浅析空间角的求解方法

【例4】如图4，已知 平面 ，求二面角 的余弦值.
解法1：（向量坐标法）建立如图4-1所示的空间直角坐标系 ，则
设 是平面 的法向量， 是平面 的法向量，
由 ，得 ，令 ，得 .
由 ，得 ，令 ，得 .
,
由图知二面角 是锐二面角，
∴二面角 的余弦值是 .
解法2：（向量坐标法）建立如图4-2所示的空间直角坐标系 ，则
, .
二面角 直二面角,
∴平面 平面 ,
平面
∴ 在平面 上的射影是 ,
设 ，则 ，
， ，
是等边三角形， ，
,
设二面角 的平面角是 ，则 .
∴二面角 的平面角的余弦值是 .
空间向量知识在立体几何中有着广泛的应用.通过以上的典例，我们可以深刻体会到空间向量知识在解决空间角中的奇效，它不仅易于理解，而且便于使用，特别是帮助我们克服了几何法中因问题背景复杂而难于作出角导致问题难于获解的困境.在学习中应高度重视，认真研究其应用技巧，提高数学素养.
类型二求直线与平面所成的角
【例2】如图2，正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ，求 与侧面 所成角的大小.
解法1：（几何法）如图2-1，取 的中点 ，连接 .
∵正三棱柱 的底面边长为
∴ 是等边三角形，
∴ .
又侧面 底面 ，且它们的交线为 ， 平面
∴ 平面 .
∴ 是 与侧面 所成的角.
又
∴在 中， ∴
解法2：（向量坐标法）建立如图1-2所示的空间直角坐标系 ，设正方体的棱长为2，则
∴异面直线 与 所成的角的余弦值是 .
解法3：（基向量法）如图1，设正方体的棱长为1， 则 且 ，
又
∴异面直线 与 所成的角的余弦值 .
评析：本题三种解法是求异面直线所成角的基本方法，具体应根据实际的背景知识灵活选用.
解法2：（向量坐标法）取 的中点 ，连接 ，
,
.
又 二面角 直二面角,
两两互相垂直，可建立如图7-2
所示的空间 直角坐标系 .设 ,则
.
易知 是平面 的法向量.
设 是平面 的法向量，则 ，
，即 ，令 ，得 .
， ，
,
∴二面角 的平面角的余弦值是 .
解法3：（面积法）如图7-3，取 的中点 ，连接 ，
设 且 ，则
由 ，得
解得
∴
∴
∴
∴二面角 的余弦值是 .
【例5】如图5，在矩形 中， 平面 ， ，求二面角 的大小.
解法1：（几何法）如图5-1，作 于 ，连接 ，
平面 ， ,（三垂线定理）
是二面角 的平面角.
在 中， ,
.
又在 中， ，
. ,
二面角 的大小为 .
解法2：（向量坐标法）如图5-2，由题意知可建立空间直角坐标系 ，则
类型三求二面角
【例3】如图3，正方体 中， 分别为 的中点，求平面 与平面 所成的锐二面角.
解：建立如图3-1所示空间直角坐标系 ，设正方体 的棱长为2，则
设 是平面 的法向量， 是平面 的法向量，
由 ，得 ，
令 ，得 .
由 ，得 ，
令 ，得 .
,
∴平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值是 .
评析：本题解法是向量法坐标法，通过建立空间直角坐标系，求平面的法向量而获解，这是求二面角的一种基本而又常用方法之一.
浅析空间角的求解方法
获2013年云南省教育科研论文竞赛二等奖
昭通市民族中学温抗美
空间角包括线线角、线面角、面面角，在高考中常以多面体为载体，对这三种角考察的命题趋势较强，特别是对线面角和面面角是很常见的考察，教学中应高度关注.
几何法求这三种角的一般步骤：首先找出或作出有关的平面角；然后证明它符合定义；最后归到某一三角形中进行计算.可总结为：“一找，二证，三计算”的步骤.用这种方法求解空间角，通常对学生的空间想象力和推理能力的要求都很高，常常因为背景知识的复杂性使学生在寻找角时往往力不从心，导致问题解答无法进行下去，从而求空间角也就成为了教学中的一个难点.
设 是平面 的法向量，
由 ，得 ，
即 ，令 ，得 .
设点 到平面 的距离为 ， 与平面 所成角 ，则 ， ，
.
即 与侧面 所成角的大小为 .
评析：本题三种解法是求线面角的基本方法，具体应根据实际的背景知识灵活选用.在建立空间直角坐标系时，方法灵活，本题解法中的建空间直角坐标系是一种常见的对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三棱柱的建系方法，还可作其他建系方法.
即 与侧面 所成角的大小为 .
解法2：（向量法）设 分别为 的中点，则 两两互相垂直，故可建立如图2-2所示的空间直角坐标系 ，于是
设 是平面 的法向量，
由 ，得 ，
即 ，令 ，得 .
设 与平面 所成角 ，则 ，且
即 与侧面 所成角的大小为 .
解法3：（向量法）设 分别为 的中点，则 两两互相垂直，故可建立如图2-3所示的空间直角坐标系 ，则
解法1：（几何法）如图7-1，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则 , .
二面角 直二面角,
平面 平面 ,
又∵平面 平面 ,
平面 , ,
平面 平面 .
∴ 是 在平面 上的射影.
∵ , ,
∴ ,
∴ ,（三垂线定理）
∴ 是二面角 的平面角.
设 ，则在 中， ， , ,
∴ .
∴二面角 的平面角的余弦值是 .
二、典例赏析
类型一求异面直线所成的角
【例1】如图1，正方体 中， 分别为 的中点，求异面直线 与 所成的角的余弦值.
解法1：（几何法）如图1-1所示，取 的中点 ，连接 .则四边形 是平行四边形，
，
∴ 或其补角是异面直线 与 所成的角.
设正方体 的棱长为 ，则 ，
在 中， .
∴异面直线 与 所成的角的余弦值是 .
（2）向量法：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线 与平面 所
成的角为 ， ，则 （ 为锐角）或 （ 为钝角）.如图所示
， .
3.求二面角
（1）几何法:通过确定二面角的平面角的大小求二面角，常见情形如下：
①定义法：如图，若 ，则 就是二面角 的平面角.
②三垂线法：如图，若 ，则 就是二面角 的平面角.
普通高中课程标准实验教科书选修2-1的第三章中，在平面向量的基础上，引入了空间向量的相关概念及其运算，利用空间向量可以确定空间中直线、平面的位置关系，同时为解决空间角也提供了有效的解题工具，这样不但拓宽了学生学习的视野，同时也丰富了教学内容，关于空间角的求解方法也就灵活多样了.下面是本人结合教学实践对求空间角的常见方法的分析总结，浅析如下：
一、重要知识点
1.求异面直线所成的角
（1）几何法：根据定义，通常用“平移转化”的方法，通过平移一条或两条直线，使之成为两相交直线所成的角，然后通过解三角形获解.
（2）向量法：设 ， 分别是两异面直线 的方向向量，则
与 的夹角< , >
与 所成的角
范围
求法
2.求直线与平面所成的角
（1）几何法：根据定义，通常找出斜线在平面上的射影，则斜线与平面所成角就是线面角，可通过斜线段、垂线段和射影线段所构成的直角三角形求解.
平面 ,
是平面 的法向量，
设 是平面 的法向量，
由 ,得 ，
令 ，得 ， ，
，
， ，
二面角 的大小为 .
【例6】如图6，二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ，已知 ，求该二面角的大小.
解：（基向量法）如图6，
，
∴所求二面角的大小 .
【例7】将正方形 沿对角线 折成如图7所示的直二面角，求二面角 的平面角的余弦值.
③垂面法：如图，若 ， ，平面 ，则 就是二面角 的平面角.
④射影法：利用面积射影公式 ，其中 为平面角的大小.此法不必在图中画出平面角.
（2）向量法
①若 分别是二面角 的两个面内与棱 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量 与 的夹角或补角（如图）.
②设 分别是二面角 的两个面 的法向量，则二面角 的大小就是 与 的夹角或补角.