高中数学教案：存在性问题
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【答案】
【解】原命题等价于对于任意 ，存在 ，使得 ．
对于任意 ，
对于任意 ，
①当 时， ，解得 ；
②当 时， ，解得 ；
③当 时， ，解得 ．
【答案】
【分析】由题意，得 ．
由绝对值的几何意义，得 ．
因此， ．
3.若关于 的不等式 存在实数解，则实数 的取值范围是．
【答案】
【分析】当 时，在数轴上表示 的点到 、 表示的点的距离之和为 ，
所以当 时， ．
所以，只要 ，此时解得 或 ．
4.若存在 ，使 成立，则实数 的取值范围为．
【答案】
5.设函数 ．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为．
又因为 上存在点 ，所以必须满足 ，解得 ．故 ．
13.定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在 满足 ，则称函数 是 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点．例如 是 上的“平均值函数”， 就是它的均值点．给出以下命题：
①函数 是 上的“平均值函数”；
②若 是 上的“平均值函数”，则它的均值点 ；
【答案】
【分析】要使得不等式 成立，只要 即可．
【解】在数轴上， 表示 对应的点到 对应的点之间的距离， 表示 对应的点到 对应的点之间的距离，而这两个距离和的最小值是 ．要使得不等式 成立，只要 ，解得 ．
8.已知命题" ，使 "为假命题，则 的取值范围是．
【答案】
9.已知函数 ， ，若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为．
（2）当 时，此时两圆相交或相切，如图．
因为两圆有交点，所以最小值为 ，最大值为 ，必定成立．
（3）当 时，此时两圆内含，如图．
此时， ， ．
解得 ．
综上， ．
15.存在实数 ，使得 成立，则 的取值范围是．
【答案】 或
【分析】本小题考查二次不等式的存在性问题，结合二次函数和二次方程分析是解决本题的关键．
（3）若 ，则必存在实数 ，使 ；
（4）若 ，则不等式 对一切实数 都成立．
其中，正确命题的序号是．（把你认为正确的命题的所有序号都填上）
【答案】（2）（4）
【分析】方程 无实根，所以 或 恒成立．从而有 恒成立或 恒成立，故（1）错误；
若 ，则 对一切 成立．所以 ，命题（2）正确；
同理若 ，则有 ，命题（3）错误；
方法二：首先考虑点 与点 之间的关系．记 到圆 上的最短距离为 ，最大距离为 ．
若 在圆上，如图所示，
则圆 上有一个点到 的距离为 ，所以 ．
若 在圆 内，如图所示，
显然圆上没有点到 的距离为 ，所以 ．
若 在圆外，如图所示，
则圆上有两点到 的距离为 的充分必要条件为 ．
综上， 的取值范围是 ．
记 上的点 到原点 的距离为 ．因为 ，则由均值不等式知 ，当且仅当 时，等号成立．
【答案】
【分析】 ， ．
令 ，则
根据题意知 可以取到 之间所有的数．
令 ．
首先有 ，解得 ．
若 ，则 ， ；
当 时， ，此时 的最小值为 ；
当 时， ．
综上知， 一直可以取到 之间所有的数．
若 ，类似分析可得也都满足条件．
10.已知 ，且方程 无实数根，下列命题：
（1）方程 一定有实数根；
（2）若 ，则不等式 对一切实数 都成立；
【答案】
【分析】当 时， ；
当 时， ．
从而当 时，函数 的值域为 ．
由 ，得 ，则 ，
所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ．
从而当 时，函数 的值域为 ．
因为存在 ，使 ，所以 ．
若 ，则 或 ，解得 或 ．
所以当 时， ．
综上，实数 的取值范围为 ．
6.若命题" ，使得 "是真命题，则实数 的取值范围是．
【答案】
7.若存在实数 使 成立，则实数 的取值范围是．
【解】由题意得，存在实数 ，使得 有负的函数值，即二次函数 的图象上存在点在 轴的下方．
因为抛物线开口向上，只须
解得
16.由命题“存在 ，使 ”是假命题，得 的取值范围是 ，则实数 的值是．
【答案】
17.若关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围是．
【答案】
18.已知函数 和函数 ，若对任意 ，均存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是．
④存在 使得 成立，转化为
精选例题
存在性问题
1.不等式 对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是．
【答案】
【分析】不等式 ，化为 ．
因为不等式 对任意实数 都成立，
所以 ．对任意实数 都成立，
当 时，化为 ，不满足要求，舍去；
当 时，变形满足 ，
解得： ．
2.若关于 的不等式 在 上有解，则 的取值范围是．
存在性问题
课程目标
知识点
考试要求
具体要求
考察频率
存在性问题
C
掌握存在性问题的思想，能用相关知识解决存在性问题.
少考
知识提要
存在性问题
不等式存在性问题通常转化为求函数的最大值或最小值的问题，也可以先分离变量，再转化为求函数最大值或最小值的问题．
①存在 使得 成立，转化为
②存在 使得 成立，转化为
③存在 使得 成立，转化为
③若函数 是 上的“平均值函数”，则实数 的取值范围是 ；
④若 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点，则 ．
其中真命题有．（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
【分析】①由 ，可得 是它的一个均值点．
②举一个反例．如 ， ，由题意，得 ，但 ．
③由 及 ，得 ，从而 ．
④ ．要证 ，即证 ，即证 ．令 ，则 ．记 ，则 ， 在 上是减函数，从而 ，于是 成立．
14.在平面直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ： ．若圆 上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆 依次交于点 ， ，满足 ，则半径 的取值范围是．
【答案】
【分析】因为 ， ．
所以 ．记 的最小值为 ，最大值为 ．
则可知当 且 时，肯定存在这样的点 ．
（1）当 时，此时两圆相离，如图．
此时 ， ，
解得， ．
若 ，则 ，从而 恒成立，必有 ，且 ，所以命题（4）正确．
11.已知命题“ ： ”与命题“ ： ”都是真命题，则实数 的取值范围．
【答案】
12.若对于给定的正实数 ，函数 的图象上总存在点 ，使得以 为圆心、 为半径的圆上有两个不同的点到原点 的距离为 ，则 的取值范围是．
【答案】
【分析】方法一：根据题意得：以 为圆心， 为半径的圆与原点为圆心， 为半径的圆有两个交点，即 到原点距离小于 ，即 的图象上离原点最近的点到原点的距离小于 ．记 上的点 到原点 的距离为 ．因为 ，则由均值不等式知 ，当且仅当 时，等号成立．所以 ，解得 ．故 ．
【解】原命题等价于对于任意 ，存在 ，使得 ．
对于任意 ，
对于任意 ，
①当 时， ，解得 ；
②当 时， ，解得 ；
③当 时， ，解得 ．
【答案】
【分析】由题意，得 ．
由绝对值的几何意义，得 ．
因此， ．
3.若关于 的不等式 存在实数解，则实数 的取值范围是．
【答案】
【分析】当 时，在数轴上表示 的点到 、 表示的点的距离之和为 ，
所以当 时， ．
所以，只要 ，此时解得 或 ．
4.若存在 ，使 成立，则实数 的取值范围为．
【答案】
5.设函数 ．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为．
又因为 上存在点 ，所以必须满足 ，解得 ．故 ．
13.定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在 满足 ，则称函数 是 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点．例如 是 上的“平均值函数”， 就是它的均值点．给出以下命题：
①函数 是 上的“平均值函数”；
②若 是 上的“平均值函数”，则它的均值点 ；
【答案】
【分析】要使得不等式 成立，只要 即可．
【解】在数轴上， 表示 对应的点到 对应的点之间的距离， 表示 对应的点到 对应的点之间的距离，而这两个距离和的最小值是 ．要使得不等式 成立，只要 ，解得 ．
8.已知命题" ，使 "为假命题，则 的取值范围是．
【答案】
9.已知函数 ， ，若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为．
（2）当 时，此时两圆相交或相切，如图．
因为两圆有交点，所以最小值为 ，最大值为 ，必定成立．
（3）当 时，此时两圆内含，如图．
此时， ， ．
解得 ．
综上， ．
15.存在实数 ，使得 成立，则 的取值范围是．
【答案】 或
【分析】本小题考查二次不等式的存在性问题，结合二次函数和二次方程分析是解决本题的关键．
（3）若 ，则必存在实数 ，使 ；
（4）若 ，则不等式 对一切实数 都成立．
其中，正确命题的序号是．（把你认为正确的命题的所有序号都填上）
【答案】（2）（4）
【分析】方程 无实根，所以 或 恒成立．从而有 恒成立或 恒成立，故（1）错误；
若 ，则 对一切 成立．所以 ，命题（2）正确；
同理若 ，则有 ，命题（3）错误；
方法二：首先考虑点 与点 之间的关系．记 到圆 上的最短距离为 ，最大距离为 ．
若 在圆上，如图所示，
则圆 上有一个点到 的距离为 ，所以 ．
若 在圆 内，如图所示，
显然圆上没有点到 的距离为 ，所以 ．
若 在圆外，如图所示，
则圆上有两点到 的距离为 的充分必要条件为 ．
综上， 的取值范围是 ．
记 上的点 到原点 的距离为 ．因为 ，则由均值不等式知 ，当且仅当 时，等号成立．
【答案】
【分析】 ， ．
令 ，则
根据题意知 可以取到 之间所有的数．
令 ．
首先有 ，解得 ．
若 ，则 ， ；
当 时， ，此时 的最小值为 ；
当 时， ．
综上知， 一直可以取到 之间所有的数．
若 ，类似分析可得也都满足条件．
10.已知 ，且方程 无实数根，下列命题：
（1）方程 一定有实数根；
（2）若 ，则不等式 对一切实数 都成立；
【答案】
【分析】当 时， ；
当 时， ．
从而当 时，函数 的值域为 ．
由 ，得 ，则 ，
所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ．
从而当 时，函数 的值域为 ．
因为存在 ，使 ，所以 ．
若 ，则 或 ，解得 或 ．
所以当 时， ．
综上，实数 的取值范围为 ．
6.若命题" ，使得 "是真命题，则实数 的取值范围是．
【答案】
7.若存在实数 使 成立，则实数 的取值范围是．
【解】由题意得，存在实数 ，使得 有负的函数值，即二次函数 的图象上存在点在 轴的下方．
因为抛物线开口向上，只须
解得
16.由命题“存在 ，使 ”是假命题，得 的取值范围是 ，则实数 的值是．
【答案】
17.若关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围是．
【答案】
18.已知函数 和函数 ，若对任意 ，均存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是．
④存在 使得 成立，转化为
精选例题
存在性问题
1.不等式 对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是．
【答案】
【分析】不等式 ，化为 ．
因为不等式 对任意实数 都成立，
所以 ．对任意实数 都成立，
当 时，化为 ，不满足要求，舍去；
当 时，变形满足 ，
解得： ．
2.若关于 的不等式 在 上有解，则 的取值范围是．
存在性问题
课程目标
知识点
考试要求
具体要求
考察频率
存在性问题
C
掌握存在性问题的思想，能用相关知识解决存在性问题.
少考
知识提要
存在性问题
不等式存在性问题通常转化为求函数的最大值或最小值的问题，也可以先分离变量，再转化为求函数最大值或最小值的问题．
①存在 使得 成立，转化为
②存在 使得 成立，转化为
③存在 使得 成立，转化为
③若函数 是 上的“平均值函数”，则实数 的取值范围是 ；
④若 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点，则 ．
其中真命题有．（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
【分析】①由 ，可得 是它的一个均值点．
②举一个反例．如 ， ，由题意，得 ，但 ．
③由 及 ，得 ，从而 ．
④ ．要证 ，即证 ，即证 ．令 ，则 ．记 ，则 ， 在 上是减函数，从而 ，于是 成立．
14.在平面直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ： ．若圆 上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆 依次交于点 ， ，满足 ，则半径 的取值范围是．
【答案】
【分析】因为 ， ．
所以 ．记 的最小值为 ，最大值为 ．
则可知当 且 时，肯定存在这样的点 ．
（1）当 时，此时两圆相离，如图．
此时 ， ，
解得， ．
若 ，则 ，从而 恒成立，必有 ，且 ，所以命题（4）正确．
11.已知命题“ ： ”与命题“ ： ”都是真命题，则实数 的取值范围．
【答案】
12.若对于给定的正实数 ，函数 的图象上总存在点 ，使得以 为圆心、 为半径的圆上有两个不同的点到原点 的距离为 ，则 的取值范围是．
【答案】
【分析】方法一：根据题意得：以 为圆心， 为半径的圆与原点为圆心， 为半径的圆有两个交点，即 到原点距离小于 ，即 的图象上离原点最近的点到原点的距离小于 ．记 上的点 到原点 的距离为 ．因为 ，则由均值不等式知 ，当且仅当 时，等号成立．所以 ，解得 ．故 ．