平面向量的运算与线段的定比分点

高一年级数学兴趣班讲稿

平面向量的运算与线段的定比分点

一、知识概括

1． 向量运算（向量式）

2． 向量的坐标运算：

若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +=_______________;b a -=__________________;

a λ=_____________________.若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =_________________.

3.线段的定比分点

已知()()()111222,,,,,P x y P x y P x y ，若21

PP P P λ= 则x y =

⎧⎨

=⎩ ；特别地,中点坐标公式: x y =

⎧⎨=

⎩ 。 三角形重心坐标G （ ， ）

二、例题精讲

例1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，F 为对角线BD 上一点，且BF=2FD ，若AB =a ，

AD =b 。

（1）试用a 、b 表示AF 、AE ；（2）证明A 、F 、E 三点共线。

例2．如图所示，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒

，OA 与

OC 的夹角为30︒，且1==32=，若OC =1λOA +2λOB ，

求12,λλ的值。

B

O

A

C

例3．已知()2,1=a ，()3,2=b ，)4,(m c =，（1）若c =-a +λb ，求λ,m 的值； （2）若c a //，求m 的值；

例4．已知()()()121,5,2,4,,1P P P x --。

（1） 求点P 分21P P 的比1λ的及x 的值；

（2） 求点1P 分P P 2的比2λ的值；

（2） 若Q P Q P 21//=，求Q 点的坐标。

例5．已知△ABC 的三个顶点()()()4,1,7,5,4,7A B C -。

求（1）AB 边上中线CM 的长；（2）重心G 的坐标。

三、巩固练习

1 （07湖南）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则正确的是（ ）。 A.OE OF EF += B. OE OF EF -= C. OE OF EF +-= D. OE OF EF --=

2 平面内有四边形ABCD 和点O ，若a OA

=、b OB =、c OC =、d

OD =且

d b c a +=+，则四边形ABCD 为（ ）。

A 菱形

B 梯形

C 矩形

D 平行四边形

3 已知a OA =、b OB =且AB AP 2=，则=OP _____________.

4 （07江西）在△ABC 中，点O 为BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AM m AB = 、AN n AC =，求m n +的值。

5 （上海）已知()1,5A -，若向量AB 和向量()3,2=a 同向，且a AB 3=，则B 点坐标

为___________.

6 已知()2,1=a 、()2,3-=b ，当k 为何值时，b a k +与b a 3-平行？

7 在△ABC 中，已知()()2,3,8,4A B -，重心()2,1G -,则C 的坐标为_________。

8 已知()()()0,01,2,4,5O A B 及AB t OA OP +=。

（1）当t 为何值时，P 在x 轴上；P 在y 轴上；P 在第三象限上。

（2）四边形OABP 是否构成平行四边形？若能，求出t 的值，若不能，请说明理由。

9 已知()()1,4,5,2A B --，线段AB 上的三等分点依次为12,P P ，求12,P P 的坐标以及A

分21P P 所成的比1λ。

10 已知()()2,3,8,4M N ，在线段MN 内是否存在点P 使()02≠==λλλMN PN MP 成立？若成立，求λ值