的方案比较，说明哪种方案更利于尽快地买到车和房；进行实际调查后，改变题目中的一些条件，再来进行相应的研究．研究性学习把课堂学习任务延伸到了课外，使学生的课外学习能够继续保持在高水平的认知要求上．三、使用信息技术的设想1．本题源于实际，特别是题中大量的数据更是来自现实．但是，如果没有信息技术工具的支持，这些复杂数据的处理是比较麻烦的，所以在教学中，学生必须利用科学计算器或图形计算器、计算机，才能处理这些数据，并且要求能熟练地进行运算操作．否则，数据的处理就会变成教学中新的难点，从而影响学生高水平认知活动的持续，破坏了学生思维的连续性．而在处理本题数据上，三种工具的选择应该是平等的，只是对科学计算器的选择，要尽可能选择有保留运算过程、修改、预置小数位数、常数模式等功能的机型，特别要注意的是，简单计算器是不支持本题运算的．2．本题涉及到求函数y×x x＋1 (x∈N) 和y =×xx＋8.78272 (x∈N) 在y＝0时的x值．对于学生来说，这无疑是一个难度很高的问题，只有建立在信息技术支持的基础上才能得到解决．学生可以利用图形计算器或计算机分别作出这两个函数的图象，然后求出它们与直线y＝0交点的横坐标，便可得解．但是，这里存在着几个问⎪⎩⎪⎨⎧≤<∈-≤<∈+-≤≤∈+.)36081(413236.10129712.0,)8121(910535.2034779.0,)211(229712.01xNxxxNxxxNxxy且且且＝题．（1）机器作出的是连续的图象，而这两个函数的图象应该是散点图，这如何看待？（2）机器求出的交点的横坐标并不是自然数，又该怎么看待？首先我们要认识到，在本道例题的教学中，利用信息技术并不仅仅是为了得到结果．如果是复杂繁琐的数字运算，运算法则学生已很清楚，那么就可以运用信息技术直接得到结果，因为学生把时间花费在这些问题上，对能力的培养没有帮助；如果象该问题，它涉及到学生刚刚学过的指数函数，又是形式比较陌生的初等函数，通过解决它对学生能力的培养有帮助，那么利用信息技术就不仅仅是为了得到结果，更要给学生一个实验的机会，帮助他们用已有的知识来提高认识．既然如此，尽管机器作出的不是要研究的函数图象，但要研究的函数图象却在机器作出的图象上，那么就完全可以利用机器作出的图象来研究这两个函数值的情况．另外，正是通过机器作出图象并求出交点，才了解到交点的横坐标不是自然数，从而才使学生能够认识到，要研究的函数图象与直线y×x x＋1 ＝0 和×x x＋8.78272＝0并无整数解．这样，才为学生解决问题找到方法，使他们在交点横坐标的基础上结合实际得到一个有效的整数解．四、整合信息技术后对教和学带来的影响1．传统应用题由于受信息技术条件的约束，背景不丰富，远离时代，和学生的实际结合得不紧密，大量数据需要人为加工，题目还常常有明显的解题途径的暗示，所以学生难以通过解这些题，提高自己数学建模的能力，领会问题解决的思想．由于有图形计算器和计算机这些信息技术工具，就使得学生解决象例2这样贴近实际并能体现建模思想的问题成为可能．学生在信息技术的帮助下解决这样的问题，必然带来学习方式的重大变革，对培养分析问题解决问题的能力也有较大的帮助．2．例2的学习与信息技术整合最突出的一点就是，利用图形计算器或计算机作函数图象．具体表现在如下几点．（1）在解决例2问题的过程中，建立函数关系式对学生来说会是最大的困难，而这一困难又主要表现在，建立函数关系式的方向不明，且需要建立的函数关系式又太多．利用机器的函数作图功能，就可以作出学生已经求出的函数的图象，学生一方面就可以对图象上点的坐标进行跟踪研究，将多个量联系起来，对函数（特别是那些不通过机器就难以作出图象的复合函数）会有更深刻的认识；另一方面还可以通过函数图象，从一个局部看到问题的发展规律．这些对学生建立函数关系式是会有积极帮助的．但这种帮助又有别于教师告诉学生应该从哪方面考虑word的“帮助”．二者本质的区别在于，一种是由学生自主探索而获得，另一种则是被动地去走教师指好的路，自然对能力培养的结果就不一样．（2）在分别求函数y×x x＋1 (x∈N) 和y=×x x＋8.78272 (x∈N) 的y＝0对应的x×x x×x x＋8.78272＝0的解，那么就超出了学生的认知水平．即使是利用图形计算器或计算机的解方程功能直接得解，学生也不易认识．如果是看作求两个函数的自变量值，尽管学生对其很陌生，但它们都是由学生熟悉的函数复合而得的，没有超出学生的认知水平，借助机器作出它们的图象并求出与直线y＝0交点的横坐标，就可以探索出所需的x的值．在这里，机器能做的都是学生会做但又不方便做的事．这就不会影响学生能力的发展，相反，还可以促进学生积极的思维，形成数、形、式等多元的．这对帮助学生认识问题的本质，保持高水平的认知活动，都有不可替代的作用．（3）在本题的计算中出现了大量的近似值，特别是在分别求函数y×x x＋1 (x∈N) 和y=×x x＋8.78272 (x∈N) 的y＝0对应的x值时，用机器得到的不是一个自然数值，而是一个近似的非自然数值．这一方面反映了机器并不能替代学生的思维，它主要是通过解决一些单调而繁杂的工作，让学生看到一些不易看到的问题，来发展学生深刻的思维；另一方面又反映了，借助信息技术，可以使学生有机会接触实际生活中常见的近似值，对培养学生合理处理数据的能力是会有帮助的．11 / 11。
《函数的实际应用举例》教学方案设计
【课题】 3.3函数的实际应用举例——分段函数的应用（第一课时）【学校】山东省济南市长清区职业中等专业学校【教师姓名】刘辉【授课班级】2010级高职计算机班 24人【授课教材】《数学(基础模块)上册》高等教育出版社李广全李尚志主编【教学目标】知识与技能目标：通过了解实际生活中的分段函数问题，充分认识和理解分段函数，掌握求简单分段函数的定义域、函数值和作图方法，提高学生分析问题与解决问题的能力.过程与方法目标：经历水费分段定价方案设计的过程，感受分段的必要，进而掌握函数建模的方法.情感、态度、价值观目标:通过参与数学活动，渗透节水意识，激发学生的学习兴趣、让学生在愉快的合作中，不断体验成功的感觉【教学重点】1、分段函数的概念的理解；2、了解分段函数的简单应用．【教学难点】1、建立实际问题的分段函数关系；2、作分段函数的图像．【教学设计】1、以学生生活实际背景为载体，创设情境，展示视频, 激发兴趣,加强节水意识。
2、学生小组设计我们当地的分段定价水费方案，经历设计并评估方案的可行性，让学生感知分段计费的必要，很自然的生成新知。
提供给学生素材后，给予学生充分交流的时间和空间，让学生尝试着在发现、探究、讨论，培养创新意识、合作意识与应用意识，提高分析与解决问题的能力。
3、对学生进行有个性的、鼓励性的评价，个人评价与集体评价,过程评价与终结评价相结合，树立学生的自信心,培养学生的团队精神。
评价说明：学生抢答，抢答小组如果验证正确，给该小组加分；不正确，可以寻求其它小组帮助，提供帮助的小组双倍加分优秀小组：学生参与率高，大家可相互监督，其次看小组分值【教学备品】多媒体课件．三角尺、小黑板【课时安排】1课时 （45分钟）【教学过程设计】一、引导关注(8分钟)衔接：亲爱的同学们，了解家中的每月用水情况吗？每月的水费是多少呢？今天我们就来聊聊这个话题.(幻灯片展示)任务一：看看大家谁的反应快（抢答，每次回答计10分）济南市长清区的水费收费标准：2元／3m ，1、 我家本月用了43m ，应交水费多少元？2、如果用水量为x 3m ，那么应交水费多少元？3、写出用水量)(3m x 与应交水费)(元y 之间的函数关系？4、作出该函数的图像衔接：现在很多地方都征收水费，但浪费水的情况还时有发生，水并不是取之不尽，用之不竭的，请看视频.( 展示视频)问题：看着孩子们那渴望的眼神，大家有何感受？二、设计方案 (22分钟)衔接：是的，我们应该节约用水，节约用水的措施很多，今天在这里就不再一一讨论了。
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教学案例《函数的应用举例》
南宁市第十四中学高中部陈元菊
一、案例背景：
高中的数学知识也涉及初中的内容，可以说高中数学知识是初中数学知识的延拓和提高，但不是简单的重复，因此在教学中要正确处理好二者的衔接，深入研究两者彼此潜在的联系和区别，做好新旧知识的串连和沟通。
由于实行九年制义务教育和倡导全面提高学生素质，现行初中数学教材中在函数的内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度大大降低，而在高一学习中函数应用教广泛。
为提高学生对初高中衔接重要性的认识，使学生初步了解高中数学学习的特点。
为此，结合实例，在上课时找出结合初高中知识的衔接点，给学生分析初高中教学在函数这一章学习方法的延续和存在的区别。
二、案例主题:
在初中基础上,进一步通过建立函数模型以及运用模型解决问题，体会函数的广泛应用及运用方法。
通过思考、交流、合作等探究过程，培养学生的探索精神和创新意识，养成良好的学习习惯。
学会使用信息技术工具如计算器,计算机,来计算、整理、表达信息。
重点数学建模的方法. 难点根据实际问题合理的选择数学模型和科学评价模型优劣
三、案例过程：
引入：“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一，学生通过初中的学习已经基本具备这种能力。
从初中到高中目前已经学习过的几类重要的函数：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式，函数图像性质。
最核心是确定函数解析式，在初中我们就已经学习到待定系数法。
【中考26题】：随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x成正比例关系，如图-①所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润关于投资量的函数关系式
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
图①图②
在初中，函数关系具体（如本题中已明确是正比例关系、二次函数关系），且有图形提供数据，学生只需用待定系数法确定各函数中的常数，即可获得函数关系，再将其化为常规的函数问题解决。
到高中，思维层次上升，对函数应用提出更高的要求。
问题提出：
以下是对某一地区不同身高的未成年男性的体重平均值调查统计表：
问题：据医学测定，如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍属偏胖，低于相同身高男性平均值的0.8倍属偏瘦。
现在某地区某中学有一男生，其身高175cm，体重为75kg,试问他的体重是否正常？
1、引导分析：
启发（1）：表中身高栏中没有175 cm这个数值，对应的体重只有靠推测，依据统计表，是否可以找到身高与体重的关系呢？
y来表示，启发（2）：根据身高与体重的数对关系，假设身高用x来表示，体重用
那么x、y之间有什么函数关系呢？
以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中，描出各点，设 A（60，6.13）、B（70，7.90）、C（80，9.99）、D（90，12.15）、E（100，15.02）、F（110，17.50）、
G （120，20.92）、H （130，26.86）、I （140，31.11）、J （150，38.85）、K （160，47.253）、L （170，55.05）
（观察连线接近的函数图象，猜想应当选择哪种函数关系式；然后用待定系数法确定函数中的常数，找出与之接近的模拟函数）
2、讨论模型：（备好坐标纸，学生两两合作，描点，成图，猜想函数模型）， 学生操作后易发现（推选代表发言）：
猜想模拟函数：（1）二次函数型：
（2）指数函数型：
两种意见的同学分别用待定系数法确定所选函数式中的待系数，
（学生继续两两合作，代值，计算（用计算器），求解）
猜想1：二次函数型，设函数关系为c bx ax y ++=2，
（因时间限制，统一选择点A （60，6.13）, C (80,9.99), E (100,15.02)
坐标代入得:⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅=579
.101175
.000146
.010010002.15808099.9606013.6222c b a c b a c b a c
b a
近似函数关系式为: 579.101175.000146.02+-=x x y
猜想2:指数函数型：设函数关系为x b a y ⋅=,
选择点B （70，7.90）, L (170,55.05)坐标代入,得:
⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=02.12
05.5590.717070
b a b a b a 近似函数关系式为:x y 02.12⨯=
3、评价模型优劣：
记二次函数型: 579.101175.000146.0)(2+-=x x x g
记指数函数型:x x f 02.12)(⨯=
将H （130，26.86）, J （150，38.85）,K （160，47.253）分别代入)(x f 、
)(x g 中，计算并比较误差：
得到(1): 2.26)130(=f 误差:-0.66
7.24)130(=g 误差:-2.16
(2)： 0.39)150(=f 误差:0.15
7.32)150(=g 误差:-6.15
（3）：5.47)160(=f 误差:0.25
1.37)160(=g 误差:-10.15
引导学生分析上述两个模型的优劣,结合模拟函数图象与散点图切合的情况（电脑制作）和计算的结果误差情况,指出从形的角度考虑，要求剩余点较少，从数的角度考虑，要求计算的误差要小,这样选出的函数才比较接近实际情况.
比较后得出：用指数函数型:x
y 02.12⨯=拟合较符合实际。
把x =175代入得: 98.63=y 即身高175 cm 的男性体重平均值98.63 kg 2.122.198.6377>≈÷
结论：这名男生体形偏胖。
问题：已知姚明的身高为226cm,体重为125kg,他的体重是否正常？
把x =226代入得: 66.175=y ，即相同身高226cm 男性平均值为66.175 kg
8.071.066.175125<≈÷
结论：姚明的体形偏瘦。
相比初中函数应用题，高中内涵更丰富，知识信息更广泛，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大，但是初高中函数应用有很多知识衔接点，如总是通过用待定系数法求函数的解析式再解决实际问题等。
4、小结归纳：（理论上升，引导学生进行归纳总结）
函数拟合过程的一般步骤：
⑴、根据表格中的数据描点画出图象，该图象就叫做散点图；
⑵、根据散点的分布猜想应当选择哪种函数关系式；
⑶、用待定系数法确定所选函数式中的待定系数,求出函数表达式；
⑷、用求出的函数表达式解决实际问题。
（初中，教师讲得细，类型归纳得全，学生习惯于围着教师转，不需要独立思考和对规律进行归纳总结。
而到了高中，数学学习要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通）
四、教学反思：
1、初中数学教学内容少，知识难度不大，教学要求较低，在高一阶段数学的教与学中明显出现了障碍“学生感到难学，教师感到难教”，高一《函数应用》章节相对于初中而言, 逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大，这使得刚入高中的学生不容易适应这种教学方法，听课时就存在思维障碍。
2、上课学生不爱举手发言，课内讨论气氛不够热烈，有时点名回答问题也不够直爽。
心理上的闭锁性，给教学带来很大的障碍，表现在学生课堂上启而不发，呼而不应。
搞好初高中衔接，除了优化教学环节外，还应充分发挥情感和心理的积极作用。
我们在高一教学中，应注意运用情感和成功原理，调动学生学习热情，培养学习数学兴趣。
3、多媒体技术的出现为我们教学手段改进提供了新的机会，产生不可估量的教学效果。
比较两个模型的优劣,模拟函数图象与散点图切合的情况（电脑制作）并计算结果误差，省时省力，而且有说服力。
4、培养学生的准确计算能力
用待定系数法列方程组，通过计算求借函数表达式，很多学生计算不出或者花时间太多，造成课堂节奏慢，时间分配上，重心不突出。
总之，在高一数学的起步教学阶段，抓好初高中数学教学衔接，分析清楚学生学习数学困难的原因，便能使学生尽快适应新的学习模式，从而更高效、更顺利地接受新知和发展能力。