万有引力定律(附带答案)

万有引力定律
姓名：_______________班级：_______________考号：_______________
一、计算题
1、(15分) 要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东经75.0°到东经135.0°之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范围内的上空？地球半径R0= 6.37×106m．地球表面处的重力加速度g = 9. 80m/s2．
2、(2011·武汉市四月调研)人们通过对月相的观测发现，当月球恰好是上弦月时，如图甲所示，人们的视线方向与太阳光照射月球的方向正好是垂直的，测出地球与太阳的连线和地球与月球的连线之间的夹角为θ.当月球正好是满月时，如图乙所示，太阳、地球、月球大致在一条直线上且地球在太阳和月球之间，这时人们看到的月球和在白天看到的太阳一样大(从物体两端引出的光线在人眼光心处所成的夹角叫做视角，物体在视网膜上所成像的大小决定于视角)．已知嫦娥飞船贴近月球表面做匀速圆周运动的周期为T，月球表面的重力加速度为g0，试估算太阳的半径．
3、假设某次天文现象中，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动，如图所示，地球的轨道半径为R，运转周期为T。

地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角（简称视角）。

已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期。

若某时刻该行星正处于最佳观察期，行星、地球的绕太阳的运行方向相同，如图所示，求：
（1）该行星绕太阳的运转周期T 1
（2）问该行星下一次处于最佳观察期至少需要经历多长的时间Δt
4、西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，成功将“天链一号02星”送入
太空．火箭飞行约26分钟后，西安卫星测控中心传来的数据表明，星箭分离，
卫星成功进入地球同步转移轨道．“天链一号02星”是我国第二颗地球同步轨
道数据中继卫星，又称跟踪和数据中继卫星，由中国航天科技集团公司所属中
国空间技术研究院为主研制．中继卫星被誉为“卫星的卫星”，是航天器太空
运行的数据“中转站”，用于转发地球站对中低轨道航天器的跟踪测控信号和中继航天器发回地面的信息的地球静止通信卫星．
(1)已知地球半径R，地球表面的重力加速度g，地球自转周期T，万有引力常量为G，请你求出地球的密度和“天链一号02星”距地面的高度？
(2)某次有一个赤道地面基站发送一个无线电波信号，需要位于赤道地面基站正上方的“天链一号02星”把该信号转发到同轨道的—个航天器，如果航天器与“天链一号02星”处于同轨道最远可通信距离的情况下，航天器接收到赤道地面基站的无线电波信号的时间是多少？(已知地球半径为R，地球同步卫星轨道半径为r，无线电波的传播速度为光速c.)
5、如图所示，在半径为R，质量分布均匀的某星球表面，有一倾角为θ的斜坡。

以初速度v0向斜坡水平抛出一个小球。

测得经过时间t，小球垂直落在斜坡上的C点。

（不计空气阻力）求：⑴小球落到斜坡上时的速度大小v；⑵该星球表面附近的重力加速度g； (3) 卫星在离星球表面为R的高空绕星球做匀速圆周运动的角速度ω
6、已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h。

卫星B沿半径为r(r＜h)的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同。

求：
⑴卫星B做圆周运动的周期；
⑵卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)。

7、从地球上看太阳时，对太阳直径的张角θ=0.53°，取地球表面上纬度为1°的长度l=110km，地球表面处的重力加速度g=10m/s2，地球公转的周期T=365天。

试仅用以上数据计算地球和太阳密度之比。

假设太阳和地球都是质量均匀分布的球体。

8、2003年10月15日，我国宇航员杨利伟乘坐我国自行研制的“神舟”五号飞船在酒泉卫星发射中心成功升空，这标志着我国已成为世界上第三个载人飞船上天的国家。

“神舟”五号飞船是由长征―2F运载火箭将其送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，实施变轨后，进入预定圆轨道，如图所示。

已知近地点A距地面高度为h，飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，求：
（1）飞船在近地点A的加速度为多少？
（2）飞船在预定圆轨道上飞行的速度为多少？
9、我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。

为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。

卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。

设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。

假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）。

二、选择题
10、宇宙飞船以周期为T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。

已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出地球的张角为α，则
A．飞船绕地球运动的线速度为
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0
C．飞船每次“日全食”过程的时间为αT/(2π)
D．飞船周期为T=
11、太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像.图中坐标系的横轴是，纵轴是;这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，和分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是
三、综合题
12、“嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的，加上月球的自转，卫星能探测到整个月球的表面。

如图（13）所示，卫星上CD相机已对月球背面进行成像探测，并获取了月球背面部分区域的影像图。

卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H，绕行的周期为T M；月球绕地公转的周期为T E，半径为R0。

地球半径为R E，月球半径为R M。

试解答下列问题：
（1）若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响，试求月球与地球质量之比；
13、（2013安徽望江二中月考）中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A.计时表一只；B.弹簧测力计一把；C.已知质量为m的物体一个。

在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t.飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可以推导出月球的半径和质量．(已知引力常量为G，忽略月球的自转的影响)
(1)说明机器人是如何进行第二次测量的？用相应的符号表示第二次测量的物理量，并写出相关的物的物理关系式，
(2)试用上述两次测量的物理量和已知物理量推导月球半径和质量的表达式．
14、（2013年3月湖北省黄冈市质检）我国的“嫦娥三号”探月卫星将实现“月面软着陆”，该过程的最后阶段是:着陆器离月面h高时速度减小为零,为防止发动机将月面上的尘埃吹起,此时要关掉所有的发动机，让着陆器自由下落着陆。

己知地球质量是月球质量的81倍,地球半径是月球半径的4倍，地球半径R0=6.4×106m，地球表面的重力加速度g0=10m/s2，不计月球自转的影响(结果保留两位有效数字).
(1)若题中h=3.2m，求着陆器落到月面时的速度大小；
(2)由于引力的作用，月球引力范围内的物体具有引力势能。

理论证明，若取离月心无穷远处为引力势能的零势点，
距离月心为r 的物体的引力势能，式中G为万有引力常数，M为月球的质量，m为物体的质量。

求着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围所需的最小速度。

15、宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部最低点静止一个质量为m的小球(可视为质点)，如图所示.当给小球一瞬间的速度v时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，已知圆弧的轨道半径为r，月球的半径为R1，引力常量为G.求：
(1)若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？
(2)轨道半径为2R1的环月卫星周期为多大？
16、一球形人造卫星，其最大横截面积为A、质量为m，在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动。

由于受到稀薄空
常量为G。

取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为r时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为。

（1）求人造卫星在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为ρ，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变。

在满足上述假设的条件下，请推导：
①估算空气颗粒对卫星在半径为R轨道上运行时，所受阻力F大小的表达式；
②估算人造卫星由半径为R的轨道降低到半径为R-△H的轨道的过程中，卫星绕地球运动圈数n的表达式。

17、万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。

（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。

已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。

将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。

设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0
a. 若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
b. 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。

（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳的半径为R s和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。

仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？
18、（2012年3月福建福州质检）在福建省科技馆中，有一个模拟万有引力的装置。

在如图1所示的类似锥形漏斗固定的容器中，有两个小球在该容器表面上绕漏斗中心轴做水平圆周运动，其运行能形象地模拟了太阳系中星球围绕太阳的运行。

图2为示意图，图3为其模拟的太阳系运行图。

图2中离中心轴的距离相当于行星离太阳的距离。

（1）在图3中，设行星A1和B2离太阳距离分别为r1和r2，求A1和B2运行速度大小之比。

（2）在图2中，若质量为m的A球速度大小为v，在距离中心轴为x1的轨道面上旋转，由于受到微小的摩擦阻力，A 球绕轴旋转同时缓慢落向漏斗中心。

当其运动到距离中心轴为x2的轨道面时，两轨道面之间的高度差为H。

求此过程中A
球克服摩擦阻力所做的功。

19、(2011·武汉市四月调研)人们通过对月相的观测发现，当月球恰好是上弦月时，如图甲所示，人们的视线方向与太阳光照射月球的方向正好是垂直的，测出地球与太阳的连线和地球与月球的连线之间的夹角为θ.当月球正好是满月时，如图乙所示，太阳、地球、月球大致在一条直线上且地球在太阳和月球之间，这时人们看到的月球和在白天看到的太阳一样大(从物体两端引出的光线在人眼光心处所成的夹角叫做视角，物体在视网膜上所成像的大小决定于视角)．已知嫦娥飞船贴近月球表面做匀速圆周运动的周期为T，月球表面的重力加速度为g0，试估算太阳的半径．
四、多项选择
20、地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是
A. B. C. D.
21、假定地球、月球都静止不动，用火箭从地球沿地月连线发射一探测器。

假定探测器地地球表面附近脱离火箭。

用W表示探测器从脱离火箭处到月球的过程中克服地球引力做的功，用E k表示探测器脱离火箭时的动能，若不计空气阻力，则
A. E k必须大于或等于W，探测器才能到达月球
B. E k小于W，探测器也可能到达月球
C. E k＝W，探测器一定能到达月球
D. E k＝W，探测器一定不能到达月球
参考答案
一、计算题
1、
如图所示，圆为地球赤道，S为卫星所在处，用R表示卫星运动轨道的半径．由万有引力定律、牛顿运动定律和卫星周期T（亦即地球自转周期）可得
(1)
式中M为地球质量，G为引力常量，m为卫星质量．
另有
(2)
由图可知
(3)
由以上各式，可解得
(4)
取T = 23小时56分4秒（或近似取T = 24小时），代入数值，可得
（5）
由此可知，卫星的定位范围在东经到之间的上空．
2、解析设太阳半径为R日、月球半径为R月，地月、地日之间的距离分别为r地月、r地日
质量为m的物体在月球表面受到的重力mg0＝
质量为m′的嫦娥飞船贴近月球表面运动，有＝m′()R月
在观察上弦月时，由几何关系＝cosθ
当月球正好是满月时，月球和太阳看起来一样大，
由几何关系＝
由于天体之间的距离远大于天体的半径，故
＝
即＝
联立解得R日＝
答案
3、解：(1)设行星的运行半径为r，由几何可得：………………2分
由开普勒第三第定律：………………………………………2分
或：由
解得：………………………………………………………2分
(2) ．当再次处于最佳观察期时，如图所示，行星运动转过的角度与地球运动转过的角度差为（）。

……………… 2分
则有：……………2分
………………………………1分
联立解得：………2分
4、(1)地面附近重力等于万有引力：＝mg
密度公式：ρ＝
V体＝πR3
得：ρ＝
同步卫星受到的万有引力提供向心力，故：＝m2r
卫星的高度：h＝r－R
得：h＝－R.
(2)“天链一号02星”与同轨道的航天器的运行轨道都是同步卫星轨道，所以“天链一号02星”与同轨道的航天器绕地球运转的半径为r，“天链一号02星”与航天器之间的最远时的示意图如图所示．
无线电波从发射到被航天器接收需要分两步．首先赤道地面基站A发射的信号被中继卫星B接收，然后中继卫星B 再把信号传递到同轨道的航天器C.
由几何知识可知：“天链一号02星”与航天器之间的最远距离：s1＝2
无线电波信号经过的总路程s＝2＋r－R
s＝ct
得：t＝.
答案：(1)－R(2)
5、
6、
7、
8、⑴设地球质量为M，飞船质量为m，则
飞船在A点受到地球的引力①
对地面上质量为m0的物体②
据牛顿第二定律可知万有引力提供向心力F＝ma n ③）联立①②③解得飞船在近地点A的加速度
⑵飞船在预定圆轨道上飞行的周期④
设预定圆轨道半径为r，由牛顿第二定律有⑤
而⑥
联立②④⑤⑥解得飞行速度
9、如图，O和O′分别表示地球和月球的中心。

在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD 的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地
月球面的公切线，交卫星轨道于E点。

卫星在上运动时发出的信号被遮挡。

设探月卫星的质量为m0,万有引力常量为G，根据万有引力定律有
①
②
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期。

由①②式得
③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有
④
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B。

由几何关系得
⑤
⑥
由③④⑤⑥式得
二、选择题
10、ACD
11、
三、综合题
12、解：（10分）.
（1）由牛顿第二定律得
万有引力定律公式为：
月球绕地公转时由万有引力提供向心力，故
……………①（2分）
同理，探月卫星绕月运动时有：……………②（2分）
由①②两式联立解得：……………（2分）
（2）设探月极地轨道上卫星到地心的距离为L0，则卫星到地面的最短距离为，由几何知识得：
……………（2分）
故将照片发回地面的时间
……………（2分）
13、飞船靠近月球表面绕月球运行时，近似认为其轨道半径为月球的半径R，有
②………………………（2分）
又T＝③………………………（1分）
解得月球的半径. ………………（2分）
月球的质量. ………………（2分）
14、
15、解析：（1）设月球表面的重力加速度为g1，小球在最高点的速度为v1,小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒,有
1/2mv2=1/2mv12+mg1·2r………………2 分
小球刚好做完整的圆周运动，在最高点有
mg1=mv12/r………………2 分
由以上两式可得g1=v2/5r………………1 分
若在月球表面发射一颗环月卫星，则重力必须提供向心力，则有mg1=mv22/R1………………1 分
故最小发射速度
v2== =v.………………1 分
(2)若卫星在半径为2R1的轨道上，
GMm/(2R1)2=m·2R4π2/T2………………2 分
其中g1=GM/R2=v2/5r Ks5u
由以上几式可得T=4π/v. ………………2 分
16、解：（1）设卫星在R轨道运行的周期为T，
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：（2分）
解得：（1分）
（2）①如图所示，最大横截面积为A的卫星，经过时间从图中的实线位置运动到了图中的虚线位置，该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为（1分）
以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们都获得了速度v，设飞船给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力大小为F，根据动量定理有：（1分）
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：，解得：
根据牛顿第三定律，卫星所受的阻力大小F′=。

（1分）
②设卫星在R轨道运行时的速度为v1、动能为E k1、势能为E p1、机械能为E1，
根据牛顿定律和万有引力定律有：
卫星的动能，势能
解得：
卫星高度下降ΔH，在半径为（R-ΔH）轨道上运行，
同理可知其机械能
卫星轨道高度下降ΔH，其机械能的改变量（1分）
卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功。

设卫星在沿半径为R的轨道运行一周过程中稀薄空气颗粒作用于卫星的阻力做的功为W0，
利用小量累积的方法可知：（1分）
上式表明卫星在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关。

则ΔE=nW0（1分）
解得：（1分）
17、【答案】（1）0.98 （2）不变
解析：
（1）a．物体处于北极以及北极上方时，万有引力等于重力，，，可得
b.在赤道上弹簧秤的读数表示重力的大小，即,可以求得
（2）根据太阳的引力提供地球的向心力，太阳的质量所以有
从上式可以看出当r、R、R S均变为现在的百分之一时，周期不变，即仍为1地球年。

18、解：（1）设A1和B2的质量分别为m1和m2，
根据万有引力定律和牛顿运动定律
①
②）
由①②得③）
19、解析设太阳半径为R日、月球半径为R月，地月、地日之间的距离分别为r地月、r地日
质量为m的物体在月球表面受到的重力mg0＝
质量为m′的嫦娥飞船贴近月球表面运动，有＝m′()R月
在观察上弦月时，由几何关系＝cosθ
当月球正好是满月时，月球和太阳看起来一样大，
由几何关系＝
由于天体之间的距离远大于天体的半径，故
＝
即＝
联立解得R日＝
答案
四、多项选择
20、AD
21、BD
【分析】设月球引力对探测器做的功为W1，根据动能定理可得：－W＋W1＝0－E k，根据F＝可知，F地＞F月，W＞W1，故BD选项正确。

【高考考点】动能定理、万有引力定律。

【易错点】学生不能用动能定理列出方程，不能根据F＝和W＝Fscosα准确判断出W＞W1。