2018中考相似三角形经典练习试题和的答案解析
2018中考压轴之因动点产生的相似三角形问题(部分答案)(PDF版)
课前导学:相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．九年级数学试题因动点产生的相似三角形问题1.如图，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．满分解答:（1）将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2,4)．将点A(2,4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B (n ,2)，代入8y x=，得n ＝4．所以点B 的坐标为(4,2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4,2)，得b ＝－2．所以点C 的坐标为(0,－2)．由A (2,4)、B (4,2)、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝BC＝，∠ABC ＝90°．所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝12⨯＝8．（3）由A (2,4)、D (0,2)、C (0,－2)，得AD＝AC＝．由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE AD CA AC=时，CE ＝AD＝此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE AC CA AD ==CE＝．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10,8)．图3图4图22.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．4.如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2,2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．满分解答（1）将M (2,2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m=-⨯-．解得m ＝4．（2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4,0)，E (0,2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO=．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF =，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2,0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以(m BF m +=．由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ．在Rt △BFF′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m +-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BC BE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？7．如图，已知二次函数(其中0＜m＜1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=P C．(1)∠ABC的度数为°；(2)求P点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接B C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．9.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．10.如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）B 的坐标为(b ,0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x,x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1,0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得843b =±Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
江苏省南京市溧水区孔镇中学2018届中考数学二轮专题复习练习：专题九 相似三角形(答案)$864586
专题九：相似三角形一、基础练习1、如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) ．2、如图，将矩形ABCD 沿两条长边中点的连线EF 对折，如果矩形BEF A 与矩形ABCD 相似，则AB ∶AD 等于（ ）． A 、1:2 B 、 2:1 C 、 1:3 D 、 3:13、如果点C 是线段AB 的黄金分割点，BC ＞AC ，AB ＝ 10 cm ，那么AC ＝ cm ．4、如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且DE ∥B C ．如果BC ＝8 cm ，AD ∶DB ＝1∶3，那么△ADE 的周长等于________ cm ．5、如图，在圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米.若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为________． 二、例题讲解例1 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是AB 上一点，FE ⊥CE ． 求证：△AEF ∽△ECF ．CDABFE（第2题）（第4题）（第5题）例2 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，已知∠BAD ＝∠DAC ，求证：BD DC ＝ABAC ．例3 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ． （1）求证：△PF A ∽△ABE ；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设P A =x ，是否存在实数x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由三、反馈练习1、如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两2、如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP ＝1，点D 为AC 边上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ ） A ．12 B ．23 C ．34D ．13、如图，在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，点M 为BC 的中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 等于（ ）． A ．65B ．95C ．125D ．1654、如图，在△ABC 中，BC ＝8，B 1、B 2、…、B 1，C 1、C 2、…、C 7 分别是AB 、∠C 的8等分点，则B 1C 1＋B 2C 2＋…＋B 7C 7的值是（ ） A ．24 B ．28 C ．32 D ．405、如图，在锐角三角形ABC 中，BC ＝12，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边作正方形DEFG （GF 和 点A 分别在DE 的异侧）（1）当正方形DEFG 的边GF 恰好落在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；（2）当GF 不落在BC 边上时，设DE ＝x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围.ABMN（第1题） （第3题）（第4题）AD E FGA A6、如图1，在四边形ABCD 的AB 边上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接 ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点 E 叫做四边形ABCD 的AB 边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E 叫做四 边形ABCD 的AB 边上的强相似点．（1）若图1中，∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝50°，说明点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似 点；（2）①如图2，画出矩形ABCD 的AB 边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．（3）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，∠B ＝90°，点E 是梯形ABCD 的AB 边上的一个强相似点，判断AE 与BE 的数量关系并说明理由．AB CDE 图1ABCD 图2（第6题）参考答案一、基础练习1、B （考查相似三角形的判定，鼓励学生从多角度思考）2、B （考查学生对相似图形的认识）3、15－5 5 （考查黄金分割，建议回顾黄金比的探索过程，可以拓展顶角为36°的黄金三角形，加深对黄金分割的理解）4、6 （相似三角形基本图形的理解，建议帮助学生找对应线段的方法）5、0.81π（考查相似三角形的性质：对应高之比等于相似比，以此全面回顾相似三角形的性质）二、例题讲解例1：方法一：如图，是相似．延长FE，与CD的延长线交于点G．在Rt△AEF与Rt△DEG中，∵E是AD的中点，∴AE＝ED．∵∠AEF＝∠DEG，∴△AFE≌△DGE．∴∠AFE＝∠DGE．∴E为FG的中点．又CE⊥FG，∴FC＝GC．∴∠CFE＝∠G．∴∠AFE＝∠EFC．又△AEF与△EFC均为直角三角形，∴△AEF∽△EFC．方法二：可利用“一线三等角”先证明△AEF∽△DCE，再证明△AEF∽△EFC．（教学建议：教给学生分析解决问题的方法，多角度思考问题，如要证△AEF∽△EFC，只需证什么？还缺什么条件？）例2 解题要点：构造平行，顺便复习平行线分线段成比例及三角形相似的判定定理证明的全过程。
专题03 相似三角形的存在性问题-玩转压轴题,争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品(解析版)
玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。
2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。
【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2017年湖北鄂州中考）已知，抛物线23y ax bx =++（a ＜0）与x 轴交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x =1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE =12． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12PAC ACD S S ∆∆=，求点P 的坐标； （4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．【解析】试题分析：（1）由对称轴求出B 的坐标，由待定系数法求出抛物线解析式，即可得出顶点D 的坐标；（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理证出△ACD 为直角三角形，∠ACD =90°．得出AD 为△ACD 外接圆的直径，再证明△AED 为直角三角形，∠ADE =90°．得出AD ⊥DE ，即可得出结论；（3）求出直线AC 的解析式，再求出线段AD 的中点N 的坐标，过点N 作NP ∥AC ，交抛物线于点P ，求出直线NP 的解析式，与抛物线联立，即可得出答案；学=科网（4）由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案．试题解析：（1）∵抛物线的对称轴是直线x =1，点A （3，0），∴根据抛物线的对称性知点B 的坐标为（﹣1，0），OA =3，将A （3，0），B （﹣1，0）代入抛物线解析式中得： 9330{30a b a b ++=-+=，解得： 1{ 2a b =-=，∴抛物线解析式为223y x x =-++；当x =1时，y =4，∴顶点D （1，4）．（3）设直线AC 的解析式为y =kx +b ，根据题意得： 30{ 3k b b +==，解得： 1{ 3k b =-=，∴直线AC 的解析式为y =﹣x +3，∵A （3，0），D （1，4），∴线段AD 的中点N 的坐标为（2，2），过点N 作NP ∥AC ，交抛物线于点P ，设直线NP 的解析式为y =﹣x +c ，则﹣2+c =2，解得：c =4，∴直线NP 的解析式为y =﹣x +4，由y =﹣x+4，y=﹣x2+2x+3联立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，解得：x x，∴y y∴P，；（4）分三种情况：①M恰好为原点，满足△CMB∽△ACD，M（0，0）；②M在x轴正半轴上，△MCB∽△ACD，此时M（9，0）；③M在y轴负半轴上，△CBM∽△ACD，此时M（0，﹣13）；综上所述，点M的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣13）．【名师点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、相似三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．【举一反三】（2017年山东省济宁附中二模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，（点A 在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD．（1）求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标；（2）如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判断四边形DMD′N的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D′恰好落在x轴上？（3）在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．学科！网（3）由△ABD为等腰直角三角形及△PBD与△ABD相似且不全等，知△PBD是以BD为斜边的等腰直角三角形，结合图形即可得答案．解：（1）将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：10{423b cb c--+=-++=，解得：2{3bc==，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x=1，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0）、C（2，3）代入y=kx+b，得：{23k bk b-+=+=，解得：1{1kb==，∴直线AC的函数解析式为y=x+1，又∵点D是直线AC与抛物线的对称轴的交点，∴x D=1，y D=1+1=2，∴点D的坐标为（1，2）．（2）四边形DMD′N是正方形，理由如下：∵抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，∴令y=0，得﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=1+3=4，而AD2+BD2=AB2，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠DBA=45°，∠ADB=90°，由翻折可知：D′M=DM、DN=ND′，又∵DM=DN，∴四边形MDND′为菱形，∵∠MDN=90°，∴四边形MDND′是正方形；设DM=DN=t，当点D落在x轴上的点D′处时，∵四边形MDND′为正方形，∴∠D′NB=90°，在Rt△D′NB中，D′N=t，t，BD′=2，∴t2+（t）2=22，∴t1=t2时，点D恰好落在x轴上的D′处．（3）存在，如图，由（2）知△ABD为等腰直角三角形，∵△PBD与△ABD相似，且不全等，∴△PBD是以BD为斜边的等腰直角三角形，∴点P的坐标为（1，0）或（2，3）．点睛：本题主要考查二次函数综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、翻折的性质、等腰直角三角形的判定好性质、正方形的判定与性质及勾股定理是解题的关键.类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2017年广东省深圳市模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线2=++经过O，D，C三点.y ax bx c(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；试题解析：（1）∵四边形ABCO 为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10，由题意，得△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD ，由勾股定理易得EO=6，∴AE=10﹣6=4，设AD=x ，则BD=ED=8﹣x ，由勾股定理，得()22248x x +=﹣ ， 解得，x=3，∴AD=3，∵抛物线2y ax bx c =++过点D （3, 10），C （8, 0），O （0, 0）， ∴9310{ 6480a b a b +=+=，解得 23{ 163a b =-=， ∴抛物线的解析式为： 221633y x x =-+；（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5，而CQ=t ，EP=2t ，∴PC=10﹣2t ，当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC， ∴CQ CP AE DE =，即 10245t t -=， 解得4013t =， 当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC， ∴PC CQ AE DE =，即 10245t t -=， 解得257t =， 学科=网 ∴当4013t =或257t =时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似； （3）假设存在符合条件的M 、N 点，分两种情况讨论：①EC 为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC 中点，若四边形MENC 是平行四边形，那么M 点必为抛物线顶点； 则： 3243M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN 必被EC 中点（4，3）平分，则1443N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ②EC 为平行四边形的边，则EC//MN ，EC =MN ，设N （4，m ），则M （4﹣8，m+6）或M （4+8，m ﹣6）；将M （﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N （4，﹣38）、M （﹣4，﹣32）；将M （12，m ﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N （4，﹣26）、M （12，﹣32）；综上，存在符合条件的M 、N 点，且它们的坐标为：①()1432M --，， ()1438N -，； ②()21232M -，， 2(426N -，）； ③33243M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 31443N ⎛⎫-⎪⎝⎭，． 【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．【举一反三】（2017年云南昆明市官渡区一中模拟）如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,二次函数y=0.5x 2+bx+c 的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B 、C 两点,与x 轴交于D 、E 两点,且D 点坐标为（1,0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在在x 轴上有一动点P ，从O 点出发以每秒1个单位的速度沿x 轴向右运动，是否存在动点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 运动时间t 的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P 在x 轴上，动点Q 在射线AC 上，同时从A 点出发，点P 沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q 以每秒a 个单位的速度沿射线AC 运动，是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△AB D 相似？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．【解析】试题分析：（1）根据一次函数的解析式可找出点B 的坐标，再根据点A 、D 的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）假设存在，则点P 的坐标为（t ，0）．联立直线与抛物线解析式成方程组，解方程组求出点C 的坐标，根据点B 、P 的坐标利用两点间的距离公式即可求出PB 、PC 、BC 的长度，再利用勾股定理即可得出关于t 的一元二次方程，解方程即可得出结论；（3）假设存在，则AP=2t ，AQ=at ．由一次函数解析式即可找出点A 的坐标，结合点B 、D 的坐标即可得出AB 、AD 的长度，分△PAQ ∽BAD 和△PAQ ∽△DAB 两种情况考虑，根据相似三角形的性质即可得出关于a 的一元一次方程，解方程即可求出a 值，此题得解．试题解析：(1)将B(0,1),D(1,0)的坐标代入y=12x2+bx+c ， 得： 1{ 102c b c =++=， 解得： 3{ 21b c =-=， 故解析式为213y x x 122=-+； (2)设符合条件的点P 存在,令P(a,0):当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ；∵Rt△BOP∽Rt△PCF，∴BO OP PF CF=，即143aa=-，整理得a2−4a+3=0，解得a=1或a=3；故可得t=1或3.(3)存在符合条件的t值，使△APQ与△ABD相似，①当△APQ∽△ABD时, AP AQ AB AD=，解得：②当△APQ∽△ADB时, AP AQ AD AB=，解得：∴存在符合条件的a值,使△APQ与△ABD相似类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2017年江苏省徐州市中考数学模拟）如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=12，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．【解析】试题分析：（1）①根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据配方法，可得顶点坐标；根据解方程组，可得C点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标；②根据菱形的性质，可得G点坐标，根据平行四边形的判定，可得答案；（2）根据待定系数法，可得b与a的关系，根据配方法，可得顶点坐标，根据平行线分线段成比例，可得OH的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据相似三角形的对应角相等，可得∠FCD=90°，根据相思三角形的性质，可得关于a的方程，根据抛物线的开口向上，可得a的值．试题解析：（1）①如图1，，当a=12时，将B点坐标代入，得y=12x2﹣2x=12（x﹣2）2﹣2顶点坐标为（2，﹣2）；当m=﹣2时，一次函数的解析式为y=12x﹣2．联立抛物线与直线，得1 2x2﹣2x=12x﹣2，解得x=1，当x=1时，y=﹣32，即C点坐标为（1，﹣32）．当x=2时，y=﹣1，即D点坐标为（2，﹣1）；②假设存在G点，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形是平行四边形．则CG与DF互相平分，而EF是抛物线的对称轴，且点G在抛物线上∴CG⊥DF，∴DCFG是菱形，∴点C关于EF的对称点G（3，﹣32）．设DF与CG与DF相交于O′点，则DO′=O′F=12，CO′=O′G=1，∴四边形DCFG是平行四边形．∴抛物线y=ax2+bx上存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形，点G的坐标为（3，﹣32）；（2）如图2，，∵抛物线y=ax2+bx的图象过（4，0）点，16a+4b=0，∴b=﹣4a．∴y=ax2+bx=ax2﹣4ax=a（x﹣2）2﹣4a的对称轴是x=2，∴F点坐标为（2，﹣4a）．∵三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3，BC：AC=3：1．过点C作CH⊥OB于H，过点F作FG∥OB，FG与HC交于G点．则四边形FGHE是矩形．由HC∥OA，得BC：AC=3：1．由HB：OH=3：1，OB=4，OE=EB，得HE=1，HB=3．将C点横坐标代入y=ax2﹣4ax，得y=﹣3a．∴C（1，﹣3a），∴HC=3a，又F（2，﹣4a）．∴GH=4a，GC=a．在△BED中，∠BED=90°，若△FCD与△BED相似，则△FCD是直角三角形∵∠FDC=∠BDE＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°．∴△BHC∽△CGF，∴BH HC CG GF=，∴331aa=，∴a2=1，∴a=±1．∵a＞0，∴a=1．∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x．【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G 点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【解析】试题分析：（1）设交点式y=a （x ﹣1）（x+3），然后把B 点坐标代入求出a 即可得到抛物线解析式；（2）先解方程﹣43x 2﹣83x+4=4，解得x 1=0，x 2=﹣2，则﹣2＜m ＜0，设P （m ，﹣43 m 2﹣83m+4），G （m ，4），则可用m 表示PG ；（3）易得△DEH∽△DOB，则判定△PGB 与△BOD，由于∠PGB=∠DOB，根据相似三角形的判定方法，当PG BG OB OD = 时，△PGB∽△BOD，则△PGB∽△HED，当PG BG OD OB=时，△PGB∽△DOB，则△PGB∽△DEH，然后分别利用相似比列关于m 的方程，再解方程求出m ，从而得到满足条件的m 的值．试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）（x+3），把B （0，4）代入得a•（﹣1）•3=4，解得a=﹣43， 所以抛物线解析式为y=﹣43（x ﹣1）（x+3）， 即y=﹣43x 2﹣83x+4；（3）∵HE∥OB，∴△DEH∽△DOB，∵∠PGB=∠DOB，∴当PG BG OB OD=时，△PGB∽△BOD，则△PGB∽△HED， 即2483343m m m --=- ，整理得m 2+m=0，解得m 1=0（舍去），m 2=﹣1， 当PG BG OD OB=时，△PGB∽△DOB，则△PGB∽△DEH， 即2483334m m m --=-，整理得16m 2+23m=0，解得m 1=0（舍去），m 2=﹣2316 ， 综上所述，在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似，此时m 的值为﹣1或﹣2316．【新题训练】1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，并且与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】试题分析：（1）设抛物线的表达式为y=a （x-2）2-1（a≠0），将点C 的坐标代入即可得出答案；（2）由直线BC 的解析式知，∠OBC=∠OCB=45°．又由题意知∠EFD=∠COB=90°，所以只有△EFD∽△COB，根据这种情况求点E 的坐标即可．试题解析：（1）该抛物线的顶点坐标为()2,1-，所以该抛物线的解析式为()221y a x =--，又该抛物线过点()0,3C ，代入()221y a x =--得： 413a -=，解得1a =，故该抛物线的解析式为()22214y x x x =--=-+3．（2）假设存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．由（1）知，该抛物线的解析式是y=x 2-4x+3，即y=（x-1）（x-3），∴该抛物线与x 轴的交点坐标分别是A （1，0），B （3，0）．∵C （0，3），∴易求直线BC 的解析式为：y=-x+3．∴∠OBC=∠OCB=45°．又∵点D 是对称轴上的一点，∴D （2，1）．如图，连接DF ．∵EF ∥y 轴，∴只有∠EFD=∠COB=90°．∵以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似，∴∠DEF=∠FDE=45°，∴只有△EFD ∽△COB ．设E （x ，-x+3），则F （x ，1），∴1=x 2-4x+3，解得，当当∴E 1（、E 2（．∠EDF=90°；易知，直线AD ：y=x-1，联立抛物线的解析式有：x 2-4x+3=x-1，解得 x 1=1、x 2=4；当x=1时，y=-x+3=2；当x=4时，y=-x+3=-1；∴E 3（1，2）、E 4（4，-1）．∴综上，点E 的坐标为（1，2）或（4，-1）．点睛：本题是二次函数综合题，解题时，利用了待定系数法求二次函数的解析式．注意解答（2）时，只有△EFD∽△COB 一种情况．2．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行与y 轴的抛物线过点()1,0A 、()3,0B 和()4,6C ．（1）求抛物线的表达式．（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使ACD AEC ∽（顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并说明方向．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；（2）设出D ，E 坐标，根据平移，用k 表示出平移后的抛物线解析式，利用坐标轴上点的特点得出m+n=16，mn=63-2k ，进而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出k（2）设点(),0D m ， (),0E n ．∵()1,0A ，∴ 1AD m =-， 1AE n =-．由（1）知，抛物线的解析式为()22286222y x x x =-+=--． ∴将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，得到()22262y x =---，即()2282y x =-=．∴再沿y 轴方向平移k 个单位，则()2282y x k =---；令0y =，则()22820x k ---=，∴22321260x x k -+-=． ∴16m n +=， 632k mn =-（韦达定理）． ∵()1,0A ， ()4,6C ， ∴()22412645AC =-⨯+=． ∵ACD ∽AEC ， ∴AC AD AE AC=， ∴2AC AD AE =⋅．∴()()()45111m n mn m n =--=-++， ∴45631612k =--+． ∴k=6，即：k=6，向下平移6个单位．3．已知：关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 经过点（﹣1，0）和（2，6）．（1）求b 和c 的值．（2）若点A （n ，y 1），B （n+1，y 2），C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n ，使123111310y y y ++=？若存在，请求出n ；若不存在，请说明理由． （3）若点P 是二次函数图象在y 轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x 沿y 轴向下平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，请求出所有符合条件点P 的坐标．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）求出y 1，y 2，y 3代入解方程即可解决问题，注意运算技巧．（3）当D 为直角顶点时，由图象可知不存在点P ，使得△PCD 为直角三角形，当C 为直角顶点，CD 为直角边时，作PE ⊥OC 于E ．分两种情形①CD=2PC ，②PC=2CD ，设直线y=-2x 向下平移m 个单位，则直线CD 解析式为y=-2x-m ，求出点P 坐标（用m 表示），代入抛物线解析式即可解决问题．试题解析：（1）把（-1，0）和（2，6）代入y=x 2+bx+c 中，得10{ 426b c b c -+++＝＝，解得1{ 0b c ＝＝， ∴b=1，c=0．（3）当D 为直角顶点时，由图象可知不存在点P ，使得△PCD 为直角三角形，当C 为直角顶点，CD 为直角边时，作PE ⊥OC 于E ．设直线y=-2x 向下平移m 个单位，则直线CD 解析式为y=-2x-m ， ∴点D 坐标（0，-m ），点C 坐标（-2m ，0）， ∴OD=m ，OC=2m ， ∴OD=20C ，∵△PCD 与△OCD 相似，∴CD=2PC 或PC=2CD ，①当CD=2PC 时，∵∠PCD=90°，∴∠PCE+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，∴∠PCE=∠CDO ，∵∠PEC=∠COD=90°，∴△COD ∽△PEC ， ∴2CD OD CO PC EC PE===， ∴EC=2m ，PE=4m ， ∴点P 坐标（-m ，-4m ），代入y=x 2+x ， 得-4m =m 2-m ，解得m=34或（0舍弃） ∴点P 坐标（-34，-316）． ②PC=2CD 时，由12CD OD CO PC EC PE ===， ∴EC=2m ，PE=m ，∴点P 坐标（-52m ，-m ），代入y=x 2+x ，得-m=254m 2-52m ， 解得m=625和（0舍弃），∴点P 坐标（-35，-625）．4．如图，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ． （1）a = ； b = ；学-科网（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ， ①求线段PQ 的最大值；②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．【解析】试题分析：（1）设交点式y=a （x+1）（x-4），再展开可得到-4a=2，解得a=-12，即可得到b 的值； （2）①作PN ⊥x 轴于N ，交BC 于M ，如图，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=-12x+2，设P （t ，-12t 2+32t+2），则M （t ，-12t+2），用t 表示出PM=-12t 2+2t ，再证明△PQM ∽△BOC ，利用相似比得到2，然后利用二次函数的性质解决问题；②讨论：当∠PCQ=∠OBC 时，△PCQ ∽△CBO ，PC ∥x 轴，利用对称性可确定此时P 点坐标；当∠CPQ=∠OBC 时，△CPQ ∽△CBO ，则∠CPQ=∠MPQ ，所以△PCM 为等腰三角形，则PC=PM ，利用两点间的距离公式得到t 2+（-12t 2+32t+2-2）2=（-12t 2+2t ）2，然后解方程求出t 得到此时P 点坐标．试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a(x+1)(x −4)， 即y=ax 2−3ax −4a ， 则−4a=2,解得a=−12， 则b=-3a=32； （2）(2)①作PN ⊥x 轴于N ，交BC 于M ，如图，当x=0时，y=-12x 2+32x+2=2，则C(0，2)， 设直线BC 的解析式为y=mx+n ，把C(0，2)，B(4，0)得2{ 40n m n =+=，解得1{ 22m n =-=，∴直线BC 的解析式为y=12-x+2， 设P(t ， 12-t 2+32t+2)，则M(t ， 12-t+2)， ∴PM=−12t 2+32t+2−(−12t+2)=− 12t 2+2t ，∵∠NBM=∠NPQ ， ∴△PQM ∽△BOC ， ∴=PQ PM OB BC ，即， ∴PQ=2−2)2∴当t=2时，线段PQ②当∠PCQ=∠OBC 时,△PCQ ∽△CBO ， 此时PC ∥OB,点P 和点C 关于直线x=32对称， ∴此时P 点坐标为(3，2)； 当∠CPQ=∠OBC 时，△CPQ ∽△CBO ， ∵∠OBC=∠NPQ ， ∴∠CPQ=∠MPQ ，而PQ ⊥CM ，∴△PCM 为等腰三角形， ∴PC=PM ，∴t 2+(−12t 2+32t+2−2)2=(−12t 2+2t)2，解得t=32，此时P 点坐标为(32， 258)，综上所述,满足条件的P 点坐标为(3，2)或(32， 258). 点睛：本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；能运用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系；能利用分类讨论的思想解决数学问题.5．如图，抛物线28y ax bx =+-交x 轴于A ， B 两点，交y 轴于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称交于点E ，连接CE ，点A ， D 的坐标分别为()2,0-， ()6,8-． （1）求抛物线的解析式，并分别求出点B 和点E 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点F ，使FOE ≌FCE ，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式和直线DE 的解析式，利用配方法求抛物线的对称轴，即点E 的横坐标为x=3，代入直线DE 中可求得E 的纵坐标，根据对称性求得点B 的坐标； （2）如图，根据△FOE ≌△FCE ，对应边相等，得FC=FO ，所以F 在OC 的中垂线上，点F 纵坐标为-4，代入抛物线后求得点F 的坐标试题解析：（1）∵抛物线28y ax bx =+-经过点()2,0A -， ()6,8D -，∴4280{36688a b a b --=+-=-，计算得出1{23a b ==-，∴抛物线的函数表达式21382y x x =--， ∵()221125383222y x x x ==-=--，∴抛物线的对称轴为直线3x =．又抛物线与x 轴交于A ， B 两点，点A 的坐标为()2,0-． ∴点B 的坐标为()8,0，设直线l 的函数表达式为y kx =． ∵点()6,8D -，计算得出43k =-， ∴直线l 的函数表达式为43y x =-， ∵点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点， ∴点E 的横坐标为3，纵坐标不4343-⨯=-， ∴点E 的坐标为()3,4-．6．已知直线y=2x ﹣5与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，抛物线y=﹣x 2+bx+c 的顶点M 在直线AB 上，且抛物线与直线AB 的另一个交点为N ．（1）如图，当点M 与点A 重合时，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求点N 的坐标和线段MN 的长；（3）抛物线y=﹣x 2+bx+c 在直线AB 上平移，是否存在点M ，使得△OMN 与△AO B 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】试题分析：（1）①首先求得直线与x轴，y轴的交点坐标，利用二次函数的对称轴的公式即可求解；②N在直线上同时在二次函数上，因而设N的横坐标是a，则在两个函数上对应的点的纵坐标相同，据此即可求得a的值，即N的坐标，过N作NC⊥x轴，垂足为C，利用勾股定理即可求得MN的长；（2）△AOB的三边长可以求得OB=2OA，AB y=-x2+bx+c在直线AB上平移，则MN的长度不变，根据（1）的结果是MN是AB边上的高的二倍，当OM⊥AB或ON⊥AB时，两个三角形相似，据此即可求得M的坐标．试题解析：（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，∴A(52，0)，B（0，-5）．当顶点M与点A重合时，∴M(52，0)．∴抛物线的解析式是：y＝−(x−52)2．即y＝−x2+5x−254．②∵N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线y＝−x2+5x−254上，∴2a−5＝−a2+5a−254．解得a1＝12，a2＝52（舍去）∴N(12，−4)．过N作NC⊥x轴，垂足为C．∵N(12，−4)，∴C(12，0)．∴NC=4．MC＝OM−OC＝52−12＝2．∴MN ； （2）设M （m ，2m -5），N （n ，2n -5）． ∵A (52，0)，B （0，-5），∴OA=52，OB=5，则OB=2OA ，2=， 当∠MON =90°时，∵AB≠MN ，且MN 和AB 边上的高相等，因此△OMN 与△AOB 不能全等， ∴△OMN 与△AOB 不相似，不满足题意．当∠OMN =90°时，OA OMOB MN ＝，即12，解得则m 2+（2m -5）2=2，解得m =2，∴M （2，-1）；当∠ONM =90°时，OA ON OB MN ＝，即12ON MN＝，解得ON则n 2+（2n -5）2=2，解得n =2， ∵OM 2=ON 2+MN 2，即m 2+（2m -5）2=5+（2，解得：m =4，则M 的坐标是M （4，3）．故M 的坐标是：（2，-1）或（4，3）．【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，注意到MN 是AB 边上的高的二倍，当OM ⊥AB 或ON ⊥AB 时，两个三角形相似是解题的关键．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立直线与抛物线解析式，解方程组，可求得B、C的坐标；（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、BC和AC的长，可判定△ABC为直角三角形，且可得=，可证得结论；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），从而可表示出OM和PM的长，分=和=两种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，∴A（1，1），联立直线与抛物线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）证明：∵A（1，1），B（2，0），C（﹣1，﹣3），∴AB==，BC==3，AC==2，∴AB2+BC2=2+18=20=AC2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴∠ABC=∠ODC，∵C（﹣1，﹣3），∴OD=1，CD=3，∴==，∴△ODC∽△ABC；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），∴OM=|x|，PM=|﹣x2+2x|，∵∠OMP=∠ABC=90°，∴当以△OPM与△ABC相似时，有=或=两种情况，①当=时，则=，解得x=或x=，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；②当=时，则=，解得x=5或x=﹣1（与C点重合，舍去），此时P点坐标为（5，﹣15）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（5，﹣15）．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得=，求出PM，根据△BPQ的面积y=•BQ•PM计算即可问题．（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得=，由此只要求出GH即可解决问题．【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．∵△ABE∽△MPB，∴=，∴=，∴PM=t，当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=•BQ•PM=•2t•t=t2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P在BE上时，点C在C处时，∵BE=BC=10，∴当AE=AP=6时，△PQB与△ABE相似，∴t=6．②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．③当点P在DC上时，设PC=a，当=时，∴=，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．（4）如图3中，设EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴m=，在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+或﹣8﹣（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°，∴B、I、C、G四点共圆，∴∠BGH=∠BCI，∵∠GBF=∠HBI，∴∠GBH=∠CBI，∴△GBH∽△CBI，（也可以先证明△BFI∽△GFC，想办法推出△GFB∽△CFI，推出∠BGH=∠BCI）∴=，∴=，∴IC=﹣．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B．点C （5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x=1，∴﹣=1，解得a=，把A点坐标代入可得+1+c=0，解得c=﹣，∴抛物线表达式为y=x2﹣x﹣，∵y=x2﹣x﹣=（x﹣1）2﹣2，。
2018届初三中考数学专题复习-相似三角形--专项训练题-含答案
2018届初三中考数学专题复习 相似三角形 专项训练题An 2 AE在厶 ABC 中，DE // BC ,若DB = 3,则=(2.如图，在厶ABC 中, DE// BC, MN // AB ，则图中与厶ABC 相似的三角形有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. 如图，四边形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O ,且将这个四边形分成①，②, ③，④四个三角形.若 OA ： OC= OB ： OD,贝卩下列结论中一定正确的是（）A .①和②相似B .①和③相似C .①和④相似D .②和④相似4. 在Rt A ABC 和 Rt A A ' B ' C 中，/ C =Z C' = 90° ,若添加一个条件，使得 Rt △ ABC s Rg A ' B ' C ,则下列条件中不符合要求的是（）1.如图,A-iB -2 D -3 ACA . /A = Z A B. ZB = Z BAB _ AC AB _ AC C A B^A Z C D A C B f C5. 如图，在△ ABC 中，AD 是中线，BC = 8,/ B =Z DAC ，则线段AC 的长为（A . 4B . 4 2() A . 2 : 3B. 2 : 3C . 4 : 9D . 8 : 27AB 27. 已知△ ABC A B ，,厂亍3, AB 边上的中线 CD = 4 cm,贝卩A B &上的中线8. 如图，点D , E 分别是△ ABC 的边AB, BC 上的点，且DE// AC, AE, CD 相交于点O ,若 S DOE • S COA = 1 • 25 ,则 S BDE 与 S CDE 的比是(6. 如果两个相似三角形对应边的比为 2 : 3,那么这两个相似三角形面积的比是6 cmB.8 cmC . 8 cmD . 12 cmC . 6D . 4 3A. 1 :3 B .1 ：BA为15米，然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（出□C A BA.10 米B .点 O ,右 Sx DOE :乐CQA = 1 : 25，贝S Sx BDE 与 S^CDE 的比是()的长为则当B‘ C已知/ ACB = Z ABD = 90° , AB = .6, AC = 2,贝S AD =1如图，在?ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F , DE = 2CD.时, 图中两直角三角形相似.DA . 1 : 3B . 1 ：4 11.如图，已知AB// CD//果 AC ： CN3 : 5, BF = 9,C . 1 : 5D . 1 : 25EF,它们依次交直线l i , I 2于点A , C, E 和点B, D, F ,如 那么DF =12. 如图，AB// CD, AD 与BC 交于点O , 已知AB = 4, CD= 3, OD= 2,那么线段 OA14.15. R \D时，△ ABC^A A B‘ C .13.中，A B'= 1, C A'= 2,(1)求证：△ ABFCEB;参考答案:1---10 CCBDB CABAB12. 13. 1.5 14. 3 2或 315. 解：(1) T 四边形 ABCD^平行四边形，二 AB// CD / A =Z C,「./ ABF =Z E ,•••△ ABF^A CEB(2) v AB// CD •△ ABF ^A DEF ,由(1)知，△ ABF ^A CEBABF ^A CE 盼DEFDE 2 1 2 1 . rilil△ DEF 二 =(二I =(;) — , .・ CEB — 9x 2— 18,同理可得 S ^ABF — 2x 4— 8,•S ^ CEB EC 3 911. 45 ~8S?ABCD= S^ABF+ S^ CEB一S^ DEF—18 + 8-2 —24。
2018中考相似三角形汇编
2018中考数学试题分类汇编：考点36 相似三角形一．选择题（共28小题）1．（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元2．（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．： B．2：3 C．4：9 D．8：273．（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm4．（2018•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：95．（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．166．（2017•重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：17．（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．（2018•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．9．（2018•自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．1610．（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：111．（2018•随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．12．（2018•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=13．（2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．214．（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③15．（2018•贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S =（）△ABCA．16 B．18 C．20 D．2416．（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD 交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．217．（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．18．（2018•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．19．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG 并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1220．（2018•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S221．（2018•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．822．（2018•香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A．=B．=C．=D．=23．（2018•荆门）如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 、F 为CD 边的两个三等分点，连接AF 、BE 交于点G ，则S △EFG ：S △ABG =（ ）A ．1：3B ．3：1C ．1：9D ．9：124．（2018•达州）如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．125．（2018•南充）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP ，过点B 作BE ⊥AP 于点E ，延长CE 交AD 于点F ，过点C 作CH ⊥BE 于点G ，交AB 于点H ，连接HF ．下列结论正确的是（ ）A ．CE=B ．EF=C ．cos ∠CEP=D ．HF 2=EF•CF26．（2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m27．（2018•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺28．（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m二．填空题（共7小题）29．（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．30．（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．31．（2018•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB=1，则S△ADF的值为相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF．32．（2018•资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC 的中点，则四边形BCED的面积为．33．（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．34．（2018•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．35．（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=m．三．解答题（共15小题）37．（2018•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB 和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．39．（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．40．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．45．（2018•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB 于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．47．（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．48．（2018•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．49．（2018•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．。
2018中考相似三角形经典练习试题和的答案解析
相似三角形分类练习题(1)一、填空题1、如图,DE 是9BC 的中位线,那么4ADE 面积与z\ABC 面积之比是AD 12、如图,4ABC 中,DE//BC, AS 2且£但「8加,那么凡的= _________________________ 邮.3、如图,z^ABC 中,ZACB = 90° CD±AB,D 为垂足,AD = 8cm ,DB = 2cm ,那么 CD =cm4、如图,4ABC 中,D 、E 分别在 AC 、AB 上,且 AD:AB = AE:AC = 1:2 , BC = 5cm , WJ DE =题一 1国 颗一 2国 褒一 M 图 埋一 4图 墨一 b 图 思一 6图 题一 10国5、如图,AD 、BC 相交于点 O, AB//CD, OB = 2cm , OC=4cm , ^AOB 面积为 4.5cm 2,那么4 DOC 面积为 cm 2.6、如图,4ABC 中,AB = 7, AD =4, /B=/ACD,那么 AC =7、如果两个相似三角形对应高之比为 4:5,那么它们的面积比为 o 8、如果两个相似三角形面积之比为 1:9,那么它们对应高之比为 o9、两个相似三角形周长之比为 2:3,面积之差为10cm 2,那么它们的面积之和为 cm?.口 -S10、如图,4ABC 中,DE//BC, AD:DB=2:3,那么 皿-橙荒此前= 二、选择题1、两个相似三角形对应边之比是 1:5,那么它们的周长比是(). (A) 1：君；(B) 1:25; (C) 1:5; (D) B1.2、如果两个相似三角形的相似比为 1:4,那么它们的面积比为().(A) 1:16; (B) 1:8; (C) 1:4; (D) 1:2.锐角三角形ABC 的高CD 和高BE 相交于O,那么与ADOB 相似的三角形个数是().(B) 2; (C) 3; (D) 4.(A) 1:9; (B) 1:81 ; (C) 3:1 ; (D) l:3o三、如图,4ABC 中,DE//BC, BC = 6,梯形DBCE 面积是z\ADE 面积的2倍,求DE 长.3、如图,(A) 1;4、如图, 梯形 ABCD , AD //BC, AC 和BD 相交于O 点, 共同£皿“：品3 = 1:9,那么%8：为叼=甄二4四、如图,4ABE 中,AD:DB=5:2, AC:CE=4:3,求BF:FC的值.五、如图,直角梯形ABCD 中,ABXBC, BC //AD , BC<AD , BC = q , AB = 8 , AC LCD,求AD 〔用的式子表示〕六、如图,4ABC 中,点D 在BC 上,/DAC = /B, BD = 4, DC=5, DE//AC 交AB 于点E,求DE长.七、如图,ABCD是矩形,AH =2, HD =4, DE = 2, EC= 1 , F是BC上任一点〔F与点B、点C不重合〕,过F作EH的平行线交AB于G,设BF为# ,四边形HGFE面积为,写出?与彳的函数关系式,并指出自变量A的取值范围.相似三角形分类练习题〔2〕一、填空题ace._ = =__ =41、：b d丁,且那么&十八/=2、在一张比例尺为1:5000的地图上,某校到果园的图距为8cm ,那么学校到果园的实际距离为_______ m3、如图,4ABC 中,/ACB = 90° ,CD 是斜边AB 上的高,AD=4cm, BD = 16cm,那么CD =_______ c mo4、如图,/ACD = /B, AC= 6, AD =4,那么AB5、如图ABCD是平行四边形,F是DA延长线上一点,连CF交BD于G,交AB于E,那么图中相似三角形〔包括全等三角形在内〕共有________ 对.6、如图,MBC中,BC=15cm ,DE、FG均平行于BC且将9BC面积分成三等分,那么FG =cm.7、如图,AF //BE//CD, AF=12, BE=19, CD =28,那么FE:ED 的值等于s • s8、如图,AABC, DE //GF//BC,且AD = DG = GB,那么 '樟度翎10、如图,4ABC 重心为G, 3BC 和为BC 在BC 边上高之比为 (A) /1 = /2; (B) /2 = /C; (C) /1 = /BAC; (D) /2 =/B3、如图,AB//A' B' , BC//B' C' , AC//A' C',那么图中相似三角形组数为( (A) 5; (B) 6; (C) 7; (D) 8. BE 和CD 相交于点F, DF:FC=1:3,那么叫理：'©c = ( ) 0 三、?BC 中,AB = AC, AD 是底边BC 上高,BE 是AC 上中线,BE 和AD 相交于F, BC = 10 , AB= 13,求 BF 长.四、如图,ABFE 、EFCD 是全等的正方形,M 是CF 中点,DM 和AC 相交于N ,正方形边长为口, 求AN 的长.(用仪的式子表示)五、如图,AABC 中,AD ±BC, D 是垂足,E 是 BC 中点,FE± BC 交 AB 于 F, BD = 6, DC = 4, AB=8,求 BF 长.h p …A儿 _____ 口B zik — £ I P I Cc B t n .： n F 'MIEN*3晒 + S JI 兆V = ~~T六、如图,^ABC 中,〃 = 90° ,DEFG 是*BC 中内接矩形,AB = 3,AC = 4, 匕,求矩形DEFG 周长.AD = 3cm , BC = 6cm , CD = 4cm ,现要截出矩形 EFCG, ,设BE=x ,矩形EFCG 周长为y ,(1)写出?与工的(2)才取何值,矩形EFCG 面积等于直角梯形ABCD 的相似形〔3〕一、填空题1、如果两个相似三角形的周长比为 2:3,那么面积比为9、如图,ABCD 是正方形,E 是DC 上一点,DE:EC= 5:3, AELEF, WJ AE:EF=二、选择题1、两个相似三角形的相似比为 4:9, (A) 2:3; (B) 4:9; (C) 4:81 ;2、如图,D 是?BC 边BC 上一点, 那么这两个相似三角形的面积比为( (D) 16:81.△ABDsWAB,那么(). 4、如图,AABC 中,DE //BC, (A) 1:3; (B) 1:世 1:9; (D) 1:18.题六国七、如图,有一块直角梯形铁皮ABCD, (E 点在AB 上,与点A 、点B 不重合) 函数关系式,并指出自变量了取值范围; 5分O；(C) BE D C 0S-fE32、两个相似三角形相似比为2:3,且面积之和为13cm2,那么它们的面积分别为L3、三角形的三条边长分别为5cm , 9cm , 12cm ,那么连结各边中点所成三角形的周长为cm4、如图,PQ//BA, PQ = 6, BP=4, AB = 8,那么PC 等于AD _15、如图,4ABC 中,DE//BC, 万,、F=2cm2,贝〔J % 用地5=cm2.题T图题T图圈一6困6、如图,C为线段AB上一点,AACM > 3BN都是等边三角形,假设AC = 3, BC = 2,那么WCD与9ND面积比为7、AABC 中,〃ACB = 90° ,CD 是斜边AB 上的高,AB=4cm , AC = 2>^cm ,那么AD =cm.8、如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O, E是CD的中点,AE交BD于F,那么DF:FO=9、如图,AF //BE//CD, AB:BC=1:2, AF = 15, CD = 21,贝U BE=10、如图,DC //MN //PQ //AB, DC = 2, AB = 3.5 , DM =MP =PA,那么MN =; PQ =二、选择题1、如图,要使△ACD S/BCA,必须满足().AC _ AB CD _BC(A) CD AC; (B) AD AC; (C)AD2 = CDBD; (D)AC2=CDBC.2、如图,9BC中,CD LAB于D, DELAC于E, ZACB = 90°,那么与ABC相似的三角形个数为().(A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5.3、如图,4ABC中,D是AC中点,AF//DE,工^濡皿的小飞,那么5但；“皿=().(A) 1:2; (B) 2:3; (C) 3:4; (D) 1:1.4、如图,平行四边形ABCD中,O i、02、03为对角线BD上三点,且BO i = 01.2 = 02.3 =03D,连结AO i并延长交BC于点E,连结E03并延长交AD于F,那么AD:FD等于().(A) 19:2 ; (B) 9:1 ; (C) 8:1 ; (D) 7:1.三、如图,矩形ABCD中,AB = 10cm , BC = 12cm , E为DC中点,AFLBE于点F,求AF长.四、如图,D、E分别是9BC边AB和AC上的点,/1 = /2,求证：ADAB=AEAC.五、如图,ABCD是平行四边形,点E在边BA延长线上,连CE交AD于点F, /ECA=/D,求证：ACBE=CEAD.六、如图,4ABC 中,/ACB=90° ,BC=8, AC=12, /BCD = 30°,求线段CD 长.七、如图,等腰梯形ABCD 中,AD //BC, AB=DC = 5, AD=6, BC=12, E 在AD 上,AE = 2, F为AB上任一点(点F与点A、点B不重合),过F作EC平行线交BC于G,设BF=k,四边形EFGC面积为,,(1)写出,与二的函数关系式；(2) K取何值,EGXBCo相似三角形分类练习题(3)一、填空题1、假设纱一加二°,贝U▼=x-y _ y_ _ + ♦2、I3彳,那么丁=3、如图,/B=/ACD, u旧= 2:1,那么AC:AB =4、如图,DE//BC, AD=4cm , DE = 2cm , BC = 5cm ,贝U AB =cm5、如图,DE//BC, AD:DB=1:2,那么小DE与?BC面积之比为6、如图,梯形ABCD 中,DC //EF//AB, DE = 4, AE = 6, BC = 5,那么BF =7、如图,平行四边形 ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O, BC=18, E 为OD 中点,连结CE 并延长交AD 于F,那么DF =AD _BC _ AC _ 58、如图,AABC 和ABED 中,假设砧 1 BS DE 弓,且3BC 和z^BED 周长之差为10cm ,那么4 ABC 周长为 cm9、如图,△ACB S /ECD, AC:EC = 5:3, 1诚c = i8,那么 Me =510、如图,AABC 中,BE 平分/ABC, BD = DE, AD =万 cm , BD = 2cm,那么 BC =cm11、如图,ABCD 是平行四边形,BC = 2CE,那么用厘〜凡^^二12、如图,AABC 中,DE//BC, BE 、CD 相交于F,且用"^ =变心用,那么$山：氏皿=13、如图,4ABC 中,BC=15cm , DE 、FC 平行于BC,且将z\ABC 面积三等分,那么 DE+FC = _______ c m14、将长为^cm 的线段进行黄金分割,那么较长线段与较短线段之差为 cm115、如图,平行四边形 ABCD 中,延长AB 至ij E,使BE= 2 AB,延长CD 至U F,使DF = DC, EF 交BC 于G ,交AD 于H ,那么又期:“斑抹= 二、选择题1、如图,4ABC 中,DE//BC,那么以下等式中不成立的是〔〕2、两个相似三角形周长分别为 8和6,那么它们的面积比为〔(A) 4:3;(B) 16:9; (C) 2:仃；(D) 仃：及.3、如图,DE//BC, AB = 15 , AC = 9, BD = 4,那么 AE 长是()(A)AD _ AE AD _ AE AB = AC. g DB = EC. AD = DE DB BC .AD(D) 1-1" DEBCA题一 5图 蛊- 6徙一 i"2 22- 6-(A) 5；⑻(A) 2:1 ; (B) 2:3; (C) 4:9; (D) 5:4.5、如图,在边长为"的正方形ABCD 的一边BC 上,任取一点E,彳EF±AE 交CD 于点F,如 果BE= x , CF= ,那么用x 的代数式表示产是().y = - 一 + z y = - - x y ~x 2 + -j = x 2 + -(A) g ; (B) 口 ； (C)鼻；(D)阴.1、：3 4 6 ,求+ £的值.2、如图,菱形ABCD 边长为3 ,延长AB 至ij E 使BE=2AB ,连结EC 并延长交AD 延长线于点F, 求AF 的长.3、如图,4ABC 中,DE//BC,心皈 ：端心用觉：时=1:2 , BC =2^ ,求DE 长.4、如图,直角梯形 ABCD 中,DALAB, AB //DC , ZABC = 60° , ABC 平分线 BE 交 AD 于 E, CEXBE, BE=2,求 CD 长.5、如图,ABCD 是边长为"的正方形,E 是CD 中点,AE 和BC 的延长线相交于F, AE 垂直平 分线交AE 、BC 于H 、G,求线段FG 长.6、如图,z\ABC 中,AB>AC,边AB 上取一点D,在边AC 上取一点E,使AD=AE,直线DE BP BD=_ 的延长线和BC 延长线交于点P,求证：°尹CE o 四、(此题8分)如图,AABC 中,AB = AC, AD ±BC, D 为垂足,E 为 AC 中点,BE 交 AD 于 G, AD = 18cm , BE=15cm ,求小BC 面积.17工4、如图,DE//BC,11-B DC B控五图五、如图,4ABC中,点M在BC边上移动〔不与点B、C重合〕,作ME//CA交AB于E,作BM = xMF //BA交AC于F, S©c = 10cm2,设BC ,四边形AEMF面积为y,写出尸与x的函数关系式,并指出工取值范围.。
天津市河北区普通中学2018届初三数学中考复习 图形的相似及位似 专项练习 含答案
天津市河北区普通中学2018届初三数学中考复习 图形的相似及位似 专项练习1．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( A ) A.34 B.43 C.916 D.1692．如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线等于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( C ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B .如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为( D )A ．15B ．10 C.152D ．54．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOES △COB＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODE S △ADC ＝13.其中正确的个数有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于点E ，交AB 于点D ，连接AE ，则S △ADE ∶S △CDB 的值等于( D )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．2∶36．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( D ) A.12B ．1 C. 3 D ．27. 如图，矩形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ，AF 分别与DE ，DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为( B ) A.225 B.9220 C.324 D.4258. 如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP ，CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连接BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H .给出下列结论：①△ABE ≌△DCF ；②FP PH ＝35；③DP 2＝PH ·PB ；④S △BPD S 正方形ABCD ＝3－14.其中正确的是__①③④__．(写出所有正确结论的序号)9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点坐标分别为O (0，0)，A (2，0)，B (2，1)，C (0，1)，以坐标原点O 为位似中心，将矩形OABC 放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA 1B 1C 1，B 为对应点为B 1，且B 1在OB 的延长线上，则B 1的坐标为__(4，2)__．10．一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比为__1∶3__．11．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AB ＝6，BD ＝4，则CD 的长为__5__．12．一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0，1)，直角顶点C 的坐标为(－3，0)，∠B ＝30°，则点B 的坐标为__(－3－3，3．13．如图，已知△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB ＝2，BC ＝1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI ＝__43__.14．如图，已知EC ∥AB ，∠EDA ＝∠ABF . (1)求证：四边形ABCD 是平行四边形； (2)求证：OA 2＝OE ·OF .解：(1)∵EC ∥AB ，∴∠EDA ＝∠DAB ， ∵∠EDA ＝∠ABF ， ∴∠DAB ＝∠ABF ， ∴AD ∥BC ， ∵DC ∥AB ，∴四边形ABCD 为平行四边形 (2)∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED ，∴OA OE ＝OBOD，∵AD ∥BC ，∴△OBF ∽△ODA ，∴OB OD ＝OFOA，∴OA OE ＝OFOA，∴OA 2＝OE ·OF15．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC ︵的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线交于点F ，E ，且BF ︵＝AD ︵. (1)求证：△ADC∽△EBA；(2)如果AB ＝8，CD ＝5，求tan ∠CAD 的值．解：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA ＝∠ABE. ∵BF ︵＝AD ︵，∴∠DCA ＝∠BAE， ∴△ADC ∽△EBA(2)∵A 是BDC ︵的中点， ∴AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ＝8， ∵△ADC ∽△EBA ，∴∠CAD ＝∠AEC，DC AB ＝ACAE，即58＝8AE ，∴AE ＝645， ∴tan ∠CAD ＝tan ∠AEC ＝AC AE ＝8645＝5816．如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．解：(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD(2)设AP ＝x ，由折叠知，BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，由△AMP∽△BPQ 得AM BP ＝APBQ，即1x ＝x BQ ，∴BQ ＝x 2，由△AMP∽△CQD 得AP CD ＝AM CQ ，即x 2x ＝1CQ，∴CQ ＝2，∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋1.∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35，DF ＝DC ＝2x ，∴2x x 2＋1＝35，变形得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)，∴AB ＝617．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm.动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒3 cm 的速度向定点A 运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒2 cm的速度向点B 运动，运动时间为t 秒(0＜t ＜103)，连接MN .(1)若△BMN 与△ABC 相似，求t 的值； (2)连接AN ，CM ，若AN ⊥CM ，求t 的值．图① 图②解：(1)由题意知BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ，∴BN ＝(8－2t )cm ，BA ＝62＋82＝10(cm)，当△BMN ∽△BAC 时，BM BA ＝BN BC ，∴3t 10＝8－2t 8，解得t ＝2011；当△BMN ∽△BCA 时，BMBC＝BN BA ，∴3t 8＝8－2t 10，解得t ＝3223，∴△BMN 与△ABC 相似时，t 的值为2011或3223(2)过点M 作MD ⊥CB 于点D ，由题意得DM ＝BM ·sin B ＝3t ·610＝95t (cm)，BD ＝BM ·cos B＝3t ·810＝125t (cm)，∴CD ＝(8－125t )cm ，∵AN ⊥CM ，∠ACB ＝90°，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°，∠MCD ＋∠ACM ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCD ，∵MD ⊥CB ，∴∠MDC ＝∠ACB ＝90°，∴△CAN ∽△DCM ，∴AC CN ＝CD DM ，∴62t ＝8－125t95t ，解得t ＝1312或t ＝0(舍去)，则t 的值为1312。
2018年中考相似三角形_动点问题_分类讨论问题(培优及答案解析)
2018年中考复习 相似 动点 分类讨论1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34xh ∴=（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或BC 边上时，1A M N y S =△=211332248MNh x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴∥△∽△11AMN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△ 1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-，取163x =，8y =最大MNA86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-， 当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-． 又90COA PMA ∠=∠=°，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△， 即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，． 类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 3．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C点的坐标为()56，．∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·． （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，． ∴D 点坐标为()88，． 又∵点E 在2l 上且821684E D E Ey y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则R t R t R G B C M B△∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++． ··························································当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,（图3）（图1）（图2）∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a【答案】解： （1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a ，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．N5．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ 【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt,所以t=56,所以当t=56时, △APR ～△PRQ6．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图7-2ADOBC21MN图7-1图7-3ADOBC21MN（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥BD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求ACBD的值．【答案】解：（1）AO = BD，AO⊥BD；（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，∴△AOC ≌△BOE．∴AC = BE．又∵∠1 = 45°，∴∠ACO = ∠BEO = 135°．∴∠DEB = 45°．∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD．延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．又∵∠BOE = ∠AOC，∴△BOE ∽△AOC．∴AOBOACBE=．又∵OB = kAO，由（2）的方法易得BE = BD．∴kACBD=．10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。
2018年中考数学试题分项版解析汇编(第02期)专题5.2 图形的相似(含解析)
专题5.2 图形的相似一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．： B． 2：3 C． 4：9 D． 8：27【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 2．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A． 32 B． 8 C． 4 D． 16【来源】贵州省铜仁市2018年中考数学试题【答案】C点睛：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用．3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷【答案】B【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．【来源】黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题【答案】D【解析】分析：由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出，此题得解．详解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴，，∴．故选：D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出是解题的关键．5．如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（）A． 1：3 B． 3：1 C． 1：9 D． 9：1【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷【答案】C【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和灵活运用平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.6．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A． B． C． D． 1【来源】四川省达州市2018年中考数学试题【答案】C【解析】分析：首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得,，由此即可解决问题．点睛：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（）A． 2 B． 1 C． 4 D． 2【来源】湖南省邵阳市2018年中考数学试卷【答案】A【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．8．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A． 1 B． C．-1 D．+1【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷【答案】C【解析】【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出，结合BD=AB﹣AD即可求出的值．【详解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE=S四边形BCED，S△ABC=S△ADE+S四边形BCED，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A． B． C． D．【来源】广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题【答案】A【解析】分析：分两种情形：当A与点N、M重合时来确定b的最大与最小值即可.详解：如图1，当点A与点N重合时，CA⊥AB，∴MN是直线AB的一部分，∵N（3，1）∴OB=1，此时b=1；当点A与点M重合时，如图2，延长NM交y轴于点D，易证△MCN∽△BMD∴∵MN=3-=,DM=，CN=1∴BD=∴OB=BD-OD=-1=,即b=-，∴b的取值范围是.故选A.点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键..10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD ＝60°,则△OCE的面积是（）A． B． 2 C． D． 4【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷【答案】A【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.11．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）A． 16 B． 18 C． 20 D． 24【来源】广西壮族自治区贵港市2018年中考数学试卷【答案】B【解析】【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出S△ABC的值．【详解】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴，解得：x=2，∴S△ABC=18，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.12．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A． B． C． D．【来源】广东省2018年中考数学试题【答案】C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC 是解题的关键．二、填空题13．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．【来源】四川省资阳市2018年中考数学试卷【答案】9【解析】【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得，据此建立关于x的方程，解之可得．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．14．如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____．【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷【答案】【解析】【分析】作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，证△ADG∽△ABC得，据此知EF=DG=（4﹣x），由EG=即可求得答案．【详解】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理．15．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．【来源】上海市2018年中考数学试卷【答案】【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴BC•AH=6，∴AH==3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得x=，即正方形DEFG的边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.16．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）【来源】广西钦州市2018年中考数学试卷【答案】40【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．17．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：_____．【来源】湖南省邵阳市2018年中考数学试卷【答案】△ADF∽△ECF【解析】【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF，故答案为：△ADF∽△ECF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键.18．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．【来源】北京市2018年中考数学试卷【答案】点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.19．如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是__________．【来源】山东省菏泽市2018年中考数学试题【答案】（2，2）详解：与是以点为位似中心的位似图形，，，若点的坐标是，过点作交于点E.点的坐标为：与的相似比为，点的坐标为：即点的坐标为：故答案为：点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.三、解答题20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【来源】陕西省2018年中考数学试题【答案】河宽为17米．【解析】【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.21．已知正方形中与交于点，点在线段上，作直线交直线于,过作于,设直线交于.（1）如图，当在线段上时，求证：；（2）如图2，当在线段上，连接,当时，求证：；（3）在图3，当在线段上，连接,当时，求证：.【来源】湖南省常德市2018年中考数学试卷【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠ANH=∠OND，∴∠ANH+∠ODN=90°，∵DH⊥AE，∴∠DHM=90°，∴∠ANH+∠OAM=90°，∴∠ODN=∠OAM，∴△DON≌△AOM，∴OM=ON；∵DN⊥AE，∴▱DENM是菱形，∴DE=EN，∴∠EDN=∠END，∵EN∥BD，∴∠END=∠BDN，∴∠EDN=∠BDN，∵∠BDC=45°，∴∠BDN=22.5°，∵∠AHD=90°，∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，∵∠ABM=45°，∴∠BAM=67.5°=∠AMB，∴BM=AB；（3）设CE=a（a＞0）∵EN⊥CD，∴∠CEN=90°，∵∠ACD=45°，∴∠CNE=45°=∠ACD，∴EN=CE=a，∴CN=a，∴a=b（已舍去不符合题意的）∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，∴AN=AC﹣CN=b，∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2∴AN2=AC•CN．【点睛】本题是相似形综合题，涉及到的知识点有正方形的性质、平行四边形、菱形的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．22．如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.（1）求证：BN平分∠ABE；（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.详解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵M为BC的中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，∴∠MAB=∠EBC，又∵MB=MN，∴△MBN为等腰直角三角形，∴∠MNB=∠MBN=45°，∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；（2）设BM=CM=MN=a，∵四边形DNBC是平行四边形，∴DN=BC=2a，在△ABN和△DBN中，∵，∴△ABN≌△DBN（SAS），∴AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，解得：a=±（负值舍去），∴BC=2a=；点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．23．在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．【来源】湖北省武汉市2018年中考数学试卷【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【详解】（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN；（2）如图，过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中，tan∠PAC=，同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，∴，设AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=2b（a＞0，b＞0），∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，∴△ABP∽△CQF，∴，∴CQ==2a，（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC=，如图，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH，∴=，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC=．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，根据题意添加辅助线构造出图1中的相似三角形模型是解本题的关键．24．如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①若OE=，OG=1，求的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）【来源】湖南省邵阳市2018年中考数学试卷【答案】（1）证明见解析；（2）①；②添加AC=BD.【解析】【分析】（1）连接AC，由四个中点可知OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，据此得出OE=GF、OE//GF，即可得证；（2）①由旋转性质知OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，据此可证△OGM∽△OEN得；②连接AC、BD，根据①知△OGM∽△OEN，若要GM=EN只需使△OGM≌△OEN，添加使AC=BD的条件均可以满足此条件．【详解】（1）如图1，连接AC，（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，∴，∴△OGM∽△OEN，∴；②添加AC=BD，如图2，连接AC、BD，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OG=EF=BD、OE=GF=BD，∵AC=BD，【点睛】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是熟练掌握中位线定义及其定理、平行四边形的判定、旋转的性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识点．25．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B= °；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．【来源】江苏省淮安市2018年中考数学试题【答案】（1）15°；（2）BE=．（3）AC=20．【解析】分析：（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；详解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，∴2∠B+∠A=60°，解得，∠B=15°；（2）如图①中，（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．则有：x（x+7）=122，∴x=9或﹣16（舍去），∴AF=7+9=16，在Rt△ACF中，AC=．点睛：本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．26．在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．（1）如图1，若EF∥BC，求证：（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．【来源】湖北省黄石市2018年中考数学试卷【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）详解：（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴==；（2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立，分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，∵FN⊥AB、CH⊥AB，∴FN∥CH，∴△AFN∽△ACH，∴，∴==；（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，而==a，∴+ a =a，解得：a=，∴=×=．点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．27．（1）（发现）如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F.①若AB=6，AE=4，BD=2，则CF =________；②求证：△EBD∽△DCF.（2）（思考）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（3）（探索）如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF.设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为________（用含α的表达式表示）.【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题【答案】（1）①4；②证明见解析；（2）存在；（3）1-cosα.（1）①先求出BE的长度后发现BE=BD，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，【解析】分析：另外∠EDF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD；②证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角相似模型”，根据“AA”判定相似；（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而通过证明△BDM≅△CDN可得BD=CD；详解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，∵AE=4，∴BE=2，则BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，又∵∠EDF=60°，∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，则∠CDF =∠C=60°，∴△CDF是等边三角形，∴CF=CD=BC-BD=6-2=4；②证明：∵∠EDF=60°，∠B=60°∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，∴∠BED=∠CDF，又∵∠B=∠C，∴△EBD∽△DCF（2）存在.如图，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为M，G，N，（ 3 ）连结AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为G，D，H，则∠BGO=∠CHO=90°，∵AB=AC，O是BC的中点∴∠B=∠C，OB=OC，∴△OBG≅△OCH，∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°−α，则∠GOH=180°-（∠BOG+∠COH）=2α，∵∠EOF=∠B=α，则∠GOH=2∠EOF=2α，由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH，则 C△AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α,.点睛：本题考查了角平分线的定义，等边三角形的性质，全等三角形以及相似三角形的判定和性质等知识点．难度较大.28．如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．（1）如图②，当BC=4，DE=5，tan∠FMN=1时，求的值；（2）若tan∠FMN=，BC=4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；（3）连接CM，DN，CF，DF．试证明△FMC与△DNF全等；（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．【来源】山东省威海市2018年中考数学试题【答案】（1）；（2）可求线段AD的长；（3）证明见解析；（4）△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．（3）根据△ABC和△ADE都是直角三角形，M，N分别是AB，AE的中点，即可得到BM=CM，NA=ND，进而得出∠4=2∠1，∠5=2∠3，根据∠4=∠5，即可得到∠FMC=∠FND，再根据FM=DN，CM=NF，可得△FMC≌△DNF；（4）由BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，即可得到：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．详解：（1）∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，∴MF，NF都是△ABE的中位线，∴MF=AE=AN，NF=AB=AM，∴四边形ANFM是平行四边形，又∵AB⊥AE，∴四边形ANFM是矩形，又∵tan∠FMN=1，∴FN=FM，∴矩形ANFM是正方形，AB=AE，（2）可求线段AD的长．由（1）可得，四边形MANF为矩形，MF=AE，NF=AB，∵tan∠FMN=，即=，∴=，∵∠1=∠3，∠C=∠D=90°，∴△ABC∽△EAD，∴==，∵BC=4，∴AD=8；（3）∵BC⊥CD，DE⊥CD，∴△ABC和△ADE都是直角三角形，（4）在（3）的条件下，BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，∴图中有：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．点睛：本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及矩形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是判定全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例得出有关结论．29．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB= °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．【来源】山东省东营市2018年中考数学试题【答案】（1）75；4；（2）CD=4．详解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB=∠O AC=75°．∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴．又∵AO=3，∴OD=AO=，∴AD=AO+OD=4．∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=4．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴．∵BO：OD=1：3，∴．∵AO=3，∴EO=，∴AE=4．∵∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，AB=AC，∴AB=2BE．点睛：本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．30．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2=DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若=，求的值．【来源】云南省昆明市2018年中考数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）四边形PMBN是菱形，理由见解析；（3）（3）由于，可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，从而求出GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得，，从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC，从而可得．详解：（1）过点P作PG⊥AB于点G，∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，∴AD=PG，DP=AG，GB=PC∵∠APB=90°，∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，∴∠APG=∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴，∴PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；（2）∵DP∥AB，∴∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，∴∠PAM=∠APM，∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB∴AM=PM，PM=MB，∴PM=MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，∴四边形PMBN是菱形；又易证：△PCE∽△MAE，AM=AB=,∴∴，∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，∴.点睛：本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．1。
专题07 相似三角形的判定和性质(专题强化-基础)解析版
专题07 相似三角形的判定和性质（专题强化-基础）评卷人得分一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2018·全国初三单元测试）如图，ABC经平移得到DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（）A．3对B．4对C．5对D．6对【答案】D【解析】根据平移得到的三角形与原三角形相似，且对应边相互平行进行分析．【详解】解：根据平移的性质得，图中相似三角形有：△ABC∽△DEF∽△GEC∽△GDA，共6对．故答案选：D．【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定，注意要做到不重不漏．2．(本题4分)（2020·全国初三课时练习）下列能判定ABC A B C'''的条件是( )A．AB ACA B A C=''''B．AB ACA B A C=''''且A A'=∠C．AB A BBC A C''=''且B C'∠=∠D．AB ACA B A C=''''且B B'∠=∠【答案】B【解析】根据两三角形相似的判定方法之一：两边对就成比例，且夹角相等，两三角形相似.【详解】A只有两边对就成比例，不能判定相似；B.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；C有两对应成比例，但相等的两角一个是夹角，一个却是一边的对角，所以不能判定；D有两边对就成比例，相等的两角一边的对角，所以也不能判定两三角形相似．故选：B.【点睛】利用两边对边成比例且夹角相等判定两三角形相似来判定两三角形相似的关键在于能正确的找到成例的两条线段的夹角．3．(本题4分)（2019·山东泰山初二期末）若△ABC ∽△DEF ，相似比为4：3，则对应面积的比为（ ） A ．4：3 B ．3：4 C ．16：9 D ．9：16【答案】C【解析】直接利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵ABC DEF ∆∆∽，相似比为4:3 ∴它们的面积的比为16:9 故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质---相似三角形面积之比等于相似比的平方，属基础题，准确利用性质进行计算即可．4．(本题4分)（2020·北京大兴初三期末）如图，在△ABC 中，D ,E 两点分别在边AB ,AC 上，DE ∥BC .若:3:4DE BC =，则:ADE ABC S S ∆∆为（ ）A ．3:4B ．4:3C ．9:16D ．16:9【答案】C【解析】先证明相似，然后再根据相似的性质求解即可. 【详解】∵DE ∥BC ∴ ADEABC ∆∆∵:3:4DE BC = ∴:ADE ABC S S ∆∆=9:16 故答案为：C.【点睛】本题考查了三角形相似的性质，即相似三角形的面积之比为相似比的平方.5．(本题4分)（2020·大庆市第五十七中学初二期末）如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB ，②∠B=∠ACD ，③2AC AD AB =•，④AC ABCD BC=，其中不能判定ABC ∽ACD 的条件为（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】D【解析】由图可知△ABC 与△ACD 中∠A 为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】①∠ADC=∠ACB ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②∠B=∠ACD ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ④中∠A 不是已知的比例线段的夹角，不能判定两个三角形相似； 故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，理解和掌握相似三角形判定定理是解题的关键．6．(本题4分)（2019·安岳县李家镇初级中学初三期中）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判断ABCAED ∆∆的是( )A ．AEDB ∠=∠ B ．ADEC ∠=∠C ．AD ACAE AB= D ．AD ACDE BC= 【答案】D【解析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A 、AED B ∠=∠，∠A ＝∠A ，则可判断ABC AED ∆∆，故A 选项不符合题意；B 、∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，则可判断ABCAED ∆∆，故B 选项不符合题意；C 、ADACAE AB =且夹角∠A ＝∠A ，则可判断ABC AED ∆∆，故C 选项不符合题意； D 、ADACDEBC=，∠A ＝∠A 不是夹角对应相等，不能判断ABC AED ∆∆，故D 选项符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7．(本题4分)（2020·石家庄市第二十八中学初三一模）如图，EF 是ABC 纸片的中位线，将AEF 沿EF 所在的直线折叠，点A 落在BC 边上的点D 处，已知AEF 的面积为7，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．7B ．14C ．21D ．28【答案】B【解析】根据中位线的性质得：∆AEF~∆ABC ，12EF BC =，进而得到ABC 的面积为28，结合折叠的性质，即可得到答案．【详解】∵EF 是ABC 纸片的中位线， ∴EF ∥BC ，12EF BC =， ∴∆AEF~∆ABC ， ∴:1:4AEF ABC S S ∆∆=， ∵AEF 的面积为7， ∴ABC 的面积为28，∵将AEF 沿EF 所在的直线折叠，点A 落在BC 边上的点D 处， ∴DEF 的面积=AEF 的面积=7， ∴阴影部分的面积=28-7-7=14． 故选B ．【点睛】本题主要考查中位线的性质，折叠的性质以及相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．8．(本题4分)（2018·全国初三单元测试）如图，是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm ，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆A 端向下压( )A ．100cmB ．60cmC ．50cmD ．10cm【答案】C 【解析】试题解析：如图;AM 、BN 都与水平线垂直,即AM ∥BN ；易知：△ACM ∽△BCN ；AC AMBC BN∴=，∵杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为5:1，51AM BN ∴=，即AM =5BN ； ∴当10BN cm ≥时，50AM cm ≥；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压50cm . 故选C.9．(本题4分)（2017·扬州市翠岗中学中考模拟）如图，点A （1，2）在反比例函数(0)ky x x=>上，B 为反比例函数图象上一点，不与A 重合，当以OB 为直径的圆经过A 点，点B 的坐标为（ )A ．（2，1）B ．（3，23） C ．（4，12） D ．(5,25) 【答案】C 【解析】求得解析式2y x =，设B （m ，2n ），如图，证△AOC～△BAD 得AC OC BD AD=，即12212m m=--，求得m 的值即可. 解：将点A （1，2）代入k y x=，得：k=2，则反比例函数为2y x =，设B （m ，2n），如图所示，连接AB ，过点A 作x 轴的平行线，交y 轴于点C ，过点B 作y 轴的平行线，交直线AC于点D ，则∠OCA=∠D=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∵OB为圆的直径，∴∠OAB=90°，∴∠OAC+∠BAD=90°，∴∠AOC+∠BAD，则△AOC～△BAD，∴AC OC BD AD=，即12212mm=--，解得：m=1（舍去）或m=4，则点B（4，12），故选C.“点睛”本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及相似三角形的判定与性质、圆周角定理，根据相似三角形的判定与性质建立方程是解题的关键.10．(本题4分)（2019·湖南洪江初三一模）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【答案】B【解析】结合已知条件可以推出两三角形相似，以及它们的相似比，根据相似三角形的性质，即可得出面积比．【详解】∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE ：S △ABC ＝（AD AB）2， ∵12AD AB =， ∴S △ADE ：S △ABC ＝（AD AB）2＝1：4． 故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，关键在于求证三角形相似，根据已知推出相似比．如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方. 评卷人 得分二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2019·黑龙江鸡西初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．【答案】AE EF ⊥或∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC （任填一个即可） 【解析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】∵矩形ABCD ， ∴∠ABE ＝∠ECF ＝90︒，∴添加∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ， ∴△ABE ∽△ECF ，故答案为：∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．12．(本题5分)（2019·全国初三课时练习）在A B C '''和ABC △中，70A ∠=︒，65C =︒∠，70A '∠=︒，45B '∠=︒，则A B C '''与ABC △是否相似？______，理由是______．【答案】相似 一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似【解析】首先由三角形内角和定理求出∠B ，然后根据相似三角形的判定定理进行解答. 【详解】解：∵70A ∠=︒，65C =︒∠， ∴∠B ＝180°－70°－65°＝45°，∴70A A '∠=∠=︒，45B B '∠=∠=︒， ∴A B C ABC '''△，理由是：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似； 故答案为：相似，一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.13．(本题5分)（2019·黑龙江绥化初三三模）如图，△ABC 的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC 相似但不全等的△DEF （△DEF 的顶点在格点上），则△DEF 的三边长分别是___．【答案】2，2，10．【解析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案． 【详解】如图所示：△ABC ∽△DEF ， DF ＝2，ED ＝2，EF ＝10． 故答案为：2，2，10．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确运用勾股定理进行计算是解题关键．14．(本题5分)（2018·河南安阳中考模拟）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，直线DE 垂直平分BF ，垂足为D ．当△ACF 是直角三角形时，BD 的长为_____．【答案】2或7 8【解析】分两种情况讨论：（1）当AFC90∠︒＝时，AF BC⊥，利用等腰三角形的三线合一性质和垂直平分线的性质可解；（2）当CAF 90＝∠︒时，过点A作AM BC⊥于点M，证明AMC FAC∽，列比例式求出FC，从而得BF，再利用垂直平分线的性质得BD．【详解】解：（1）当AFC90∠︒＝时，AF BC⊥，142AB ACBF BC BF=∴=∴=∵DE垂直平分BF，8122BCBD BF=∴==.（2）当CAF90＝∠︒时，过点A作AM BC⊥于点M，AB AC＝BM CM＝∴在Rt AMC与Rt FAC中，AMC FAC90C C∠∠∠∠︒＝＝，＝，AMC FAC∴∽，AC MCFC AC=2ACFCMC∴=15,42254AC MC BCFC===∴=2578441728BF BC FCBD BF∴=-=-=∴==.故答案为2或78．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的三线合一性质和线段垂直平分线的性质定理得应用．本题难度中等．评卷人得分三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2019·全国初三课时练习）如图，AD、BC交于点O，P为AB、CD延长线的交点，且PA PB PC PD⋅=⋅．试说明：PAD PCB∽．【答案】见解析【解析】题干已经告知了PA PB PC PD⋅=⋅的关系，化成比例关系为PA PDPB PB=，可发现两对应边的夹角是公共角∠P.两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定定理去证明.【详解】证明：∵P A•PB=PC•PD（已知）∴PA PDPB PB=（比例的基本性质）∵∠APD=∠CPB（公共角）∴△P AD∽△PCB．（两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似）【点睛】本题考察了三角形相似判定定理：两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似.这里的注意是，对应成比例的两个边的夹角对应相等而不是任意的角.16．(本题8分)（2018·福建南安初三期中）在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．【答案】见解析【解析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可．【详解】证明：∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，A′B′＝18c m ，B′C′＝24cm ，A′ C′＝30cm ，∴61''183AB A B ==，81''243BC B C ==，101''303AC A C == ∴''''''AB BC ACA B B C A C == ∴△ABC ∽△A′B′C′．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 17．(本题8分)（2020·山东中区初三期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，AC ＝8，AB ＝10．求AE 的长．【答案】165． 【解析】求出AD 的长，根据△ADE ∽△ABC ，可得AD AEAB AC=，则可求出AE 的长． 【详解】解：∵AC ＝8，D 为AC 的中点， ∴AD ＝4， ∵DE ⊥AB ， ∴∠AED ＝90°， ∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AEAB AC =， ∴4108AE =， ∴AE ＝165．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形判定及其性质，熟记定理和性质是解题的关键.18．(本题8分)（2019·四川南充初三月考）如图，ABCD 中，,,,E F G H 分别在四条边上．AE AH =，BE BF =,DG DH =,22A B ECH ∠=∠=∠．（1）写出图中的相似三角形，并证明． （2）当2BE =，3DH =时，求EH 的长．【答案】（1）BEF ∆∽DGH ∆，EFC ∆∽CGH ∆．证明见解析；（2）21EH =【解析】（1）先求出BEF ∆、DGH ∆是等边三角形．从而可证BEF ∆∽DGH ∆.根据两角分别相等的两个三角形相似，可证EFC ∆∽CGH ∆.（2）设AE AH a ==．则2AB CD a ==+,3AD BC a ==+．从而可得1FC a =+,1GC a =-．利用相似三角形对应边成比例，可得EF FC CG GH =， 即得 2113a a +=-， 解出a 值并检验即得. 作AI EH ⊥于I ．则2EH EI =，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得2AE AI =，从而求出3EI AI =，继而求出,EH AE 的长.【详解】（1）解：BEF ∆∽DGH ∆，EFC ∆∽CGH ∆．证明如下： ∵ABCD 是平行四边形，∴180BAD B ∠+∠=． ∵2BAD B ∠=∠，∴120BAD ∠=,60B ∠=． ∵BE BF =，∴BEF ∆是等边三角形． 同理，DGH ∆是等边三角形． ∴BEF ∆∽DGH ∆．∵120BAD BCD ∠=∠=,560∠=， ∴4660∠+∠=． ∵34160∠+∠=∠=， ∴36∠=∠，27120∠=∠=． ∴EFC ∆∽CGH ∆．（2）解：设AE AH a ==．则2AB CD a ==+,3AD BC a ==+． ∴1FC a =+,1GC a =-．由EFC ∆∽CGH ∆，得EF FCCG GH= ∴2113a a +=- ∴(1)(1)6a a -+=． ∴27a =．取正根7a =作AI EH ⊥于I ．则2EH EI =∵120BAD ∠=, ∴830∠= ∴2AE AI = ∴3EI AI =． ∴321EH AE ==．故答案为：（1）BEF ∆∽DGH ∆，EFC ∆∽CGH ∆．证明见解析；（2）21EH =．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题．19．(本题10分)（2016·广东江门初三月考）已知：如图，∠1=∠2，AB•AC=AD•AE ．求证：∠C=∠E ．【答案】证明见解析. 【解析】分析：先根据AB•AC=AD•AE 可得出=AB AEAD AC，再由∠1=∠2可得出△ABE ∽△ADC ，由相似三角形的对应角相等即可得出结论．详解：证明：在△ABE 和△ADC 中， ∵AB •AC=AD •AE ，∴=AB AEAD AC， 又∵∠1=∠2， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴∠C=∠E ．点睛：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．20．(本题10分)（2020·福建漳州初三二模）在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，以CA 为边在ACB ∠的另一侧作ACM ACB ∠=∠，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE BD =，连接AD DE AE 、、．（1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，直接写出ADE ∠的度数；（2）如图2，当点D 落在线段BC （不含边界）上时，AC 与DE 于点F ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若6AB =，求CF 的最大值．【答案】（1）∠ADE ＝30°，理由详见解析；（2）（1）中的结论成立，证明详见解析；（3）92CF =最长 【解析】（1）利用SAS 定理证明△ABD ≌△ACE ，根据相似三角形的性质得到AD ＝AE ，∠CAE ＝∠BAD ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明； （2）同（1）的证明方法相同；（3）证明△ADF ∽△ACD ，根据相似三角形的性质得到AF ＝26AD ，求出AD 的最小值，得到AF 的最小值，求出CF 的最大值．【详解】解：（1）∠ADE ＝30︒．理由如下：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120︒，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30︒， ∵∠ACM ＝∠ACB ，∴∠ACM ＝∠ABC ， 在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，∠CAE ＝∠BAD ， ∴∠DAE ＝∠BAC ＝120︒， ∴∠ADE ＝30︒； （2）（1）中的结论成立，证明：∵∠BAC ＝120︒，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACB ＝30︒． ∵∠ACM ＝∠ACB ， ∴∠B ＝∠ACM ＝30︒． 在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE ．∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ．∴∠CAE +∠DAC ＝∠BAD +∠DAC ＝∠BAC ＝120︒．即∠DAE ＝120︒． ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝30︒； （3）∵AB ＝AC ，AB ＝6， ∴AC ＝6，∵∠ADE ＝∠ACB ＝30︒且∠DAF ＝∠CAD ， ∴△ADF ∽△ACD ． ∴AD AFAC AD=． ∴AD 2＝AF •AC ． ∴AD 2＝6AF ．∴26AD AF =．∴当AD最短时，AF最短、CF最长．当AD⊥BC时，AD最短，故AF最短、CF最长，此时132AD AB==．∴2233662ADAF===最短．∴39622 CF AC AF=-=-=最长最短．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．(本题12分)（2019·合肥市五十中学东校）如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，AF、AG与边BC的交点分别为D、E (点D不与点B重合,点E不与点C重合).(1)图中共有对相似而不全等的三角形.(2)选取其中一对进行证明.【答案】（1）3；（2）△DAE∽△DCA；证明见解析.【解析】（1）观察图形判断哪两个三角形可能相似，再根据所学知识进一步判断；（2）根据“如果两个三角形有两个角对应相等，那么这两个三角形是相似三角形”进行判断.【详解】解：(1)图中相似而不全等的三角形有：△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA，△DAE∽△DCA.故答案为3.(2)∵△ABC和△AFG是等腰直角三角形，∴∠GAF＝∠ACB，又∵△DAE 和△DCA 有一个公共角∠ADE ， ∴△DAE ∽△DCA.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.22．(本题12分)（2019·全国初三课时练习）如图，在平行四边形ABCD 中，G 是DC 的延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于点E ，F .求证：··AF AD AG BF =.【答案】证明见解析【解析】根据平行四边形性质可证DAG BFA ∠=∠，G BAF ∠=∠，得ABF GDA ∽△△，得AF BFAG AD=. 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB DC ，AD BC ∥，∴DAG BFA ∠=∠，G BAF ∠=∠，∴ABF GDA ∽△△，∴AF BFAG AD=，∴AF AD AG BF ⋅=⋅. 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.根据平行四边形性质得到对应角相等是关键.23．(本题14分)（2019·福建永安初三期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，动点M 以每秒1cm 的速度从点B 向点C 移动；同时动点N 以3cm 的速度从点C 向A 移动，当点N 到达点A 时，两点都停止移动，连接MN ，设移动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，S △MNC ＝S 四边形ABMN ？ （2）当t 为何值时，△MNC 与△ABC 相似？ 【答案】（1）t ＝2；（2）t 为65或2413【解析】（1）由题意可知：CM ＝6﹣t ，CN ＝3t ，因为S △MNC ＝S 四边形ABMN ，所以S △MNC 是△ABC 的面积一半，由此列出方程解答即可；（2）分两种情况：△MCN ∽△ACB ，△MCN ∽△BCA ，得出对应线段的比计算得出答案即可． 【详解】解：（1）∵AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴S△ABC＝24cm2，∵CM＝6﹣t，CN＝3t，S△MNC＝S四边形ABMN，∴12×3t（6﹣t）＝12，解得：t1＝2，t2＝4；∵当点N到达点A时，两点都停止移动，∴0＜t＜83，∴当t＝2时，S△MNC＝S四边形ABMN．（2）①当△MCN∽△ACB时，则MCAC＝CNCB，即68t-＝36t，解得：t＝65；②当△MCN∽△BCA时，则MCCB＝CNAC，即66t-＝38t，解得：t＝24 13，答：当t为65或2413时，△MNC与△ABC相似．【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，相似的性质，掌握三角形的面积和分类探讨是解决问题的关键．。
2018中考数学专题汇编：相似三角形 (含解析)
2018中考数学相似三角形课时练一．选择题1．（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元2．（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．163．（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4．（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：15．（2018•随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．6．（2018•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=7．（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③8．（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD 交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．29.（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．10．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG 并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1211．（2018•达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A．B．C．D．112．（2018•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（）A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF•CF二．填空题13．（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．14．（2018•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB=1，则S△ADF的值相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF为．三．解答题15．（2018•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB 和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．16．（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．17．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．18．（2018•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB 于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．19．（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．20．（2018•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．21．（2018•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．答案提示1．【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，故选：C．2．【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．故选：C．3．【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B4．【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE ：S△BFA=9：16．故选：B．5．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S 四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=．∵S△ADE =S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．故选：C．6．【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=，=，∴==．故选：D．7．【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．8．【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．9．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．10．【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG ∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．10．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．11．【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=，=，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC =S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==（）2=（）2=，∵=，∴=×=，故选：C．12．【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF•FC，故D正确，故选：D．13．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．14．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF =1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，=1，∵S△AEF=，∴S△ABC∵四边形ABCD是平行四边形，=S△ABC=，∴S△ADC∵EF∥BC，∴===，∴==，=S△ADC=×=，∴S△ADF故答案为：．15．【分析】（1）利用HL证明即可；（2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt △ABM中，tan∠ABM=．【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．16．【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．17．【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．18．【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===12，∵•AD•BD=•AB•DE，∴DE=．19．【分析】由BC∥DE，可得=，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∴=，∴AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．20．【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．21．【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE=90°，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：∵AB=BC=5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∴DF=5﹣2=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF====．。
2018届中考数学《第32课时：相似图形》同步练习(含答案) (2)
第十单元相似图形第32课时相似图形(70分)一、选择题(每题5分，共30分)1．[2017·重庆A卷]若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(A) A．3∶2 B．3∶5C．9∶4 D．4∶9【解析】因为△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高之比等于相似比”，故选A.2．[2018·中考预测]如图32－1，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(D) A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·ACD.ADAB＝ABBC【解析】在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，那么当ADAB＝ABAC时，才能使△ADB∽△ABC，不是ADAB＝ABBC.故选D.3．[2017·枣庄]如图32－2，在△ABC中，∠A＝78°，AB ＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)图32－1图32－2【解析】A ．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； D.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．故选 C.4．[2017·哈尔滨]如图32－3，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连结AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是(C)A.AD AB ＝AE ECB.AG GF ＝AE BDC.BD AD ＝CE AED.AG AF ＝AC EC图32－3 图32－45．[2017·恩施]如图32－4，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为(C)A ．6B ．8C ．10D ．12【解析】∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B.∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ，∴BD ∥EF.∵DE ∥BF ，∴四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ＝BF.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ＝AD AD ＋BD ＝58，∴BC ＝85DE ，∴CF ＝BC －BF ＝35DE ＝6，∴DE ＝10.。
相似三角形综合题(解析版)
相似三角形综合题一、解答题1．（2018·上海普陀·中考模拟）如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E 处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．【答案】（1）见解析；（2）y=4﹣x+44x-（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4【解析】【分析】（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；（2）先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=4 4x -，即可得出结论；（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出结论．【详解】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵点E是BC的中点，∴BE=CE=2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'=∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF，∴BF'=CF，EF'=EF，∵∠GEF=90°，∴GF'=GF，∴∠BGE=∠EGF，∵∠GBE=∠GEF=90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，∵∠EBG=∠C=90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，∴BG=4﹣x，∴，∴CF=44x -，由（1）知，BF'=CF=44x -，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+4 4x -当CF=4时，即：44x-=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+44x-（0≤x≤3）；（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵△AGQ与△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ=∠CEP，由（2）知，∠CEP=∠BGE，∴∠AGQ=∠BGE，由（1）知，∠BGE=∠FGE，∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，∴∠BGE=60°，∴∠BEG=30°，在Rt△BEG中，BE=2，∴BG=3，∴AG=AB﹣BG=4，②△AGQ∽△CPE，∴∠AQG=∠CEP，∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，∴EG∥AC，∴△BEG∽△BCA，∴，∴，∴BG=2，∴AG=AB﹣BG=2，即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4【点睛】本题考核知识点：相似三角形综合. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.2．（2020·全国初三专题练习）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=，则BC= ．【答案】（1）①四边形CEGF ；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG BE ；（3）3【解析】【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG CE =、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH==，设BC CD AD a ===，知AC =，由AG GH AC AH =得2AH a 3=、1DH a 3=、CH =，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD =90°，∠BCA =45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG =∠CFG =∠ECF =90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE =∠ECG =45°，∴EG =EC ，∴四边形CEGF 是正方形；②由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG =∠B =90°，∠ECG =45°，∴CG CE=，GE ∥AB ，∴AG CG BE CE ==；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE =∠ACG =α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =2、CB CA =2，∴CG CE =CA CB= ∴△ACG ∽△BCE ，∴AG CA BE CB ==∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG BE ；（3）∵∠CEF =45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC =135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC =∠BEC =135°，∴∠AGH =∠CAH =45°，∵∠CHA =∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AH AC AH CH==，设BC =CD =AD =a ，则AC a ，则由AG GHAC AH==，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CHa，∴由AG AHAC CH=2a=解得：a=BC=故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（2019·南岸·重庆第二外国语学校初三月考）如图,已知四边形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC =10cm,(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t＜2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C 止.设点P运动了t秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.【答案】（1）见解析；（2）78t=；（3）t=4秒或1.6秒或5.5秒.【解析】【分析】（1）先根据一对对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明∠B＝90°，得出四边形ABCD是矩形；（2）先过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，判定△ABP∽△BMQ，得出AB BPBM MQ=，即64843tt t=-，求得t的值即可；（3）分为三种情况讨论：当CQ＝CP＝4cm时，当PQ＝CQ＝4cm时，当QP＝CP时，分别根据等腰三角形的性质，求得BP的长，进而得到t的值．【详解】证明：（1）∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100，∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，则CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8－4t，∵∠NAB＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠NBP＝90°，∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，∴△ABP∽△BMQ，∴AB BP BM MQ=，即64 843tt t=-，解得t＝78；（3）分为三种情况：①如图1，当CQ＝CP＝4cm时，BP＝8－4＝4cm，即t＝4秒；②如图2，当PQ＝CQ＝4cm时，过Q作QM⊥BC于M，则AB∥QM，∴CE CM AC BC＝，∴4108CM＝，∴CM＝3.2（cm），∵PQ＝CQ，QM⊥CP，∴PC＝2CM＝6.4cm，∴BP＝8cm－6.4cm＝1.6cm，∴t＝1.6s；③如图3，当QP＝CP时，过P作PN⊥AC于N，则CN＝12CQ＝2，∠CNP＝∠B＝90°，∵∠PCN＝∠BCA，∴△PCN∽△ACB，∴CN CP CB AC＝，∴2810CP ＝，∴CP＝2.5cm，∴BP＝8cm－2.5cm＝5.5cm，t＝5.5s，即从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形，即t＝4秒或1.6秒或5.5秒.【点睛】本题以动点问题为背景，主要考查了四边形的综合应用，解决问题时需要运用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，解题时注意分类思想的运用．4．（2019·浙江杭州·翠苑中学中考模拟）如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，cosA ＝45，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF ⊥DE 交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE ⊥AC 时，求EF 的长； （2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，∠DFE 的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE 的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当△CQF 是等腰三角形时，请直接写出BF 的长．【答案】（1）5；（2）不变；（3）4111或3或527117. 【解析】 试题分析：（1）由已知条件易求DE =3，DF =4，再由勾股定理EF =5；（2）过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G ，由（1）可得DH =3，DG =4；再证EDH FDG ∽，即可得出结论；（3）分三种情况讨论即可.（1）∵90ACB ∠=︒，45cosA =∴45AC AB = ∵8AC =∴10AB =∵D 是AB 边的中点 ∴152AD AB == ∵DE AC ⊥∴90DEA DEC ∠=∠=︒ ∴45AE cosA AD == ∴4AE =∴844CE =-=∵在Rt AED 中，222AE DE AD +=∴3DE =∵DF DE ⊥∴90FDE ∠=︒又∵90ACB ∠=︒∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF 中，222DF DE EF +=∴5EF =（2）不变过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ⊥，DG BC ⊥∴90DHC DGC ∠=∠=︒又∵90ACB ∠=︒，∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG ∠=︒∵90FDE ∠=︒∴HDG HDF EDF HDF ∠-∠=∠-∠ 即EDH FDG ∠=∠又∵90DHE DGF ∠=∠=︒∴EDH FDG ∽ ∴34DE DH DF DG == ∵90FDE ∠=︒∴34DE tan DFE DF ∠== （3）1° 当QF QC =时，易证90DFE QFC ∠+∠=︒，即90DFC ∠=︒ 又∵90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点 ∴152CD BD AB === ∴132BF CF BC === 2° 当FQ FC =时，易证FQC DEQ DCB ∽∽∵在Rt EDF 中，34DE tan DFE DF ∠== ∴设=3DE k ，则4DF k =，5EF k =当FQ FC =时，易证3DE DQ k ==，∴53CQ k =-∵DEQ DCB ∽∴56DE DC EQ BC == ∴185EQ k =∴75FQ FC k == ∵FQC DCB ∽ ∴56FQ DC CQ BC == ∴755536k k =- 解得125117k = ∴71251755117117FC =⨯= ∴1755276117117BF =-= 3° 在BC 边上截取BK =BD =5，由勾股定理得出DK =当CF CQ =时，易证CFQ EDQ BDK ∽∽∴设=3DE k ，则3EQ k =，5EF k = ∴2FQ k =∵EDQ BDK ∽∴DEBDDQ DK ==∴DQ =∴5CQ FC ==∵CQF BDK ∽∴CQBDFQ DK ==∴552k =解得k =∴2511FC = ∴254161111BF =-=。
2018中考专题相似三角形
2018中考数学专题相似形(共40题)1.如图，△ ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BACK DAE=90, 点P为射线BD, CE的交点.(1)求证：BD=CE(2)若AB=2, AD=1,把厶ADE绕点A旋转，当/ EAC=90时，求PB的长；备用图备坪圏2.如图，直角△ ABC中，/ BAC=90，D在BC上，连接AD,作BF丄AD分别交AD 于E, AC于F.(1)如图1,若BD=BA 求证：△ ABE^A DBE;(2)如图2，若BD=4DC取AB的中点G,连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC; ② A*AF?AC圍1 亂3.如图，在锐角三角形ABC中，点D, E分别在边AC, AB上, AG丄BC于点G, AF丄DE于点F,Z EAFK GAC(1)求证：△ ADE^A ABC;4•如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE,过顶点B作BF 丄DE,垂足为F, BF分别交AC于H,交CD于G.(1)求证：BG=DE(2)若点G为CD的中点，求二的值.5. (1)如图1在正方形ABCD中，点E, F分别在BC, CD上, AE±BF于点M , 求证：AE=BF(2)如图2,将 (1 中的正方形ABCD改为矩形ABCD, AB=2 BC=3 AE±BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.置n 阖＜6. 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD AC平分/ BAD,点P是AC延长线上点，且PD丄AD.(1)证明：/ BDC=/ PDC(2)若AC与BD相交于点E, AB=1, CE CP=2 3,求AE的长.7. A ABC 和△ DEF 是两个全等的等腰直角三角形，/ BACK EDF=90, △ DEF 的 顶点E 与厶ABC 的斜边BC 的中点重合，将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线 段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1) 如图①，当点 Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^A CQE(2) 如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△ BP0A CEQ 并求当 BP=2 CQ=9时 BC 的长.8. 如图，在矩形 ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分/ DEB F 为CE 的中点, 连接AF ，BF,过点E 作EH// BC 分别交AF ，CD 于G ，H 两点.(1) 求证：DE=DC(2) 求证：AF 丄BF ;(3) 当AF?GF=28寸，请直接写出 CE 的长.9. 在Rt A ABC 中，/ BAC=90,过点B 的直线MN // AC, D 为BC 边上一点，连 接AD ，作 DE 丄AD 交MN 于点E,连接AE(1) 如图 1,当/ ABC=45时，求证：AD=DE(2) 如图2,当/ABC=30时，线段AD 与DE 有何数量关系？并请说明理由.图① 圍②10•如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB点P 从点D出发，以每秒1个单位长度沿XC-B向终点B运动，直线EP交AD 于点F,过点F作直线FG丄DE于点G,交AB于点R.(1)求证：AF=AR(2)设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2,连接PB•请直接写出使厶PRB是等腰三角形时t的值.图1 图211 •如图，正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,延长CB至点F，使CF=CA 连接AF,Z ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M，连接EO.(1) 已知BD=二求正方形ABCD的边长；(2) 猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.12.将两块全等的三角板如图1摆放，其中/ A1CB=/ ACB=90, / A = / A=30°. (1)将图1中厶A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP=CQ(2)在图2中，若AP1=a,贝U CQ等于多少？(3)将图2中厶A1B1C绕点C顺时针旋转到△ A2B2C (如图3),点P2是A2C与APi 的交点•当旋转角为多少度时，有△ AP i C sA CPP 2?这时线段CP 与P 1P 2之 间存在一个怎样的数量关系？13•把Rt A ABC 和Rt ^ DEF 按如图(1)摆放(点C 与E 重合)，点B 、C (E )、F 在同一条直线上.已知：/ ACBN EDF=90, / DEF=45, AC=8cm, BC=6cm EF=10cm 如图(2), △ DEF 从图(1)的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向厶ABC 匀速移动，在△ DEF 移动的同时，点P 从厶ABC 的顶点A 出发，以2cm/s 的 速度沿AB 向点B 匀速移动；当点P 移动到点B 时，点P 停止移动，△ DEF 也随 之停止移动.DE 与AC 交于点Q ,连接PQ,设移动时间为t (s ).(1) 用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值范围；(2) 连接PE,设四边形APEQ 的面积为y (cm 2),试探究y 的最大值;14. A ABC, / A 、/ B 、/ C 的对边分别是a 、b 、c , 一条直线DE 与边AC 相交(1)如图①，若DE 将△ ABC 分成周长相等的两部分，贝U AD+AE 等于多少；(用 a 、b 、c 表示)(2)如图②，若AC=3 AB=5, BC=4. DE 将厶ABC 分成周长、面积相等的两部 分，求AD;图1 砂 图3(3)当t 为何值时，△ APQ 是等腰三角形.于点D ,与边AB 相交于点E.(3)如图③，若DE将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE// BC,则a、b、c满足什么关系？15. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，/ PAQ=45,将/ PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角/ EBC和/FDC的平分线分别交于点M 和N,连接MN.(1) 求证：△ ABM s^ NDA;(2) 连接BD，当/BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明.16. 如图，在锐角厶ABC中，D，E分别为AB, BC中点，F为AC上一点，且/ AFE=/ A，DM / EF交AC于点M .(1)点G 在BE上，且/ BDG=/ C,求证：DG?CF=DM?EG(2)在图中，取CE上一点H,使/ CFH=/ B,若BG=1,求EH的长.17. A ABC中，AB=AC 点D、E、F分别在BC AB AC上，/ EDF=/ B.(1)如图1,求证：DE?CD=DF?BE(2)D为BC中点如图2,连接EF.①求证：ED平分/ BEF；②若四边形AEDF为菱形，求/ BAC的度数及竺的值.18. 如图，在厶ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ, 交AB于点Q，点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E,且丄Q，点GCD BD在BC延长线上，/ ACG的平分线交直线PQ于点F.(1)求证：PC=PE(2)当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形.19•如图，已知△ ABC中，AC=BC点D、E、F分别是线段AC BC AD的中点, BF、ED的延长线交于点G,连接GC(1)求证：AB=GD20•如图，在△ ABC中，D、E分别为AB AC上的点，线段BE CD相交于点O, 且/ DCB=/ EBC二/ A.2(1)求证：△ BOR A BAE(2) 求证：BD=CE(3) 若M 、N 分别是BE 、CE 的中点，过MN 的直线交AB 于P ,交AC 于Q ,线 段AP 、AQ 相等吗？为什么？21. 如图，在矩形 ABCD 和矩形 PEFG 中, AB=8, BC=6 PE=2 PG=4 PE 与 AC 交于点M , EF 与AC 交于点N ,动点P 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速 度向点B 匀速运动，伴随点P 的运动，矩形PEFG 在射线AB 上滑动；动点K 从 点P 出发沿折线PE-- EF 以每秒1个单位长的速度匀速运动.点P 、K 同时开始 运动，当点K 到达点F 时停止运动，点P 也随之停止.设点P 、K 运动的时间是 t 秒(t > 0).(1) 当 t=1 时，KE ______ , EN= ______;(2) 当t 为何值时，△ APM 的面积与厶MNE 的面积相等？(3) 当点K 到达点N 时，求出t 的值；(4) 当t 为何值时，△ PKB 是直角三角形？22. 如图(1),在厶ABC 中，AD 是BC 边的中线，过 A 点作AE// BC 与过D 点作 DE// AB 交于点E,连接CE(1) 求证：四边形ADCE 是平行四边形.(2) 连接BE, AC 分别与BE 、DE 交于点F 、G ,如图(2),若AC=6求FG的J3 G — F 貝V D23 •已知：在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是CB CD 延长线上的点，且 BE=DF 联结AE 、AF 、DE 、DE 交AB 于点M .(1)如图1,当E 、A 、F 在一直线上时，求证：点 M 为ED 中点;(2)已知，如图2,在厶ABC 中，点D 为边AC 上任意一点，连结 BD ,取BD 中 (3) 在(2)的条件下，若AB=AC AF=CD 求卑的值. Ar 1(2)如图2,点E ，F 在AB 及其延长线上，/ A=60°, AB=4, BE=3求BF 的长.第9页(共78页)点E ,连结CE 并延长CE 交边AB 于点F ，求证: BF 工AF AC(1)求证：DE// BC.(1) 求证：AD 2=BG?DH (2) 求证：CE= PG; (3) 求证:EF= HG .27. 如图，C 为线段BD 上一动点，过B 、D 分别作BD 的垂线，使AB=BC DE=DB 连接AD 、AC BE,过B 作AD 的垂线，垂足为F ,连接CE EF.（1）求证:AC?DF= :BF?BDF ,交 BD 于 H 、G.D（2）点C运动的过程中，/ CFE的度数保持不变，求出这个度数; CE// BF?并说明理由.28. 如图，在△ ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE/ BC交AC于点巳将厶ADE沿直线DE翻折，得到△ A D,E直线DA，EA分别交直线BC于点M，第10页（共78页）N .(1) 求证：DB=DM.(2) 若如=2，DE=6,求线段MN 的长.29. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A 、D 、G 在同一直线上，且 AD=3, DE=1,连接AC 、CG AE,并延长AE 交OG 于点 H .(1) 求证：/ DAE=Z DCG (2) 求线段HE 的长.30. 如图，△ ABC 中，点E 、F 分别在边AB, AC 上, BF 与CE 相交于点P ,且/ 仁/2丄/ A .(用含n 的代数式表示).DB(1)如图1,若AB=AC 求证：BE=CF(2)若图2,若AB M AC,①(1)中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：二.CE AC31 •如图1,在锐角△ ABC中，D、E分别是AB BC的中点，点F在AC上，且满足/ AFEN A, DM // EF交AC于点M .(1) 证明：DM=DA;(2) 点G在BE上，且/ BDGd C,如图2,求证：△ DES A ECF(3) 在图2中，取CE上一点H,使得/ CFHN B,若BG=5,求EH的长.32. 如图，正方形ABCD中，边长为12, DE±DC交AB于点E, DF平分/ EDC 交BC于点F,连接EF.(1)求证：EF=CF33. 如图，已知在厶ABC中，P为边AB上一点，连接CP, M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D, N为AP的中点，连接MN .若/ ACP玄ABD.(1)求证：AC?MN=BN?AP(2)若AB=3, AC=2,求AP 的长.DC34. 如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG勺对角线，点E在厶ABC 内, / CAEn Z CBE=90,当四边形ABCD和EFCG匀为正方形时，连接BF.（1）求证：△ CA0A CBF（2）若BE=1, AE=2 求CE的长.35. 如图①，矩形ABCD中, AB=2, BC=5 BP=1, Z MPN=90，将Z MPN 绕点P 从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB （或AD）于点E, PN交边AD （或CD）于点F,当PN旋转至PC处时，Z MPN的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D,此时，△ ABP △PCD（填么”或Q”；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，二丄的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.36. 如图，点M是厶ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ ABC的各边，所形成的三个小三角形△ 1、出、厶3 （图中阴影部分）的面积分别是1、4、25.则△ ABC的面积是 _____ .37. 如图，△ ABC中，/ ACB=90, AC=5, BC=12 CO丄AB于点O, D 是线段OB 上一点，DE=2 ED// AC (Z ADE< 90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.(1)求AO的长；(2)求PQ的长；(3)设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM- MQ|的值.38. 尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是厶ABC的中线, 且AF丄BE,垂足为P,设BC=a AC=b, AB=c.求证：a2+b2=5c?该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF,利用EFABC的中位线得到△ EPF^A BPA故寻書曙# ,Dr 1 A. LJL L£设PF=m PE=n用m , n把PA PB分别表示出来,再在Rt A APE Rt A BPF中利用勾股定理计算，消去m, n即可得证(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.(2)禾I」用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC, BD的交点，E, F分别为线段AO, DO 的中点，连接BE, CF并延长交于点M , BM, CM分别交AD于点G, H,如图2所示，求MG2+MH2的值.39•如图，在△ ABC 中，点D , E 分别在边AB, AC 上，/ AEDN B ,射线AG 分 别交线段D E BC 于点F , G ,且- (1)求证：△ ADF ^A ACQ长线上的任意一点，PF 交AD 于M , PE 交BC 于N , EF 交MN 于K.E, F 分别是AB, CD 的中点，P 为对角线AC 延的值.(2)若 FG坐4,求世AC ~2参考答案与试题解析（共40题）1. （2017?阿坝州）如图，△ ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BACK DAE=90,点P为射线BD, CE的交点.（1）求证：BD=CE（2）若AB=2, AD=1,把厶ADE绕点A旋转，当/ EAC=90时，求PB的长；备用囹备坪圍【解答】解：（1厂.上ABC和厶ADE是等腰直角三角形，/ BACK DAE=90，••• AB=AC AD=AE / DAB=Z CAE•••△ADB^A AEC••• BD=CE（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB- AE=1.vZ EAC=90,二CE=「；I L - ' = !,.同（1）可证△ADB^A AEC•••Z DBA=Z ECAvZ PEB=Z AEC，• △PEB^A AECPB_BEACPB_ 12PB=—L§②当点E在BA延长线上时，BE=3图二vZ EAC=90,同（1）可证△ADB^A AEC.Z DBA=Z ECAvZ BEP Z CEA.△PEB^A AECB£AC CEL-'_ 一；PB_综上所述，PB的长为二或'_ '.5 52. (2017?常德)如图，直角△ ABC中，Z BAC_90, D在BC上，连接AD,作BF 丄AD分别交AD于E，AC于F.(1)如图1,若BD_BA 求证：△ ABE^A DBE;(2)如图2，若BD_4DC取AB的中点G,连接CG交AD于M，求证：①GM_2MC;② A G_AF?AC图1亂【解答】证明：(1)在Rt A ABE和Rt A DBE中，/BA=BD 应二BE •••△ABE^A DBE(2)①过G作GH// AD交BC于H,••• AG=BG••• BH=DH••• BD=4DC设DC=1, BD=4,••• BH=DH=2••• GH// AD ,G!L-HD.2m DC r••• GM=2MC;②过C作CN丄AC交AD的延长线于N ,贝U CN// AG, •••△AGM s^ NCM ,AG..GJ/lNC MC '由①知GM=2MC ,••• 2NC=AGvZ BACK AEB=90 ,•••/ ABF=Z CAN=90 -Z BAE,•••△ACN SA BAF,AF.-ABCN ACv AB=2AGAF.2AGCN AC••• 2CN?AG=AF?C,••• A*AF?AC3. （2017?杭州）如图，在锐角三角形 ABC 中，点D , E 分别在边AC, AB 上，AG 丄 BC 于点 G , AF 丄 DE 于点 F ,Z EAF=Z GAC【解答】 解：（1）v AG 丄BC, AF 丄DE,• / AFE=/ AGC=90,vZ EAF=/ GAC ,• / AED=/ ACBvZ EAD=/ BAC ,• △ ADE^A ABC,（2）由（1）可知：△ ADE^A ABC,•坐型=1•.忑氓=5由（1）可知：Z AFE=/ AGC=90 ,• Z EAF=/ GAC ,• △ EAF^A CAQ（1）求证：△ AD3A ABC;的值.4. （2017?眉山）如图，点 E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结 DE, 过顶点B 作BF 丄DE,垂足为F , BF 分别交AC 于H ,交CD 于G.（1） 求证：BG=DE（2） 若点G 为CD 的中点，求亠的值.【解答】解：(1)v BF 丄DE,•••/ GFD=90,vZ BCG=90,Z BGC=/ DGF,•••/ CBG Z CDE在^ BCG 与△ DCE 中，ZCBG=ZCDEBC 二 CDZ BCG =Z DCE•••△ BCG^A DCE( ASA ,••• BG=DE(2)设 CG=1,v G 为CD 的中点，A GD=CG=1由(1)可知：△ BCG^A DCE( ASA ),A CG=CE=,1A 由勾股定理可知：DE=BG=儿,[••• si n/ CDE J L J-,DE GD•••GF亠,5••• AB// CG• △ABH^A CGHAB BH._2• BH= n, GH= n,w J=5GF35. （2017?可池）（1）如图1,在正方形ABCD中，点E, F分别在BC, CD上，AE丄BF于点M，求证：AE=BF（2）如图2,将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD AB=2 BC=3 AE±BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是正方形,•/ ABC2 C, AB=BC••• AE 丄BF,•/ AMB=/ BAM+/ ABM=90 ,v/ ABM+/ CBF=90,•/ BAM=/ CBF.在厶ABE ftA BCF中,AB=CB ,k ZABE=ZBCF•••△ ABE^A BCF( ASA ,••• AE=BF(2)解:AE J BF,3理由：•••四边形ABCD是矩形，•••/ ABC=/ C,••• AE 丄BF,•••/ AMB=Z BAM+Z ABM=90 ,vZ ABM+Z CBF=90,•••Z BAM=Z CBF,•••△ ABE^A BCF6. (2017?泰安)如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD AC平分Z BAD,点P是AC 延长线上一点，且PD丄AD.(1)证明：Z BDC=/ PDC(2)若AC与BD相交于点E, AB=1, CE CP=2 3,求AE的长.【解答】(1)证明：v AB=AD, AC平分Z BAD,•AC丄BD,•Z AC&Z BDC=90,••• AC=AD•••/ ACD=/ ADC,•••/ ADC+Z BDC=90,••• PD 丄AD,•••Z ADC+Z PDC=90,•••Z BDC=/ PDQ(2)解：过点C作CM丄PD于点M ,vZ BDC=/ PDC•CE=CMvZ CMP=Z ADP=90 , Z P=Z P,•△CPM^A APD,设CM=CE=xv CE CP=2 3,• PC^x,v AB=AD=AC=13r.\1\■37. (2017?天水)△ ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，/ BACKEDF=90,△ DEF的顶点E与厶ABC的斜边BC的中点重合，将厶DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△ BPE^A CQE(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△ BP0A CEQ并求当BP=2 CQ=9时BC 的长.F【解答】（1）证明：•••△ ABC是等腰直角三角形,•••/ B=Z C=45 , AB二AC，••• AP=AQ••• BP=CQ••• E是BC的中点，••• BE=CE在厶BPE ft^ CQE中，BE=CE一…厶，BP=CQ•••△ BPE^A CQE( SAS ;(2)解：DEF是两个全等的等腰直角三角形,.•./ B=Z C=Z DEF=45,vZ BEQ=/ EQC+Z C,即/ BEF+Z DEF=Z EQG Z C,.Z BEF+45°=Z EQC+450,.Z BEP Z EQC.△BPE^A CEQv BP=2 CQ=9 BE=CE.BW=18 ,.BE=CE=3 :,.BC=6：:.8. (2017?绥化)如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分Z DEB F 为CE 的中点，连接AF, BF,过点E作EH// BC分别交AF , CD于G , H两点.(1)求证：DE=DC(2)求证：AF丄BF;(3)当AF?GF=28时,请直接写出CE的长.【解答】解：(1)v四边形ABCD是矩形, ••• AB// CD,•••/ DCE=/ CEB••• EC平分/ DEB•••/ DEC=/ CEB•••/ DCE=/ DEC••• DE=DC(2)如图,连接DF ,•••DE二DC F为CE的中点,••• DF 丄EC,•••/ DFC=90 ,在矩形ABCD中 , AB二DC / ABC=90 ,••• BF=CF=EF=EC,•••/ ABFN CEB• Z DCE=/ CEB•••/ ABF=Z DCF,在厶ABFft^ DCF中,•••△ ABF ^A DCF ( SAS ,•••/ AFBN DFC=90, ••• AF 丄 BF ;(3) CE=4 ：理由如下：••• AF 丄BF,•••/ BAF+Z ABF=90,••• EH// BC,Z ABC=90,•••Z BEH=90,•••Z FEF+Z CEB=90,vZ ABF=Z CEB• Z BAF=Z FEHvZ EFG Z AFE• △ EF3A AFE_,即 EP=AF?GFEF AF v AF?GF=28• EF=2 一 ,• CE=2EF=4：9. (2017?雨城区校级自主招生)在 Rt A ABC 中,Z BAC=90 °过点B 的直线MN // AC, D 为BC 边上一点,连接 AD ，作DEX AD 交MN 于点E,连接AE.(1)如图 1,当Z ABC=45时,求证：AD 二DEBF^CF. ■:-,AB 二 DC贝U/ BDE+Z FDE=90,••• DE 丄 AD ,•••Z FDE+Z ADF=90, •••Z BDE=/ ADF, vZ BAC=90,Z ABC=45, • Z C=45, v MN // AC,• Z EBD=180-Z C=135 , vZ BFD=45 , DF 丄 BC, • Z BFD=45 , BD=DF • Z AFD=135 , • Z EBD=/ AFD,在△BDE 和△ FDA 中ZEBD=ZAFDBD 二DF ,Z BDE =Z AD ?• △ BDE^A FDA (ASA ),• AD=DE(2)解:DE=「；AD ,理由：如图2,过点D 作DG 丄BC,交AB 于点G , 贝UZ BDE F Z GDE=90 ,v DE 丄 AD , •••/ GDE+Z ADG=90,[?并请说明理由.【解答】(1)证明：如图1,过点D 作DF 丄BC,交AB 于点F ,•••/ BDE=/ ADG,vZ BAC=90,Z ABC=30,:丄 C=60,v MN // AC,•••Z EBD=180-Z C=120,vZ ABC=30, DG丄BC,•Z BGD=60,•Z AGD=120,•Z EBD=/ AGD,•△BD0A GDA在Rf B DG中，一希30 =_ ,• DE= 'AD.10. （2017?深圳模拟）如图1,边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D^C^B向终点B运动，直线EP交AD于点F,过点F作直线FG丄DE于点G,交AB于点R.(1) 求证：AF=AR（2）设点P 运动的时间为t ,①求当t 为何值时，四边形PRBC 是矩形?【解答】(1)证明：如图，在正方形 ABCD 中，AD=AB=2 ••• AE=AB ••• AD=AE•••/ AED=/ ADE=45, 又••• FG 丄 DE,•••在 RtAEGR 中,/ GER / GRE=45, •••在 RtAARF 中,/ FRANAFR=45, • / FRA=/ RFA=45, • AF=AR（2）解：①如图，当四边形PRBC 是矩形时, 贝U 有 PR// BC, • AF / PR,• △ EAF^A ERPAF EAAR 2AF -二由2 '2 ~2+AR ，解得：匕-1- 或（不合题意，舍去），I '「 I 7,•••点P 从点D 出发，以每秒1个单位长度沿D^CF 向终点B 运动,（秒）;②如图2,连接PB •请直接写出使厶PRB 是等腰三角形时t 的值.即:(1)得 AF=AR②若PR=PB过点P作PK L AB于K,设FA=x 贝U RK J BR J (2 -x),2 2•••△ EFA^A EPK解得：x=±近^-3 （舍去负值）;••• t=」I （秒）；2若PB=RB则厶EFA^A EPBBP」AB=- X 2—3 3 3.CP=BC- BP=2-2县,33，.谒(秒)-综上所述，当PR=PB时，t= [ •;当PB=RB时，t--秒.2 '--111. (2017?江汉区校级模拟)如图，正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点0, 延长CB至点F，使CF=CA连接AF, / ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M，连接E0.(1) 已知BD=T:，求正方形ABCD的边长；(2) 猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.【解答】解：(1)v四边形ABCD是正方形,•••△ ABD是等腰直角三角形，••• 2AB^=BD2, ••• BD=]:, ••• AB=1,•••正方形ABCD的边长为1;(2) CN=2EM证明方法一、理由：•••四边形ABCD是正方形,••• AC丄BD, 0A=0CV CF=CA CE是/ ACF的平分线,••• CELAF, AE=FE••• EO%A AFC的中位线••• EO// BC-BC ~CN•••在Rt A AEN中，OA=OCEO=OC=AC,2PC BM J•CM=「EMV CE平分/ ACF,•/ OCM=Z BCN,V Z NBC=/ COM=90 ,•△CBN^A COM ,•CM 二CC_ 1••苛BC二占,•CN= [CM ,即CN=2EM.证明方法二、V四边形ABCD是正方形，•Z BAC=45=Z DBC,由（1）知,在Rt A ACE中,EO」AC=CO •Z OEC Z OCEV CE平分Z ACF,•Z OCE Z ECB Z OEC•EO// BC,•Z EOM=Z DBC=45 ,V Z OEM=Z OCE•△EOM^A CAN,•EM EO 1CN~CA'2•CN=2CM12. (2017?济宁二模)将两块全等的三角板如图1摆放，其中/ A i CB = / ACB=90, /A i=Z A=30°.(1)将图1中厶A i B i C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P i是A i C与AB的交点，点Q是A i B i与BC的交点，求证：CR=CQ(2)在图2中，若AP i=a,贝U CQ等于多少？(3)将图2中厶A i B i C绕点C顺时针旋转到△ A2B2C (如图3)，点P2是A2C与APi的交点•当旋转角为多少度时，有△ AP i C sA CPP2?这时线段CP与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？.【解答】(1)证明：I / BiCB=45, / B i CA=90°,B i CQ=/ BCP=45°;又B i C=BC / B i=/ B,B i CQ^A BCP (ASA)--CQ=CP；(2)解：如图：作P i D丄AC于D，v/ A=30°，• P i D^-AP i;v/ P i CD=45，•••CRMP I D Q A P I;2又AP i=a, CQ=CP,• CQ=「a；2(3)解：当/ P i CR=/ P I AC=30时，由于/ CPF2=/AP i C,则厶AP i C s^ CPR, 所以将图2中厶A i B i C绕点C顺时针旋转30°到厶A2B2C时，有△ AP i C sA CPP2.P1巳CP-V2i3. (20i7?惠阳区模拟)把Rt A ABC和Rt A DEF按如图(i)摆放(点C与E重合)，点B、C(E)、F 在同一条直线上.已知：/ ACB=/ EDF=90, / DEF=45,AC=8cm BC=6cm EF=i0cm 如图(2), △ DEF从图(i)的位置出发，以icm/s 的速度沿CB向厶ABC匀速移动，在△ DEF移动的同时，点P从厶ABC的顶点A 出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t (s).(1) 用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；(2) 连接PE,设四边形APEQ的面积为y (cm2),试探究y的最大值;(3) 当t为何值时，△ APQ是等腰三角形.这时【解答】(1)解：AP=2t vZ EDF=90, / DEF=45,•••/ CQE=45=Z DEF, ••• CQ=CE=t••• AQ=8- t,t的取值范围是：O W t<5;(2)过点P 作PG丄x 轴于G,可求得AB=1O, SinB二,PB=1O- 2t,5• PG=PBSinB= (10 - 2t)• y=S\ ABC—S\ PBE—S\QC冷心X诸(5) X啟10如寺2=罟，罟伕普"詈)若AP=PQ 如图①：过点P作PH丄AC,贝U AH=QH」,PH// BCAP ABAH-'AC 52t108-t_82解得：-二上-(s) 若AQ=PQ如图②：过点Q作QI丄AB,则AI=P=AP=tvZ AIQ=Z ACB=90Z A=Z A ,EB=6-t, 265•••当-二亠(在O W t< 5内)，y有最大值，y最大值二…‘一(cm2)(3)若AP=AQ则有2t=8 - t解得:14. (2017?庐阳区一模)△ ABC, / A 、/ B 、/ C 的对边分别是 a b 、c , 一条 直线DE 与边AC 相交于点D ,与边AB 相交于点E.(1)如图①，若DE 将△ ABC 分成周长相等的两部分，贝U AD+AE 等于多少；(用 a 、b 、c 表示)(2) 如图②，若AC=3 AB=5, BC=4. DE 将厶ABC 分成周长、面积相等的两部 分，求AD ;(3) 如图③，若DE 将△ ABC 分成周长、面积相等的两部分，且 DE// BC,则a 、 b 、c 满足什么关系?【解答】解：(1)v DE 将厶ABC 分成周长相等的两部分, ••• AD+AE=CBBGBE 丄(AB+AGBC )丄(a+b+c );(2)设 AD=x, AE=6- x ,••• S ADE =-AD?AE?si nA=3 即：丄x (6-x ) ?_=3, 解得：沪斗(舍去)，x 2 J ••• AD=」;2综上所述, 8或辿 或 32 t_3 或时，△ APQ 是等腰三角形.C J3图3(3)v DE// BC,•••△ ADE^A ABC,15. （2017?嘉兴模拟）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，/ PAQ=45,将/ PAQ 绕着正方形的顶点A 旋转，使它与正方形 ABCD 的两个外角/ EBC 和/FDC 的平分线分别交于点M 和N ,连接MN .（1） 求证：△ ABM s^ NDA ;（2） 连接BD ,当/BAM 的度数为多少时，四边形BMND 为矩形，并加以证明.【解答】（1）证明：•••四边形ABCD 是正方形,•••/ ABC=/ ADC=Z BAD=90 ,••• BM 、DN 分别是正方形的两个外角平分线，•••/ ABM=Z ADN=135 ,vZ MAN=4° ,•••/ BAM=Z AND=45 -Z DAN,c,2 (a+b+c ),•••△ABM s^ NDA;(2)解：当Z BAM=22.5时，四边形BMND为矩形；理由如下:vZ BAM=22.5，Z EBM=45,•••Z AMB=22.5 ,•••Z BAM=Z AMB,•AB=BM,同理AD=DN,v AB=AD • BM=DN,v四边形ABCD是正方形•Z ABD=Z ADB=45,•Z BDN=Z DBM=9°•Z BDN+Z DBM=18° ,•BM// DN•四边形BMND为平行四边形，vZ BDN=90 ,•四边形BMND为矩形.16. (2017?肥城市三模)如图，在锐角厶ABC中，D, E分别为AB, BC中点，F 为AC上一点，且Z AFE=/ A, DM // EF交AC于点M .(1)点G 在BE上，且Z BDG=/ C,求证：DG?CF=DM?EG(2)在图中,取CE上一点H ,使Z CFH=/ B,若BG=1,求EH的长.【解答】(1)证明：如图1所示,••• D, E分别为AB, BC中点，••• DE// ACv DM // EF,•••四边形DEFM是平行四边形，••• DM=EF如图2所示，v D、E分别是AB BC的中点，••• DE/ AC,•••/ BDE=/ A,Z DEG=/ C,vZ AFE=/ A,•••/ BDE=/ AFE,•••Z BDGb Z GDE=/ C+Z FECv/ BDG=Z C,•Z GDE=/ FEC•△DEa A ECF•丄亠•x 一丨，••二二DM CF•DG?CF=DM?EG(2)解：如图3所示,vZ BDG=Z C=Z DEB Z B=Z B ,•△BDG^^ BED,•二」—一•- BD2=BG?BEvZ AFE=/ A, Z CFH=/ B ,•Z C=180 -Z A-Z B=180°-Z AFE-Z CFH=/ EFH 又vZ FEH=/ CEFEH =-EF_EF••• EP=EH?EC•••DE// AC, DM // EF,•••四边形DEFM是平行四边形,••• EF=DM=DA=BD••• BG?BE=EH?EC• BE=EC17. (2017?肥城市模拟)△ ABC中，AB=AC 点D、E、F分别在BC AB、AC上, / EDF玄 B.(1)如图1,求证：DE?CD=DF?BE(2) D为BC中点如图2,连接EF.①求证：ED平分/ BEF；v D 为BC 中点,••• BD=CD BE.DEBD DFvZ B=Z EDF,•••△ BDPA DFE•••Z BED=/ DEF , ••• ED 平分Z BEF ；②v四边形AEDF 为菱形,• Z AEF=/ DEF ,vZ BED=/ DEF ,• Z AEF=60 ,v AE=AF:丄 BAC=60,②若四边形AEDF 为菱形，求/ BAC 的度数及 【解答】（1）证明:：△ ABC 中，AB=AC•••/ B=Z C.vZ B+Z BDE F Z DEB=180,Z BDE^Z EDF+Z FDC=180,Z EDF=/ B,•••/ FDC=/ DEB•••△ BDE^^ CFD ,即 DE?CD=DF?B ；（2）解：①由（1）证得△ BD0A CFD ,的值.vZ BAC=60,•••△ ABC是等边三角形,•••Z B=60°,•••△ BED是等边三角形,•BE=DEv AE=DE•AE丄AB,2=1AB218. （2017?长宁区二模）如图,在厶ABC中，点P是AC边上的一点,过点P作与BC平行的直线PQ,交AB于点Q,点D在线段BC上,联接AD交线段PQ于点E ,且—,点G在BC延长线上,Z ACG的平分线交直线PQ于点F.（1）求证：PC=PE（2）当P是边AC的中点时,求证：四边形AECF是矩形.【解答】（1）证明：v PQ// BC,△AQE^^ABD, △AEF^A ADC,QE AB PE AEBD AD CD _AD'PE QECD BDCP QECD BDCP PECD~CD••• PC=PE(2)v PF// DG,•••/ PFC玄FCGv CF平分/ PCG•••/ PCF玄FCG•••/ PFC玄FCG••• PF=PC••• PF=PEv P是边AC的中点,••• AP=CP•••四边形AECF是平行四边形,v PQ// CD,•••/ PEC2 DCE•••/ PCE2 DCE•••/ PCE■/PCF二(/ PCD F Z PCG =90。
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相似三角形分类练习题（1）一、填空题1、如图，DE是△ABC的中位线，那么△ADE面积与△ABC面积之比是________。
2、如图，△ABC中，DE∥BC，，且，那么＝________。
3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，AD＝8cm，DB＝2cm，则CD＝________cm。
4、如图，△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD:AB＝AE:AC＝1:2，BC＝5cm，则DE＝________ cm。
5、如图，AD、BC相交于点O，AB∥CD，OB＝2cm，OC＝4cm，△AOB面积为4.5cm2，则△DOC面积为___cm2。
6、如图，△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠B＝∠ACD，则AC＝_______。
7、如果两个相似三角形对应高之比为4:5，那么它们的面积比为_____。
8、如果两个相似三角形面积之比为1:9，那么它们对应高之比为_____。
9、两个相似三角形周长之比为2:3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为_____cm2。
10、如图，△ABC中，DE∥BC，AD:DB＝2:3，则＝______。
二、选择题1、两个相似三角形对应边之比是1:5，那么它们的周长比是（）。
（A）；（B）1:25；（C）1:5；（D）。
2、如果两个相似三角形的相似比为1:4，那么它们的面积比为（）。
（A）1:16；（B）1:8；（C）1:4；（D）1:2。
3、如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形个数是（）。
（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。
共同4、如图，梯形ABCD，AD∥BC，AC和BD相交于O点，＝1:9，则＝（）。
（A）1:9；（B）1:81；（C）3:1；（D）l:3。
三、如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的2倍，求DE长。
四、如图，△ABE中，AD:DB＝5:2，AC:CE＝4:3，求BF:FC的值。
五、如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，BC＜AD，BC＝，AB＝，AC⊥CD，求AD（用的式子表示）六、如图，△ABC中，点D在BC上，∠DAC＝∠B，BD＝4，DC＝5，DE∥AC交AB于点E，求DE长。
七、如图，ABCD是矩形，AH＝2，HD＝4，DE＝2，EC＝1，F是BC上任一点（F与点B、点C不重合），过F作EH的平行线交AB于G，设BF为，四边形HGFE面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
相似三角形分类练习题（2）一、填空题1、已知：，且，则＝________。
2、在一张比例尺为1:5000的地图上，某校到果园的图距为8cm，那么学校到果园的实际距离为________m。
3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝4cm，BD＝16cm，则CD＝________cm。
4、如图，∠ACD＝∠B，AC＝6，AD＝4，则AB＝________。
5、如图ABCD是平行四边形，F是DA延长线上一点，连CF交BD于G，交AB于E，则图中相似三角形（包括全等三角形在内）共有________对。
6、如图，△ABC中，BC＝15cm，DE、FG均平行于BC且将△ABC面积分成三等分，则FG＝________ cm。
7、如图，AF∥BE∥CD，AF＝12，BE＝19，CD＝28，则FE:ED的值等于________。
8、如图，△ABC，DE∥GF∥BC，且AD＝DG＝GB，则＝________。
9、如图，ABCD是正方形，E是DC上一点，DE:EC＝5:3，AE⊥EF，则AE:EF＝________。
10、如图，△ABC重心为G，△ABC和△GBC在BC边上高之比为________。
二、选择题1、两个相似三角形的相似比为4:9，那么这两个相似三角形的面积比为（）。
（A）2:3；（B）4:9；（C）4:81；（D）16:81。
2、如图，D是△ABC边BC上－点，△ABD∽△CAB,则（）。
（A）∠1＝∠2；（B）∠2＝∠C；（C）∠1＝∠BAC；（D）∠2＝∠B3、如图，AB∥A’B’，BC∥B’C’，AC∥A’C’，则图中相似三角形组数为（）。
（A）5；（B）6；（C）7；（D）8。
4、如图，△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，DF:FC＝1:3，则＝（）。
（A）1:3；（B）1:；（C）1:9；（D）1:18。
三、△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上高，BE是AC上中线，BE和AD相交于F，BC＝10，AB＝13，求BF长。
四、如图，ABFE、EFCD是全等的正方形，M是CF中点，DM和AC相交于N，正方形边长为，求AN的长。
（用的式子表示）五、如图，△ABC中，AD⊥BC，D是垂足，E是BC中点，FE⊥BC交AB于F，BD＝6，DC＝4，AB＝8，求BF长。
六、如图，△ABC中，∠A＝90°，DEFG是△ABC中内接矩形，AB＝3，AC＝4，，求矩形DEFG周长。
七、如图，有一块直角梯形铁皮ABCD，AD＝3cm，BC＝6cm，CD＝4cm，现要截出矩形EFCG，（E点在AB上，与点A、点B不重合），设BE＝，矩形EFCG周长为，（1）写出与的函数关系式，并指出自变量取值范围；（2）取何值，矩形EFCG面积等于直角梯形ABCD的。
相似形（3）一、填空题1、如果两个相似三角形的周长比为2:3，则面积比为________。
2、两个相似三角形相似比为2:3，且面积之和为13cm2，则它们的面积分别为______、______。
3、三角形的三条边长分别为5cm，9cm，12cm，则连结各边中点所成三角形的周长为________cm。
4、如图，PQ∥BA，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，则PC等于________。
5、如图，△ABC中，DE∥BC，，＝2cm2，则＝________cm2。
6、如图，C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD 与△BND面积比为________。
7、△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AB＝4cm，AC＝cm，则AD＝________ cm。
8、如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E是CD的中点，AE交BD于F，则DF:FO＝_____。
9、如图，AF∥BE∥CD，AB:BC＝1:2，AF＝15，CD＝21，则BE＝_______。
10、如图，DC∥MN∥PQ∥AB，DC＝2，AB＝3.5，DM＝MP＝PA，则MN＝_____；PQ＝_____。
二、选择题1、如图，要使△ACD∽△BCA，必须满足（）。
（A）；（B）；（C）AD2＝CD·BD；（D）AC2＝CD·BC。
2、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，∠ACB＝90°，则与△ABC相似的三角形个数为（）。
（A）2；（B）3；（C）4；（D）5。
3、如图，△ABC中，D是AC中点，AF∥DE，＝1:3，则＝（）。
（A）1:2；（B）2:3；（C）3:4；（D）1:1。
4、如图，平行四边形ABCD中，O1、O2、O3为对角线BD上三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连结AO1并延长交BC于点E，连结EO3并延长交AD于F，则AD:FD等于（）。
（A）19:2；（B）9:1；（C）8:1；（D）7:1。
三、如图，已知矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，E为DC中点，AF⊥BE于点F，求AF长。
四、如图，D、E分别是△ABC边AB和AC上的点，∠1＝∠2，求证：AD·AB＝AE·AC。
五、如图，ABCD是平行四边形，点E在边BA延长线上，连CE交AD于点F，∠ECA＝∠D，求证：AC·BE＝CE·AD。
六、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝12，∠BCD＝30°，求线段CD长。
七、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12，E在AD上，AE＝2，F为AB上任一点（点F与点A、点B不重合），过F作EC平行线交BC于G，设BF＝，四边形EFGC面积为，（1）写出与的函数关系式；（2）取何值，EG⊥BC。
相似三角形分类练习题（3）一、填空题1、若，则＝________。
2、已知，则＝________。
3、如图，∠B＝∠ACD，＝2:1，则AC:AB＝________。
4、如图，DE∥BC，AD＝4cm，DE＝2cm，BC＝5cm，则AB＝________cm。
5、如图，DE∥BC，AD:DB＝1:2，则△ADE与△ABC面积之比为________。
6、如图，梯形ABCD中，DC∥EF∥AB，DE＝4，AE＝6，BC＝5，则BF＝________。
7、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BC＝18，E为OD中点，连结CE 并延长交AD于F，则DF＝________。
8、如图，△ABC和△BED中，若，且△ABC和△BED周长之差为10cm，则△ABC周长为________cm。
9、如图，△ACB∽△ECD，AC:EC＝5:3，＝18，则＝________。
10、如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BD＝DE，AD＝cm，BD＝2cm，则BC＝________cm。
11、如图，ABCD是平行四边形，BC＝2CE，则＝________。
12、如图，△ABC中，DE∥BC，BE、CD相交于F，且，则＝________。
13、如图，△ABC中，BC＝15cm，DE、FC平行于BC，且将△ABC面积三等分，则DE＋FC＝________ cm。
14、将长为cm的线段进行黄金分割，则较长线段与较短线段之差为________ cm。
15、如图，平行四边形ABCD中，延长AB到E，使BE＝AB，延长CD到F，使DF＝DC，EF 交BC于G，交AD于H，则＝________。
二、选择题1、如图，△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（）。
（A）；（B）；（C）；（D）。
2、已知两个相似三角形周长分别为8和6，则它们的面积比为（）。
（A）4:3；（B）16:9；（C）2:；（D）。
3、如图，DE∥BC，AB＝15，AC＝9，BD＝4，则AE长是（）。
（A）；（B）；（C）；（D）。
4、如图，DE∥BC，CD和BE相交于O，＝4:9，则AE:EC为（）。
（A）2:1；（B）2:3；（C）4:9；（D）5:4。
5、如图，在边长为的正方形ABCD的一边BC上，任取一点E，作EF⊥AE交CD于点F，如果BE＝，CF＝，那么用的代数式表示是（）。