第十章 第二节 排列与组合

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3.(1)(2010·北京高考 名学生和 位老师站成一排合影,2 . 北京高考)8名学生和 位老师站成一排合影, 北京高考 名学生和2位老师站成一排合影 位老师不相邻的排法种数为 A.A8A2 . 8 9 C.A8A2 . 8 7 B.A8C2 . 8 9 D.A8C7 . 8 2 ( )
(2)(2010·重庆高考 某单位安排 位员工在 月1日至 日 重庆高考)某单位安排 位员工在10月 日至 日至7日 重庆高考 某单位安排7位员工在 值班,每天安排 人 每人值班1天 位员工中的甲、 值班,每天安排1人,每人值班 天.若7位员工中的甲、 位员工中的甲 乙排在相邻两天,丙不排在 月 日 丁不排在10月 乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在 月7 日,则不同的安排方案共有 A.504种 . 种 C.1 008种 . 种 B.960种 . 种 D.1 108种 . 种 ( )
排列与组合 1.理解排列、组合的概念. .理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数 .能利用计数原理推导排列数公式、 公式. 公式. 3.能解决简单的实际问题. .能解决简单的实际问题.
[理 要 点] 理 一、排列与排列数 1.排列 . 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定顺序 个元素, 从n个不同元素中取出 个不同元素中取出 个元素 排成一列 ,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一 叫做从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的一 个排列. 个排列.
提示: 排列数与组合数之间的联系为 n m 排列数与组合数之间的联系为C 提示:(1)排列数与组合数之间的联系为 mAm=Am. n (2)两种形式分别为 两种形式分别为 ①连乘积形式;②阶乘形式. 连乘积形式; 阶乘形式. 前者多用于数字计算, 前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列 数式子的变形与论证. 数式子的变形与论证.
解:(1)(优先法 甲为特殊元素.先排甲,有5种方法;其余6 优先法)甲为特殊元素.先排甲, 种方法;其余 优先法 甲为特殊元素 种方法 人有A6种方法,故共有5× 6 人有 6种方法,故共有 ×A6=3 600种. 种 (2)(捆绑法 将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全 捆绑法)将女生看成一个整体 捆绑法 将女生看成一个整体, 名男生在一起进行全 排列,有A 4 种方法,再将4名女生进行全排列,也有A 4 种方 排列, 名女生进行全排列 4 种方法,再将 名女生进行全排列,也有 4 法,故共有A4×A4=576种. 故共有 4 种 4 (3)(插空法 男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女 插空法)男生不相邻 而女生不作要求, 插空法 男生不相邻,
- 法二: n 变形得, n - 法二:Cm+1=Cm+Cm 1变形得,Cm 1=Cm+1-Cm, n n n n - -
3 3 原式= + 4 + 3 + 原式=1+(C3-C3)+(C5-C4)+…+(C101-C3 ) 3 100 3 =C101=166 650.
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1.注意排列数与组合数公式中满足m≤n且m、n∈N*. .注意排列数与组合数公式中满足 ≤ 且 、 ∈ 2.由Cm=Cn-m可知 x =Cy ⇔x=y或x+y=n两种 . 可知Cn = 或 + = 两种 n n n 情形. 情形. 3.记住结论并会化简: .记住结论并会化简: Cm+Cm+1+Cm+2+…+Cm+n=Cm+1 +1 m m m m m +n
[题组自测 题组自测] 题组自测 1.不等式A8 1.不等式Ax<6Ax-2的解集为 8 A.[2,8] . C.(7,12) . B.[2,6] . D.{8} .

(
)
8! ! 8! ! 解析: 解析: <6× × , (8-x)! - ) (10-x)! - ) + < , ∴x2-19x+84<0, 7<x<12, x≤8,x-2≥0, ∴7<x<12,又x≤8,x-2≥0, ∴7<x≤8,即x=8. < ≤ , =
Cm . 数,记作 n
三、排列数、组合数的公式及性质 排列数、
排列数公式A= 排列数公式 = n(n-1)…(n-m+1) - … - + 公式 =
n! ! (n-m)! - )
组合数公式 Am n m Cn = m Am ( ) ) = n(n-1)…(n-m+1) m! n! ! = m!(n-m)! ! - )
答案: 答案:D
2.若A4 =120C2 ,则n=________. . = 2n n
解析:由已知, 解析:由已知, n(n-1) ( - ) 2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)=120× - - - = × ,∵n≥2 ≥ 2 ∴n2-2n-3=0 - = 即(n-3)(n+1)=0. - + = 舍去). ∴n=3或-1(舍去 . = 或 舍去
解析: 名志愿者中选出4人进行全排列 解析:从6名志愿者中选出 人进行全排列,所以共 名志愿者中选出 人进行全排列, 选派方案. 有A=360(种)选派方案. = 种 选派方案 答案: 答案:B
2.有3名男生,4名女生,在下列不同条件下,求不同的 . 名男生, 名女生 在下列不同条件下, 名女生, 名男生 排列方法总数. 排列方法总数. (1)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾; 全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾; 全体排成一排 (2)全体排成一排,女生必须站在一起; 全体排成一排,女生必须站在一起; 全体排成一排 (3)全体排成一排,男生互不相邻; 全体排成一排,男生互不相邻; 全体排成一排 (4)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人. 全体排成一排, 全体排成一排 乙两人中间恰好有 人
4 生,有A 4 种方法,再在女生之间及首尾空出的5个空位中任 种方法,再在女生之间及首尾空出的 个空位中任
个空位排男生, 选3个空位排男生,有A3种方法,故共有 4×A3=1 440种. 个空位排男生 种 5种方法,故共有A4 5
(4)把甲、乙及中间 人看作一个整体,第一步先排甲、乙 把甲、乙及中间3人看作一个整体 第一步先排甲、 人看作一个整体, 把甲
答案: 答案:(1)A
(2)C
本题(1)中条件“ 位老师不相邻”若改为“ 位老师相邻” 本题(1)中条件“2位老师不相邻”若改为“2位老师相邻” (1)中条件 则排法种数有多少? 则排法种数有多少? 解:采用“捆绑法”即将2位老师看成一个元素,与8名 采用“捆绑法”即将2位老师看成一个元素, 学生共9个元素全排.故有A 9 学生共9个元素全排.故有A 9 ×2=725760.
答案: 答案:3
1 1 1 3.求和: 2+ 2+…+ 2 . .求和: A2 A3 An+1
1 1 1 1 解 :∵ 2 = = n- , An+1 n(n+1) n+1 ( + ) + 1 1 1 1 1 1 故 2+ 2+…+ 2 =(1- )+( - )+…+ - + + A2 A3 2 2 3 An+1 1 1 n (n- )= . = n+1 n+1 + +
解析: 本题采用插空法 名学生的排列方法有A 8 本题采用插空法.8名学生的排列方法有 解析:(1)本题采用插空法 名学生的排列方法有 8 种,隔开 个空位, 个空位中排列2位老师 了9个空位,在9个空位中排列 位老师,方法数为 2 ,根据 个空位 个空位中排列 位老师,方法数为A 9 分步乘法计数原理,总的排法种数是A8 9 分步乘法计数原理,总的排法种数是 8A2. (2)依题意,满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共 依题意,满足甲、 依题意 有A 2 ·A 6 =1 440种,其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两 种 其中满足甲、 2 6 天且丙在10月 日值班的方法共有 1 2 4 日值班的方法共有C 天且丙在 月1日值班的方法共有 5 ·A 2 ·A 4 =240种;满足 种 乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月 日值班的方法 甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在 月7日值班的方法
2.排列数 . 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同的 从n个不同元素中取出 个不同元素中取出 ≤ 个元素的
排列个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列 叫做从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的排列
数,记作 An .
m
二、组合与组合数 1.组合 . 个不同元素中取出m(m≤n)个元素 合成一组.叫做 从n个不同元素中取出 个不同元素中取出 个元素 个不同元素中取出m个元素的一个组合 从n个不同元素中取出 个元素的一个组合. 个不同元素中取出 个元素的一个组合. 2.组合数 . 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同的组 从n个不同元素中取出 个不同元素中取出 个元素的 合个数 ,叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合 叫做从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的组合
3 两人有A 2 种方法,再从剩下的5人中选 人排到中间, 人中选3人排到中间 两人有 2 种方法,再从剩下的 人中选 人排到中间,有A 5
种方法,最后把甲、乙及中间 人看作一个整体,与剩余 人看作一个整体, 种方法,最后把甲、乙及中间3人看作一个整体 与剩余2
3 人全排列, 人全排列,有A3种方法,故共有 2·A5·A3=720种. 种 3种方法,故共有A2 3
共有C 5 2 4 共有 1 ·A 2 ·A 4 =240种;满足甲、乙两人值班安排在 种 满足甲、 相邻两天且丙在10月 日值班 丁在10月 日值班的 日值班、 相邻两天且丙在 月1日值班、丁在 月7日值班的 方法共有C4 2 3 方法共有 1·A2 ·A 3=48种.因此满足题意的方法共有 种 1 440-2×240+48=1 008种,选C. - × + = 种
0≤5-n≤n ≤ - ≤ 0≤9-n≤n+1 ≤ - ≤ +
,∴4≤n≤5,故n=4或5. ≤ ≤ , = 或
5 当n=4时,原式=C4+C5=5; = 时 原式= 1 ; 4 当n=5时,原式=C5+C6=16. = 时 原式= 0
(2)由组合数公式得 由组合数公式得 3!(n-3)! 4!(n-4)! 2×5!(n-5)! ! - ) ! - ) × ! - ) < - , n! n! n! ! ! !
+ -
[题组自测 题组自测] 题组自测 1.若从6名志愿者中选出 名分别从事翻译、导游、导购、 .若从 名志愿者中选出 名分别从事翻译、导游、导购、 名志愿者中选出4名分别从事翻译 保洁四项不同的工作, 保洁四项不同的工作,则选派方案有 A.180种 . 种 C.15种 . 种 B.360种 . 种 D.30种 . 种 ( )
化简整理得n 化简整理得 2-11n-12<0, - , ≥ , ∴-1<n<12,且n∈N*,n≥5, , ∈ ∴n=5,6,7,8,9,10,11. =
2 (3)法一:C2+C2+C2+…+C100 法一: 2 法一 3 4 3 2 2 =C3+C3+C4+…+C2 100 3 2 =C4+C4+…+C2 =C3 =166 650. 100 101

(1)An= n
n!; !
(1)C0 = n
来自百度文库m Cn-m 1 ;(2)Cn = n ;

质 (2)0!= 1 != 备 注
(3)Cm+Cm-1= Cm+1 n n n n,m∈N*且 m≤n , ∈ ≤
[究 疑 点] 究 1.如何区分某一问题是排列问题还是组合问题? .如何区分某一问题是排列问题还是组合问题? 提示:区分某一问题是排列问题还是组合问题, 提示:区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键 是看所选出的元素与顺序是否有关, 是看所选出的元素与顺序是否有关,若交换某两个元 素的位置对结果产生影响,则是排列问题, 素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则是组 合问题. 合问题. 2.排列数与组合数公式之间有何关系?它们公式都有 .排列数与组合数公式之间有何关系? 两种形式,如何选择使用? 两种形式,如何选择使用?
9 4.(1)求值:Cn-n+Cn-n; . 求值 求值: 5 +1


1 1 2 (2)解不等式: 3 - 4 < 5 ; 解不等式: 解不等式 Cn Cn Cn
2 2 (3)求和:C2+C3+C4+…+C2 . 求和: 2 求和 100
由组合数定义知: 解:(1)由组合数定义知: 由组合数定义知
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