新华东师大版九年级下数学圆的复习课件

A.①② B.②③ C.③④ D.①④
一、判断。 1（、三角）形的外心到三角形各边的距×√离相等；
2点、．直角三角形（的外）心是斜边的中
二、填空6m.5：c
2cm 2:1
112、cm直，角则三角形的两条直角边分别是5cm和
它的外接圆
半径
，内切圆半径
；
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之
比
．
三、选择题： 下列命题正确的是（ ） A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆
.o .p r
.p .o
Op＜r Op=r Op＞r
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
.o .p
不在同一直线上的三个点确定一个圆
（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角 形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）
反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
若∠B=70 °,则 ∠DOE=＿＿40＿°． E
CD B
要会用到解题中
• 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任 何一个外角都等于它的内对角。
几何表达式：
∵ ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠A+∠C=180°
A
D 1
E
且∠B=∠1
B
C
练习:
如图，四边形ABCD为⊙O 的
内接四边形，已知∠BOD＝
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
d = r; d > r.
r ●O
d
┐ 相离
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
如图
∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
●O
C
A
D
切线的判定方法
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r （３）切线的判定定理：经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且 R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与 ⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的 弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _____ cm.
O A
B
2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，
如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数． 解：在优弧AC上定一点D，连结AD、 D
CD.
∵ ∠ AOC=140 ° ∴ ∠ D=70 °
O
C
A
∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 ° B
3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为 6cm,最短为2cm,则圆O的半径为__2或__4_cm__.
●O
B
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理及其推论
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A M└
B
(3) 平分弦 ；
(4)平分劣弧；
●O
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
(错 )
例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_2_c_m 或14cm .
B
O·
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧叫做劣弧. （如图中的A⌒C） 大于半圆的弧叫做优弧.(用三个字母表示,如图中的A⌒CB)
B
O·
A
C
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)等弧就是拉直以后长度相等的弧
100°，求∠BAD及∠BCD的度
数。
A
O
B
D
C
例题欣赏 A
例 如图，△ABC中,AB=AC, O是BC的
中点,以O为圆心的⊙O切AB于D,问: ⊙O D 与AC相切吗?说明理由.
E
解： ⊙O与AC相切
B
根据连切线接的O性A质, O, D遇,到作切O点E,⊥连A接C 于 E .
半径∵, 这AB是=在A圆C 中，添O加是辅B助C线的的中点，
弧长、扇形面积公式
（1）弧长公式：
l n R 180
O
（2）扇形面积公式：
nR2 1
S
lR
360 2
A
S
l
B
侧面展开图
（1）圆柱侧面展开图
A
S表S侧2S底= 2rh2r2
B
D
D1
母 线长
底 面圆 周 长 C1
C
（2）圆锥侧面展开图
B1
S表S侧S底= Rrr2
O
R
C
A
r
B
4.怎样要将一个如图所示的破镜 重圆？
C O
常用∴方A法O之平一分.∠ BAC. ∵ ⊙O切AB于D, ∴OD⊥AB. ∴ OE=OD
当已知条件中没有明确给出直线 与圆是否有公共点时,常过圆心作
该直又线∵的O垂E线⊥段A,证C明, 该垂线段的
长等于半径.即“作垂直,证半径”.
∴ AB是⊙O的切线.
例题欣赏
变式(一) 如图, 直角梯形ABCD中 , ∠A=900 , AD//BC, E为 AB上一点,且DE平分∠ADC, CE平分∠BCD,以AB为直径 的圆与边CD有怎样的位置关系? 线段CD与AD, BC之间 又有怎样的关系?说明理由.
3、圆内接四边形ABCD中， ∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（ ）
A、1∶2∶3∶4 B、1∶3∶2∶4 C、4∶2∶3∶1 D、4∶2∶1∶3
练习：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r， Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值 范围是＿r＿<O＿P<＿R＿.
O
P
五.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
到三角形各顶点 的距离相等
到三角形各边的 距离相等
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
锐角三角形的外心位于三角形内,
●O
B
C
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
切线长定理及其推论:
从圆外一点向圆所引的两条切线长
相等;并且这一点和圆心的连线平分
新华东师大版九年级下数学 圆的复习课件
与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段（如图AC）
叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B
O·
A
C
弧
圆 为上端任点意 的两 弧点 记间作的A⌒部B 分，叫读做作圆“弧圆弧，简AB称”或弧“．弧以A、B
AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
A
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，
P
B
O
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
3、下列四个命题中正确的是（ ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此 直径的直线是该圆的切线．
C
●O
A
D
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任任意意两两个个，那么
第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。
如① ②
③
① ③
②
② ③
做一做：1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4
cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm；
2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
A
D
B
●O
┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是
• 同弧: 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
A C
A C
A C
●O
●O
●O
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直
于这条半径即可；
2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条
垂线段等于半径即可．
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的 半径
∴CD⊥OA.
C
四、一个三角形,它的周长为30cm,它的 内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积 为_3_0_c_m__．
七.三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
C
B
C
B
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
实质
性质
三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点 三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(√)
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为 60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____， BC=_____；
2、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦 AB与CD之间的关系为（ ）；
A.AB=2CD
B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定
一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？
做一做
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三
角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形
与它的外心的位置关系.
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
●O
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
两条切线的夹角.
∵PA,PB切⊙O于A,B
P
1 2
A ●O
∴PA=PB ∠1=∠2
直角三角形的内切圆 半径与三边关系.
r abc. A 2
D
O
●┗
F
┓
B
EC
B 三角形的内切圆半径与圆面积.
S1rabc.
2A
DFra Baidu bibliotek
F
O
●
┓
B
E
C
• 1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的 圆心角是＿6＿0度＿,圆周角是＿＿30＿或1＿50＿度＿.
B
B B
三、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于这弧所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×)
(2)相等的圆周角所对的弧相等. (×)
5、 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB， 垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出 这面镜子的半径吗？
C
7
B
P
14
A
O 综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径
6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，
B为D什到么C，？AC=AB，BD与CD的大小A有什么关系？
补充：
O
6、如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由
图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出
来
；
7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某
圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽
AB=60 cm，则污水的最大深度为
cm；
A
C
E
D
O
O
图1
m
n
A
图2
B
B
四、点和圆的位置关系
一、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗●
M
C
D 图1
A
O
B
3、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的 直径，那么∠BOC等于 ( )；
A．150° B．130° C．120° D．60°
4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，
∠BOC=
；若O为△ABC的内心，∠BOC=
．
图2
5、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的 宽度为_____ cm；
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的 角,叫做圆周角.
A
A
O· B
●O
C
B
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的 半径相等。
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 心圆 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，
2）两弧的度数相等。
注意：1、直径是弦，而弦不一定是直径； 2、半圆是弧，而弧不一定是半圆； 3、两条等弧的度数相等，长度也相等， 反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内 对角
有关概念
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．
经过三角形三个顶点的圆叫做
A
三角形的外接圆。
三角形外接圆的圆心叫做这
个三角形的外心。
这个三角形叫做这个圆的
B
内接三角形。
●O C
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。