线性代数 向量空间及其子空间

信息系 刘康泽
例 1 设 n 维实向量的集合
V1 (0, x2,L , xn )T x2,L , xn R ； V2 (1, x2 ,L , xn )T x2 ,L , xn R ；
问V1 及V2 是否构成向量空间？ 解：（1）设 (0, x2,L , xn ) , (0, y2,L , yn )V1 则 ( 0 , x2 y2 ,L , xn yn )V1 ，
例 9 设V1 (0, x2,L , xn )T x2,L , xn R ； V2 (x1, x2,L , xn)T x1 2x2 L nxn 0, xi R
求它们的基与维数。
解：（1）1 (0,1, 0,L , 0)T ,2 (0, 0,1,L , 0)T , L ,n1 (0, 0, 0,L ,1)T 是V1 的一组基，
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第4-1节 向量空间及其子空间
信息系 刘康泽
一、向量空间的定义
在第三章中，对集合 Rn 中的向量定义了加法与数乘 运算，且 Rn 中的向量的线性组合仍然属于 Rn ，加法与数 乘运算还满足八条运算性质。对于 Rn 中的一个集合V ， V 中向量的线性组合是否仍然属于V ？如果仍然属于V ，则在V 中加法与数乘的八条运算性质将被满足。
k11 k22 L krr 称有序数组 k1, k2 ,L , kr 为 在基1,2 ,L ,r 下的坐 标，而称 (k1, k2 ,L , kr ) 或 (k1, k2 ,L , kr )T 为 在该基下
来表示，且这种表示是唯一的。
这一性质在一般的向量空间V 中是否具有？
答案是肯定的！
由此可抽象出向量空间V 的基、维数以及向量在所给
基下的坐标的概念，并以此描述向量空间的结构。
信息系 刘康泽
【定义】设V 是一个向量空间，如果存在一组向量
1,2 ,L ,r V ，满足： （1）1,2 ,L ,r 线性无关； （2）V 中任一向量 都可以由向量组1,2 ,L ,r
故 dimV1 n 1。
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（2）1 (2,1, 0,L , 0)T ,2 (3, 0,1,L , 0)T , L ,n1 (n, 0, 0,L ,1)T 是V2 的一组基，
故 dimV2 n 1。 例 10 设 A 是 m n 矩阵，且 r(A) r n ，则齐次
线性方程 Ax 0 的基础解系1,2 ,L nr 构成 Ax 0
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例 2 设 n 维实向量的集合
V3 (x, y, x, y,L , x, y)T x, y R ；
V4 ( x1, x2,L , xn )T
xi R ,
n
xi
1
。
i 1
问V3 及V4 是否构成向量空间？
解：（1）设 ( x1, y1, x1, y1,L , x1, y1)T V3
( x2 , y2 , x2 , y2 ,L , x2 , y2 )T V3 ，
则
(a, b, a, b,L , a, b)T V3 ，
k (c, d , c, d ,L , c, d )T V3 ，
其中 a x1 x2 , b y1 y2 , c kx1 , d ky1 。
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【定义】给定的 n 维实向量1,2 ,L ,m ，称 V { k11 km m , ki R}
是由向量组 1 , , m 生成的向量空间，记作： L(1 , , m ) 或者 span{1 , , m } 。
例 4 设1 (1, 0) , 2 ( 0,1) ，则
L(1,2 ) (x1, x2 ) ( x1, x2 ) x11 x22 , x j R R2
向量的加法和数乘运算的八条性质在集合V 中被满足。
它们是：
(1) ；
(5) 1 ；
(2) ( ) ( ) ；(6) k(l ) (kl) ；
(3) 0 ；
(7) k( ) k k ；
(4) () 0；
(8) (k l) k l 。
构成向量空间的三要素： 一个集合V 、两种V 中的运算、八条运算性质
例 5 设 A 是 m n 矩阵，且 A (1,2,L ,n ) ，
则 V y y Ax, x Rn
y y x11 x22 L xnn, x j R
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故V 可看成是由 A 的列向量组1,2 ,L ,n 生成的
向量空间 L(1,L ,n ) ，称为 A 的值空间，记为 R( A) ，
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【定义】设V 是 n 维实向量构成的集合，对于向量的
加法运算及数乘运算满足：
（1）任意 V , V ，有 V ； （2）任意 V , k R ，有 k V 。
则称集合V 为 R 上的实向量空间，简称向量空间。
【注 1】定义中的条件(1)称为加法封闭性，而条件 (2)称为数乘封闭性。
不构成向量空间。
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二、子空间
【定义】设V 与W 都是向量空间，并且W 是V 的子 集，则称W 是V 的子空间。
例 7 由 n 维向量1,2 ,L ,s 生成的向量空间 L(1,2 ,L ,s ) 是 Rn 的子空间。
又设 A 是 m n 矩阵，则：
N (A) x Ax 0 , x Rn 是 Rn 的子空间。 R(A) Ax x Rn 是 Rm 的子空间。
即
R(A) Ax x Rn 。
例 6 设 A 是 m n 矩阵，则
V x Ax 0, x Rn
构成向量空间。
它是齐次线性方程组 Ax 0 的解集合。
记1,2,L nr 是 Ax 0 的基础解系 (r( A) r) ，
则 V x x k11 k22 L knr nr , k j R ，
解（1）W1 可理解为齐次线性方程组 x1 x2 L xn 0
的解集合，故W1 是 Rn 的子空间。
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（2）W1 可理解为非齐次线性方程组 x1 2x2 L nxn 1
的解集合，故W2 不是 Rn 的子空间。 三、向量空间的基、维数与向量的坐标
在 Rn 中，任一向量都可用 Rn 中 n 个线性无关的向量
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例 12 求由向量组
1
0
3
1 2
1
1 , 2
2
3
1
,
3
0 7
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
1 2
,
5
1
5
4
2
14
0
6
生成的向量空间的一组基及其维数。
解：向量组1,2 ,3, 4 ,5 的极大无关组就是生成
空间 L1,2 ,3,4,5 的基。
设 A (1,2 ,3, 4 ,5 ) ，对 A 作初等行变换：
试证：V 构成向量空间。
证明：设 k11 L kmm V ， l11 L lmm V ，
于是 (k1 l1)1 L (km lm )m V ， k (k k1 )1 (k km ) m V ，
即 与 k 仍然是 1,L ,m 的线性组合，由此
V 关于加法和数乘都封闭，故V 构成向量空间。
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1 0 3 1 2 1 0 3 1 2
A
1 2
3 1
0 7
1 2
1 5
0 0
3 1
3 1
0 0
3
1
4
2
14
0
6
0
2
2
4
2
1 0 3 1 2 1 0 3 0 1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
，
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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的解空间（核空间） N (A) x Ax 0 , x Rn 的一
组基， 且 dim N (A) n r n r(A) 。
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例 11 求由 n 维向量 1,2 ,L ,s 生成的向量空间 L(1,2 ,L ,s ) 的一组基及维数。
解：设 i1 ,L ,ir 是 1,2 ,L ,s 的极大无关组， 由于生成向量空间 L(1,2 ,L ,s ) 中的任意一个 向量 都可由 1,2 ,L ,s 线性表示，而 1,2 ,L ,s 又可由极大无关组 i1 ,L ,ir 线性表示。 由线性表示的传递性知， 可由 i1 ,L ,ir 线性表 示，因此极大无关组 i1 ,L ,ir 构成 L(1,L ,s ) 的一组 基。且 dim L(1,L ,s ) r r(1,2,L ,s ) 。
k ( 0 , kx2,L , kxn )V1 ，
故V1 关于加法和数乘都封闭，因此V1 构成向量空间。
（2）设 (1 , x2,L , xn ) , (1 , y2,L , yn )V2 ， 则 ( 2 , x2 y2 ,L , xn yn )V2 ，
即V2 对加法运算不封闭，因此V2 不构成向量空间。
因此，如果 n 维向量的集合V 关于向量的加法和数乘 都封闭，则V 构成向量空间。
【注 2】只含零向量的集合显然对加法和数乘封闭， 因而也构成向量空间，称为零空间。
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【注 3】实数域 R 上所有 n 维向量的集合 Rn 是向量 空间。如 R3 通常称为 3 维几何空间。
【注 4】由于向量空间中的加法和数乘运算封闭，故
信息系 刘康泽
故V 可以看成是由 Ax 0 的基础解系生成的向量空 间，称为 A 的核空间，记为 N ( A) 。
即
N (A) x Ax 0 , x Rn 。
N ( A) 也称为齐次线性方程组 Ax 0 的解空间。
A 的值空间与核空间是两个非常重要的向量空间。