空间几何体的结构特征及三视图和直观图教案

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解

考点/易错点1 多面体的结构特征

考点/易错点

考点/易错点3 简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

考点/易错点4 平行投影与直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

考点/易错点5 三视图

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

三、例题精析

【例题1】

【题干】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

【答案】B

【解析】如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．

【例题2】

【题干】(1)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )

(2)

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为( )

A．2 2 B．4

C. 3 D．23

【答案】D.D

【解析】(1)由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A

(2)依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是

23

【例题3】

【题干】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )

A．2＋ 2 B.1＋2

2

C.2＋2

2

D．1＋2

【答案】A

【解析】恢复后的原图形为一直角梯形

S＝1

2

(1＋2＋1)×2＝2＋2

【例题4】

【题干】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC 的面积．

【解析】建立如图所示的坐标系xOy′，

△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，

则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，

由正弦定理得

OC′

sin∠OA′C′＝

A′C′

sin 45°

，

所以OC′＝sin 120°

sin 45°

a＝

6

2

a，

所以原三角形ABC的高OC＝6a.

所以S△ABC＝1

2

×a×6a＝

6

2

a2.

四、课堂运用

【基础】

1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )

A．②③④B．①②③

C．①③④D．①②④

解析：选A ①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．

2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )

解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.

5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是

( )

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

解析：选B 由斜二测画法知B正确．

3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1

2

，则这

个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)

①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．

解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.

答案：①②③

4．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．

解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其

中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝2，而

PA＝3，于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.

答案：2＋22

【巩固】

1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )

A．2 3 B．3

C. 3 D．4

解析：选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱

某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.